Г. Некоторые свойства дробных чисел

• 14. Неограниченная выполнимость деления натуральных чисел с помощью дробных чисел. 29
• 15. В свойствах дробных чисел обобщены свойства частного натуральных чисел. 39
• 16. Всякое натуральное число можно рассматривать как дробное число 31
• 17. Всякое целое с дробью можно выразить в виде дробного числа —
• 18. Всякое дробное число, большее единицы, можно выразить в виде целого с дробью. 32
• 19. Целое число нуль можно рассматривать как дробное число 33
• 20. При измерении величин недостаточно натуральных чисел — необходимы дробные числа —

Глава II. Сложение и вычитание дробных чисел

А. Теория сложения

• 21. Объединение множеств элементов и долей элементов 35
• 22. Сумма дробных чисел. —
• 23. Сумма дробей с равными знаменателями 36
• 24. Сумма дробей с неравными знаменателями. 38
• 25. Переместительное свойство суммы дробей. —
• 126. Сочетательное свойство суммы дробей 39

Б. Т1е х н и к а сложения дробей

• 27. Письменное сложение дробных чисел 40
• 28. Сложение дробей с применением устных вычислений 42
• 29. Проверка сложения —

В. Теория вычитания

• 30. Удаление части множества. 43
• 31. Разность дробных чисел —
• 32. Связь вычитания со сложением. 44
• 33. Разность дробей с равными знаменателями —
• 34. Разность дробей с неравными знаменателями 46
• 35. Свойство разности дробей —

Г. Техника вычитания дробей

• 36. Вычитание дробных чисел. 48
• 37. Совместное сложение и вычитание дробных чисел. 49
• 38. Сложение и вычитание дробных чисел с применением устных вычислений 50
• 39. Проверка вычитания и сложения. 51

Глава III. Умножение на натуральное число и на нуль. Деление на натуральное число

А. Теория умножения на натуральное число и на нуль

• 40. Что называется произведением дроби на натуральное число, большее единицы?. 53
• 41. Что называется произведением дроби на единицу и на нуль? 54

Б. Техника умножения на натуральное число

• 42. Умножение дроби на натуральное число 55
• 43. Умножение целого с дробью на натуральное число 56
• 44. Распределительное свойство при умножении суммы и разности на натуральное число

В. Теория деления на натуральное число

• 45. Что значит разделить дробное число на натуральное? 59
• 46. Деление на единицу и на нуль. 60

22 и. К. Андронов 557

Г. Техника деления на натуральное число

• 47. Деление дроби на натуральное число 61
• 48. Распределительное свойство при делении суммы и разности дробных чисел на натуральное число 62
• 49. Деление целого с дробью на натуральное число 63

Глава IV. Умножение и деление на дробь

А. Теория умножения на дробь

• 50. Недостаточность известного определения произведения, чтобы ответить на вопрос, что значит умножить на дробь 65
• 51. Задачи на нахождение данной дроби от заданного числа —
• 52. Быстрое нахождение данной дроби от заданного числа 67
• 53. Свойства, которым обладает действие нахождения данной дроби от заданного числа —
• 54. Новое определение^ умножения, дающее ответ на вопрос, что значит умножить на дробь 70
• 55. Новое определение ^умножения выражает более общие свойства, чем прежнее определение, и одновременно не теряет свойств последнего. 71

Б. Техника умножения дробей

• 56. Правило умножения дробей 74
• 57. Умножение целого с дробью. 75
• 58. Взаимнообратные числа. 76
• 59. Умножение дробей с применением устных вычислений —

В. Теория деления на дробь

• 60. Что значит разделить на дробь? 77
• 61. Правило деления дробей —

Г. Частное во множестве дробных чисел выражает более общие свойства, чем частное во множестве натуральных чисел, и одновременно не теряет свойств последнего

• 62. Действие деления во множестве дробных чисел выполнимо без ограничений (если только делитель не нуль) 79
• 63. Отношение двух чисел как обобщение понятия „одно число больше другого во столько-то раз" —
• 64. Свойство распределительности при делении суммы и разности 80
• 65. Деление произведения на дробное число 81
• 66. Деление дробного числа на произведение. 83
• 67. Частное дробных чисел не изменяется при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число (любое, отличное от нуля) 84
• 68. Когда частное (отношение) меньше делимого, равно ему, больше него?. 85

Д. Техника деления на дробь

• 69. Деление целого с дробью. 86
• 70. Деление дробей с применением устных вычислений 87
• 71. Проверка деления и умножения. —
• 72. Две задачи, обратные задаче умножения 88
• 73. Техника решения двух задач, обратных задаче умножения 89

Глава V. Дробные числа в десятичной системе (десятичные дроби)

А. Счисление дробных чисел в десятичной системе

• 74. Почему действия с дробными числами проводятся значительно сложнее, чем те же действия с натуральными числами? 91
• 75. Открытие десятичных дробей 92
• 76. Что называется дробным числом в десятичной системе, или, короче, десятичной дробью?. 93
• 77. Письменная система счисления десятичных дробей 94
• 78. Устная система счисления десятичных дробей 95
• 79. Как переходить от устной системы счисления десятичных дробей к письменной системе? —
• 80. Как устанавливать десятичные дроби на русских счётах и арифмометре ,Феликс". 96
• 81. Равные и неравные десятичные дроби. —
• 82. Свойства десятичных дробей, показывающие их преимущества перед другими дробями —
• 83. Систематические дроби. 98

Б. Сложение и вычитание десятичных дробей

• 84. Письменное сложение десятичных дробей. —
• 85. Сложение десятичных дробей с применением устных вычислений. Проверка сложения 99
• 86. Письменное вычитание десятичных дробей 100
• 87. Вычитание десятичных дробей с применением устных вычислений 101
• 88. Проверка вычитания и сложения. —
• 89. Сложение и вычитание десятичных дробей на счётах и на арифмометре „Феликс" 102

В. Умножение десятичных дробей

• 90. Письменное умножение десятичных дробей. 104
• 91. Умножение десятичных дробей с применением устных вычислений 105
• 92. Умножение десятичных дробей с помощью таблиц и вычислительных приборов. Проверка умножения 106

Г. Деление десятичных дробей

• 93. Частное (или отношение) натуральных чисел не всегда можно выразить десятичной дробью 108
• 94. Письменное деление натуральных чисел, когда частное находится среди десятичных дробей 109
• 95. Письменное деление десятичной дроби на натуральное число, когда частное находится среди десятичных дробей 112
• 96. Деление на десятичную дробь в случае, когда частное находится среди десятичных дробей. 114
• 97. Деление десятичных дробей с применением устных вычислений 117
• 98. Деление десятичных дробей с помощью таблиц и вычислительных приборов. —
• 99. Проверка деления и умножения десятичных дробей 120

Глава VI. Связь множества дробных чисел и множества десятичных дробей

• 100. Как выражать дробные числа в десятичной системе? 121
• 101. Необходимый и достаточный признак того, что данную несократимую дробь можно выразить в десятичной системе 123
• 102. Сравнение некоторых свойств множества натуральных чисел, множества десятичных дробей, множества всех дробей 126

Глава VII. Периодические десятичные ряды

• 103. Бесконечное деление 131
• 104. Открытие периодического десятичного ряда. 132
• 105. Что называется периодическим десятичным рядом? 133
• 106. Всякое целое число можно выразить в виде чистого периодического десятичного ряда с периодом из одной цифры 0 или одной цифры 9 134
• 107. Всякую десятичную дробь, отличную от натурального числа, можно выразить в виде смешанного периодического десятичного ряда с периодом из одной цифры 0 или одной цифры 9 —
• 108. Всякую дробь, не допускающую представления в виде десятичной дроби, можно представить в виде периодического десятичного ряда, притом единственным образом 135
• 109. Всякую несократимую дробь, знаменатель которой взаимно прост с 10, можно выразить в виде чистого периодического десятичного ряда 138
• ПО. Всякую несократимую дробь, которую нельзя выразить десятичной дробью и знаменатель которой делится на 2 или на 5, можно выразить смешанным периодическим десятичным рядом. 140
• 111. Разыскание дроби, выражаемой данным чистым периодическим десятичным рядом. 142
• 112. Разыскание дроби, выражаемой данным смешанным периодическим десятичным рядом. 144
• 113. Взаимная связь множества дробных чисел и множества периодических десятичных рядов. 145
• 114. Действия над периодическими десятичными дробями 146

АРИФМЕТИКА ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН

Глава VIII. Точность измерений и ответственные вычисления

А. Точность измерений

• 115. Изменяющееся множество и его численность 150
• 116. Величина и её численное значение. 153

Б. Система счисления точности

• 117. Правило Крылова счисления точности. 156
• 118. Число десятичных знаков приближённого числа и число значащих его цифр как характеристика его точности 158
• 119. Приближённые числа, получаемые в результате округления. 160
• 120. Основные классы точности непосредственных измерений 162

В. Ответственные вычисления с приближёнными значениями величин

• 121. Пример безответственного вычисления. 164
• 122. Пример ответственного вычисления. 165

Г. Четыре действия над приближёнными числами

• 123. Сложение и вычитание 166
• 124. Умножение и деление. 170
• 125. Совместные действия. 172
• 126. Вычисления, когда наперёд указывается, с какой точностью необходимо иметь результат 174

Глава IX. Отрезок и его длина

• 127. 1 Прямая линия и линейка; проведение прямых на бумаге и на местности 178
• 128. Луч и отрезок как части прямой 179
• 129. Равные и неравные отрезки —
• 130. Сумма отрезков. 181
• 131. Линейные метрические меры —
• 132. Масштабная линейка. Измерение отрезков и длина отрезка 183
• 133. Старые русские и некоторые зарубежные меры длины 184

Глава X. Окружность и её длина

• 134. Окружность и циркуль. 186
• 135. Дуга окружности и дуговой градус. 187
• 136. Транспортир и градусное измерение дуги 188
• 137. Длина окружности. 189
• 138. Длина дуги окружности 192
• 139. Происхождение метра 194
• 140. Борьба за введение новых метрических мер —

Глава XI. Угол и его мера

• 141. Что такое угол?. 197
• 142. Инструмент малка. Равные и неравные углы. 198
• 143. Особые углы — развёрнутый и прямой. Инструменты — угольник и эккер. 199
• 144. Угол и его мера. Транспортир и астролябия 200

Глава XII. Плоская фигура и её площадь

• 145. Прямоугольник, квадрат и треугольник. 203
• 146. Квадратные метрические меры. 205
• 147. Старые русские и некоторые зарубежные меры площади 207
• 148. Площадь плоской фигуры и её нахождение непосредственным подсчётом по палетке. —
• 149. Площадь прямоугольника и квадрата, которая находится косвенно через измерение сторон, когда длины сторон выражаются натуральными числами 209
• 150. Определение площади прямоугольника и квадрата через измерение сторон, когда длины сторон выражаются дробными числами 211
• 151. Две основные задачи на площадь прямоугольника 214
• 152. Две основные задачи на площадь квадрата —
• 153. Площадь треугольника. 217
• 154. Площадь плоской фигуры, находимая через разбивку на треугольники. 220
• 155. Площадь круга. 222

Глава XIII. Пространственные фигуры и их объём

• 156. Фигуры. Брус и куб. 226
• 157. Кубические метрические меры. 228
• 158. Объём тела и его нахождение непосредственным подсчётом кубов —
• 159. Определение объёма бруса через измерение рёбер, когда длины рёбер выражаются натуральными числами 229
• 160. Объём куба, у которого длина ребра выражается натуральным числом. 230
• 161. Определение объёма бруса и куба через измерение рёбер, когда длины рёбер выражаются дробными числами 231
• 162. Три основные задачи на объём бруса 233
• 163. Две основные задачи на объём куба 234
• 164. Объём цилиндра 235
• 165. Объём тел сложной формы 238
• 166. Жидкие и сыпучие тела. Их меры —

Глава XIV. Тело и его вес

• 167. Вес тела. 241
• 168. Метрические меры веса. 242
• 169. Эталоны метрических мер. —
• 170. Старые русские и некоторые зарубежные меры веса 244
• 171. Система гирь при взвешивании. 245

Глава XV. Время и его измерение

• 172. Время. 247
• 173. Сутки и части суток. —
• 174. Неделя. 249
• 175. Год. —
• 176. Эра. 250
• 177. Века и десятилетия 251
• 178. Месяц, декада, квартал —
• 179. Календарь, старый и новый стиль 253
• 180. Датирование 256
• 181. Поясное время 257
• 182. Задачи па время. 258
• 183. Инструменты для измерения времени 259

Глава XVI. Простейшие зависимости между величинами

А. Величины, независимые и зависимые друг от друга

• 184. Независимые друг от друга величины 263
• 185. Зависимые величины. 264
• 186. Таблицы и графики —
• 187. Диаграммы. 268

Б. Пропорции между величинами

• 188. Что такое пропорция?. 271
• 189. Как читать и как записывать пропорции? 272
• 190. Свойство отношения. 273
• 191. Основное свойство пропорции 274
• 192. Перестановка членов пропорции. 275
• 193. Разыскание неизвестного члена пропорции 276
• 194. Производные пропорции из данной пропорции. 278

В. Величина, прямо пропорциональная другой величине

• 195. Что такое прямо пропорциональная зависимость одной величины от другой? 280
• 196. Свойства прямо пропорционально зависимых величин 282
• 197. Наглядное изображение прямой пропорциональности 285
• 198. Разыскание четвёртого пропорционального 286

Г. Величина, обратно пропорциональная другой величине

• 199. Что такое обратно пропорциональная зависимость одной величины от другой?. 289
• 200. Свойство обратно пропорциональных величин 290
• 201. Наглядное изображение обратной пропорциональности 292
• 202. Разыскание четвёртого пропорционального в случае обратной пропорциональности. 293

Д. Сложная пропорциональность величин

• 203. Величина, зависящая от двух и более величин. 295
• 204. Разыскание шестого пропорционального и другие более сложные задачи на пропорциональную зависимость 298
• 205. Пропорциональное деление 302

Е. Величины, находящиеся в линейной зависимости

• 206. Равномерный рост. 305
• 207. Равномерное убывание 306
• 208. Линейная зависимость 307

Ж. Величины, находящиеся в более сложной зависимости, чем линейная

• 209. Величина, прямо пропорциональная квадрату другой величины 309
• 210. Величина, прямо пропорциональная кубу другой величины. 310
• 211. Колеблющееся изменение величины —

Глава XVII. Числовые задачи и арифметические приёмы их решения

А. Что такое задача и что значит её решить?

• 212. Что такое задача?. 312
• 213. Что такое числовая задача, рассматриваемая в арифметике? 313
• 214. Что значит решить числовую задачу, рассматриваемую в арифметике?

Стр. Б. Какие бывают числовые задачи, рассматриваемые в арифметике?

• 215. Два вида задач по форме задания их условия. 315
• 216. Задачи неопределённые, определённые, переопределённые. 317 § 217. Задачи с недостаточным и излишним числом данных 319

В. Типовые задачи

• 218. Что такое типовые задачи? 319
• 219. Типовые задачи на процентные вычисления. 322
• 220 Разыскание процентного отношения первого числа ко второму 323
• 221. Как находить данное число процентов от заданного числа? 327
• § 222. Как находить число, если известно несколько процентов этого числа? 329
• 223. Некоторые задачи на проценты, легко сводимые к трём основным 331
• 224. Вычисление среднего процента. 333
• 225. Вычисления по сложным процентам 335

СЛОВО К УЧИТЕЛЮ

Претворяя в жизнь политику Коммунистической партии и Советского правительства, трудящиеся нашей страны добиваются новых и новых успехов в развитии всех отраслей народного хозяйства.

Девятнадцатый съезд нашей партии вынес решение об осуществлении политехнического обучения в средней школе, где каждый должен получать систематические и прочные знания основ наук, сознательно и с умением их прилагать к практике нашего строительства. К сожалению, пока не имеется большого опыта в строительстве политехнической школы и, в частности, в преподавании математики на политехнических основах. Здесь имеется много трудностей в нахождении единства между теорией и практикой в процессе усвоения нового предмета и при образовании сложных умений, в частности, по решению задач.

Одним из немногих деятелей на фронте физико-математических наук был наш академик Алексей Николаевич Крылов, сумевший найти органическое единство передовой математической мысли и мощного технического творчества, в частности, связанного со строительством морских гигантов-дредноутов могущественного флота нашей Родины.

А. Н. Крылов писал: „Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубнаИз этого, однако, не следует, чтобы прикладное изучение математики сводилось к рецептуре или к умению пользоваться справочниками, ибо тогда оно сводило бы математику к орудию счёта по готовым образцам и её значение как орудия исследования утратилось бы. Но понятно, прикладной характер должен оказывать существенное влияние на содержание и изложение курса".

При введении в методику преподавания математики политехнического содержания учитель найдёт многое в тру

дах академика А. Н. Крылова, автобиографию которого надо передать учащимся по его книге „Мои воспоминания" (Академия наук СССР, изд. 3, 1945). Трудно преодолевать сложившиеся, часто отсталые, традиции и освобождаться от пережитков, которых имеется, к сожалению, достаточно много в учебниках, задачниках и методике арифметики.

‘.Ставя новые задачи, надо смело порывать с отсталыми традициями, задерживающими ход развития передового математического образования, и укреплять в традиционном классическое, стремиться создать новые традиции. Всё это выявится как в отбрасывании пережиточных терминов, определений, правил, нежизненных арифметических задач, так и в установлении новых терминов, определений, доказанных предложений и отборе жизненных задач.

Необходимо заметить, что реформа математического образования конца XIX и начала XX в., развернувшаяся в России, в странах Европы и в США, меньше всего касалась арифметического образования; этот фундамент математической культуры меньше всего подвергся критике и положительным исканиям.

Ныне главной задачей советского учителя математики является:

1. Научить учащихся творчески учиться, учиться с охотой, переходящей в любовь к познанию неизвестного и приобретению прочных знаний.

2. Повысить теоретические основы всех учебных предметов и прежде всего арифметики.

3. Заложить основы умениям и навыкам применять полученные знания к вопросам жизни.

4. Найти меру между логикой предмета и психологией подростка, помня слова К. Д. Ушинского: „Преподаватель всякого предмета должен непременно идти так, чтобы на долю воспитанника оставалось ровно столько труда, сколько могут сделать его молодые силы".

О том, как автор воплотил эти принципы в свою книгу, судить не ему.

Все советы и критику, в особенности обоснованную передовым опытом, автор ждёт с нетерпением, так как только коллективно можно найти необходимую меру во всех деталях методики преподавания арифметики.

Ссылки на тот или иной параграф книги „Арифметика натуральных чисел" снабжены пометкой „часть I". При отсутствии подобной пометки имеются в виду параграфы настоящей книги.

задача решается делением первого числа на второе и умножением частного на 100. Во второй основной задаче дано второе („стопроцентное") число и процентное отношение к нему первого (искомого) числа; задача решается делением данного процентного отношения на 100 и умножением данного „стопроцентного" числа на полученное частное. В третьей основной задаче мы знаем первое число и процентное его отношение ко второму (неизвестному „стопроцентному") числу и ищем это последнее; задача решается делением данного процентного отношения на 100 и делением данного числа на полученное частное.

Рассмотрим некоторые задачи на проценты, встречающиеся в жизненной практике, и покажем, как они сводятся к основным.

1) После снижения цены на 15% товар продаётся по 4 руб. 25 коп. за 1 кг. Какова его цена до снижения?

Решение. Сниженная цена составляет 100% —15% = = 85% старой. Следовательно, задача сводится к разысканию числа, 85% которого составляет 4 руб. 25 коп., или 425 коп. Это число равно 425 : 0,85 = 42 500 :85 = 500.

Ответ: прежняя цена была 5 руб. за 1 кг.

2) За перевод денег по почте взимается 2% переводимой суммы. Требуется перевести 500 руб. так, чтобы переводимая сумма вместе с почтовыми расходами, включая стоимость бланка (5 коп.), составила ровно 500 руб. На какую сумму надо написать перевод?

Решение. Принимая неизвестную переводимую сумму за 100% и прибавляя 2% её, взимаемые почтой, получаем всего 102%. Эти 102% равны 499 руб. 95 коп. (из 500 руб. вычитается стоимость бланка). Задача свелась к разысканию числа, 102% которого составляют 499 руб. 95 коп. Это число равно 499,95 : 102 = 490,147.

Ответ: перевод надо написать на 490 руб. 15 коп.

Для проверки находим 2% этой суммы, что составляет 490,15 : 50 = 9,803. или 9 руб. 80 коп. Всего имеем 490 руб. 15 коп. 4-9 руб. 80 коп. 4~5 коп. = 500 руб. 00 коп., как и должно быть.

3) Свежие грибы содержат 90% влаги, сушёные 12% влаги. Сколько сушёных грибов выйдет из 10 кг свежих? Сколько свежих грибов надо собрать, чтобы получить 10 кг сушёных?

Решение. Сначала узнаём, сколько сухого вещества содержится в 10 кг свежих грибов, то есть сколько получилось бы сухих грибов, если бы вся влага была удалена (100% —90% =10%); 10% от 10 кг составляют 1 кг. Но в

сушёных грибах содержится 12% влаги, а сухое вещество составляет, следовательно, 100% — 12% =88%. Итак, первый вопрос задачи сводится к тому, чтобы узнать число, 88% которого равны 1 кг. Находя его, получаем

1 : 0,88 = 1,13636. 1,136.

Ответ: из 10 кг свежих грибов выйдет 1136 г, или 1,1 кг сушёных.

Для ответа на второй вопрос узнаём, сколько сухого вещества в 10 кг сушёных грибов (88% от 10 кг составляют 8,8 кг). Но это сухое вещество составляет только 10% веса свежих грибов, а потому для получения 10 кг сушёных грибов надо взять (8,8 : 10) 100 = 8,8 10 = 88 кг свежих.

4) Некоторое усовершенствование снизило себестоимость изделий (то есть те расходы, какие несёт предприятие, чтобы изготовить эти изделия) с 5000 руб. до 4000 руб. Какой процент снижения себестоимости оно дало? На сколько процентов повысится эта сниженная себестоимость, если отказаться от этого усовершенствования, то есть вернуться к тому, что было до его введения?

Решение. При ответе на первый вопрос за 100% следует принять прежнюю себестоимость, то есть 5000 руб., снижение себестоимости составляет 5000 — 4000= 1000 руб., или 20% прежней себестоимости. При ответе на второй вопрос за 100% принимается сниженная себестоимость (4000 руб.). Отказ от усовершенствования повысит себестоимость на 1000 руб., или на 25%.

Отметим в заключение, что при решении всевозможных задач на проценты делом первостепенной важности является выяснение того, какое число (данное или искомое) принимается за 100%.

• 224. Вычисление среднего процента. Чтобы найти среднее из нескольких данных чисел, надо взять их сумму и разделить её на число слагаемых. Но при вычислении среднего процента во многих случаях приходится применять более сложный расчёт, как это можно видеть на следующем примере.

Фабрика выпустила в I квартале 25 тыс. единиц продукции, в том числе 40% первым сортом, а во II квартале уже 80 тыс. единиц, причём первым сортом 90%. Каков в среднем выпуск первосортной продукции в процентах от всего количества выпущенной продукции?

Здесь надо узнать, сколько единиц первосортной продукции было выпущено за каждый квартал в отдельности

(40% от 25, или 10 за I квартал; 90% от 80, или 72 за II) и сколько за I и II кварталы вместе (10 + 72 = 82), а затем найти процентное отношение выпущенной за оба квартала первосортной продукции ко всему её количеству (25 + 80= 105). Получаем (82: 105) 100 = 76,1%. Таков правильный ответ на поставленный вопрос. Взяв же просто среднее из обоих указанных в условии процентных отношений, мы получили бы неверный ответ, а именно: (40%+90%) :2 = 65%. Его неправильность обусловлена тем, что один процент продукции I квартала равен только 0,25 тыс. единиц, а один процент продукции II квартала гораздо больше — 0,8 тыс. единиц, а поэтому складывать 40% продукции I квартала с 90% продукции II квартала нельзя.

При вычислении среднего процента по нескольким группам простое среднее арифметическое из чисел, выражающих соответствующее процентное отношение по каждой группе в отдельности, не даёт таким образом правильного результата. Здесь необходимо вычисление взвешенного среднего: сначала надо умножить каждое процентное отношение на число, показывающее численность соответствующей группы (её вес), а затем сумму всех полученных произведений разделить на сумму численностей (сумму весов) всех групп.

Например: пусть имеются I 4 группы численностью coot- I ветственно в 30, 75, 135, 160 предметов; зная, что по этим группам отбирается соответственно 40%, 60%, 64%, 70%, найти средний процент р по всем 4 группам.

Ответ:

В общем виде: пусть имеются п групп численностью соответственно в a_lt а₂, а_п предметов; зная, что по этим группам отбирается соответственно р_г%, р2%> р₃%,., р_п %, найти средний процент р по всем п группам.

Ответ:

40% 30+60% 75+64% 135+70% 160

30 + 75 + 135 + 160

1200+4500 + 8640+11 200 _

--- 7Q — 400

₌ 25_340_{% =б385%>} 00

Pi% аг+р^/о а₂ + .+р_п% а_п р=

а_х + а₂+.+#/2

В случае, когда

— Л 2 — — —

эта формула преобразуется к виду

(Pi + Р2 4- —+Р_п) ^{а р} = ’

то есть переходит в формулу простого (а не взвешенного) среднего.

• 225. Вычисления по сложным процентам. Рассмотрим такую задачу: планом предусмотрено ежегодное увеличение суточного выпуска продукции в 20%; какое увеличение суточной продукции по сравнению с той, какая была к началу пятилетки, будет тем самым обеспечено к её концу? Казалось бы, ответить на этот вопрос очень просто: при 20% увеличения продукции за год увеличение за 5 лет составит20-5 = 100%; к концу пятилетки продукция удвоится. Однако этот ответ неверен, что показывает следующий подробный расчёт:

1) Суточная продукция к началу I года принимается за 100%; к концу I года будем иметь: 100% плюс 20% от 100% равны 100% 4-20% = 120%.

2) К концу II года будем иметь: 120% плюс 20% от 120% равны 120%-|- 4“ 24% = 144%.

3) К концу III года будем иметь: 144% плюс 20% от 144% равны 144%-f- 4-28,8% =172,8%.

4) К концу IV года будем иметь: 172,8% плюс 20% от 172,8% равны 172,8% 4-34,56% =207,36%.

5) К концу V года будем иметь: 207,36% плюс 20% от 207,36% равны 207,36% 4-41,472% =248,832%, то есть почти 249% того, что было в начале пятилетки. Итак, ежегодный прирост в 20% означает, что за пя

тилетку произойдёт увеличение не вдвое, как показывает простое умножение 20% на 5, а почти в 2 -г^- раза. Причина ошибочности первого *

расчёта в том, что прирост в 20% за каждый следующий год означает уже не такое приращение продукции, как в первый год, а значительно больше. Как говорят, здесь нужен расчёт не в простых, а в сложных процентах или с учётом процентов на проценты.

Рассмотрим ещё один вопрос, где опять придётся иметь дело со сложными процентами. Положим, имеется зерноочистительная машина, устроенная так, что пропускаемое через неё зерно теряет 90% примесей, то есть того сора, который в ней содержится. Что даст трёхкратное пропускание зерна через эту машину? После первого пропускания в зерне останется только 100—90 = 10% примеси, какая была в нём первоначально. Второе пропускание удалит 90% этих 10% и оставит, следовательно, только 1% примесей. После третьего пропускания получим зерно, содержащее лишь 0,1% тех примесей, какие оно содержало до начала очистки.

С возрастанием и убыванием величин по закону сложных процентов приходится встречаться при изучении многих явлений природы и многих видов деятельности человека. Подробное изучение этого закона относится к другой части школьного курса математики — к алгебре.