Я. П. ПОНАРИН, кандидат физико-математических наук

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

Об уровне математического развития человека прежде всего судят по его умению решать задачи. Это умение играет основную роль в математическом творчестве. Решение задач —это и есть математика в действии. Задачи могут служить и часто служат началом математической теории. При обучении математике надо постоянно заботиться о том, чтобы решение задач помогало усвоению математической теории и овладение теорией служило решению задач. Хорошо использовать решение задач в обучении математике — это значит прежде всего умело подобрать их. Нужны не просто наборы задач по отдельным разделам школьного курса, а их системы. Задачи должны объединяться в отдельные серии — «кусты». Между задачами одной серии должна быть определенная связь, обеспечивающая более глубокую и разностороннюю разработку некоторой темы, вопроса.

Важен разносторонний подход к задачам. Суть его состоит в том, что из рассматриваемой задачи следует извлекать возможно больше пользы для развития учащихся. Надо стремиться решать преимущественно такие задачи, которые сами содержат факты, полезные при решении следующих задач. Многие задачи школьного курса могут порождать новые интересные и содержательные задачи. Содержательной можно считать ту задачу, которая либо использует математические понятия в конкретной ситуации и тем самым полезна на практике, либо связана с рядом ранее изученных вопросов, либо заключает в себе потенциальную возможность создания новых задач. Особенно много задач такого рода содержится в геометрическом материале. Их решение должно обязательно заканчиваться выводами, ибо задачи решаются не только ради приобретения навыков применения изучаемой теории.

Решение и составление задач учащимися является прекрасным средством вооружения учащихся методом познания учебного предмета, орудием для выработки у них целеустремленного логического мышления, изобретательности и навыка математического исследования.

В математическом творчестве большое значение имеют методы сравнения и аналогии. Значение этих методов было отмечено Кеплером в следующих словах: «Я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты природы, и ими меньше всего следует пренебрегать в Геометрии». История математики полна примеров положительной роли аналогии. Открытие Эйлером связи между тригонометрическими и показательной функциями было навеяно аналогией.

Неправильно думать, будто математические открытия могут делать лишь ученые, а делом обучающихся остается решать готовые, кем-то составленные задачи. Открывать новое, неизвестное могут и должны сами учащиеся. Для этого нужно соответствующим образом вести обучение. Самостоятельно полученный математический факт заинтриговывает учащегося, связывает его престиж первооткрывателя с доказательством этого факта, а потому повышает интерес к изучаемому явлению.

Математика имеет немало возможностей и для эстетического воспитания учащихся. С этой целью надо постоянно обращать их внимание на красоту и изящество математических формул, из которых как из песни «слова не выкинешь», вводить учащихся в мир удивительных закономерностей, в «царство ее величества симметрии».

В качестве примера приведем систему задач, связанных с темами: «Теорема Пифагора», «Теорема косинусов», «Объем пирамиды». Эти задачи взяты из различных малоизвестных источников. Большинство задач приводится с решениями. Они могут восполнить некоторый пробел в нашей учебной литературе.

П. П. ТОЧЕНЫЙ, И, Л. ТОЧЕНАЯ, ст. преподаватели Коми пединститута

О СВЯЗИ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОГРАФИИ С АРИФМЕТИКОЙ В ПЯТОМ КЛАССЕ

Знания учащихся будут более глубокими и осознанными только лишь в том случае, когда будет налажен тесный контакт между учебными дисциплинами (математикой, географией, черчением, рисованием и т. д.) и когда там, где возможно, учитель использует местные конкретные условия.

Однако учитель географии в ряде случаев попросту дублирует материал, изучаемый по другим дисциплинам, в частности, по математике. Это происходит потому, что учитель географии не знает, какие вопросы, имеющие отношение к географии, включены в программу по математике и на которые можно опереться в преподавании начального курса физической географии.

В курсе арифметики изучается:

1.    Тема. «Натуральные числа»—римская нумерация чисел. Метрическая система мер и времени...

2.    Тема. «Обыкновенные дроби»— изображение целых, дробных чисел отрезками и точками... Прямой угол. Понятие о градусе и минуте. Транспортир. Площадь прямоугольника и квадрата. Построение прямоугольных и секторных диаграмм.

Перечисленные выше разделы способствуют лучшему пониманию графического изображения зависимости между величинами; развитию пространственного воображения учащихся; успешному выполнению практических работ и т. д.

Включение в изучение третьей темы («Десятичные дроби») разделов, связанных с нахождением периметра и площади квадрата, прямоугольника, треугольника, нахождение поверхности по готовым данным и по данным, полученным путем непосредственного измерения, способствует успешному изучению разделов, изучаемых в начальном курсе физической географии: съемка местности, масштаб, работа с планом и кар' той и т. д.

При повторении курса арифметики выделены 8 часов для измерительных работ на местности в течение учебного года, что позволяет совместно изучать масштабы, производить глазомерные съемки, работу с планом и картой и т. д.

Программа по арифметике предусматривает обозначение точек и провешивание прямых на местности, измерение, расстояний на местности мерным шнуром, лентой, рулеткой, полевым циркулем, шагами, глазомерная оценка расстояний; эккер, построение прямоугольного участка и вычисление его площади являются наиболее трудным материалом для усвоения и изучения не только по географии, но и по арифметике. Однако учителя арифметики и географии не имеют достаточного контакта при обучении учащихся.

Каким путем эта связь может осуществиться?

В нашей практической работе эта связь осуществляется следующим образом:

1.    Организация совместных практических работ.

2.    Проведение совместных экскурсий.

3.    Обработка материалов, полученных пятиклассниками на занятиях по географии и арифметике.

4.    Использование полученных материалов как на уроках географии, так и на уроках математики.

5.    Привлечение географического материала для решения задач по арифметике как во время изучения нового материала, так и при выполнении домашнего задания.

6.    Выполнение общественно полезных работ и т. д.

Учителя географии и арифметики совместно планируют материал, заранее четко намечают, где, в каком месте и как осуществляется эта связь.

Например, по географии предусматривается организация ежедневных наблюдений над погодой и ведение календаря погоды. Учитель географии разъясняет учащимся задание, указывает на то, что результаты наблюдений над погодой будут обрабатываться

не только на уроках географии, но и на уроках арифметики. Учитель указывает на то, где и в каких разделах будет использован материал наблюдений над погодой.

Учитель арифметики на своих занятиях указывает на значение и важность наблюдения над погодой при изучении устной и письменной нумерации, а также при изучении системы мер и времени. Итак, осуществление тесной связи между географией и арифметикой обеспечивает: во-первых, более глубокое и прочное усвоение учащимися знаний, умений и навыков; во-вторых, более быстрое развитие познавательных способностей учащихся: памяти, мышления, наблюдательности, творческих способностей и т. д.

В настоящей статье мы не имеем возможности рассмотреть все методические приемы, применяемые во время изучения программного материала. По этим же соображениям мы не будем описывать все детали, а остановимся на тех разделах, которые помогут учителю правильно организовать учащихся пятого класса при изучении географии и арифметики в пятом классе.

Практические работы по изучению темы «План и карта» учитель географии и арифметики проводят совместно (уроки сдваиваются). Класс в начале занятий делится на звенья:

а)    звено пикетажников (обозначение точек и провешивание прямых на местности);

б)    звено мерщиков (измерение расстояния на местности).

Оборудование: вешки, колышки, мерные веревки, рулетка, «универсальный нивелир»*.

Работа выполняется по следующему плану:

I.     Провешивание прямой.

а) Отмечаются конечные точки прямой (А, Б) (рис. 1).

* Конструкция и методика работы с прибором описана в статье П. Точеного «Универсальный нивелир» (журнал «География в школе», № 3, 1962 г.).

одинаковые во всех бригадах. После подведения итогов учащиеся меняются измерительными приборами» приступают к измерению пришкольного участка. Результаты измерений записываются в журнал.

Эту же практическую работу можно провести по- иному, объединив определение длины своего шага с закреплением знаний в определении основных и промежуточных сторон горизонта.

Приведем в качестве примера практическую работу, выполненную ученицей восьмилетней школы.

Тема. «Определение длины шага». Ход работы: а) пройти вдоль прямой 3—4 раза, считая количество шагов; б) найти среднее арифметическое числа шагов 194-20 + 21=60 шагов. 60 : 3=20 шагов; в) определить длину шага. 1) расстояние 12 м. 2) Число шагов 20. 1200 см -20 = 60 см. Длина шага равна 60 см. Из приведенного примера видно, что ученица вполне успешно справилась с заданием.

Изучение темы «Формы поверхности суши» ведется также на базе местного материала. В окрестностях любой школы имеются и равнинные и возвышенные участки, на примере которых можно изучить холмы, равнины. На географической площадке или на муляжах можно сравнить холм с горой, а равнинную низменную местность с высокогорными плато.

Измерительные работы, проводимые на местности при помощи школьного «универсального нивелира», позволяют измерить и сравнить высоты положительных и отрицательных форм рельефа.

Рассмотрим на примере, как надо определять относительную высоту на местности с помощью «универсального нивелира».

Выполняя работу по определению относительной высоты, по составлению профилей, пятиклассники укрепляют полученные ими в предыдущей теме практические умения и навыки и приобретают новые сведения уже не по горизонтальной, а вертикальной съемке.

Совместно с учителем арифметики производилось определение относительной высоты левого берега реки и составление профиля на основе полученных данных. 108

Порядок выполнения задания.

Учащимся было предложено:

1.    Составить список необходимого оборудования для определения относительной высоты.

2.    Подготовить школьный «универсальный нивелир» для определения относительной высоты левого берега реки. Показать его звеньевому и учителю.

3.    Выбрать место, где будут определять относительную высоту, провести прямую линию под углом 90° к направлению течения реки (линия измерения высоты).

4.    Составить форму журнала для записей превышений и горизонтальных расстояний.

5.    Замерить относительную высоту и горизонтальное расстояние, записать их в журнал.

6.    Вычислить относительную высоту и расстояние от уреза воды в реке до высшей точки, расположенной на правом берегу реки.

7.    Выбрав горизонтальный и вертикальный масштаб, вычертить профиль левого берега реки.

8.           Дать описание приречной низменности.

Учащиеся под руководством звеньевых и под контролем учителя географии и арифметики выполняют по намеченному плану работу и сдают отчеты для проверки.

Учителю географии и арифметики очень часто приходится соприкасаться на занятиях с числовым материалом. Пятиклассники тверже и быстрее усваивают цифровые показатели в том случае, когда изучение сопровождается иллюстрациями, графиками, диаграммами и т. д., построенными на основе местных данных. Но прежде всего ученики должны твердо Знать, что такое диаграмма, какие виды диаграмм бывают, как ими пользоваться, для чего они необходимы. Учитель географии не располагает для этого достаточным количеством времени, но он может дать необходимые цифровые данные учителю арифметики, который использует их на уроке.

При построении линейной диаграммы учитель указывает расстояние в масштабе и поясняет, что эта

шает полный оборот около своей оси. Между этими двумя единицами измерения существует такая связь: простой год содержит 365 суток, а високосный год — 366 суток. Сутки содержат 24 часа, час — 60 минут, минута — 60 секунд (И. П. Шевченко. Арифметика, стр. 64—65).

На уроках географии аналогичные сведения сообщаются при изучении раздела «Смена времен года».

Из данного примера видно, что и на уроках географии, и на уроках арифметики изучаются одни и те же вопросы, совместное изучение которых способствует более глубокому продуманному усвоению изучаемого материала.

В ныне действующих программах по географии и математике и в особенности в новых проектах программ для средней школы особое место уделяется меж предметным связям. Изучение элементов математической географии во многом облегчится в дальнейшем тем, что в математике значительно раньше будут даваться знания о масштабе, градусе, проценте, координатной сетке и пр. Опираясь на знания по арифметике, учащиеся легче усвоят понятия об абсолютной высоте, сумеют вычислить не только сезонные, но и многолетние данные по наблюдениям над элементами погоды, смогут понять материал о насыщенности воздуха водяными парами, о солености вод мирового океана и т. п.

Переход к более активному осуществлению связи школы с жизнью, ознакомление пятиклассников с научными методами требует от всех работников народного образования коренного улучшения учебно-воспитательной работы, поднятия ее на более совершенную ступень. В решении этих задач видное место принадлежит применению краеведческого принципа, который следует рассматривать как своеобразный центр (основу), вокруг которого строится изучение географического материала. На базе познания родного края возможно сознательное усвоение учащимися основных географических понятий, предусмотренных программой.