Глава IV. Извлечение корня.

• 12. Понятие о квадратном корне 42
• 13. Извлечение квадратного корня из целых чисел. 45
• 14. Извлечение квадратного корня из десятичных чисел. 52
• 15. Приближенное извлечение квадратного корня 55
• 16. Нахождение квадратных корней при помощи таблицы 59
• 17. Понятие о кубическом корне 61

Глава V. Преобразование иррациональных выражений.

• 18. Предварительные замечания. 63
• 19. Извлечение квадратного корня из произведения 64
• 20. Извлечение квадратного корня из дроби 67
• 21. Вынесение множителей из-под знака корня 68
• 22. Уничтожение иррациональности в знаменателе . 71
• 23. Введение множителей под радикал 73

Глава VI. Квадратные уравнения.

• 24. Понятие о квадратном уравнении. 75
• 25. Решение неполных квадратных уравнений. 76
• 26. Решение квадратных уравнений вида х²-|- xp-\-q — Q 81
• 27. Решение квадратных уравнений общего вида ах² вх с = 0. 83
• 28. Замечания, касающиеся техники решения квадратных уравнений. 86
• 29. Случай невозможности решения и случай равенства корней квадратного уравнения 88
• 30. Сумма и произведение корней квадратного уравнения 89
• 31. Составление квадратных уравнений 91

Глава I.

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРОБНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ.

В главе четвертой выпуска первого было показано, как производить действия над алгебраическими дробями, у которых знаменатели одночлены. В этой главе мы займемся главном образом изучением действий над алгебраическими дробями, имеющими многочленные знаменатели.

К таким дробям между прочим нередко приводят пропорции. С решения их мы и начнем эту главу.

• 1. РЕШЕНИЕ ПРОПОРЦИЙ.

Решим задачу:

На конец А рычага АВ действует сила р; С—точка опоры (черт. 1). Какую силу для сохранения равновесия надо приложить к другому концу В рычага, если длина всего рычага _______________ 2______ .

АВ = а, а длина плеча АС = а? Н¹'*. ,‘_г ----------- ^---

Из физики известно, что при "" Q равновесии рычага силы, действую- _ч,

щие на концах рычага, обратно \£

пропорциональны длинам соответ- 4п ствующих плеч. Из условия же за- ' Черт. 1.

дачи видно, что плечо ДС=в, а

плечо СВ = а — в; поэтому, обозначив неизвестную силу через х, мы, на основании указанного свойства рычага, получим следую

щую пропорцию:

х b

р а— b'

(I)

Отсюда по свойству членов пропорции находим:

х =

Ър а — Ь‘

Полученная дробь, имеющая многочленный знаменатель, не сокращается, так как числитель и знаменатель ее общих множителей не имеют.

Решим теперь такую пропорцию:

9 _ ^х

п — т т? — п² ’

Посмотрим, какое отражение находит этот факт в геометрии.

На черт. 25 мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник АВЕ, соответствующий одному из прямоугольных треугольников черт. 24. Катеты его длиною по 1 м.

Возьмем теперь прямоугольную систему осей координат (черт. 26) и при начале координат построим треугольник ОКМ, равный треугольнику АВЕ чертежа 25. Гипотенузу этого треугольника О К при помощи циркуля отложим от начала координат на оси ОХ. Конечную точку отложенного отрезка обозначим через Кг Длина OK_V как равная длине АВ чертежа 25, не может быть выражена ни целым ни дробным числом. А это значит, что на числовой оси существуют точки, которым не соответствует ни целое ни дробное число. Но каждой точке числовой оси, должно соответствовать некоторое число. Чтобы в соответствие с точкой K_t привести некоторое число, необходимо расширить понятие о числе, так как нет ни целого ни дробного числа, соответствующего этой точке.

Итак, введем в наше изучение число нового рода—число, соответствующее точке Ку обозначив его буквой х. Рассмотрим, какими свойствами оно должно обладать.

Так как отрезок ОК_г равен гипотенузе АВ треугольника АВЕ, то число х, соответствующее отрезку О К, должно удовлетворять условию х² = 2. Понятно, что число х больше всех чисел, квадрат которых меньше двух; вместе с тем оно меньше всех чисел, квадрат которых больше 2. Оно может быть

У

вычислено с какой-угодно точностью, например, с точностью до 0,01. Получаем: 1,42 >х> 1,41, так как 1,42³> 2 и 1,41³<2. Естественно обозначить число х символом ]/2.

Корень квадратный из двух (]/ 2), как и другие числа такого рода, называются числами иррациональными.

Итак, мы сначала пришли к выводу, что нет ни целого ни дробного числа, квадрат которого равен 2. С другой стороны О К служит стороной квадрата, площадь которого равна 2. Таким образом оказывается, что точке К\ ^или отрезку ОК_Х ^не соответствует число: отрезок есть, числа нет. Получилось противоречие между выводами арифметики и геометрии. Это противоречие уничтожается расширением понятия о числе: введением понятия иррационального числа.

Как и для числа, обозначенного символом У2, мы могли бы показать, что, например, ]/56 не может быть точно выражен ни,целым ни дробным числом. Значит, ]/56 — тоже иррациональное число. Этот корень больше 7 и меньше 8, так как 7² = 49, а 8³ равно уже 64.

Заметим, что числа целые и дробные, в отличие от чисел иррациональных, называются рациональными числами. Так, например числа 5, —д-, —1,35, 2—-, 0—числа рациональные,

На практике чаще всего приходится иметь дело с извлечением квадратных корней из чисел, не являющихся квадратами целых или дробных чисел. Из всех целых чисел, например, первой сотни, можно извлечь квадратный корень точно только из чисел 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100. Из остальных же чисел этой сотни можно извлечь корень только приближенно. Числа, из которых квадратный корень можно извлечь точно, называются полными или точными квадратами.

Если корень квадратный из чисел точно не извлекается, то ограничиваются приближенным извлечением. Так, например, 1^56 больше .7 и меньше 8, т. е. квадрат семи меньше, чем 56, а квадрат восьми больше, чем 56. Числа 7 и 8 называются приближенными значениями корня квадратного из 56 с точностью до единицы. Согласно этому, извлечь корень квадратный из числа с точностью до единицы значит найти два числа, выраженных целым числом единиц и отличающихся друг от друга на единицу; квадрат одного из этих чисел должен быть меньше данного числа, квадрат другого — больше данного числа. Одно из этих чисел называется приближенным значением корня квадратного с недостатком, другое— приближенное значение с избытком. Число 7 — приближенное значение 1^56 с недостатком, а 8 — приближенное значение того же корня с избытком.

Извлечь корень с точностью до 0,1 значит найти два числа, выраженных в десятых долях единицы и отличающихся друг от друга на 0,1; квадрат одного из них больше данного числа, квадрат другого меньше. Например, приближенные значения Уз с точностью до 0,1 следующие: 1,7 и 1,8. Действительно: 1,7²==2,89, а 1,8² = 3,24. Так же можно установить, что следует понимать под извлечением корня с точностью до 0,01, 0,001 и т. д.

3. Извлечение квадратного корня из чисел,меньших 10000. Покажем, как извлекаются квадратные корни из целых чисел, являющихся полными квадратами. Для этого надо вспомнить, как мы возводили в квадрат двузначные числа (гл. III, § 9). Возведем в квадрат, например, 84. Мы получим:

84²=6400

(164-4)= 656

' 7056

.(А)

Положим теперь, что требуется произвести обратное действие: вычислить У7056. Сейчас мы знаем, что ]/7056 = 84. Но допустим, что нам это неизвестно, и мы хотим найти то число, квадрат которого равен 7056.

Заметим, прежде всего, что 10² = 100, а 100²= 10000. Число же 7056 больше 100 и меньше 10000. Следовательно, если только 48

f/^7056 обозначает целое число, то это число двузначное. Постараемся определить, сколько полных десятков содержит это число.

Замечая, что квадрат десятков этого числа дает сотки и что квадрат самого числа равен 7056, мы заключаем, что квадрат десятков корня входит в состав 70 сотен подкоренного числа 7056. Очевидно, что этих десятков не может быть больше 8 (т. е. наибольшего целого числа, квадрат которого меньше 70), так как 90^а = 8100, что больше 7056. Но их не может быть и меньше 8, так как даже 80² = 6400, что меньше 7056. Итак, чтобы определить число десятков корня, надо найти наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу сотен подкоренного числа, т.е. извлечь корень из числа сотен с точностью до-единицы (с недостатком).

Таким образом число десятков корня 8. Если вычтем теперь из подкоренного числа 7056 квадрат этих десятков, т. е. 80-= 6400, то получим 7056 — 6400 = 656.

Все это можно записать так-

/70Ъ6 = 8 — 64 00

656

Примечание. Запятой (поставленной наверху) отделено полное число сотен подкоренного числа, благодаря чему последнее разбилось на 2 грани, из которых правая содержит две цифры (единицы и десятки).

Полученный остаток 656 есть не что иное, как второе из тех двух слагаемых, из которых составилось данное число 7056 при возведении искомого корня в квадрат (см. пример в начале этого раздела). Но нам известно, что это второе слагаемое 656 было получено следующим образом: к удвоенному числу десятков корня, т. е. к 2-8 = 16, была приписана его вторая цифра и полученное число умножено на эту же цифру.

Чтобы найти эту цифру, достаточно только подсчитать, какое целое число войдет в частное. Для этого, как известно из арифметики, достаточно число десятков первого числа разделить на число десятков второго, т. е. 65 на 16.

Все это вместе с предыдущим записывают так:

/70’56 = 8 — 6400

16 | 65,6

Здесь запятой отделено число полных десятков остатка и слева от вертикальной черты записано удвоенное число десятков корня.

Итак, чтобы найти число единиц корня, надо разделить число десятков остатка на удвоенное найденное число десятков корня.

Чтобы узнать, будет ли вторая цифра корня равна 4 или меньше 4, припишем к удвоенному числу десятков корня, т. е. к 16, цифру 4; получим 164, и умножим 164 на 4. В данном случае это даст как раз 656. Значит, вторая цифра корня 4.