Но тогда «загадку Эйнштейна» следует перефразировать так: «Может, ли современная: математика открыть основу вещей эффективнее прежней, если она развивается о условиях меньшего непосредственного контакта с вещами, чем прежняя математика?»

Сейчас мы покажем, что ответ на поставленный таким образом вопрос должен быть такой: да, может. Более того, современная математика отличается от предшествующей именно тем, что она приспособлена для открытия, объяснения,' исследования (короче, для отражения) как раз основы вещей, в то время как раньше математика зачастую отражала поверхностные свойства вещей.

Древнегреческая геометрия и ньютоновский анализ, так сказать, подражали вещам. Интерпретация понятий в этих науках была сама собой разумеющейся. Фигуры евклидовой плоскости и евклидового трехмерного пространства были копиями видимых. предметов. Производная, была копией, такого видимого свойства движения, как скорость. Интеграл был копией площадей и объемов зримых объектов. Такое прямое сопоставление принесло огромную практическую пользу, помогло решить массу численных задач на, отыскание траекторий движущихся тел, оптимальных конфигураций, площадей, объемов, моментов инерции и т. д. Но самые важные свойства вещей оказались все же запрятанными глубже, чем то, что доступно глазу и другим органам наших чувств. Легче всего это пояснить иллюстрацией, взятой из физики.

Начиная с конца , прошлого века ученые интенсивно изучали поведение атомных объектов. И довольно скоро выяснилось, что все попытки применить к их движению те же самые законы, которые описывают движение «больших» тел, фатально обречены на неудачу. Только в 2Q-X годах нашего столетия физики, наконец, отказались от привычного образа мышления и смирились с тем, что наши чувственные впечатления, на основе которых складывается наш «здравый смысл», могут и даже должны нас подводить, ибо они имеют дело лишь с одним из проявлений материи, лишь со вполне определенными пространственными и временными масштабами. Было установлено, что поведение маленьких частиц материи описывается так называемым «уравнением Шредингера». Но его решением, то есть функцией, ему удовлетворяющей, является не траектория самой частицы, а некая комплексная (содержащая —-«мнимую» единицу) функция, кото

рая связана с наблюдаемой частицей так: произведение этой функции на ей сопряженную (сопряженными называются два комплексных числа а + Ы и а—Ы) дает плотность вероятности нахождения частицы в данном месте пространства в данный момент времени. Согласитесь, что связь между основным теоретическим понятием физики (комплексная функция) и наблюдаемым явлением (частица) здесь отнюдь не прямая. По-., этому мы и можем сказать, что тайны вещей лежат в более, глубинном слое, чем видимые свойства вещей.

Однако как в таком случае отыскать, обнаружить эти столь глубоко скрытые, замаскированные фундаментальные свойства материи, относительно которых наша чувственная интуиция ничего нам не может подсказать? Конечно, тут нельзя дать никаких рецептов, кроме самого простого: нужно терпеливо и упорно искать и пробовать. Но это должны де^ лать не математики, а физики и другие естественники. Разделение Труда между создателем математического аппарата и. его интерпретатором, которого не было во время Ньютона, - сейчас стало нормой научной жизни. Оно возникло по двум основным причинам. Чтобы найти удачную интерпретацию математических понятия на языке понятии физики, нужно очень хорошо знать физические явления, чувствовать их, понимать, какие из явлений существенны, свойственны многим формам, а какие, скорее всего, случайны. Для приобретения такого знания нужно постоянно заниматься физикой, но, встав на путь углубленного изучения физического мира, человек не может настолько глубоко вникнуть в проблемы математики, насколько это требуется для внесения вклада в развитие внутри математических проблем. Математик же, как правило, бывает настолько увлечен внутренними проблемами своей науки/ Что не имеет никакого желания отрываться от них ради естественных наук.

Что же остается на долю математика, если он по тем или иным причинам устранен от непосредственного вмешательства в создание физики? Конечно, создание математической- науки в ее чистом, отвлеченном виде. Но где гарантия, что она не превратится в условную структуру, вроде правил игры в шахматы, ничему практически важному служить не способной?

Вот здесь мы подошли к главному пункту. Несмотря на то, что секреты поведения вещей, как сейчас признано всеми учетными, скрыты достаточно глубоко, оказалось, что вещи ведут себя значительно более последовательно и закономерно, чем можно предположить на основании чувственного наблюдения. Первым важным доводом в пользу такого убеждения было открытие и подробная формулировка всеобщего закона сохранения энергии. Затем последовали почти подряд два триумфа человеческой мысли, стремящейся найти порядок в окружающих явлениях: были созданы теории относительности и квантовая механика.

На какой-то момент из-за неуловимости нейтрино возникли отдельные сомнения в универсальности закона сохранения энергии, но вот уже полтора десятилетия назад они рассеялись, и сейчас ученые уверены в справедливости этого закона.,

больше, чем когда-либо раньше. К нему прибавились в дальнейшем такие универсальные законы, как сохранение спинового числа, сохранение барионного заряда, сохранение комбинированной четности. Релятивистская механика, воспринимавшаяся некоторыми физиками в период ее создания как красивая игрушка, ежедневно и ежеминутно неукоснительно^ подтверждается на десятках ускорителей всех частей света. Получила новые веские подтверждения и общая теория относительности. Бурно развивающаяся сейчас теоретическая генетика с помощью мощной экспериментальной техники все' решительнее включает живую материю в общую картину детерминированного и закономерного поведения объективной реальности. Кибернетика делает первые успешные попытки включить в эту картину и мыслящую материю. Вопреки всем, стараниям недобросовестных любителей сенсаций и сбитых с толку журналистов, всевозможные «таинственные», «не укладывающиеся в рамки науки» явления типа летающих блюдец и телекинеза неизменно оказываются разоблаченными. Никакого индетерминизма, то есть нарушения причинности, в поведении материи обнаружить не удалось.

Значит ли это, что был прав Лаплас? Разумеется, нет. Его* метафизический детерминизм, основанный на вере в универсальность дифференциальных уравнений, был ошибочным. Наука пришла сейчас к более высокому уровню детерминистической концепции. Материя управляется четкими законами, но математическая структура этих законов «не похожа» на те свойства объектов, которые доступны нашим чувствам. Иначе говоря, фундаментальные свойства материи связаные с ее наблюдаемыми свойствами более косвенной связью, чем считали Ньютон и Лаплас. Кроме того, детерминизм в микромире имеет, как выяснилось, статистический характер. Все оказалось сложнее и интереснее, чем можно было предположить раньше.

Определенность и детерминированность поведения реальности, а также непрямой характер связи между явлениями и- их сущностью подсказывает единственный в данных условиях эффективный путь исследования реальности. Следует выделить несколько четких свойств объектов, отделить их от всех других свойств, а затем с помощью строгой логики, отражающей детерминизм внешнего мира, вывести из них множество производных свойств. Действуя таким образом, мы> как бы промоделируем поведение материи, ухватившись в построении нашей модели за некоторые ее черты.

Ясно, что успех такого метода зависит от двух условий: насколько удачно мы выберем отправные черты поведения модели и насколько строго и четко мы проведем дальнейшее- построение. Как лучше всего выполнить первое условие —• никто наперед сказать не может. Здесь помогает и интуиция и философские воззрения, сформулированные на естественном языке, и смежные науки. Короче говоря, здесь работают все те каналы, которые были нами рассмотрены выше, связывающие реальный мир с миром математических идей. Такими каналы, как мы знаем, стали более узкими чем раньше, но это-то оказывается очень ценным. «Полупроницаемость» границы, отделяющей математику от естествознания и от чувственных впечатлений, оказывает гораздо большую пользу, чем оказывала «открытость» этой границы двести лет назад.

Математические конструкции в силу своей относительной изолированности приобретают стабильность, обработанность, завершенность. Некоторая инерционность, связанная с предпочтением внутренних критериев внешним, не позволяет математике- мгновенно реагировать на любое обнаруженное явление, на всякий наблюдаемый феномен, что очень хорошо — ведь явление может оказаться несущественным или попросту быть ошибкой эксперимента, а ради него будет произведена перестройка развитого аппарата.

С другой стороны, если накапливается достаточно много физических явлений, не укладывающихся в рамки старых теорий, парадоксальность ситуации неизбежно проникает в мышление ученых, в философию и оказывает неизбежное давление на математическую проблематику. Тут уж математика начинает искать новые модели, но теперь эти поиски становятся полностью обоснованными и работа делается наверняка.

Узость каналов полезна еще и потому, что вследствие нее математик^ ухитряется избежать влияния внешней стороны, не поддаться соблазну заниматься видимой стороной вместо глубинной, существенной. Правда, математик не знает заранее, в чем состоит существо процесса или вещи, но он по ^крайней мере избегает наиболее «естественной» ошибки.

Что касается второго условия, то методика его выполнения известна, и она прочно усвоена современной математикой. Исследуя поведение математических символов, забудь о всех -посторонних вещах, проверяй безукоризненность структуры, ее компактность, замкнутость, непротиворечивость, ищи пути придания ей еще большего совершенства, изящества, красоты — вот первая заповедь математика.

Как мы уже говорили, математик, оставаясь человеком, думающим на своем родном языке и полным самых разнообразных жизненных, литературных и научных впечатлений, не может полностью освободиться от непроизвольных ассоциаций, не может контролировать источники своего вдохновения. Но он может соблюдать определенные формальные правила работы с математическими символами, и он соблюдает их. А правила эти таковы, будто математические символы ни с чем, отличным от них, не связаны и «живут собственной жизнью», как выразился Генрих Герц. Только при таком сосредоточении мышления на собственно математических проблемах на стадии развития уже заложенной теории можно сделать теорию логически правильной и надеяться, что при подходящей интерпретации она сможет отразить какие-то стороны детерминированной объективной действительности.

Важнейшим средством, обеспечивающим необходимое сосредоточение, является придание математическим понятиям высокой степени абстрактности. Такая абстрактность — не роскошь для математика, а первейшая практическая потребность. Диалектика тут заключается в том, что чем более абстрактным является рассматриваемое математическое понятие, тем более конкретным оказывается поведение обозначающего его символа. Вспомним пример с группами. Формальные операции с подстановками довольно громоздки. Мы, правда, не выполняли их, но читатель может это легко представить, так как даже запись самих подстановок не слишком удобна. Еще в большей степени это относится к другим представлениям этой же абстрактной группы. Зато сама абстрактная группа, определяемая исключительно таблицей умножения и ничем другим, ведет себя чрезвычайно просто, понятно, а значит и конкретно.

Такая обратная взаимосвязь между конкретностью понятия и конкретностью символа совершенно неизбежна. В самом деле, если понятие конкретно в содержательном смысле, значит оно тесно связано с каким-то реальным предметом или с группой предметов, предмет же обладает индивидуальными свойствами, определенной неповторимостью, и это будет сказываться в наложении на поведение символа массы ограничений и условий, свойственных не символу самому по себе, а той сущности, которую он представляет. Значит, поведение символа с точки зрения формально-аппаратной будет сложным и требующим системы абстрактных регуляционных правил. Иное дело, если понятие стоит на лестнице абстракций очень высоко. Тогда оно имеет мало свойств, поскольку в процессе абстракции от большинства свойств мы отвлеклись, и символ будет вести себя просто; правила, регулирующие обращение с ним, с аппаратной точки зрения окажутся весьма конкретными. В этом диалектическом законе и заключен секрет неуклонного повышения абстрактности математики.

Работая с формальными структурами, математик начинает воспринимать их как самостоятельные и предпринимать все возможное, чтобы упростить и конкретизировать их поведение. Такой цели он достигает лишая понятие конкретности, что, в свою очередь, приводит к увеличению возможностей математики быть средством отражения действительности, так как обеспечивает логичность ее структуры, а тем самым, и вероятность подобия этой структуры «логичным» по своей природе материальным процессам.

Вырабатывая аксиоматико-логическую структуру, математик действует не произвольно, не как изобретатель игры, а руководствуясь всем философским и естественнонаучным духом своего времени. Он скорее «делает вид», что его не интересует реальность, чем на самом деле пренебрегает ею; о» уходит от мелочного ее копирования ради простоты , и изящества. Но как раз простота и изящество, то есть логическая строгость и конкретность формального аппарата, оказываются наиболее ценными свойствами конструкции, когда физии или другой ученый, занимающийся природой, изобретает интерпретацию. Общая криволинейная геометрия стройнее и с формальной точки зрения совершеннее, чем любая специальная геометрия, поэтому интерпретация, данная ей Эйнштейном, позволила объяснить универсальные свойства материи. Физические понятия, участвующие в этой интерпретации, получились очень абстрактными («четырехмерный пространственно-временной интервал» и т. д.), зато математическая конструкция, лежащая в ее основе, оказалась весьма конкретной.

Как раз об этом говорил В. И. Ленин, указывая, что научные абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. В «Философских тетрадях» есть фраза, имеющая самое прямое отношение к нашему предмету: «Движение познания к объекту всегда может идти лишь диалектически: отойти, чтобы вернее попасть».

Вне математическое познание мира

Если математическая конструкция достаточно совершенна с формальной стороны, то можно не сомневаться, что когда-нибудь для нее найдется естественнонаучная интерпретация. Ведь эта конструкция возводится на небольшом числе аксиом, а в многообразной объективной действительности всегда можно отыскать такие аспекты, которые управляются законами, по своей форме совпадающими с данными аксиомами, конечно, не все аспекты одинаково важны, но их важность относительна — она меняется со временем. Поэтому можно сказать, что всякое достижение в математике служит увеличению человеческого познания. Математика является, таким образом, исключительно могущественным средством раскрытия тайн природы.

Но представляет ли- она собой единственное средство познания? Отнюдь, нет. Она не может быть таковым уже потому, что, как мы знаем, рассматривает лишь понятия с фиксированным значением. Но всякий из нас знает, что ориентировка в окружающем мире была бы невозможной, если бы наше

му интеллекту были доступны только такие понятия. Часто мы принципиально не можем дать чему-то однозначную характеристику.

Математический язык не способен отразить в своих конструкциях очень многих важных объектов реального мира— внутренне противоречивых явлений, будущих событий с неопределенней областью возможных исходов, акта самонаблюдения, процессов высокой сложности, содержащих большое число не пренебрегаемых факторов и т. д. Важнейшее орудие познания —диалектическая логика — выходит далеко за рамки математической логики. Иногда думают, что можно расширить познавательные возможности математики развитием более гибкой логики. Возможно,’ это и так, но пока разработка многозначной логики, в которой кроме значений «истинно» и «ложно» есть и другие значения истинности, в практическом отношении ничего не дала, и пока не ясно, сможет ли дать.

Эта давно известная ограниченность познавательной способности математики и точной науки вообще с большой охотой используется представителями реакционных философских течений. Развивая идеи Шопенгауэра (1788—1860), Кьеркегора (1813—1855), Ницше (1844—1900), Бергсона (1859—1941) и Гуссерля (1859—1938), эти философы считают человеческий разум бессильным перед тайнами жизни, и более ценным, чем разум, орудием познания провозглашают чувство. Наиболее влиятельной группой этого направления являются сейчас экзистенциалисты, в лагере которых, в частности, находился знаменитый французский писатель Альбер Камю (1913—1960). Их платформу кратко можно описать так: научная мысль не способна понять даже мертвую природу, не говоря уже о социальных явлениях; самое большее, что ей доступно — выработка практически полезных правил ориентировки в физическом мире. Настоящее же познание, истинная мудрость доставляется исключительно личным переживанием, поэтому людям, утверждают они, следует не объединяться, а разъединяться, углубляться в себя и изучать свои ощущения.

Мы не будем говорить здесь о социальных корнях философии экзистенциализма (которые, кстати, видны довольно ясно). Для нас сейчас (важно, что она опирается на тот, несомненно, имеющий место факт, что существует и иногда имеет очень важное значение синтетическое познание, которое в наиболее яркой своей форме выглядит как. «озарение», то есть приходит мгновенно и является полным и окончательным. Математики вовсе не отрицают важности такой формы познания. В частности его признавал Герман Вейль. Но разница в позиции между учеными и экзистенциалистами состоит в том, что первые считают такое познание результатом длительной предварительной работы разума и, с другой стороны, материалом для последующей деятельности разума, в

то время как вторые рассматривают его не только как не зависящее от интеллектуальной работы, но и как враждебное^ противостоящее ей. Озарение экзистенциалистов не есть звено в целеустремленной упорной деятельности мышления, используемое мышлением в интересах получения более цельного знания, а есть мистическое вдохновение, вызываемое огромным напряжением воли, являющееся конечной целью и ничему другому, кроме себя, не служащее.

Конечно, убедить в силе разума того, кто не привык им.- пользоваться, довольно трудно. Но в лагерь модного сейчас- экзистенциализма попадают и люди с продуктивным творческим умом. Это легко объяснить, если учесть, что в подавляющем большинстве такие люди принадлежат не к научной, а к художественной интеллигенции. Прекрасно зная из собственного опыта, что существует вне математическое познание мира и некритически приняв утверждение, будто разум* тождествен математическому образу мысли, они оказываются, как бы вынужденными принять основное положение экзистенциалистов.

Совершенно неправильно отождествлять всю интеллектуальную работу с математической работой. Познание мира происходит многими способами. Но во всех случаях оно опирается на мышление, а мышление, в свою очередь, невозможно без определенной знаковой системы. Самой мощной системой такого рода является естественный язык. Он фиксирует и передает от человека к человеку и такие идеи, которые не могут быть выражены на языке математики. На основе естественного языка развились такие формы познания мира, как философия и литература. Он умеет оперировать с само противоречивыми, сложными и многозначными понятиями. Знаменитый физик Луи де Бройль сказал о нем так: «Лишь обычный язык, поскольку он более глубок, более богат оттенками и более емок, при всей своей относительной неточности по сравнению со строгим символическим языком, позволяет формулировать истинно новые идеи и оправдывать их введение путем наводящих соображений или аналогий».

Другой мощной знаковой системой является язык искусства. Но в любой своей форме познание должно быть кумулятивным, способным к накоплению. Без этого условия не будет никакого поступательного развития человеческой культуры, и она распадется на несвязанные друг с другом ощущения индивидуумов. Озарение, чувство, интуиция только тогда имеют познавательное значение, когда они служат подножьем разума, когда полученную с их помощью, идею можно оформить в знаковой системе и сохранить. Ощущения, полученные в полубредовом состоянии, в момент перехода ко сну или под действием наркотиков не имеют никакой познавательной ценности, так как не только не могут быть сообщены

другим, но даже не всегда могут быть вызваны второй раз тем, кто их переживает. Поэтому ограниченность способности математики отражать реальную действительность не может быть аргументом в пользу антиинтеллектуализма.

Математические методы познания приложимы лишь к определенной области объективной действительности. Но в этой области они являются исключительно эффективными. Недаром в Директивах XXIV съезда КПСС по пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1971—1975 годы говорится. о необходимости обеспечить в новом пятилетии «дальнейшую разработку проблем теоретической и прикладной математики и кибернетики для более широкого применения в народном хозяйстве математических методов и электронно-вычислительной техники».

Современная математическая наука развивается такими темпами, что в самом близком будущем, несомненно, станет одним из важнейших вспомогательных средств решения многочисленных проблем, стоящих перед развивающимся человечеством.

Литература

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., Физматгиз, 1963.

Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. М., Физматгиз, 1959.

Гнеденко Б. В. В. И. Ленин й методологические проблемы математики. М., «Знание», 1970.

Иваницкий В. Математика и мировоззрение. — «Наука и религия», 1970,1№ 2.

Иве Г., Н ь ю с о м К. В. О математической логике и философии математики. М., «Знание», 1,968.

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. R трех томах. Под ред. А. П. Юшкевича. М., «Наука», 1970.

Колмогоров А. Н. Математика. — БСЭ, изд. 2-е, т. 26.

Кольман Э. Предмет и метод современной математики. М., 1936.

Математики о математике. Сборник статей. М., «Знание», 1967.

Петров Ю. А. Логические проблемы абстрактной бесконечности и осуществимости. М., 1968.

Руза вин Г. И. О природе математического знания. М., «Мысль»,. 1968.

Сойер У. Прелюдия к математике. М., «Просвещение», 1965.

Тростников В. Н. Всемирный конгресс математиков в Москве. М.^ «Знание», 1-967.

Ц е й т е н И. Г. История математики в древности и в средние века. М.—Л., 1938.

Яглом И. М. Герман Вейль. (1885—19551. М.» «Знание», 1967.