Введение

Представим себе, что мы читаем биографию ученого-математика, записанную в несколько необычной форме:

«Еще в младших классах средней школы он проявлял себя весьма смышленым мальчиком. С задачами, которые сверстники решали полчаса, он справлялся за какие-нибудь 101— 11О минут. Одаренный недюжинным умом и неиссякаемой энергией, этот счастливец окончил вуз на год раньше срока — за 11 лет, и в возрасте 10100 лет, будучи совсем молодым человеком, возглавил важную научно-исследовательскую лабораторию».

Вы всматриваетесь в лежащий перед вами странный текст, снова и снова перечитываете его, стараясь понять содержание отрывка. Нет, это не бред сумасшедшего. Текст принадлежит перу человека, обладающего здравым рассудком и острым умом, но дело в том, что числа в нем выражены в иной, непривычной нам системе счисления. Что же это за странная форма записи? В самом деле, как это «за какие-нибудь 101 — 110 минут»? Разве это мало, если сверстники решают задачу за полчаса? Кроме того, как же можно окончить вуз раньше положенного срока за 11 лет? Наконец, назвать молодым человеком того, кто имеет возраст 10100 лет?

Однако не будем спешить с выводами. Но чтобы разобраться в содержании упомянутого отрывка, нам необходимо знать некоторые сведения из теории счета, нужно ознакомиться с тем, что такое система счисления, и особенно с двоичной системой, являющейся наиболее распространенным языком математических машин.

Одной из характерных черт развития науки и техники последнего времени является внедрение математических методов в разные сферы человеческой деятельности. Математика представляет собой незаменимый аппарат автоматизации производства, ее используют при проектировании технических сооружений, городов, поселков с их разносторонним хозяйством. Успехи советской науки и техники за последние годы — широкое применение атомной энергии в мирных целях, запуск искусственных спутников Земли и космических кораблей, осуществление полетов человека в космическое пространство и т. д. — опираются в значительной степени на успехи развивающейся математической науки. Наконец, мы являемся свидетелями того, как математика проникает в сферы, далеко не родственные ей. Возникает целый ряд новых наук: математическая биофизика, математическая экономика, математическая лингвистика, происходит «математизация» медицины, гуманитарных наук. Мы не говорим уже о роли математики в механике, физике, астрономии, геодезии, химии, где математические методы давно стали обиходными. Претворяются в жизнь предсказания выдающегося ученого и художника Леонардо да Винчи о том, что никакое человеческое исследование не может быть названо истиной, если оно не проходит через математические доказательства.

Весьма благоприятные условия для широкого применения математических методов в различных отраслях науки, техники и культуры открыли быстродействующие математические машины. Эти машины выполняют такие сложнейшие математические операции, как решение систем алгебраических уравнений с сотнями неизвестных, решение дифференциальных уравнений и т. д. Путем испытания большого количества различных вариантов они определяют лучшую форму той или иной технической детали, оптимальные условия эксплуатации того или иного агрегата, наиболее приемлемую конструкцию предполагаемого сооружения. С помощью математических машин производится автоматическое управление доменным процессом, всевозможными процессами в химической, нефтяной и других отраслях промышленности. Анализ тех или иных вопросов производства при помощи этих машин позволяет вскрывать новые резервы производственных мощностей, увеличивать выход продукции, уменьшать себестоимость ее, добиваться экономии сырья. В последнее время многое делается для того, чтобы автоматизировать и такую логическую операцию, как перевод текста с одного языка на другой, что имеет немаловажное значение при нынешнем широком развитии международной информации. Этот перечень, в который включено применение математических машин в различных областях науки, техники, практической деятельности людей, можно было бы продолжить и дальше.

Чтобы математическая машина могла решать все эти задачи, их нужно представить на «понятном» для машины языке. Таким языком является язык цифр. Машина «понимает» вводимую информацию лишь при цифровой записи ее. Решение любой задачи — научно-технической, логической — сводится в машине к совокупности арифметических операций, которые выполняются в арифметическом устройстве машины, причем эти арифметические операции производятся над двоичными (реже над троичными) числами.

В данной брошюре будет рассмотрен «язык» математических машин — системы счисления, которые в них применяются.

Что известно из истории цифр

Под системой счисления подразумевается совокупность приемов наименования и записи чисел. Так как обозначать числа можно разными приемами, то и системы счисления бывают различные.

Самым простым способом записи является изображение каждого предмета отдельным знаком: в этом изображении было бы столько знаков, сколько имеется предметов. Из исторических источников известно, что во время похода персидского царя Дария на скифов отряду греков, которому поручалась охрана моста через Дунай, он передал веревку с завязанными на ней узлами и оставил следующий наказ: развязывать по одному узлу в день и плыть домой, когда все узлы будут развязаны. Таким образом, отряд пользовался самой простой системой счисления, которую можно было бы назвать единичной: каждому дню соответствовал свой узел. Ни на какие разряды здесь число не делится, никаких переходов в высшие разряды не производится.

В глубокой древности запись производилась еще примитивнее. В то время людям были известны только два числительных: один и два. Про большее число предметов тогда говорили просто «много». Используя пальцы одной и обеих рук, люди постепенно научились считать до пяти и десяти, а затем и дальше. Числа тогда записывали не при помощи цифр, а изображали особыми значками — иероглифами. Одним из примеров такой записи является египетская нумерация, которая возникла за 2500—3000 лет до нашей эры. При записи чисел при помощи иероглифов египтяне пользовались единственным принципом — принципом сложения: числа, изображенные рядом стоящими иероглифами, складываются. Подобные системы счисления называются аддитивными (термин происходит от латинского слова additio — сложение).

Интересная система счисления, являющаяся, по существу, тоже аддитивной, сложилась около 2000 лет назад в Древнем Риме. В римской системе счисления для записи натуральных чисел применяются знаки 1, V, X, L, С, D, М и т. д., которые соответственно обозначают один, пять, десять, пятьдесят, сто, пятьсот, тысячу и т. д. Они называются цифрами. При записи чисел пользуются следующими правилами:

— написанные друг за другом одинаковые цифры означают их сумму;

= если большая цифра стоит впереди меньшей, то они складываются;

— если меньшая цифра находится впереди большей, то меньшая вычитается из большей.

Так, запись III означает три, XX — двадцать, VIII — восемь, XII — двенадцать, XL — сорок, ХС — девяносто. Число тысяча девятьсот шестьдесят семь в римской системе счисления записывается так: MCMLXVII. Выполнение арифметических действий над числами, записанными в римской системе, представляет значительную трудность. Неудобны в этой системе также запись и чтение чисел. Поэтому римская система счисления в данное время почти не применяется. Римскими цифрами пользуются лишь для обозначения веков, номеров месяцев и порядковых числительных.

Более совершенными являются алфавитные системы счисления, в которых для обозначения чисел используются буквы алфавита. Так, в славянской нумерации, употреблявшейся в Древней Руси, для записи чисел применялись двадцать семь букв. Эта нумерация позволяла записывать весьма большие числа и более просто выполнять арифметические действия над ними.

Интересный способ записи чисел появился в Древнем Вавилоне (около 2000 лет до нашей эры). Вавилоняне числа изображали при помощи лишь двух знаков: один знак соответствовал единице, другой — десяти. Числа до 59 записывались как комбинации этих знаков по принципу сложения их значений, а число 60 снова изображалось знаком для единицы, но этот знак уже изображал единицу старшего (второго) разряда. Числа до 3599 записывались также по принципу сложения, а число 3600 снова обозначалось знаком для единицы, однако он представлял собой уже единицу очередного старшего (третьего) разряда. Такой же принцип применялся и для записи еще больших чисел.

Цифры в вавилонской нумерации обозначались знаками, напоминающими клинья. Поэтому письменность вавилонян называют клинописью.

Вавилонская нумерация, как и некоторые алфавитные системы, относится к позиционным системам счисления. Остатки этой нумерации сохранились и поныне: круг делится на 360 угловых градусов, градус — на 60 минут, минута на 60 секунд.

В позиционной системе счисления цифра имеет различное значение в зависимости от того, на каком месте в числе она находится. Иначе говоря, значение цифры в числе зависит от позиции, которую она занимает. Поэтому система и называется позиционной. Так, в вавилонской системе одна и та же цифра обозначала 1; 60; 3600 и т. д., находясь соответственно в первом, втором, третьем и так далее разрядах. Количество

Отсюда следует также, что для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную следует разбить цифры двоичного числа на группы по 3 цифры, начиная от конца числа, и каждое полученное таким образом трехзначное число перевести в восьмеричную систему.

При дробном числе разбивку на трехцифровые группы следует производить в ту и другую сторону от запятой. Если последняя группа дробной части числа окажется неполной, ее следует дополнить нулями справа.

Примеры:

1101001110₂= 1 101 001 110₂=1516₈. 10110,11110112=10 НО, 111 101 100₂ = 26,754₈.

Представление чисел в двоично-десятичной записи

Особое место занимает двоично-десятичная запись чисел. Во вводных устройствах электронных вычислительных машин десятичные числа сначала представляются в двоично-десятичной записи, а затем машина уже сама по специальной программе переводит эти числа в двоичную систему счисления.

Двоично-десятичная запись заключается в том, что цифры десятичного числа представляют в двоичной системе. Причем, ввиду того что самая большая цифра десятичной системы в двоичной системе изображается четырехразрядным числом, то в записи любой цифры должно быть четыре знака: 9= 1001₂, 8= 1000₂, 7 = 0111₂, 6 = 0110₂, 0,4 = 0,0100₂ и т. д. Эти группы из четырех цифр называются тетрадами. Число 397,52 в двоично-десятичной записи представляется, например, так: ООП 1001 0111,0101 0010.

Для обратного перевода двоично-десятичного числа в десятичную систему записи необходимо разбить его на тетради в обе стороны от запятой и каждую тетраду отдельно заменить десятичной цифрой.

Так, например, двоично-десятичное число 1100010111,0110100101 представляет собой десятичное число 317,694.

Формы представления чисел в математических машинах

В математических машинах применяются две формы представления чисел: естественная и полулогарифмическая.

В машинах с естественной формой представления чисел последние изображаются в виде последовательности определенного количества цифр с постоянным положением запятой, которая отделяет целую часть чисел от дробной. Например, числа 4-3105,81; 4-0067,19; —2591,00; —0000,74; 4-000,05 представлены в естественной форме. В них запятая поставлена после четвертого знака, считая слева направо. Эта форма представления чисел называется иначе формой с фиксированной запятой.

Диапазон чисел, представляемых в естественной форме, недостаточно велик. Например, при шести разрядах и с запятой после четвертого знака, как это было в приведенных выше примерах, можно представить положительные числа, начиная от 0000,01 и кончая 9999,99.

В полулогарифмической форме число изображается с помощью двух групп цифр. Первая группа, называемая мантиссой, представляет собой последовательность цифр числа. Вторая же группа служит для определения положения запятой и называется порядком. Данная форма представления чисел называется еще нормальной или формой с «плавающей» запятой.

Пусть N есть число, записанное в естественной форме. Оно может быть представлено как W • 10°, где 10 — основание системы счисления. Преобразуем это число так, чтобы абсолютная величина первого сомножителя была меньше единицы. Для этого при |V| ^1 запятую следует перенести на необходимое число разрядов влево, одновременно увеличив показатель степени основания на то же число единиц. Если |Af|< I» то число в таком преобразовании не нуждается.

Итак, имеем: Л' 10°=wt • KFj где tn является мантиссой числа, р-порядком.

Например, число 4- 3105,81, записанное в естественной форме, в полулогарифмической форме может быть представлено так: 4-0,310581.10⁺⁴. Группа цифр 4-310581 представляет собой мантиссу, 4-4 — порядок. В машине число было бы представлено в следующем виде: 4-310581 4-04.

Число может быть представлено в полулогарифмической форме в разном виде. Например, приведенное выше число можно изобразить так: +0,0310581.10⁺⁵; 4-0,00310581.10⁺⁶ и т. д. В первом случае мантиссой является +0310581, порядком — +5; во втором случае ими являются соответственно числа 4-00310581 и 4-6.

Мантисса числа представляет собой всегда правильную дробь, а порядок — целое число.

Нормальное число, т. е. число, выраженное в нормальной форме, называется нормализованным, если первая цифра мантиссы отлична от нуля. Если число УУ=/П’1О^ нормализованное, то

Так, в нашем примере число с мантиссой 4-310581 и порядком 4-4 является нормализованным.

В двоичной системе счисления первая слева цифра мантиссы нормализованного числа представляет собой всегда 1.

Применение полулогарифмической или нормальной формы представления чисел с «плавающей» запятой позволяет значительно расширить диапазон чисел, которыми оперирует машина.

При сложении и вычитании чисел, заданных в полулогарифмической форме, их порядки сначала должны быть выравнены. Так, если нужно сложить числа 4-0,24315.10⁺² и 0,341018.10⁺³, то мантиссу первого числа сначала следует сдвинуть на один разряд вправо, соответственно увеличив порядок его на единицу, т. е. произвести следующее преобразование: 4-0,24315.10⁺²= 4-0,024315.10⁺³. Далее, остается произвести сложение мантисс. Порядком суммы будет общий порядок слагаемых. В результате сложения получится число: 4-0,365333.10+³.

Аналогично производится и вычитание.

При умножении и делении соответствующие действия производятся также над мантиссами, а порядок результата находится следующим образом: при умножении порядки сомножителей складываются, при делении из порядка, делимого вычитается порядок делителя.

Если в результате произведенного действия получится число с мантиссой, представляющей собой неправильную дробь, то это число необходимо привести в нормальную форму путем сдвига мантиссы вправо на необходимое количество разрядов и увеличения порядка на соответствующее количество единиц.

Заключение

Разные народы мира разговаривают, пишут и читают на различных языках. Одну и ту же мысль можно передавать по-русски и по-украински, по-немецки и по-английски, по-французски и по-испански и т. д. Любая речь состоит из слов, которые пишутся при помощи букв соответствующего алфавита. Однако алфавитом может быть не только набор подобных букв, но и система других знаков. В качестве алфавита, например, можно представить совокупность цифр 0, 1, 2, 9. Числа, написанные этими цифрами, можно рассматривать как слова в данном алфавите. Алфавит могут составить знаки 0 и 1. Этот алфавит также позволяет составлять слова. Сущность работы математической машины заключается в переработке информации, выраженной словами при помощи алфавита подобного типа. Слова эти представляют собой не что иное.

как двоичные числа. Такими знаками можно изображать не только то или иное число, но и всевозможные слова, всякую мысль, любое правило. Например, если букву а записать двоичным числом 00001, е — числом 00010, и — 00011, к — 00100, м — 00101, т — 00110, то слово «математика» выразится двоичным числом:

00101000010011000010001010000100110000110010000001.

В введении нами был приведен отрывок из биографии ученого. Но ничего странного в тексте, по существу, нет. Лишь числа в нем даны в непривычной двоичной системе счисления. Если представить их десятичными числами, то текст будет выглядеть так:

«Еще в младших классах средней школы он проявлял себя весьма смышленым мальчиком. С задачами, которые сверстники решали полчаса, он справлялся за какие-нибудь 5—6 минут. Одаренный недюжинным умом и неиссякаемой энергией, этот счастливец окончил вуз на год раньше срока — за 3 года, и в возрасте 20 лет, будучи совсем молодым человеком, возглавил важную научно-исследовательскую лабораторию».

Все стало на место, когда мы перевели цифры в десятичную систему счисления.

В математических машинах двоичная система счисления, как мы отмечали, является основной системой. Но нам известно, что это не единственно возможная машинная система, что например, в математической машине «Сетунь» применяются троичные числа. И хотя кроме двоичной и троичной систем, в машинах производятся операции и над числами записанными в других системах, — десятичной, восьмеричной, хотя в машинах применяется также десятично-двоичная запись чисел, — все они имеют вспомогательное значение. Языком математических машин является прежде всего язык двоичных чисел.