• 14. Возникновение и совершенствование письменной нумерации 26
• 15. Письменная десятичная позиционная нумерация 30
• 16. Связь между словесной десятичной системой и письменной десятичной нумерацией .31

В. Инструментальная десятичная позиционная нумерация

• 17. Китайский «сван-пан» и русские счеты 34
• 18. Арифмометр «Феликс» 35

Г. Позиционные системы нумераций, отличные от десятичной

• 19. Различные позиционные системы счисления 39

Глава IV. Сложение и вычитание

А. Теория сложения

• 20. Операция объединения конечных множеств 40
• 21. Сумма натуральных чисел и действие сложение 41
• 22. Свойства суммы 42
• 23. Сложение с числом нуль 42

Б. Техника устного и письменного сложения

• 24. Техника сложения в ее развитии от простого к сложному 47 В. Теория вычитания
• 25. Операция удаления части множества 50 •
• 26. Разность натуральных чисел и действие вычитание 51
• 27. Связь сложения с вычитанием —
• 28. Свойства разности 58

Г. Техника устного и письменного вычитания

• 29. Техника вычитания в ее развитии от простого к сложному 5&

Д. Инструментальное сложение и вычитание

• 30. Сложение и вычитание на русских счетах .60
• 31. Сложение и вычитание на арифмометре .62

Глава V. Умножение и деление

А. Теория умножения

• 32. Операция объединения (соединения) множеств одинаковой численности 68
• 33. Произведение натуральных чисел и действие умножение —
• 34. Свойства произведения : 65
• 35. Умножение на единицу. 71
• 36. Умножение нуля и умножение на. нуль 72

Б. Техника устного и письменного умножения

• 37. Техника умножения в ее развитии от простого к сложному 73
• 38. Число цифр в произведении 77
• 39. Устное умножение. 78
• 40. Проверка умножения. 79

В. Теория деления

• 41. Разложение данного множества на новые множества одинаковой численности 89
• 42. Частное натуральных чисел и действие деление 81
• 43. Свойства частного. 82
• 44. Деление с остатком. 85

Г. Техника устного и письменного деления

• 45. Число цифр в частном 87
• 46. Техника деления в ее развитии от простого к сложному 88
• 47. Проверка деления и умножения .98

Д. Табличное и инструментальное умножение и деление

• 48. Сдвоенные шкалы 94
• 49. Таблицы произведений .95
• 50. Русские счеты .95
• 51. Арифмометры 97

Е. Возведение в степень

• 52. Взаимная связь между четырьмя арифметическими действиями 98
• 53. Степень с натуральным показателем 99
• 54. Преобразование натуральных чисел из одной позиционной системы в другую 10$

Глава VI. Совместные действия

А. Изменение результатов действий в зависимости от изменения данных

• 55. Изменение суммы и разности 103
• 56. Изменение произведения и частного 105

Б. Числовые формулы и вычисления по ним

• 57. Числовая формула. 107
• 58. Порядок действий в числовых формулах. 108
• 59. Горизонтальная черта в связи с порядком действий .100

В. Быстрые вычисления на основе законов действий и изменения результатов действий

• 60. Быстрые вычисления по формулам с действиями первой ступени 111
• 61. Быстрые вычисления по формулам с действиями второй ступени 112
• 62. Быстрые вычисления по формулам с действиями первой и второй ступеней 113

Глава VII. Замечательные свойства конечных множеств, обнаруживаемые на основе делимости натуральных чисел

А. Признаки делимости

• 63. Что называется признаком делимости? 115
• 64. Признак делимости суммы 116
• 65. Признак делимости разности 117
• 66. Признак делимости произведения 118
• 67. Признаки делимости на 2, 5, 10 119
• 68. Признаки делимости на Ь=4, 25, 50, 100 120
• 69. Признаки делимости на 8, 125, 250, 500, 1000 —
• 70. Признаки делимости на 9 и 3 и их применение к проверке арифметических действий. 121
• 71. Признаки делимости на 6, 12, 15. 124
• 72. Общий признак Паскаля делимости чисел и следствия из него 125

Б. Делители и кратные

• 73. Делители данного натурального числа. 129
• 74. Кратные данного натурального числа. 130
• 75. Сопоставление свойств делителей и кратных данного натурального числа —
• 76. Нахождение всех делителей данного натурального числа 131

В. Общие делители и наибольший общий делитель данных чисел

• 77. Что называется общим делителем данных натуральных чисел? —
• 78. Что называется наибольшим общим делителем данных натуральных чисел? .132
• 79. Взаимно простые и взаимно составные числа 133
• 80. Способ получения наибольшего общего делителя для двух данных чисел, основанный на последовательном делении 134
• 81. Свойства НОД двух данных чисел 137
• 82. Делимость произведения и его сомножителей. 139

Г. Общие кратные и наименьшее общее кратное данных чисел

• 83. Что называется общим кратным данных натуральных чисел? 140*
• 84. Что называется наименьшим общим кратным данных натуральных чисел?. —

Д. Числа простые и составные

“§ 85. Три вида натуральных чисел 141

• 86. Делимость произведения на простое число. 142
• 87. Возможность представления составного числа в виде произведения простых множителей —
• 88. Распознавание простых и составных чисел. 144
• 89. Бесконечность множеств как составных, так и простых чисел 145

$ 90. Составление таблицы простых чисел. 146

• 91. Техника разложения составных чисел на простые множители 148
• 92. Общий признак делимости для составных чисел, представленных

в виде произведения простых чисел 149

Е. Скрытые свойства простых чисел и открытия П. Л. Чебышева и И. М. Виноградова

• 93. Известные весьма большие простые числа 151
• 94. Распределение простых и составных чисел в натуральной последовательности 152
• § 95. Числа-близнецы. 153
• 96. Открытия П. Л. Чебышева и И. М. Виноградова —
• 97. Закономерность расположения простых чисел в натуральной последовательности 154

Ж. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного данных натуральных чисел

• 98. Способ нахождения НОД, основанный на разложении данных чисел на произведения простых множителей 155
• 99. Способ нахождения НОД для трех и более чисел, основанный на последовательном делении 157
• 100. Способ нахождения НОК, основанный на разложении данных чисел на произведения простых чисел 158
• 101. Способ нахождения НОК на основе взаимной связи НОК и НОД 160
• 102. Свойство НОК данных чисел. 161

ЧАСТЬ II, ДРОБНЫЕ ЧИСЛА Глава VIII. Счисление дробных чисел

А. Понятие о величинах и их элементах

-§ 103. Равные и неравные элементы множеств 163

• 104. Величины и их простейшие виды 164
• 105. Доли элементов величин 165
• 106. Словесная и письменная система счисления долей —

Б. Дробные числа, их равенство и неравенство

$ 107. Что называется дробным числом? 166

• 108. Равные и неравные дробные числа 167

В. Нумерация дробных чисел

• 109. Особенности нумерации дробных чисел 169

$ ПО. Укрупнение долей и сокращение дроби 171

$ 111. Техника сокращения дроби. —

• 112. Размельчение долей и приведение дробей к общему знаменателю 172
• 113. Техника приведения дробей к общему наименьшему знаменателю 173

§ 114. Дробные числа, меньшие и не меньшие единицы 174

• 115. При ориентировке в величинах необходимы натуральные числа,

но их недостаточно—необходимы и дробные числа 176

Глава IX. Сложение и вычитание дробных чисел

А. Теория сложения

116. Операция сложения величин 177

• 117. Сумма дробных чисел и действие сложение 179
• 118. Сумма дробей с равными знаменателями 179
• 119. Сумма дробей с неравными знаменателями 180
• 120. Свойства суммы дробей, аналогичные свойствам суммы натуральных чисел 181
• 121. Некоторые свойства дробей, связанные с понятием суммы , 183

Б. Техника сложения дробей

• 122. Сложение дробных чисел 186
• 123. Проверка сложения 187

В. Теория вычитания

• 124. Операция вычитания величин 188
• 125. Разность дробных чисел и действие вычитание —
• 126. Разность дробей с равными знаменателями 189
• 127. Разность дробей с неравными знаменателями 190
• 128. Свойства разности дробей —

Г. Техника вычитания дробей

• 129. Вычитание дробных чисел 192
• 130. Совместное сложение и вычитание дробных чисел 193
• 131. Проверка вычитания и сложения 194

Глава X. Умножение дроби на натуральное число и на нуль и деление дроби на натуральное число

А. Теория умножения на натуральное число и на нуль

• 132. Что называется произведением дроби на натуральное число, большее единицы? , 195
• 133. Что называется произведением дроби на единицу и на нуль? 196

Б. Техника умножения на натуральное число

• 134. Умножение дроби на натуральное число. —
• 135. Распределительное свойство при умножении суммы и разности на натуральное число. , 197
• 136. Умножение целого с дробью на натуральное число 199

В. Теория деления на натуральное число

• 137. Что значит разделить дробное число на натуральное число? 200
• 138. Деление на единицу и невозможность деления на нуль 201

Г. Техника деления на натуральное число

• 139. Деление дроби на натуральное число. 202
• 140. Распределительное свойство при делении суммы и разности дробных чисел на натуральное число —
• 141. Деление целого с дробью на натуральное число 203

Глава XI. Умножение и деление на дробь

А. Теория умножения на дробь

• 142. Недостаточность принятого определения произведения, чтобы от

ветить на вопрос, что значит умножить на дробь 204

• 143. Задачи на нахождение данной дроби от заданного числа —
• 144. Свойства, которыми обладает действие нахождения данной дроби

от заданного числа. 206

• 145. Новое определение умножения, дающее ответ на вопрос, что значит умножить на дробь 208

• 146. Новое определение умножения выражает более общие свойства, чем прежнее определение, и одновременно не теряет свойств последнего • • 20S

Б. Техника умножения дробей

• 147. Правило умножения дробей 212
• 148. Умножение целого. с дробью 213
• 149. Умножение дробей с применением устных вычислений 214
• 150. Взаимно обратные. числа  215-

В. Деление на дробь

• 151. Что значит разделить на дробь? —
• 152. Правило деления дробей 216

Г. Частное во множестве дробных чисел выражает более общие свойства, чем частное во множестве натуральных чисел, и одновременно не теряет свойств последнего

• 153. Неограниченная выполнимость деления натуральных чисел во множестве дробных чисел. 217
• 154. Отношение двух чисел как обобщение понятия «одно число больше другого во столько-то раз» 218
• 155. Свойство распределительности при делении суммы и разности 219
• 156. Деление произведения на дробное число 220-
• 157. Деление дробного числа на произведение. 221
• 158. Частное дробных чисел не изменяется при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число (отличное от нуля) 222
• 159. Когда частное (отношение) меньше делимого, равно ему, больше его? 223

Д. Техника деления на дробь

• 160. Деление целого с дробью. 224
• 161. Упрощения при делении дробей 225-
• 162. Проверка деления и умножения —
• 163. Две задачи, обратные задаче умножения —
• 164. Техника решения двух задач, обратных задаче умножения 226

Глава XII. Дробные числа в десятичной системе (Десятичные дроби)

А. Счисление дробных чисел в десятичной системе

• 165. Почему действия с дробными числами сложнее действий с натуральными числами? 227
• 166. Открытие десятичных дробей 228
• 167. Определение десятичных дробей. 229
• 168. Письменная система счисления десятичных дробей 231
• 169. Устная система счисления десятичных дробей —
• 170. Как переходить от устной системы счисления десятичных дробей

к письменной системе? 232

• 171. Как откладывать десятичные дроби на русских счетах и на арифмометре «Феликс»? 233
• 172. Равные и неравные десятичные дроби —
• 173. Свойства десятичных дробей 235
• 174. Систематические дроби 237

Б. Сложение и вычитание десятичных дробей

• 175. Сложение десятичных дробей 238
• 176. Вычитание десятичных дробей 239
• 177. Сложение и вычитание десятичных дробей на счетах и на арифмометре «Феликс». 240

В. Умножение и деление десятичных дробей

178 Умножение и деление на 10, 100, 1000 и т. д 241

$ 179. Умножение десятичных дробей 242

• 180. Умножение десятичных дробей при помощи таблиц и вычислительных приборов 243

Г. Деление десятичных дробей

• 181. Частное (отношение) натуральных чисел не всегда можно выразить десятичной дробью 244

- § 182. Деление натуральных чисел, когда частное находится среди десятичных дробей 245

$ 183. Деление десятичной дроби на натуральное число, когда частное находится среди десятичных дробей. 247

• § 184. Деление на десятичную дробь, когда частное находится среди десятичных дробей. 248
• § 185. Деление десятичных дробей при помощи таблиц и вычислительных приборов 249

Глава XIII. Связь между множеством дробных чисел и множеством десятичных дробей

$ 186. Как выражать дробные числа в десятичной системе? 251

• 187. Необходимый и достаточный признак того, что данную несократимую дробь можно выразить в десятичной системе 252

§ 188. О совместных действиях с дробными числами и десятичными дробями 254

§ 189. Сравнение некоторых свойств множества натуральных чисел, множества десятичных дробей и множества всех дробей 256

Глава XIV. Периодические десятичные ряды

• § 190. Бесконечное деление 258
• 191. Открытие периодического десятичного ряда. 259
• 192. Что называется периодическим десятичным рядом? 260
• 193. Всякое натуральное число и число нуль можно выразить в виде чистого периодического десятичного ряда с периодом из одной цифры 0 или одной цифры 9 261
• 194. Всякую десятичную дробь, отличную от натурального числа, можно выразить в виде смешанного периодического десятичного ряда с периодом из одной цифры 0 или одной цифры 9
• 195. Всякую дробь, не допускающую представления в виде десятичной дроби, можно представить в виде периодического ряда, притом единственным образом.
• 196. Всякую несократимую дробь, знаменатель которой есть число взаимно простое с 10, можно выразить в виде чистого периодического десятичного ряда. 263

• 197. Всякую несократимую дробь, которую нельзя выразить десятичной дробью и знаменатель которой делится на 2 или на 5, можно выразить смешанным периодическим десятичным рядом 264
• 198. Нахождение дроби, равной данному чистому периодическому ряду 265
• 199. Нахождение дроби, выражаемой данным смешанным периодическим десятичным рядом. 267
• 200. Взаимная связь множества дробных чисел и множества периодических десятичных рядов 268
• 201. Действия над периодическими десятичными рядами 269

ЧАСТЬ ш. АРИФМЕТИКА ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН

Глава XV. Точность измерений и ответственные вычисления

А. Точность измерений ,

• 202. Изменяющееся конечное множество и его численность - 271
• 203. Величина и ее численное значение 273

Б. Система счисления точности

• 204. Правило Крылова — счисления точности _t 274
• 205. Число десятичных знаков приближенного числа и число его значащих цифр как характеристика его точности 275
• 206. Приближенные числа, получаемые в результате округления 277
• 207. Основные классы точности непосредственных измерений 279

В. Ответственные вычисления над приближенными значениями величин

• 208. Пример безответственного вычисления 280
• 209. Пример ответственного вычисления 281

Г. Четыре действия над приближенными значениями величин

• 210. Сложение и вычитание —
• 211. Умножение и деление. 284
• 212. Совместные действия 286
• 213. Вычисления, когда наперед указывается необходимая точность результата 287

Глава XVI. Именованные числа

А. Эволюция некоторых единиц измерения

• 214. Эволюция единиц измерения отрезков 288
• 215. Эволюция единиц измерения массы (веса) 290
• 216. Эволюция единиц измерения времени —

Б. Система счисления именованных чисел

• 217. Что такое именованное число? 293
• 218. Виды именованных чисел с одной единицей измерения и со многими единицами измерения. 294
• 219. Равенство и неравенство именованных чисел —
• 220. Преобразование именованных чисел — раздробление и укрупнение (превращение) 295

В. Действия с именованными числами

• 221. Сложение и вычитание именованных чисел 297
• 222. Умножение и деление именованных чисел на отвлеченные числа 299
• 223. Новое обобщение понятия произведения в связи с умножением именованного числа на именованное 300
• 224. Отношение однородных величин в связи с делением именованного числа на одноименное именованное число 304
• 225. Обобщение понятия отношения в связи с делением именованного числа на именованное 305
• 226. Как вести записи при действиях с именованными числами? 308

Глава XVII. Простейшие зависимости между величинами

А. Величины независимые и зависимые друг от друга.

• 227. Независимые друг от друга величины 310
• 228. Зависимые величины —
• 229. Таблицы и графики 311

Б. Пропорции между данными числами и величинами

• 230. Что такое пропорция?. 313
• 231. Как читать и как записывать пропорции? 314
• 232. Свойства отношения 315
• 233. Основное свойство пропорции 316
• 234. Перестановка членов пропорции 317
• 235. Нахождение неизвестного члена пропорции 31В
• 236. Производные пропорции из данной пропорции 319

В, Величина, прямо пропорциональная другой величине

• 237. Что такое прямо пропорциональная зависимость одной величины

от другой?

• 238. Свойства прямо пропорциональных величин 322
• 239. Наглядное изображение прямой пропорциональности 324
• 240. Нахождение четвертого пропорционального. 325

Г. Величина, обратно пропорциональная другой величине

• 241. Что такое обратно пропорциональная зависимость одной величины от другой? 327
• 242. Свойства обратно пропорциональных величин 32В
• 243. Наглядное изображение обратной пропорциональности 33
• 244. Нахождение четвертого пропорционального в случае обратной

пропорциональности 331

Д. Сложная пропорциональность величин

• 245. Величина, зависящая от двух и более величин 332
• 246. Нахождение шестого пропорционального и другие более сложные задачи на пропорциональную зависимость. 335
• 247. Пропорциональное деление _в 337

Е. Величины, находящиеся в линейной зависимости

• 248. Равномерный рост 33В
• 249. Равномерное убывание. 339
• 250. Линейная зависимость 340

Ж. Величины, находящиеся в более сложной зависимости, чем линейная

• 251. Величина, прямо пропорциональная квадрату другой величины 341
• 252. Величина, прямо пропорциональная кубу другой величины 342’
• 253. Немонотонное изменение величины. —

Глава XVIII. Числовые задачи и арифметические приемы их решения

А. Что такое задача и что значит ее решить?

• 254. Что такое задача и что такое числовая задача, рассматриваемая в арифметике?. 343
• 255. Что значит решить числовую задачу, рассматриваемую в арифметике? 344

Б. Какие бывают числовые задачи, рассматриваемые в арифметике?

• 256. Два вида задач, классифицируемые по форме их условия 345
• 257. Задачи неопределенные, определенные и переопределенные 347
• 258. Задачи с недостаточным и излишним числом данных 348

В. Типовые задачи и некоторые приемы решения задач

• 259. Что такое типовые задачи ~
• 260. Некоторые типовые задачи. 350
• 261. Три основных типа задач на процентные вычисления 332
• 262. Два дополнительных типа задач на процентные вычисления, сводимые к основным 357
• 263. Типы особых задач, решаемых соответствующими искусственными приемами 359
• 264. Аналитико-синтетический прием решения составных задач 363
• 265. Прием решения задач на основе составления уравнения задачи 364

ПРЕДИСЛОВИЕ

Известно, что от рациональной постановки начального арифметического образования зависит культура всего дальнейшего математического образования. Привитие интереса к проблемам арифметики, сознательность и убежденность знаний, полнота и глубина понимания доступной теории, умение вести рациональные вычисления (устные, письменные и инструментальные) и осторожные обобщения на основе наблюдений, умелое обращение с точными и приближенными значениями величин, а также с отвлеченными и именованными числами, образование начальной техники и искусства решения арифметических задач — вот цели и задачи, которые ставит и достигает передовой учитель арифметики.

Только тогда учитель может иметь знания, значительно превышающие и значительно большей глубины, чем те, которые ему приходится передавать учащимся.

Данная книга дает возможность учителям поднять свою научную подготовку по курсу арифметики, особенно тем, которые в свое время не получили достаточной подготовки.

Весь курс в этой книге построен на идее развития понятия числа и действий над числами; так, в частности, обращено внимание на расширение понятий умножения и деления при переходе к единице, нулю, дробным и в особенности именованным числам, развитию операций над которыми придано большое значение, так как это дает правильный ответ на вопрос о рациональных записях, принятых в современном естествознании и технике.

В книге уделено большое внимание структуре арифметических задач и методам их решения. Арифметика натуральных чисел в этой книге развивается на основе конечных множеств, что хорошо связывает теорию с принятой методикой обучения детей в

пропедевтическом курсе арифметики начальной школы. Арифметика дробных чисел в этой книге построена на основе понятий основных величин, что связывает теорию с большинством текстовых задач, решаемых в школе.

Курс строится по системе историко-генетической; по содержанию и методам развития понятий предлагаемый курс арифметики является значительно обновленным.

Автор.

ЧАСТЬ 1

АРИФМЕТИКА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И ЧИСЛА НУЛЬ

ГЛАВА I

МНОЖЕСТВА И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ

• 1. Образование первоначальных понятий — множество, элементы множества и связи между ними

В природе существуют как отдельные особи, так и их соединения: дуб и дубовая роща, лошадь и табун лошадей, олень и стадо оленей, воробей и стая воробьев, пчела и рой пчел, зерно и куча зерен и т. п. Людям также приходится иметь дело как с отдельными предметами, так и с их совокупностями.

От наблюдения отдельных конкретных совокупностей народы давно пришли к образованию различных совокупностей любых предметов, создав для этого особые слова: так, наш народ называет совокупность множеством, французы — коллекцией или ансамблем (ensemble), немцы — «менге» (Menge), англичане — «мальтитьюд» (multitude) и т. д. Правда, в народной практике понятие «множество» употребляется с ограничением, когда предметов в совокупности много. Людям науки при размышлении об изменяющемся множестве пришлось снять это ограничение. Так, например, говоря о множестве зубров в заповеднике, говорят о множестве зубров и тогда, когда их останется пара и даже единственный зубр.

В дальнейшем будем кратко обозначать «множества» заглавными буквами латинского алфавита, например: М, N, А, В и т. д-

Народы также обобщили конкретно наблюдаемые особи, входящие в соответствующие множества: так, наш народ называет каждую особь вещью, предметом, французы говорят об объекте (objet), немцы называют особь — «динг» (das Ding),' англичане «тинг» (thing). Люди науки для этой цели взяли слово из латинского языка — элемент (elementum — первоначальное) и по* лучился интернациональный термин.

Если безразлично, о каких конкретно предметах идет речь» то будем говорить о множестве элементов, обозначая их греческими буквами а, 0, у, а множество, состоящее из этих элементов, будем обозначать так: М {а, р, 7,

Когда играют на пианино, то пальцы ударяют по тем клавишам, которые соответствуют нотам музыкального произведения; здесь элементы — нотные знаки, образующие множество М,— приведены в соответствие с элементами — клавишами пианино, образующими множество N.

Наблюдая явления, подобные сказанным, люди создали понятие соответствия элементов множества М {а, р, у, .} с элементами множества N {а_ь fi,—}, что будем записывать так: а«- а_г, ; читать: элементу а множества М соответствует

элемент 34 множества N, р соответствует 7 соответствует 71.

Рано заметили люди, как в природе одно явление сменяется другим, как за одним элементом следует другой. Например, обратили внимание на такое множество, элементами которого являлись времена года, где за весной следовало лето, за ним осень, далее зима, за ней следующая весна и т. д. Из подобных наблюдений люди установили понятие о таких множествах, где элементы следуют так, что за а идет р, за р идет 7 и т. д.

В дальнейшем будем употреблять следующие семь понятий, в основном установленных в народной практике: 1) множество; 2) элемент множества; 3) элементу множества М соответствует элемент множества N; 4) каждый или не каждый элемент множества М находится в соответствии с элементами множества Л/; 5) те же или различные элементы множества; 6) взяты все или не все элементы множества; 7) во множестве М за элементом а следует элемент р.

Эти семь понятий будем называть в нашем курсе первоначальными; они открыты народами в их трудовой практике и в историческом опыте оформились и приобрели общественное признание. Опираясь на эти первоначальные понятия, будем образовывать новые понятия — выводные на основе определений из первоначальных. Определением данного понятия называется предложение, в котором указываются необходимые и достаточные признаки данного понятия, выделяющие это понятие из всего множества других понятий.

• 2. Виды множеств и их определения

1. Пусть имеется множество М — велосипедов и множество N — людей. Оказалось, что когда каждый сел на свой велосипед, то не осталось велосипедов без седока и не осталось людей, не сидящих на велосипедах. О таких множествах говорят, что их элементы приведены во взаимно однозначное соответствие.

Определение. Взаимно однозначным соответствием элементов множеств М и N называется такое их соответствие, когда каждому элементу из М соответствует элемент из N, причем различным элементам в М соответствуют различные элементы

в N, и обратно, когда каждому элементу из N соответствует элемент из М, причем различным элементам в W соответствуют различные элементы в М.

Замечание. Из того, что каждому элементу множества М соответствует элемент множества N, причем различным элементам из М соответствуют различные элементы из N, еще не следует взаимно однозначного соответствия между элементами множеств М и N. В самом деле: пусть имеется однобортное пальто, на одном борту которого имеется множество М пуговиц, а на другом—множество N петель, и пусть в нем пуговица оторвана. Если застегнуть это пальто, то каждая пуговица будет находиться в соответствующей петле, различные пуговицы в различных петлях, но не каждая петля находится в соответствии с пуговицей.

II. Отметим, что возможны следующие пары множеств:

1. Множества такие, между элементами которых установлено или может быть установлено взаимно однозначное соответствие, как это показано выше с велосипедами и велосипедистами, т. е. элементами множеств М и N.

2. Множества такие, между элементами которых ни при каких условиях не может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Возьмем, например, множества Mi и N_if состоящие из элементов:

Mi {перстень} и {пальцы руки}.

Опыт показывает, что при этих условиях нельзя иметь на каждом пальце руки по перстню, т. е. элементы множеств Mi и /Vi невозможно привести во взаимно однозначное соответствие.

Рассмотренные выше множества М и N называют равносильными (по-латыни эквивалентными), а множества Л4₁ и jVi неравносильными.

Определение. Множества называются равносильными (эквивалентными), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, и неравносильными, если такого соответствия установить невозможно.

Принято равносильные множества записывать так: М ~ N.

Отметим, что понятие равносильности транзитивно*, т. е. если

Л1|«, .}~N№, .) (I)

и

(2) то и

М{а, .}~Р{_Ъ .}.

В самом деле: из соотношения (1) следует, что а - 0, а из соотношения (2) следует, что 0**т, отсюда (по пониманию

* Латинское слово транзире — переходить.

Чтобы решить составную задачу, ее предварительно надо перевести с родного языка, на котором она дана, на язык числовой формулы. После этого перевода начинают упрощать связи между данными и искомыми числами и восстанавливать более простые связи между ними так, что в конце получим искомое, равное известному числу.

Одну замечательную рукопись, написанную в IX в., Мухаммед сын Мусы из Хорезма назвал по-арабски (научном языке того времени на ближнем Востоке) «Альджебр альмукабала», что в переводе значит «восстановление—упрощение», т. е. восстановление связей между данными и искомыми и упрощение этих связей. Копии с этой ценнейшей рукописи снимались и перевозились в центры культуры того времени; в Европу рукопись пришла через арабские университеты, возникшие в Испании в X—XII вв., а дальше размножилась и перешла в земли Италии, Франции, Англии, немецкие и др. К XVI в. появляются на основе рукописи Мухаммеда сына Мусы «Альджебр альмукабала» более совершенные книги с видоизмененными названиями: «Альджерб», «Альгебр» и, наконец, «Алгебра».

Что такое алгебра в ее первоначальных основах? Учение, где даются средства для решения любых сложных задач, где искомое познается через явное установление взаимных связей между данными задачи и искомыми в ней. Но об этом основательно и подробнее рассказывается в другой книге под названием «Основы алгебры».