ПРЕДИСЛОВИЕ

С минимальным риском ошибиться можно утверждать, что в любой математической книге непременно встретится фамилия Бернулли. Но авторы зачастую забывают указать, кого из многочисленных Бернулли они имеют в виду. Пишется просто: уравнение Бернулли, интеграл Бернулли, метод Бернулли, теорема Бернулли, числа Бернулли и т. д. Автор предлагаемой книги поставил задачу конкретно показать «кто есть кто», какими открытиями в математике мы обязаны каждому из Бернулли.

История науки и культуры знает случаи, когда тот или иной дар повторяется у членов одной семьи. Известны композиторы Штраусы, астрономы Кассини, архитекторы и живописцы крепостные Аргуновы, артисты Садовские и др. Из всех таких семей самой выдающейся можно считать семью Бернулли. Род Бернулли дал девять крупных математиков, из них трех великих (Якоб, Иоганн, Даниил). Помимо математиков, среди Бернулли были историки, архитекторы, юристы, искусствоведы и т. д. Не менее тридцати представителей Бернулли обладали выдающимися талантами.

Кафедру математики Базельского университета Бернулли возглавляли 105 лет практически без перерыва. Профессорами того же университета (на разных кафедрах) Бернулли состояли более 200 лет. Кресло академика Парижской академии наук было занято ими подряд 100 лет. Та же академия выдала десятки премий членам этой семьи. Пятеро математиков Бернулли были членами Петербургской академии наук, трое работали в Петеп- бурге.

Необыкновенно устойчивая одаренность Бернулли, переходящая из поколения в поколение, проявляется у них в раннем развитии математического дарования, непреодолимом стремлении к точным наукам, широте и глубине знаний. Бернулли сделали значительный вклад в науку па заре становления и оформления «новой» математики (дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, ряды, вариационное исчисление, теория вероятностей).

Разработка и совершенствование нового исчисления, созданного Ньютоном и Лейбницем, поднимали математику на иной, более высокий уровень, позволяли решать ранее недоступные задачи физики, а она, в свою очередь, оказывала влияние на развитие математики. «Физика,— писал А. Пуанкаре,— не может обойтись без математики, которая предоставляет ей единственный язык, на котором она может говорить. Отсюда взаимные и беспрестанные услуги, которые оказывают друг другу чистый анализ и физика» [22, с. 659].

Процесс становления исчисления вел к некоторого рода «демократизации» математики: если раньше трудные задачи поддавались лишь талантливым одиночкам, посвятившим себя занятию математикой, то овладение основами дифференциального и интегрального исчислений позволяло широкому кругу образованных людей справляться с задачами, казавшимися совсем недавно неразрешимыми. Это вело к развитию математики не только вглубь, во и вширь.

В книге рассказывается о жизни и научной деятельности трех великих Бернулли: братьев Якоба и Иоганна и сына Иоганна Даниила. Открывается она главой о предшественниках этих ученых, написанной с целью оттенить и ярче показать вклад в математику, сделанный семьей Бернулли.

При работе над книгой автор старался руководствоваться советом Б. Паскаля: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать сю немного занимательным».

ПРЕДШЕСТВЕННИКИ И СОВРЕМЕННИКИ

1

Развитие науки XVII в. происходило одновременно со становлением в передовых странах Европы новой общественной формации — капитализма. Утверждение новых форм производства и общественных отношений предъявляло определенные требования к науке. Энгельс писал: «Буржуазии для развития ее промышленности нужна была наука, которая исследовала бы свойства физических тел и формы проявления сил природы. До того же времени наука была смиренной служанкой церкви и ей не позволено было выходить за рамки, установленные верой; по этой причине она была чем угодно, только не наукой. Теперь наука восстала против церкви; буржуазия нуждалась в науке и приняла участие в этом восстании» [18, с. 307].

Развитие науки в XVI и XVII вв. вылилось в научную революцию. Она характеризуется ломкой старых представлений и понятий, ломкой установившегося метода мышления, коренным изменением взглядов на мир, разработкой основ современного научного естествознания и математики как его рабочего инструмента. Вершиной научной революции было создание Декартом и Ферма аналитической геометрии, Ньютоном и Лейбницем — дифференциального и интегрального исчислений и Ньютоном — механики.

В науке настоятельно выступали и проявлялись новые тенденции: она все более откликалась на запросы практики, своими достижениями обслуживала практику; наука опиралась на результаты эксперимента, представляла союз теории и опыта; основу науки составляли механические к математические представления, это обусловило формирование механистической концепции мира; наука испытывала на себе влияние передовых идей века.

Производство ставило перед наукой сложные задачи. «Такие задачи появлялись в промышленной, строительной, транспортной технике, в быстро прогрессировавшем артиллерийском деле, в навигации, в связи с изобретением и совершенствованием различных приборов и инструмен

тов и т. д. Назовем несколько таких вопросов, правильная постановка и решение которых требовали математического исследования, завершающегося числовым расчетом. Это цикл проблем гидротехники (давление воды на плотины и шлюзы; работа насосов; движение воды в каналах), затем кораблестроения и навигации (устойчивость плавающих тел; движение твердого тела в жидкости; черчение географических карт; определение долготы корабля в открытом море), артиллерии (прежде всего движение брошенного тела в пустоте и в сопротивляющейся среде), оптики (свойства линз и их систем), точного приборостроения (часы и колебания маятника)» [9, с. 10].

Как пример синтеза науки и практики можно привести историю создания часов и связанных с этим исследований. Бурное развитие мореплавания поставило вопрос о точном вычислении географических координат. Еслп широту места по высоте Солнца в полдень мореплаватели определяли достаточно хорошо уже в XVI в., то для нахождения долготы нужно было иметь точно идущие часы. Земля в течение часа поворачивается на 15°, поэтому достаточно знать точное время порта, из которого вышел корабль, чтобы найти долготу места. Но точных часов не было. За решение задачи по определению долготы предлагались большие суммы. В 1603 г. солидную премию назначил король Франции Генрих IV; через год Филипп 11 испанский предложил 100000 экю; в 1606 г. 100000 флоринов — Генеральные Штаты Нидерландов; Людовик XIV несколько позже — 100000 французских ливров; 20000 английских фунтов — английский парламент.

С целью оказания помощи в решении задачи об определении долготы созданы первые субсидируемые государством научные учреждения — Парижская обсерватория в 1672 г. и Гринвичская обсерватория в 1675 г.

Исследованием колебаний маятника и конструированием точных часов занимался Галилей. Конструкцию часов с циклоидальным маятником предложил Гюйгенс. Ему также принадлежат различные изобретения и открытия, связанные с часами.

Однако ошибочно думать, что развитие науки целиком определялось практикой, ее нуждами и запросами. В каждой науке есть свои внутренние стимулы, обусловливающие прогресс, есть вопросы, не разрешенные предыдущими поколениями исследователей. Необходимо иметь в виду также и наличие обратной связи: сама развивающаяся наука ставила перед практикой новые задачи.

Становление науки происходило в борьбе с догмами средневековых схоластики и теологии. Начало активного и научно обоснованного выступления против средневековых догм связано с выходом в свет основного труда Коперника, содержащего изложение гелиоцентрической системы мира. Дж. Леопарди приписывает Копернику слова, что утверждение гелиоцентрической системы «не будет таким простым делом, как могло бы показаться на первый взгляд. Ее влияние не ограничится физикой. Она приведет к переоценке ценностей и взаимоотношений различных категорий; она изменит взгляд на цели творения. Тем самым она произведет переворот также и в метафизике и вообще во всех областях, соприкасающихся с умозрительной стороной знания. Отсюда следует, что люди, если сумеют или захотят рассуждать здраво, окажутся совсем в другом положении, чем они были до сих пор или воображали, что были» [52, с. 314].

Поход против догм возглавили после Коперника Дж. Бруно и Галилей. Эйнштейн подчеркивает, что Галилей страстно выступал против любого вида догм, основанных на авторитете. Борьба с догмами пронизывает все творчество Декарта.

Наука нового времени опиралась на прочную основу опыта. «Наука, связывающая теорию и эксперимент, фактически началась с работ Галилея»,— писал Эйнштейн [34, с. 393]. Характерной особенностью экспериментов нового времени было то, что они зачастую служили поворотными пункта!ми и отправными точками в развитии науки. Достаточно назвать опыты Галилея с падением тяжелых тел и колебаниями маятника, опыты Торричелли, опрокинувшие тезис Аристотеля «природа боится пустоты», опыты Паскаля с атмосферным давлением.

В XVII в. сложилось механическое толкование мира: мир рассматривался как механизм, действующий в соответствии с незыблемыми законами. В связи с таким взглядом ведущее значение приобрела механика, а вместе с ней — математика.

В условиях нового времени формировался новый тип ученого: ученые в большинстве своем были одновременно механиками, инженерами, физиками, математиками, астрономами и часто философами. Многие крупные ученые занимались инженерной практикой. Галилей, Гюйгенс, Ньютон строили зрительные трубы, Гюйгенс, кроме того, прослыл выдающимся часовым мастером; Паскаль и Лейбниц конструировали вычислительные машины; Стевин за

нимался гидротехникой, Деэарг—фортификацией, Декарт и Торричелли — шлифованием линз.

В связи с резким ростом исследований возникла настоятельная необходимость общения ученых. Это привело к большой научной переписке, появлению своего рода центров научной информации, научных кружков, впоследствии — академий. Во Франции вся переписка шла через М. Мерсенна, в Англии — Г. Ольденбурга и Д. Коллинса, в Италии —М. Риччи, в Германии —К. Шотта;

В большинстве стран Европы университеты не стали научными центрами. Это связано с засильем в них схоластики. Новые идеи в университетскую и школьную науку не проникали. Да и распространялись они крайне медленно. Говорят, что «Начала» Ньютона в первые годы после издания прочитало всего четыре человека. Об отношении к преподаванию математики можно судить по тому, что во многих школах на преподавателей математики смотрели свысока, они не входили в коллегии преподавателей, возникла даже пословица «mathematicus non est collega» (математик — не коллега).

Первые научные академии возникли в Италии по опыту академий литературы. В 1560 г. в Неаполе организована Accademia secretorum naturae (Академия тайн природы), просуществовавшая недолго.

В 1603 г. основана Accademia dei Lincei (Академия «рысьеглазых», т. е. видящих очень хорошо), предназначенная для изучения природы и распространения знаний в области физики. Членом этой академии был Галилей; она способствовала распространению его учения.

С 1654 г. в Англии начало функционировать Оксфордское научное общество («Невидимая коллегия»). Девиз общества «Nullius in verba» («Ничего из слов») направлен против схоластики. Общество официально было признано королем и в 1662 г. преобразовано в Royal Society for the Advancement of Learning (Королевское общество для развития знания). С марта 1665 г. стал издаваться научный журнал «Phylosophical Transactions».

Во Франции на базе научного кружка Мерсенна министром Кольбером в 1666 г. организована Academie des Sciences (Академия наук). Первым президентом ее был Гюйгенс. «Journal des S^avans» («Журнал ученых») издается с 1665 г. Лейпцигский журнал «Acta Eruditorum», издававшийся на латинском языке, основан в 1682 г.

Наука XVII в. формировалась под влиянием философских идей Ф. Бэкона и Декарта. Рационализм Декарта

вооружал науку уверенностью в торжестве разума, стал идеологией революционной буржуазии, перестраивающей производство.

2

Математика XVII в. резко отличается от предшествующей. К XVII в. она включала в себя арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию и занималась преимущественно постоянными величинами. В XVII в. возникли качественно новые разделы математики: аналитическая геометрия, проективная геометрия, теория вероятностей, исчисление бесконечно малых, содержащее зачатки важнейших новых дисциплин — теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории рядов, дифференциальной геометрии.

Задолго до создания анализа бесконечно малых математиков занимали два широких класса задач. Один из них объединялся вокруг задачи о проведении касательной к кривой. Чтобы провести касательную, надо знать ее направление. Для окружности задача решается в элементарной геометрии: касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. В общем случае касательную рассматривают как предельное положение секущей.

Задача сводится к нахождению предела отношения Ау/Дя при условии Ая->0. Аналитически к необходимости вычисления этого предела приходят при решении задачи о проведении нормали к кривой (перпендикуляра к касательной), что представляет интерес в оптике, при определении отрезков подкасательной и поднормали. Точно так же в механике определяется скорость. Отыскание максимумов и минимумов (экстремумов) функций тоже связано с рассматриваемым пределом.

Второй класс задач составляли вычисление площади (квадратуры) сложной фигуры с криволинейными границами, объемов (кубатуры), координат центров тяжести, давления, пути движущихся тел, спрямление кривых и т. д. Эти задачи решались по единому плану. Квадратура, например, осуществлялась так: фигура разбивалась на конечное число площадок с легко вычислимыми площадями, подсчитывались эти площади, а затем число слагаемых увеличивалось до бесконечности (при этом каждая частичная площадь стремилась к нулю). Если удавалось найти точный результат такого предельного процесса, то он и составлял искомое.

Частные задачи того и другого типа с помощью различного рода геометрических, алгебраических и механических построений успешно решались математиками XVII в. до Ньютона и Лейбница. Была установлена связь между задачами обоих классов. Но все это не могло составить единого метода решения двух указанных проблем. Это стало возможно с открытием новых аналитических объектов — дифференциалов, интегралов, рядов и т. д.

Чтобы уяснить, насколько близко подошли предшественники Ньютона и Лейбница к построению анализа бесконечно малых, необходимо обратиться к двум рассмотрениям И. Барроу¹ — профессора Кембриджского университета, учителя Ньютона.

Барроу усовершенствовал метод Ферма проведения касательной к кривой. Он учитывал приращение Ду координаты у, а не только приращение Да: координаты х, как делал Ферма, и это дало возможность в определенном смысле автоматизировать расчет.

Важным достижением Барроу было установление взаимной обратности задач, решаемых теперь интегрированием и дифференцированием. Этот вопрос, как и предыдущий, изложен им в «Лекциях по геометрии» (1670).

Барроу применил теорему о взаимной обратности операций дифференцирования и интегрирования к решению двух видов задач: по известным квадратурам он отыскивал способы определения касательных, а также решал обратные задачи на касательные, что означало интегрирование дифференциальных уравнений. В частности, он рассмотрел задачу Дебона о квадратуре кривой, удовлетворяющей условию y/S_T=(x—y)/a (S_T — подкасательная), т. е. в современных обозначениях уравнению dy}dx=* — (х—у)/а. В свое время в связи с задачей Дебона Декарт высказал сомнение в существовании общего метода решения подобных задач.

3

Как ни значительны достижения математиков — Кавальери, Торричелли, Паскаля, Ферма, Декарта, Гюйгенса, Валлиса, Меркатора, Барроу — в инфинитезимальных исследованиях, они не могли составить единой системы анализа бесконечно малых, в которой с помощью немногих вычислительных алгоритмов решались бы самые различные задачи математики, механики, физики и других наук. Создание такой системы выпало па долю Ньютона и Лейбница.