ПРЕДИСЛОВИЕ

Тысячи учителей математики добиваются полной успеваемости учащихся при хорошем усвоении программного материала. Многие из них успешно работают над вопросами методики и дидактики преподавания, над вопросами воспитания у учащихся советского патриотизма и чувства национальной гордости.

Но среди учителей математики имеются и такие, которые не идут вровень с требованиями нашей школы. Успеваемость учащихся по математике в ряде школ Тульской области еще мало удовлетворительна, знания недостаточно прочны, отсутствует точность определений, доказательств и т. д.

Статья старшего преподавателя Тульского педагогического института В. М. Панченко посвящена вопросам строгой логики в определениях и доказательствах. В ней говорится о формировании и классификации математических понятий, точных определениях и математических доказательствах. Она поможет молодому учителю математики предупредить ошибки в изложении определений и доказательств.

Много лет работает заведующий учебной частью Н. А. Тихомиров. Свою статью он посвящает вопросу предупреждения неуспеваемости по математике. Мужская средняя школа № 4, где работает тов. Тихомиров Н. А., благодаря хорошему руководству со стороны администрации и слаженной работе коллектива, из года в год добивается высокой, почти полной успеваемости учащихся. В школе принимают все меры для предупреждения неуспеваемости, дополнительные занятия ведут только с одиночками. Статья Н. А. Тихомирова обобщает опыт работы всего коллектива данной школы по предупреждению неуспеваемости.

Трудный вопрос по исследованию уравнений разбирает в своей статье старший преподаватель Тульского Суворовского училища И. И. Гайдуков. Кроме статьи в журнале „Математика в школе“ (1941 г.), подробного разбора этого вопроса в литературе нет. Поэтому эта статья послужит хорошим пособием для учителя. В статье помещен ряд задач для исследования.

О культурно-исторической ценности математики и ведущей роли в развитии ее выдающихся математиков нашей Родины, об увязке истории с программным материалом на уроках математики и в кружковой работе обстоятельно рассказывается в статье учительницы Яснополянской средней школы 3. М. Преображенской. В доходчивой форме она делится опытом своей работы по выполнению объяснительной записки к программе о воспитании советского патриотизма у учащихся. Важность этой статьи возрастает потому, что не все еще учителя выполняют указания объяснительной записки и не используют в своей работе исторических материалов в воспитательных целях.

В качестве воспитательного момента 3. М. Преображенская указывает на необходимость и возможность такой работы.

Г. Д. Воздвиженский, заведующий кабинетом математики Института усовершенствования учителей.

В. М. Панченко, кандидат педагогических наук, старший преподаватель Тульского педагогического института

Развитие логического мышления на уроках математики в школе

Правильное логическое мышление является одним из необходимых свойств человеческого сознания. Но это свойство носит потенциальный характер и нуждается в специальном развитии. Задача развития логического мышления учащихся возлагается на учителя каждого предмета. Особенно велика ответственность в этом деле преподавателей математики, весь материал которой решающим образом зависит от логических рассуждений. Иначе говоря, в курсе математики мы имеем дело с оперативным применением логических методов, которые учащиеся усваивают на материале урока.

В этом отношении особое значение имеет раскрытие основных математических идей и понятий, правильная их классификация, образование верных определений, а также методы математических доказательств.

Но в своей практической работе некоторые учителя математики недооценивают этих важнейших элементов преподавания. Вместо раскрытия каждого нового понятия, они ограничиваются простым ознакомлением с ним; определения, как высшую форму суждения, подменяют нестрогими логическими формами; на четкость своих рассуждений и рассуждений учащихся, а также на записи при доказательствах не обращают серьезного внимания. Все это снижает качество уроков и знания учащихся.

Причина этих ошибок и недостатков коренится в том, что

некоторые учителя сами не четко представляют логическую природу математических суждений.

Настоящая статья и имеет своей целью помочь учителю, особенно молодому, усилить логическую сторону в преподавании математики в средней школе.

Сущность математических понятий

Когда мы упоминаем тот или иной раздел школьной математики, в нашем сознании возникает своеобразный мир идей и понятий, которые, с одной стороны, конкретны, так как применимы к отдельным предметам окружающей действительности, а с другой стороны, абстрактны, так как выражают свойства целой совокупности предметов, без учета их индивидуальных свойств. Так, например, свойство суммы, не изменяющейся при перестановке слагаемых, применимо и к сложению конкретных и к сложению абстрактных объектов.

Рассуждаем ли мы о сложении чисел, извлечении корня, о прямых линиях, о геометрических телах, о многочленах или тригонометрических функциях и т. д., мы приписываем им определенные свойства. Но возникает вопрос: где и в каком смысле существуют эти объекты мысли в таком виде, в каком мы их изучаем в школе? Каково их отношение к материальной действительности? Ведь самые точные приборы допускают погрешность. Нельзя в материальной действительности указать ни прямой, ни треугольника, сумма углов которого равнялась бы 180°. Но тогда что же мы изучаем в школьной математике? Как будто творение нашего мышления чуждо материальному миру. Но мы повседневно убеждаемся, что свойства, выведенные из этих „нематериальных" объектов, например, свойства сторон прямоугольного треугольника, выраженные теоремой Пифагора, с непреодолимой силой подчиняют себе природу, становятся незаменимым орудием в человеческой деятельности. Можно в чем угодно усомниться, но только не в том, что площадь прямоугольника равна произведению чисел, измеряющих основание и высоту. Тогда что же представляют собою эти нематериальные математические понятия, если они в материи оживают?

Исчерпывающий, научно-обоснованный ответ на вопрос о природе идей и понятий математики дал И. В. Сталин в своих новых работах по вопросам языкознания, касаясь геометрии.

„ . Грамматика напоминает геометрию, — указывает И. В. Сталин, — которая даёт свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы, как тела, лишённые конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения каких-то конкретных предметов, а как отношения тел вообще, лишённые всякой конкретности". (И. Сталин, Относительно марксизма в языкознании, 1950 г., стр. 21—22.)

Плодотворность этих сталинских методологических указаний исключительно велика. Здесь в сжатой форме сформулирована суть, специфика предмета математики. И состоит эта специфика в том, что математические понятия, их система отражают свойства и отношения не конкретных предметов, а предметов вообще, лишенных конкретности, что в системе математических понятий выражаются отношения не конкретных предметов, а отношения тел вообще, лишенных конкретности.

Разумеется, что понятия и законы математики, полученные таким образом, отражают лишь существенные, основные признаки рассматриваемых объектов. В отличие от восприятий и представлений, понятия лишены наглядности, они являются результатом обобщения большого количества однородных предметов и явлений. Поэтому понятия, с которыми мы имеем дело в школе на уроках математики, представляют собой результат многовековой человеческой практики. Они образовались в результате многократных повторений, сходных признаков и представлений.

„ . Практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом". (В. И. Ленин, Философские тетради, 1947 г., стр. 164.) Подобно этим логическим фигурам образовались и понятия математики: числа, фигуры и др.

В каждом понятии различают содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность его основных признаков, а объем понятия образует совокупность всех объектов, на которые распространяется, которые охватывает данное понятие.

Например, в содержание понятия „параллелограмм" входят следующие признаки: плоский четырехугольник, противоположные стороны равны и параллельны между собой, диагонали в точке пересечения делятся пополам и др.

В объем же этого понятия входят все четырехугольники, которым присущи признаки параллелограмма. Между объемом и содержанием понятия существует зависимость „обратного отношения" чем шире содержание, тем уже объем и, наоборот, чем уже содержание, тем шире объем. Так, объем понятия

„прямоугольник" уже объема понятия „параллелограмм", так как первое понятие охватывает меньший круг четырехугольников, чем второе понятие. Содержание же понятия „прямоугольник" шире понятия „параллелограмм", так как прямоугольник имеет, кроме признаков параллелограмма, еще и дополнительный — равенство всех углов.

Приписывание понятию нового признака суживает его объем, или, говорят, ограничивает понятие, делает его менее общим понятием. Отбрасывание же признаков данного понятия расширяет его объем, делает его более общим, в этом случае говорят: понятие обобщается на более широкий круг объектов.

С такого рода логическими приемами обобщения и ограничения понятий имеет дело учитель на уроках математики. Пример. Учитель начинает объяснять, что такое ромб. Он может начать объяснение с напоминания о четырехугольнике, затем ввести в понятие „четырехугольник" признак параллельности его противоположных сторон, свойственный параллелограмму. Введение этого признака сужает объем понятия, ограничивает его, тем самым получается новое понятие с меньшим объемом—понятие „параллелограмм". Далее, вводя в понятие „параллелограмм" признаки ромба—равенство всех сторон, учитель тем самым получает новое понятие, объем которого еще уже.

В процессе ограничения понятия мы постепенно переходим от более общих к менее общим понятиям. Этим приемом мы пользуемся в случаях: когда раскрываем содержание какого- либо понятия, на основе уже известного, более общего, и тогда, когда необходимо уточнить содержание понятия, выяснить, к какому кругу объектов относится данное понятие.

Процесс ограничения понятия не может продолжаться бесконечно. Переходя от более общих понятий к менее общим, мы приходим к понятиям, которые являются предельно узкими, относятся лишь к единичным, индивидуальным объектам. Так, например, при ограничении понятия „четырехугольник" дальнейшее ограничение понятия „квадрат" невозможно.

В процессе же обобщения понятия мы получаем понятия, круг объектов которых все время увеличивается. В математике в результате такого расширения объема понятия мы приходим к понятиям предельно широким по объему и выражающим наиболее общие свойства изучаемых предметов. Эго будут основные понятия науки, они не подлежат обобщению.