Четырехзначные математические таблицы для средней школы (Брадис) 1984 год - старые учебники

Таблица VI. Длина окружности диаметра d............ .46

Указания к таблице VI - <8

Таблица VII. Площадь круга диаметра d ..... - 49

Таблица VIII. Синусы и косинусы .52

Указания к таблицам VIII, IX, X - 54

Таблица IX. Тангенсы и котангенсы - 55

Таблица X. Тангенсы углов, близких к 90°, и котангенсы малых углов . . 57

Таблица XI. Радианная мера 59

Указания к таблице XI 51

Таблица XII. Тригонометрические функции от аргумента в радианах ... 62

Указания к таблице XII .64

Таблица XIII. Мантиссы десятичных логарифмов 65

Таблица XIV. Значения функции 10х (десятичные антилогарифмы) . . 68

Таблица XV. Логарифмы синусов малых углов и косинусов углов, близких к 90° 71

Таблица XVI. Логарифмы синусов углов от 14 до 90° и косинусов углов дополнительных 73

Таблица XVII. Логарифмы тангенсов малых углов и котангенсов углов, близких к 90° - 75

Таблица XVIII. Логарифмы тангенсов и котангенсов углов от 14 до 76° . . . 77

Указания к таблицам XV—XIX 78

Таблица XIX. Логарифмы тангенсов углов, близких к 90°, н котангенсов (дополнительных) малых углов 79

Таблица XX. Разные таблицы (натуральные логарифмы, приближённые формулы, биномиальные коэффициенты) 81

111

Таблица XXI. Номограмма для решения уравнения —+— + — .... 82

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения г2 + рг + q = 0 . . . . 83

Объяснения к таблицам 85

Важнейшие формулы по курсу математики VII и VIII классов 92

ОБЩИЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ

Значения, приводимые в математических таблицах, иногда бывают точными, но чаще приближенными, представляя собой результаты округления точных значений, и содержат погрешности, не превосходящие половины единицы разряда последней цифры. Если значение взято не прямо из таблицы, а найдено посредством интерполяции (см. с. 85—90), погрешность может быть больше, но в подавляющем боль-шинстве случаев не превосходит единицы разряда последней цифры.

При вычислении посредством таблиц, как и при всяком вычислении, необходимо соблюдать следующие правила:

1. Надо различать, какие данные точны, какие приближенны. Приближенные данные надо округлять, сохраняя в них только надежные цифры и не более одной не вполне надежной.

2. При записи целых приближенных чисел следует избегать нулей, помещаемых взамен неизвестных цифр.

3. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Примечание. «Десятичными знаками» числа называются те цифры, которые расположены справа от знака дробности.

4. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

Примечание. «Значащими цифрами» числа называются все его цифры, кроме нулей, расположенных левее первой, отличной от нуля, его цифры.

5. При возведении в квадрат и куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.

Примечание. Последняя цифра квадрата и особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания.

6. При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное (приближенное) число.

Примечание. Последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надежна, чем последняя цифра подкоренного.

7. При вычислении промежуточных результатов следует брать одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила.

Примечание. В окончательном результате эта «запасная цифра» отбрасывается. Рекомендуется се подчеркивать.

8. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях I ступени) илн больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.

9. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k цифрами данные следует брать с таким числом цифр, какое дает, со-гласно правилам 3 — 6, k + 1 цифру в результате.

10. При вычислении посредством логарифмов значения выражения, не содержащего действий сложения и вычитания, следует подсчитать число значащих цифр в приближенном данном, имеющем наименьшее число значащих цифр, и взять таблицу логарифмов с числом десятичных знаков, на 1 большим. В окончательном результате последняя значащая цифра отбрасывается.

Применяя эти правила, следует твердо помнить, что они отнюдь не дают гарантии точности последней цифры результата. Эта последняя цифра может иметь погрешность, достигающую в отдельных случаях даже нескольких единиц, но малые значения этой погрешности более вероятны, чем большие.

Некоторые табличные значения на страницах 60, 71, 74, 75, 80 подчеркнуты. Это означает, что целую часть для этих подчеркнутых значений надо брать не на ©той, а на непосредственно следующей строчке. Например, радианная мера угла 57° 18х равна 1,0001, а не 0,0001 (см. с. 60).

ОБЪЯСНЕНИЯ К ТАБЛИЦАМ.

Каждая таблица настоящего сборника дает значения какой-либо величины (функции) в зависимости от значения некоторой другой величины (аргумента). Например, таблица III дает значения квадрата в зависимости от значений воз-водимого в квадрат числа (функция у = х2 аргумента х), таблица VII — значения площади круга в зависимости от значений его диаметра (функция К = л42/4 аргумента d) и т. д. Ради экономии места все таблицы сборника расположены «в два хода»: каждое табличное значение функции находится на пересечении строки, имеющей в заголовке (слева) некоторые первые цифры соответствующего назначения аргумента, и столбца, имеющего в заголовке (сверху) остальные его цифры. Например, для квадрата числа 5,67 находим на странице 33 на строке 5,6 в столбце 7 значение 32,15, представляющее собой результат округления до 4 значащих цифр точного квадрата 5,67? — 32,1489.

Все табличные значения функций, приведенные в сборнике, получены путем округления до 4 или 5 значащих цифр соответствующих точных значений, а потому отличаются от точных не более как на половину единицы разряда последней цифры. Например, найдя из таблицы VII, что площадь круга] диаметра 2,16 линейных единиц равна 3,664 соответствующих квадратных единиц (страница 49, строка 2,1, столбец 6), мы можем быть уверены, что точное значение этой площади отличается от этой табличной не больше чем на половину тысячной, то есть что 3,6635 < К < 3,6645. Вычисление, проведенное точнее (без таблиц), дает К = 3,66435... .

Значения аргумента в каждой таблице равномерно растут (по крайней мере в некотором интервале), и постоянное значение разности двух соседних значений аргумента носит название «ступени» таблицы. Так, в таблице III ступень везде 0,01, а в таблице IV сперва 0,01, потом 0,1. Значения функции в большинстве таблиц тоже растут, по равномерным их рост оказывается только для линейных функций, т. е. функций вида у = ах + Ь, где а и b— постоянные. Увеличение х на ступень h дает у таких функций увеличение функции на постоянное число ah. Например, при увеличении диаметра на 0,01 длина окружности С = nd увеличивается на 0,01л = 0,0314... . Просматривая табличные значения длины окружности на странице 46, замечаем, что при возрастании d на 0,01 они возрастают то на 31, то на 32 тысячных. Это небольшое колебание вызвано приближенным характером табличных значений.

Разность двух соседних табличных значений функции называется «табличной разностью». Имея дело с таблицей функции, изменяющейся неравномерно, следует различать два случая: случай «почти равномерного» изменения функции.

когда табличные разности изменяются очень медленно, и случай «резко неравно-мерного» ее изменения, когда уже соседние табличные разности отличаются друг от друга на несколько единиц последнего разряда. Так, в таблице кубов I3 = 1, 23 = 8, З3 = 27, 43 = G4, ... мы имеем пример таблицы с резко неравномерным изменением функции, но если ту же таблицу кубов взять со ступенью не в 1, а в 0,001 и округлять кубы до 4 значащих цифр, то получится таблица с почти равномерным изменением функции, которую мы имеем на странице 40, где на протяжении всей строки 1,00 табличные разности равны 3 (тысячным), а на нескольких следующих — то 3, то 4. Различие между таблицами с равномерным, почти равномерным и резко неравномерным изменением функции проявляется особенно наглядно при изображении этих функций посредством графиков в прямоугольных координатах: в первом случае получается график в виде прямой, во втором — в виде кривой, небольшие участки которой искривлены едва заметно, в третьем — в виде кривой с заметной кривизной уже на каждом малом участке. Одна и та же таблица может быть таблицей с почти равномерным изменением функции на одном интервале в с резко неравномерным ее изменением на другом. Такова, например, таблица X, где на последних строках страницы 58 изменение функции резко неравномерно. Имея таблицу с резко неравномерным изменением функции, можно превратить ее в таблицу с почти равномерным изменением двумя способами: уменьшением ступени таблицы, то есть заменой ее другой, более подробной, что делается не так просто (надо либо иметь такую более подробную таблицу, либо заново ее составить), или округлением табличных значений, что делается очень просто, но связано с потерей точности. Например, тангенсы углов, указанные на странице 58 на строке 89°20' с точностью до сотых и изменяющиеся резко неравномерно, после округления до десятых становятся изменяющимися почти равномерно.

Каждая таблица содержит значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргумента. Возникает вопрос: как получить значения функции для промежуточных значений аргумента? Операция получения таких значений носит название «интерполяции». Ее иногда образно называют «чтением между строками таблицы».

В случае таблицы с равномерным или почти равномерным изменением функции применяется так называемая «линейная интерполяция», состоящая в следующем. Если при увеличении значения аргумента на h единиц какого-либо разряда функция увеличивается на d единиц некоторого разряда, то в силу равномерности изменения функции увеличение аргумента на 1 вызывает увеличение функции на d/h единиц, а увеличение аргумента на и — увеличение функции на Vz= du/h единиц. Очевидно, что для получения искомого значения функции надо взять ближайшее меньшее табличное ее значение и прибавить эту «поправку» о. Например, чтобы узнать, чему равен квадрат числа 8,053, берем на странице 33 8,052= 64,80, 8,Об2 = 64,96, 8.072 = 65,12 и убеждаемся, что изменение функции здесь почти равномерно: при ступени h = 0,01 или 10 тысячным табличная разность составляет здесь 16 сотых. Данное значение аргумента 8,053 превосходит ближайшее меньшее табличное его значение 8,05 на и -= 3 (тысячным), а потому поправка v равна 16 • 3Д0 = 4,8—5 (сотым). Прибавив ее к ближайшему меньшему табличному значению функции 8,052 = 64,80, получим 8,0532 = = 64,80+ 0,05= 64,85 (непосредственное умножение дает точно 8,0532 = = 64,850809).

Вместо того чтобы брать поправку па «избыток» данного значения аргумента над ближайшим меньшим табличным его значением, как мы это только что делали, можно дать поправку на его «недостаток» по сравнению с ближайшим большим табличным его значением и вычитать поправку из ближайшего большего значения функции. Например, для получения квадрата числа 8,057 берем 8,Об2 = 8,0602 = 64,96 и вычитаем поправку на 3 тысячных, равную 5 сотым, получая 8,0572 — 64,91 (при точном значении, равном 64,915249). Поправка на избыток выгоднее, если избыток не превосходит половины ступени; в противном случае выгоднее брать поправку на недостаток.

Операцию линейной интерполяции можно объяснять, исходя не из равномерности изменения функции, как мы это сейчас делали, а из пропорциональности приращений аргумента и функции, т. е. из пропорциональности избытка аргумента и поправки для функции, прекрасно иллюстрируемой и а графике, где получаются два подобных прямоугольных треугольника, один с катетами h и d, другой с катетами и и v. По существу, оба способа, конечно, тождественны, так как оба основаны на одной и той же пропорции и : v = h : d.

Какова точность результатов, получаемых посредством линейной интерполяции? Здесь имеются три источника погрешностей: неточность взятого ближайшего табличного значения функции, не превосходящая половины единицы разряда последней его цифры; неточность поправки, обусловленная неточностями табличных значений и округлением поправки, и, наконец, неточность поправки, вызванная неполной равномерностью изменения функции. Более глубокое рассмотрение вопроса показывает, что при разнице двух соседних значений табличной разности, не превосходящей 4 единиц, третий источник погрешности сколько- нибудь заметного влияния не имеет, и общая погрешность результата линейной интерполяции лишь в исключительно редких случаях может немного превзойти единицу разряда последней цифры. Это заключение легко проверяется на опыте. Например, пользуясь таблицей (с. 33), находим, применяя линейную интерполяцию, квадраты чисел, приведенных ниже в первой строке, и пишем их во второй строке, а в третьей строке помещаем соответствующие точные квадраты, округленные до четвертого десятичного знака, в четвертой же — разности чисел второй и третьей строк, выраженные в сотых долях. Как видим, погрешности интерполированных значений нигде не превосходят единицы разряда последней цифры.

Чтобы облегчить выполнение линейной интерполяции, в большинстве таблиц настоящего сборника даны «готовые поправки» в столбцах справа, набранные курсивом. Если табличные разности мало меняются на протяжении целой

строки, то поправки по формуле v = dti/h можно вычислить для всех чисел строки. Например, для строки 8,0 таблицы квадратов (с. 33) поправка на 0,001 в начале строки равна (8,012—8,002) : 10 = 0,01601, или 1,601 (сотых), а в конце ее (8,102— 8,092) : 10 = 0,01619, или 1,619, а в среднем 1,610 (сотых). Умножая эту среднюю поправку на числа от 1 до 9, получаем 1,61; 3,22; 4,83; 6,44; 8,05; 9,60; 11,27; 12,88; 14,49 или после округления до целых 2; 3; 5; 6; 8; 10; 11; 13; 14.

Именно эти числа и приведены на строке 8,0 таблицы квадратов справа (набраны курсивом). Как показывает опыт, применение этих готовых поправок сберегает до 50% времени, затрачиваемого на работу с таблицами.

Если табличные разности на протяжении строки меняются более заметно, готовые поправки приходится вычислять для частей строки, как это сделано, например, на странице 56 для строк 73°, 74°, 75° или на странице 65 для нескольких первых строк таблицы мантисс логарифмов. Если изменение табличных разностей на протяжении строки выражено еще резче, от готовых поправок приходится отказаться. В таких случаях операцию линейной интерполяции приходится проводить полностью, находя Л, d, ut v = du/ht как, например, на странице 71 и нескольких других.

При большой табличной разности поправку следует вводить не только на первую цифру избытка, но и на вторую, если она имеется, уменьшая приведенные в таблице готовые поправки в 10 раз. Так, чтобы найти 2,93452, со страницы 32 берется 2,932 = 8,585 и прибавляется поправка на 4 тысячных, равная 24 (тысячным), а затем поправка на 5 десятитысячных, равная 29 : 10 ~ 3 (тысячным), и получается окончательно 8,612 (непосредственное умножение дает 8,61129...).

Как мы уже видели, если избыток данного значения аргумента больше половины ступени, выгоднее пользоваться ближайшим большим значением функции, отнимая от него поправку на недостаток данного значения аргумента по сравнению с ближайшим большим его значением. Поэтому во всех таблицах, 1де аргументом служит угол и где ступень равна 6', готовые поправки даны только на Г, 2', 3'. Если избыток составляет 4' или 5', надо брать поправку на 2' или Г, вычитая ее из ближайшего большего значения функции. Кроме экономии места, занимаемого таблицей, это дает некоторый выигрыш в точности получаемых результатов, так как малые поправки точнее больших.

Необходимо решительно предостеречь от применения линейной интерполяции в случае резко неравномерного изменения функции. Всякий раз, когда готовые поправки не даны, а нужно интерполировать, следует выяснить, насколько равномерен ход функции, и применять линейную интерполяцию лишь в том случае, когда соседние табличные разности мало отличаются друг от друга (не больше чем на 4 единицы), а в противном случае искать других путей. Так, например, желая найти lg sin 1°04'36", берем на странице 71, где готовых поправок нет, lg sin Г04' = 2,2699, lg sin 1°05' = 2,2766, lg sin lc06' = 2,2832 и убеждаемся, что линейная интерполяция здесь допустима, так как табличные разности равны 67 и 66. Вычисляя v = 67 • 36/60 = 40,2 ~ 40 и прибавляя эту поправку к табличному логарифму 2,2699, получаем lg sin Г04'36" = 2,2739 (по семизначным таблицам получается 2,2739331). Но если ладо получить lg sin 0с05'30" и мы применим тот же способ линейной интерполяции, то получим 88

1g sin 0°05z = 3,1627, d= 792, h = 60", и = 30", r = — • 30 = 396, 1g sin 0°05'30" = 3,2023, в то время как более точнее значение этого логарифма, найденное по семизначным таблицам, есть 3,2040866. Недопустимо большая погрешность нашего результата обусловлена резко неравномерным изменением функции: рядом с использованной нами табличной разностью 792 находится разность 669, линейная интерполяция здесь недопустима. Здесь можно воспользоваться тем обстоятельством, что при очень малых углах синус весьма мало отличается от радианной меры (меньше чем на шестую часть куба этой радианной меры). Со страницы 61 берем радианную меру угла в 5', равную 0,0014544, а также угла в 30", равную 0,00014544, и, складывая, получаем число 0,0015998, представляющее собой приближенное значение sin 0°05'30" с 7 точными десятичными знаками. Найдя по таблице XIII его логарифм, получаем 3,2041, т. е. как раз то, что надо.

Во многих случаях таблицы дают непосредственно значения функции лишь в одном ограниченном интервале значений аргумента, но путем несложных дополнительных расчетов, производимых обычно в уме, можно существенно расширить этот интервал. Так обстоит дело с таблицами квадратов, кубов, обратных значений и ряда других. Возьмем, например, таблицу VII, дающую непосредственно значения площади круга с диаметром от d = 1 до d = 10; замечая, что при увеличении диаметра круга в 10 раз его площадь увеличивается в 102 = 100 раз, мы можем по этой же таблице находить площадь круга любого диаметра. Например, желая найти площадь круга диаметра d = 49,52, находим по таблице сперва площадь круга диаметра 4,952 (с. 50, строка 49, столбец 5, поправка на 2), равную 19,26, а затем увеличиваем этот результат в 100 раз и получаем окончательно 1926. Чтобы найти площадь круга с диаметром d = 0,04567, получаем сперва площадь круга диаметра 4,567 (страница 50, строка 45, столбец 7, вычитается поправка на 3), равную 16,38, потом уменьшаем ее в 1002 = 10 000 раз и получаем 0,001638.

Разобрав во всех деталях вопрос о разыскании посредством таблиц значения функции по данному значению ее аргумента, то есть так называемой «прямой вопрос», переходим к «обратному вопросу», когда по данному значению той функции, для которой таблица составлена, надо найти соответствующее значение аргумента.

Если данное значение функции имеется в таблице, все дело сводится к вы-писыванию соответствующего значения аргумента. Если же данного значения функции в таблице нет, то пользуются той же операцией линейной интерполяции, внеся в нее надлежащие изменения и предварительно убедившись в ее допусти-мости. Берут ближайшее меньшее табличное значение функции и находят, сколько надо добавить к соответствующему значению аргумента, чтобы довести это ближайшее меньшее значение функции до данного. Здесь используется та же пропорция и : v = h : d, что и раньше, с той лишь разницей, что теперь v дано, а ищем и по формуле и = hv/d. Так, чтобы найти с помощью таблицы квадратов число, квадрат которого равен 4,235, т. е. квадратный корень из числа 4,235, берут со страницы 32 ближайший меньший и ближайший больший табличные квадраты 4,203— 2,05* и 4,244 = 2,Об2. Здесь ступень h = 10 (тысячным), табличная разность d~ 41 (тысячной), следующая табличная разность

тоже 41, линейная интерполяция допустима. Чтобы довести ближайшее меньшее табличное значение до данного, надо увеличить это ближайшее на 4,235 — —4,203 = 0,032, откуда v — 32 (тысячным). Поэтому и == 10 • 32/41 ~ 8 и искомый корень равен 2,050 + 0,008 = 2,058. Можно взять не ближайшее меньшее, а ближайшее большее значение функции и уменьшать его до данного, выясняя, каково соответствующее уменьшение ближайшего большего значения аргумента. В данном примере соответственно этому берем 4,244 — 4,235= 0,009, т. е. v= 9 (тысячным), и находим и = 10 • 9/41 2, а затем искомый корень 2,060—0,002= 2,058.

Вообще, лучше пользоваться тем из ближайших табличных значений функции, какое ближе к искомому.

Применение готовых поправок и здесь существенно облегчает работу: найдя разность между данным значением функции и ближайшим табличным ее значением (меньшим или большим), смотрим, какая поправка из напечатанных курсивом па той же строке ближе всего к этой разности, и берем цифру, находящуюся в заголовке соответствующего столбца. Для получения квадратного корня из числа 4,235 достаточно заметить, что это число отличается от ближайшего меньшего табличного квадрата на 32 (тысячных) и что среди поправок, напечатанных на этой же строке, ближайшей к этому числу 32 является 33. Прибавив к соответствующему табличному значению аргумента 2,05 число 8 (тысячных), взятое из заголовка этого столбца поправок, получаем окончательно 2,05 + 0,008 = 2,058. Если взять ближайшее большее значение функции (4,244), то получается разность 4,244 — 4,235= 0,009. В столбцах поправок находим ближайшую цифру 8 в столбце 2 и выполняем вычитание 2,06 — 0,002, приводящее к тому же результату 2,058.

Вопрос о точности, с какой обратная линейная интерполяция дает искомое значение функции, довольно сложен. Оказывается, что здесь возможны самые различные случаи и что результат здесь тем более точен, чем больше табличная разность (предполагается, что линейная интерполяция допустима). Например, если дано приближенное значение sin А = 0,9997 с 4 точными десятичными знаками, то в таблице VIII (на с. 54) мы находим целых три угла с таким синусом (88°30', 88°36', 88°42'). Полагая А = 88°36', надо иметь в виду, что это значение искомого угла весьма неточно: оно может отличаться от точного до 9'. Если же sin А = 0,1070, то находимое по таблице VIII с помощью готовых поправок значение 6°08х отличается от точного, как можно показать, не больше чем на Г: применение способа границ приводит к заключению, что 6°08' < А < 6°09'.

Итак, каждая таблица служит не только для получения значений той функции, для которой она составлена, но и для получения значений аргумента, т. е. для получения значений обратной функции: по таблице квадратов можно находить и квадратные корни, по таблице логарифмов—антилогарифмы и т. д. Однако опыт показывает, что решение обратного вопроса требует несколько большей затраты труда, чем решение прямого, а потому в настоящем сборнике наряду с таблицей логарифмов помещена таблица антилогарифмов, наряду с таблицей квадратов — таблица квадратных корней, хотя можно было бы обойтись и без них.

До сих пор речь шла только о таблицах возрастающих функций. Легко видеть, как изменяется способ пользования таблицей, если функция убывает, как, например, в таблице II, дающей значения дробей вида 1/п, или в таблице V1H при разыскании косинусов. При работе с таблицей возрастающей функции 90

ошибки от недостаточного внимания случаются реже, а потому можно рекомендовать заменять подыскание косинусов подысканием синусов дополнительных углов, подыскание котангенсов — подысканием тангенсов дополнительных углов.

Таблицы настоящего сборника, вообще говоря, обеспечивают получение искомых значений с 4, иногда с 5 значащими цифрами. Но бывают особо неблагоприятные случаи вычислений (вычитание из приближенного числа другого приближенного числа, близкого к первому, возведение приближенного числа в степень с большим показателем и т. д.), когда окончательный результат получается с меньшей точностью. Если точность результата требуется большая, надо либо обратиться к более подробной таблице (пятизначной, семизначной и т. д.), либо проводить вычисление непосредственно, что не представляет непреодолимых трудностей при возведении в степень, извлечении корня и некоторых других операциях. Ниже приведены некоторые «ряды», позволяющие находить с произвольно высокой точностью значения логарифмов, антилогарифмов, синусов, косинусов, тангенсов, корней квадратных и кубических.

ВАЖНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ VII И VIII КЛАССОВ

(Для учащихся IX, X классов рекомендуется какой-либо более подробный справочник, например К- У. Шахно или М. Я. Выгодского.)

Уравнение 1-й степенн с одним неизвестным: ах 4" Ь = 0, а ф 0, х = —Ь : а.

Система двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными: ax4-by=c,alx+Z?ly=c1

при D = abt — aYb =/= 0; х = (cbl — ctb) : D, у = (ac{ — а^) : D система имеет единственное решение;

при D = 0, а 0; acv — akc = 0 система сводится к одному первому уравнению и имеет бесчисленное множество решений;

при D — 0, а =/= 0; аст — агс #= 0 система несовместна, решений иет.

Уравнение 2-й степени с одним неизвестным:

х2 + рх + q = 0, корни Xj 2 — —0,5р1Ь)А(0,5р)2 — q, xt + х2~= —р, xtx2 = q;

ах2 + Ьх + с = 0, х12 = (—Ь+уГ& — 4ас) : 2а, х{ + х2= —b : a, xLx2= с : а; ах2- + 2kx + с = 0, хг 2 = (—/е2 — ас) : a, xL + х2 •= —2k : a, xLx2 — с : а. Квадратный трехчлен: ах2 + Ьх + с = а (х — х£) (х — х2), где хг и х2 — корни уравнения ах2 4- Ьх 4“ с = 0.

Функции и их графики:

у — ах, прямая пропорциональность, график — прямая, проходящая через начало координат и через точку (1; а);

у = ах 4" Ь, линейная функция (в частном случае при Ь = 0 сводится к прямой пропорциональности), график — прямая;

у — х2 или у = ах2, пропорциональность квадрату, график — парабола с вершиной в точке (0; 0) и с осью симметрии на оси ординат;

у = ах2- 4" Ьх 4“ с, квадратная функция общего вида, график — парабола с вершиной в точке (—Ь : 2а; с — Ь2 : 4а) и с осью симметрии, расположенной парал-лельно оси ординат;

у = х3 нли у = ах8, пропорциональность кубу, график — кубическая парабола с центром в точке (0; 0);

у == а : х, обратная пропорциональность, график — гипербола, ветви которой неограниченно приближаются к осям координат;

у=аргх, пропорциональность корню квадратному, график — парабола с вершиной в точке (0; 0) и с осью симметрии на оси абсцисс;

з^-

у = а у х, пропорциональность корню кубическому, график — кубическая парабола с центром в точке (0; 0).

Счетная линейка (нормальная). Шкалы (сверху вниз): К — кубическая, метки от 1 до 1000; А — квадратная на корпусе, метки от 1 до 100; В — квадратная на движке, метки от 1 до 100; R — обратная на движке, метки от 10 до 1; С — основная на движке, метки от 1 до 10; D — основная на корпусе, метки от 1 до 10; L — шкала мантисс десятичных логарифмов, метки от 0 до 1, в восьмилетней школе не рассматривается; на обратной стороне движка шкалы (сверху вниз): 5 — синусов, метки от 5°43' до 90°; S & Т — синусов и тангенсов малых углов, метки от 0°35' до 5°43', Т — тангенсов углов от 5°43' до 45°.

Возведение в квадрат — переход от D к А или от С к В, Извлечение квадратного корня — переход от А к D или от В к С. Возведение в куб — переход от D к К. Извлечение кубического корня — переход от К к D. Умножение и деление па квадратных шкалах (см. черт. 3). Умножение на основных шкалах (см. черт. 4, два случая). Деление на основных шкалах (см. черт 5, тоже два случая). Решение пропорций вида а : аг = b : Ь± на шкалах квадратов или на шкалах основных (см. черт. 6).

Черт- 6

Треугольник прямоугольный: катеты а и bt гипотенуза с, острые углы А н В, а2+Ь2=с2, Д4-В=90°, а—с sin А=с cos В, b=c sin В=с cos A, a=b tg А = *=b etg В, b—a tg В=а etg Д; sin 0°=0, cos 0°= 1, tg 0°=0, sin 30°=0,5, cos 30°/3 : 2, tg 30° = /3 : 3, sin 45° = cos 45°=/2 : 2, tg 45° = 1, sin 60° = /3 :2, cos 60° = 0,5, tg 60° = У3, sin 90° = 1, cos 90° = 0, tg 90° не существует (с приближением острого угла к 90° его тангенс неограниченно возрастает).

Треугольник любого вида: стороны а, Ь, с, противолежащие углы Д, В, С, А + В + С = 180°, а2=Ь2+с2—2bc cos А; периметр 2р, — высота, опущен

ная на сторону а, тп — медиана, проведенная к стороне а, г и R — радиусы окружностей, вписанной и описанной, S — площадь. S=0,5a/in=0,5afc sin С = = Vp (Р — с) (р — Ь) (р — с) = rp^abc : 47?, та = 0,5 У—а2 + 2Ь2 + 2с?.

Синус тупого угла равен синусу дополнительного острого, косинус тупого угла равен отрицательно взятому косинусу дополнительного острою: если А — тупой угол, то sin А = sin (180° — A), cos А = —cos (180°— А).

Окружность радиуса г, диаметра (h длина окружности: С = 2лг = nd, площадь круга: К = лг2 = 0,25ш₽. Длина дуги окружности: 1=птп : 180°, где п — градусная мера дуги. Площадь S кругового сектора с центральным углом в п градусов равна: S= nrbi : 360.

Объемы и поверхности тел: объем призмы с площадью основания S и высотой А: Упр — Объем прямоугольного параллелепипеда (бруса): Уср = abc, где о, А, с — три его измерения. Объем пирамиды с площадью основания S и высотой А: Угп.р= Sh:3. Объем усеченной пирамиды с площадями оснований и S2 и высотой h: Уус. пир = Л (St + SrS2):3. Отношение площадей поверхностей двух

подобных тел: : S2 = А2, их объемов: Vj : У2 = k3t где k — отношение длин двух сходственных отрезков. Площадь боковой поверхности прямого круглого цилиндра с радиусом основания г и высотой А: 5ЦИл = 2лгА; его объем: УЦИл == nr2h. Площадь боковой поверхности прямого круглого конуса с радиусом основания г

и образующей /: SKOH = его объем: Укол = лг2А, А= V Г2,—г2 (А—высота о

конуса). Площадь боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований и г2 и образующей 1±: 8Ус.кон= л его объем: Уус. кон=лА (г^ +^+^2) 2 3.

Площадь поверхности шара радиуса /?: £Шара = 4л/?2. Объем шара радиуса /?: У шара = 4л/?3 : 3.