В. В. Г о л ь д б е р г. ^Сопряженные сети с общими семействами первых осей в проективном пространстве. 109

Н. В. Л а к т а н о в а. Об изгибании двумерных поверхностей проективного пространства  несущих сопряженную сеть 119

М. 3. Осипова. К геометрии поверхности в унитарно-евклидовом пространстве . 135

Н. М. О с т и а н у. О геометрии поверхности аффинно-симплсктиче- ского пространства 156

О. С. Редозубова. Об одном специальном виде пар Т конгруэнций 177

О. С. Редозубова. Ортогональные пары Т конгруэнций специального вида 190

Часть II.

М. М. Арапова. О проекции Бляшке 199

Л. Б. В ы ж г и н а и Л. В. П у ч к о в а. Метрические инварианты уравнений квадрик во флаговых пространствах 214

Н. М. Макаров а. Кривые второго порядка в плоской параболической геометрии 222

И. Н. Миг алев а. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом 252

Л. П. Птицына, Л. В. Пучкова, Л. В. Румянцева. Метрические инварианты уравнений квадратик в квазиэллиптическом пространстве 265

Б. А. Розенфельд, Л. М. Ежов а-Гусева и Т.А. Назарова. Метрические инварианты плоскостей во флаговых пространствах . 278

Л. В. Румянцева, И. Н. Семенова. Квадрики в квазиаффинном пространстве. 287

А. И. Сирота. Геометрия трехмерного пространства с вырожденной евклидовой метрикой. , 297

Часть ГП.

Г. Б. Гуревич. Нормировка весовых векторов алгебры дифференцирований стандартной нуль-алгебры. 317

Г. Б. Гуревич. Системы линейно-степенных уравнений  323

А. И. Сирота. Об инвариантных аффинных связностях однородных пространств. 329

Е. И. Файнберг. О приближении дуг ломаными. 333

Часть IV.

Л. С. А т а н а с я н. Об изложении непротиворечивости стереометрии Лобачевского в курсе «Основания геометрии» 343

М. В. Васильева. Аналитическая проективная геометрия 352

1. Система координат, соответствующая данной группе  352

2. Проективная система координат на прямой 352

3. Аффинная система координат на прямой 353

4. Проективная система координат на плоскости . 355

5. Аффинная система координат на плоскости 358

6. Декартова система координат на плоскости 359

7. Уравнение прямой в проективных координатах 360

8. Уравнение кривой 2-го порядка в проективных координатах . 365

9. Аффиное уравнение гиперболы и .параболы относительно автсиполярного треугольника 2-го рода 367

10. Аналитическая форма проективного преобразования на прямой 368

11. Аналитическая форма аффинного преобразования на прямой 370

12. Аналитическая форма движения на прямой 371

13. Аналитическая форма коллинеации 372

14. Аналитическая форма аффинной коллинеации 376

15. Аналитическая форма движения 378

16. Преобразование координат. 380

17. Автоморфная коллинеация кривой 2-го порядка 381

18. Аналитическая форма корреляции 383

19. Инволюционная корреляция 385

20. Аналитическая форма инволюционной корреляции . 389

21. Каноническое уравнение кривой 2-го порядка относительно автополярного треугольника 1-го рода. 391

22. Аффинное уравнение эллипса и гиперболы относительно автополярного треугольника 1-го рода. 392

И. М. Яглом. Выпуклые тела и чебышевские приближения функций 395

ОТ РЕДАКЦИИ

Самым обширным является раздел I, в котором собраны работы по дифференциальной геометрии евклидова пространства и других типов пространств. Изучению пар конгруэнций прямых трехмерного евклидова и проективного пространства посвящены две работы О. С. Редозубовой и работа А, М. Березмана. В статье С. П. Финикова, перечислены все шестимерные поверхности Фосса с девятимерным соприкасающимся пространством. В работах М. А. Акивиса, В. В. Гольдберга, Н. В. Лактановой изучаются сопряженные сети многомерного аффинного и проективного пространства. Л. С. Атанасян и Н. С. Воронцова посвятили свои статьи построению дифференциальной геометрии кривых и поверхностей многомерного проективного пространства, а М. 3. Осипова и Н. М. Остиану изучают поверхности многомерных обобщенных пространств разных типов — унитарно-евклидова и аффинно-симплектического. Наконец, работа М. В. Васильевой посвящена изучению геометрии введенных Э. Картавом пространств с «многомерной метрикой», задаваемой кратным интегралом.

Большинство собранных в разделе I работ — статьи С. П. Финикова, М. А. Акивиса, А. М. Березмана, В. В. Гольдберга, Н. В. Лактановой, М. 3. Осиповой и обе статьи О. С. Редозубовой — выполнены методом со-форм Э. Картана. Примыкают к ним и статьи Н. М. Остиану и М. В. Васильевой, использующие инвариантный метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева. Все эти работы выполнены представителями школы Сергея Павловича Финикова и были доложены в свое время на семинаре по классической дифференциальной геометрии. Работы Л. С. Атанасяна и Н. С. Воронцовой используют теорию составного многообразия В. В. Вагнера и учение о геометрических объектах.

Единый цикл статей представляет раздел II выпуска, посвященный неевклидовым геометриям. Работа Н. М. Макаро

вой содержит детально разработанную теорию кривых второго порядка в плоской неевклидовой геометрии Кели-Клейна, абсолют которой представляет собой прямую проективной плоскости с выделенной на ней точкой. Непосредственное обобщение части результатов Н. М. Макаровой содержится в работе Л. Б. Выж- гиной и Л. В. Пучковой, посвященной «-мерному неевклидову пространству, абсолютом которой является геометрический образ, часто называемый «флагом»: гиперплоскость «-мерного проективного пространства с принадлежащей ей («—2)-мерной плоскостью, принадлежащей последней (п—3)-мерной плоскостью и т. д. вплоть до точки. Этому же неевклидову пространству посвящена и статья Б. А. Розенфельда, Л. М. Ежовой- Гусевой и Т. А. Назаровой. А. И. Сирота подробно изучил трехмерное неевклидово пространство, абсолют которого задается плоскостью проективного пространства с выделенной на плоскости прямой и парой мнимых сопряженных точек этой прямой. Близка к работе Сироты и работа И. Н. Мига- левой, в которой рассматривается «-мерный аналог того же неевклидова пространства; впрочем, А. И. Сирота и И.Н. Мигалева по-разному определяют движения пространства (с точки зрения И. Н. Мигалевой в работе А. И. Сироты в качестве фундаментальной группы рассматриваются подобия, а не движения). Обобщением рассмотренного И. Н. Мигалевой пространства являются так называемые «квазиэллиптические» пространства, изучаемые в работе Л. П. -Птицыной, Л. В. Пучковой и Л. В. Румянцевой. Еще один тип неевклидова пространства с вырожденным абсолютом — квазиаффинные пространства, не укладывающиеся прямо в схему Кели-Клейна, но обобщающие понятие аффинного пространства, — изучается в работе Л. В. Румянцевой и И. Н. Семеновой. Наконец, близка ко всему этому кругу идей и работа М. М. Араповой, по существу связывающая геометрию Лагерра на плоскости со своеобразной неевклидовой геометрией трехмерного пространства, за абсолют которого принята цилиндрическая поверхность.

Раздел III содержит две работы Г. Б. Гуревича, связанные с теорией алгебр Ли, работу А. И. Сироты по однородным пространствам и работу Е. И. Файнберга, относящуюся, по существу, к дискретной геометрии. Наконец, в последнем разделе сборника собраны работы, имеющие научно-методический характер.

Е. И. Файнберг

О ПРИБЛИЖЕНИИ ДУГ ЛОМАНЫМИ

Известно, что всякую, скажем кусочно-гладкую кривую можно с любой степенью точности апроксимировать ломаной, т. е. сделать расстояние.между кривой и ломаной достаточно малым, причем для достижения заданной степени точности достаточно взять ломаную с достаточно большим числом звеньев.

Ясно, что это расстояние можно сделать как угодно малым, расположив соответствующим образом ломаную и увеличив число п звеньев; однако, менее ясно, как именно уменьшается расстояние с ростом п и как различаются в этом смысле разные кривые — какие из них приближаются ломаными хуже, а какие лучше.

Термин «расстояние» здесь можно понимать в «тюбом из трех нижеуказанных наиболее распространенных смыслов (ер- [1]):

1. Под линейным расстоянием р(К, А) от кривой К до ломаной А понимается максимум расстояний р (А А) от точек А кривой до ломаной А, т. е. м а к с и м у м м и н и м у м о в расстояний от точек кривой до точек ломаной; р(К, А) = max. min р(АВ).

лек’ вел

(Под линейным расстоянием между К и А часто также р(АВ). (Под линейным расстоянием между К и А часто также понимается большая из величин р(К, А) и р(А, К)).

2. Под расстоянием по периметру p_z (К, А) между кривой и ломаной (которые можно считать замкнутыми, соединив, если потребуется, их концы), понимается разность периметров объединения и пересечения фигур, ограниченных кривой и ломаной.

3. Под расстоянием по площади p_f(K> А) между замкнутыми кривой К и ломаной А понимается разность площадей объединения и пересечения ограниченных кривой и ломаной фигур.

Иногда имеет смысл рассматривать не все вообще ломаные, приближающие данную кривую, а лишь удовлетворяющие каким-либо условиям, например считать ломаную вписанной в кривую или описанной вокруг нее. В каждом из указанных случаев интересно знать величину расстояния до самой близкой к кривой /1-звенной ломанной (или хоть асимптотическую оценку для этого расстояния) и то, какая из кривых хуже всего приближается ломаными (лучше всего приближается ломаной, разумеется, прямая).