1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Предложение, которое обычно называют Великой теоремой Ферма, родилось около середины XVII столетия; и во всей последующей истории математической мысли вряд ли можно найти другую задачу, которая в такой степени привлекала бы к себе научные усилия на протяжении столетий, как задача доказательства этой теоремы, — задача, не разрешенная и по настоящее время.

В то время, в XVII столетии, не было организованных научных обществ и не было научных журналов. Научное общение осуществлялось главным образом путем переписки. Отдельные гиганты математической мысли писали друг другу о своих достижениях и надеждах, писали редко и не спеша, потому что общий темп жизни был медленным и потому что почта тоже не спешила и ответа приходилось дожидаться долго. С другой стороны, и ученых было мало, так что каждый из них мог по пальцам пересчитать тех, кому интересно было бы узнать о его работах. Всем этим объясняется то, что от многих математических истин, открытых в то время, до нас дошли одни формулировки; доказательств история часто не сохраняла, и их приходилось восстанавливать заново. В особенности это относится к предложениям теории

чисел. В сущности, этой науки тогда еще не существовало; по крайней мере не было попыток соединить ее достижения в одно систематическое здание, и современники были склонны видеть в проблемах арифметики отдельные занятные, часто забавные, способные доставить изощренному уму тонкое наслаждение задачи; поэтому понятно, что в решении этих задач создалось соревнование, принимавшее характер спорта. Один писал другому: „Я умею решить такую-то задачу, умеешь ли ты ее решить?" А другой отвечал: „Нет, я ее решить не могу, и ты, очевидно, гениальный человек; но зато я знаю решение такой-то другой задачи; что ты можешь сказать о ней?" и т. д.

Ферма, Френикль, Декарт, Паскаль и др. часто и много переписывались между собою именно в этом роде; поэтому вполне понятно, что в большинстве случаев до нас от этой переклички гигантов дошли одни названия их достижений; пути остались скрытыми. И если в большинстве случаев потомки, владевшие более сильными методами, сумели восстановить потерянные историей доказательства, то по крайней мере в одном случае — в случае Великой теоремы Ф е р м а — им этого сделать не удалось.

Вот краткая история рождения этой задачи:

Пьер Ферма (Pierre Fermat), бесспорно, наиболее выдающийся французский математик XVII столетия, обычно по справедливости почитается отцом современной теории чисел; первые достижения этой науки возникли при попытках решения целого ряда задач, им поставленных.

В 1670 г. сын Пьера Ферма издал книгу александрийского математика Диофанта, при чем были перепечатаны также и примечания Пьера Ферма, оставленные им на полях одного из экземпляров этого сочинения. Одно из этих примечаний и содержит предложение,

получившее наименование Великой теоремы Ф е р м

Вот его смысл:

Если п означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то уравнению

xⁿ-\-yⁿ = zⁿ (1)

не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа х, у и z.

К этому Ферма прибавляет:

Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы оно могло на них поместиться.

Таким образом доказательство, которым обладал сам Ферма, осталось необнародованным. С тех пор прошло почти триста лет, и мы еще не имеем ни доказательства, ни опровержения Великой теоремы Ферма; и это несмотря на то, что, как уже сказано, задаче этой непрерывно посвящали и продолжают посвящать свое внимание многие крупные ученые и еще большее количество неспециалистов, которых соблазняет простота формулировки проблемы.

Вопрос о том, имел ли действительно Ферма строгое доказательство своего предложения или же он заблуждался (в искренности его, по-видимому, сомневаться не приходится), — этот вопрос, хотя он и часто обсуждается в литературе, очевидно, может иметь только историческое значение, почему мы здесь и не станем на нем останавливаться.

2. УКАЗАНИЯ НА МЕТОД.

Но большое научное значение имело бы, разумеется, если бы удалось в научных трудах или записках самого Ферма отыскать хоть какие-нибудь указания на тот

метод, каким он мог пользоваться при доказательстве своей теоремы. К сожалению, определенных указаний на этот счет обнаружить нигде не удалось. Но косвенные намеки все же могли быть отысканы, и мы должны уделить им некоторое внимание.

Ферма вообще почти никогда не говорит о тех методах, какими он пользовался при своих исследованиях. Тем более ценным является одно его письмо к Парка в и, в котором Ферма весьма подробно останавливается на одном замечательном способе математического рассуждения, — способе, который, по его словам, позволил ему доказать много важных арифметических предложений и которым, кстати сказать, и после Ферма охотно пользовались выдающиеся исследователи. Этот способ Ферма называет методом „бесконечного спуска* (descente infinie). Вот в чем он состоит: чтобы доказать, что какое-нибудь уравнение не может быть решено в целых положительных числах, показывают, что если бы оно удовлетворялось какими-нибудь целыми положительными числами, то оно должно было бы удовлетворяться кроме этих чисел еще и другими, и притом существенно меньшими.

Если это удастся доказать для какого-нибудь уравнения, то мы можем считать доказанным, что это уравнение не имеет никаких целых положительных решений. В самом деле, если бы оно удовлетворялось какой-нибудь системой таких чисел, то оно, по доказанному, должно было бы удовлетворяться системой чисел меньших; а тогда, снова по доказанному, оно должно было бы удовлетворяться системой чисел еще меньших и т. д. Это рассуждение мы могли бы повторять сколько угодно раз и получали бы все новые системы решений, и притом

все меньшие и меньшие; это же приводит нас к явной нелепости, ибо не может существовать безграничного ряда все меньших и меньших целых положительных чисел. Следовательно уравнение не может вовсе иметь целых решений.

Ферма перечисляет целый ряд уравнений, невозможность которых ему удалось доказать именно методом бесконечного спуска. Среди них имеется уравнение

х³ -|-jz³ — z³,

представляющее собою частный случай уравнения (1) (при л = 3). Можем ли мы считать вероятным, что и Великую теорему свою Ф е р м А доказывал методом спуска? Во всяком случае следует отметить, что многие предложения, высказанные Ферма без доказательства и доказанные позднее его последователями, были доказаны именно этим способом. Этот же прием дал возможность доказать и некоторые простейшие частные случаи Великой теоремы, на чем мы несколько подробнее остановимся ниже; кстати, мы будем иметь случай подробно проследить конкретное применение метода бесконечного спуска.

3. ФОРМУЛЫ ИНДУСОВ.

В формулировке Великой теоремы Ферма число п непременно должно быть больше, чем 2. И в самом деле, уже всякому ученику средней школы хорошо известно, что уравнение

x²+.y² = z² (2)

может быть разрешено в целых положительных числах (напр.: х = 3, j=4, z = 5). На основании теоремы Пифагора это приводится к тому общеизвестному факту,

что существуют прямоугольные треугольники, все три стороны которых выражаются целыми числами.

Не ограничиваясь этим, мы поставим себе целью найти все решения уравнения (2), то-есть все тройки чисел, которые, как тройка 3, 4, 5, удовлетворяют этому уравнению.

Решение этой задачи уже в глубокой древности было известно индусам.

Прежде всего мы заметим, что числа х, у и z мы в праве считать попарно не имеющими общих делителей. В самом деле, если бы какие-нибудь два из них, напр. х и у, имели какого-нибудь общего делителя 1, то, как показывает уравнение (2), и z должно было бы делиться на г, так что все уравнение можно было бы сократить на г². Поэтому мы можем предполагать, что числа х, у и z с самого начала попарно не имеют общих делителей.

Далее, нетрудно заметить, что из чисел х и у одно непременно должно быть четным, а другое нечетным.

В самом деле, если бы они оба были четными, то это значило бы, что у них есть общий делитель 2, — случай, который мы исключили. Если же оба были бы нечетны, например,

х = 2&+1, j = 2/+l,

то мы имели бы

z² = x²+j/2 = 4(^4-/f-p/2 4-/) + 2, (3)

откуда видно, что z², а следовательно и г, есть четное число, например,

г = 2/и,

откуда z² = 4zn², т.-е. z² должно делиться на 4; но равенство (3) ясно показывает, что z² при делении на 4