Skip to main content

Великая теорема ферма (Хинчин) 1927 - старые книги

Советская академическая и специальная литература

Великая теорема ферма (Хинчин) 1927

 

Назначение:Чтение этой книжки (за исключением дополнения) доступно каждому, кто знает элементарную арифметику.

© Госиздат Москва 1927

Авторство: Хинчин А.Я.

Формат: PDF Размер файла: 4.14 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

1. Постановка задачи. 7

2. Указания на метод. 9

3. Формулы индусов. 11

4. Доказательство Великой теоремы Ферма для случая п = 4 15

5. Другие простые случаи. 19

6. Результаты Куммера. 28

7. Краткий обзор других важнейших результатов 32

8. Новый английский метод в аддитивной теории чисел . 37

9. Заключение 41

Дополнение. Подробное изложение исследований К у м- м е р а. . . 4G

1. Необходимые сведения из общей теории алгебраических областей 47

2. Необходимые сведения из теории круговых областей 53

3. Доказательство основной теоремы Куммера . 57

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатно Академическое и специальное издание времен СССР - Великая теорема ферма (Хинчин) 1927 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Предложение, которое обычно называют Великой теоремой Ферма, родилось около середины XVII столетия; и во всей последующей истории математической мысли вряд ли можно найти другую задачу, которая в такой степени привлекала бы к себе научные усилия на протяжении столетий, как задача доказательства этой теоремы, — задача, не разрешенная и по настоящее время.

В то время, в XVII столетии, не было организованных научных обществ и не было научных журналов. Научное общение осуществлялось главным образом путем переписки. Отдельные гиганты математической мысли писали друг другу о своих достижениях и надеждах, писали редко и не спеша, потому что общий темп жизни был медленным и потому что почта тоже не спешила и ответа приходилось дожидаться долго. С другой стороны, и ученых было мало, так что каждый из них мог по пальцам пересчитать тех, кому интересно было бы узнать о его работах. Всем этим объясняется то, что от многих математических истин, открытых в то время, до нас дошли одни формулировки; доказательств история часто не сохраняла, и их приходилось восстанавливать заново. В особенности это относится к предложениям теории

чисел. В сущности, этой науки тогда еще не существовало; по крайней мере не было попыток соединить ее достижения в одно систематическое здание, и современники были склонны видеть в проблемах арифметики отдельные занятные, часто забавные, способные доставить изощренному уму тонкое наслаждение задачи; поэтому понятно, что в решении этих задач создалось соревнование, принимавшее характер спорта. Один писал другому: „Я умею решить такую-то задачу, умеешь ли ты ее решить?" А другой отвечал: „Нет, я ее решить не могу, и ты, очевидно, гениальный человек; но зато я знаю решение такой-то другой задачи; что ты можешь сказать о ней?" и т. д.

Ферма, Френикль, Декарт, Паскаль и др. часто и много переписывались между собою именно в этом роде; поэтому вполне понятно, что в большинстве случаев до нас от этой переклички гигантов дошли одни названия их достижений; пути остались скрытыми. И если в большинстве случаев потомки, владевшие более сильными методами, сумели восстановить потерянные историей доказательства, то по крайней мере в одном случае — в случае Великой теоремы Ф е р м а — им этого сделать не удалось.

Вот краткая история рождения этой задачи:

Пьер Ферма (Pierre Fermat), бесспорно, наиболее выдающийся французский математик XVII столетия, обычно по справедливости почитается отцом современной теории чисел; первые достижения этой науки возникли при попытках решения целого ряда задач, им поставленных.

В 1670 г. сын Пьера Ферма издал книгу александрийского математика Диофанта, при чем были перепечатаны также и примечания Пьера Ферма, оставленные им на полях одного из экземпляров этого сочинения. Одно из этих примечаний и содержит предложение,

получившее наименование Великой теоремы Ф е р м

Вот его смысл:

Если п означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то уравнению

xn-\-yn = zn (1)

не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа х, у и z.

К этому Ферма прибавляет:

Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы оно могло на них поместиться.

Таким образом доказательство, которым обладал сам Ферма, осталось необнародованным. С тех пор прошло почти триста лет, и мы еще не имеем ни доказательства, ни опровержения Великой теоремы Ферма; и это несмотря на то, что, как уже сказано, задаче этой непрерывно посвящали и продолжают посвящать свое внимание многие крупные ученые и еще большее количество неспециалистов, которых соблазняет простота формулировки проблемы.

Вопрос о том, имел ли действительно Ферма строгое доказательство своего предложения или же он заблуждался (в искренности его, по-видимому, сомневаться не приходится), — этот вопрос, хотя он и часто обсуждается в литературе, очевидно, может иметь только историческое значение, почему мы здесь и не станем на нем останавливаться.

2. УКАЗАНИЯ НА МЕТОД.

Но большое научное значение имело бы, разумеется, если бы удалось в научных трудах или записках самого Ферма отыскать хоть какие-нибудь указания на тот

метод, каким он мог пользоваться при доказательстве своей теоремы. К сожалению, определенных указаний на этот счет обнаружить нигде не удалось. Но косвенные намеки все же могли быть отысканы, и мы должны уделить им некоторое внимание.

Ферма вообще почти никогда не говорит о тех методах, какими он пользовался при своих исследованиях. Тем более ценным является одно его письмо к Парка в и, в котором Ферма весьма подробно останавливается на одном замечательном способе математического рассуждения, — способе, который, по его словам, позволил ему доказать много важных арифметических предложений и которым, кстати сказать, и после Ферма охотно пользовались выдающиеся исследователи. Этот способ Ферма называет методом „бесконечного спуска* (descente infinie). Вот в чем он состоит: чтобы доказать, что какое-нибудь уравнение не может быть решено в целых положительных числах, показывают, что если бы оно удовлетворялось какими-нибудь целыми положительными числами, то оно должно было бы удовлетворяться кроме этих чисел еще и другими, и притом существенно меньшими.

Если это удастся доказать для какого-нибудь уравнения, то мы можем считать доказанным, что это уравнение не имеет никаких целых положительных решений. В самом деле, если бы оно удовлетворялось какой-нибудь системой таких чисел, то оно, по доказанному, должно было бы удовлетворяться системой чисел меньших; а тогда, снова по доказанному, оно должно было бы удовлетворяться системой чисел еще меньших и т. д. Это рассуждение мы могли бы повторять сколько угодно раз и получали бы все новые системы решений, и притом

все меньшие и меньшие; это же приводит нас к явной нелепости, ибо не может существовать безграничного ряда все меньших и меньших целых положительных чисел. Следовательно уравнение не может вовсе иметь целых решений.

Ферма перечисляет целый ряд уравнений, невозможность которых ему удалось доказать именно методом бесконечного спуска. Среди них имеется уравнение

х3 -|-jz3 — z3,

представляющее собою частный случай уравнения (1) (при л = 3). Можем ли мы считать вероятным, что и Великую теорему свою Ф е р м А доказывал методом спуска? Во всяком случае следует отметить, что многие предложения, высказанные Ферма без доказательства и доказанные позднее его последователями, были доказаны именно этим способом. Этот же прием дал возможность доказать и некоторые простейшие частные случаи Великой теоремы, на чем мы несколько подробнее остановимся ниже; кстати, мы будем иметь случай подробно проследить конкретное применение метода бесконечного спуска.

3. ФОРМУЛЫ ИНДУСОВ.

В формулировке Великой теоремы Ферма число п непременно должно быть больше, чем 2. И в самом деле, уже всякому ученику средней школы хорошо известно, что уравнение

x2+.y2 = z2 (2)

может быть разрешено в целых положительных числах (напр.: х = 3, j=4, z = 5). На основании теоремы Пифагора это приводится к тому общеизвестному факту,

что существуют прямоугольные треугольники, все три стороны которых выражаются целыми числами.

Не ограничиваясь этим, мы поставим себе целью найти все решения уравнения (2), то-есть все тройки чисел, которые, как тройка 3, 4, 5, удовлетворяют этому уравнению.

Решение этой задачи уже в глубокой древности было известно индусам.

Прежде всего мы заметим, что числа х, у и z мы в праве считать попарно не имеющими общих делителей. В самом деле, если бы какие-нибудь два из них, напр. х и у, имели какого-нибудь общего делителя 1, то, как показывает уравнение (2), и z должно было бы делиться на г, так что все уравнение можно было бы сократить на г2. Поэтому мы можем предполагать, что числа х, у и z с самого начала попарно не имеют общих делителей.

Далее, нетрудно заметить, что из чисел х и у одно непременно должно быть четным, а другое нечетным.

В самом деле, если бы они оба были четными, то это значило бы, что у них есть общий делитель 2, — случай, который мы исключили. Если же оба были бы нечетны, например,

х = 2&+1, j = 2/+l,

то мы имели бы

z2 = x2+j/2 = 4(^4-/f-p/2 4-/) + 2, (3)

откуда видно, что z2, а следовательно и г, есть четное число, например,

г = 2/и,

откуда z2 = 4zn2, т.-е. z2 должно делиться на 4; но равенство (3) ясно показывает, что z2 при делении на 4

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Автор-учебника - Хинчин А.Я. , ☆ДОШКОЛЬНОЕ➙БИОГРАФИИ-РАБОТЫ_АВТОРОВ, Математика - Арифметика

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика