• 6. Кольцо. 25
• 7. Поле 39
• 8. Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм 47

9. Расположенные кольца. и поля 53

Глава Ш. Натуральные числа

• 10. Число и счет 63
• 11. Аксиомы натуральных чисел 65
• 12. Сложение 68
• 13. Умножение. 72
• 14. Порядок. 75
• 15. Индуктивные определения. Сумма и произведение нескольких чисел 79
• 16. Вычитание и деление 86
• 17. Теория делимости натуральных чисел. 88
• 18. Замечания о системе аксиом натуральных чисел 95

Глава IV. Кольцо целых чисел

• 19. Принцип расширения в арифметике и алгебре 101
• 20. Эквивалентность и разбиение на классы. 103
• 21. Определение кольца целых чисел 104
• 22. Свойства целых чисел 114
• 23. Теория делимости целых чисел 118
• 24. Полукольцо 125

Глава V. Поле рациональных чисел

• 25. Определение поля рациональных чисел 128
• 26. Свойства рациональных чисел. 136
• 27. Поле отношений. 145

Глава VI. Поле действительных чисел

$ 28. Полные и непрерывные поля. 148

• 29. Определение поля действительных чисел 164
• 30. Свойства действительных чисел 178

$ 31. Запись чисел десятичными дробями. 189

$ 32. Аксиоматическое определение действительных чисел. 203

Глава VII. Поле комплексных чисел

• 33. Определение поля комплексных чисел. 215
• 34. Свойства комплексных чисел. 222

Глава VIII. Кольцо многочленов и поле рациональных функций

• 35. Определения и простейшие свойства. 233
• 36. Алгорифм деления. Свойства корней. Обоснование функциональной точки зрения на многочлены и рациональные функции . . . .248
• 37. Теория делимости для евклидовых колец и колец главных идеалов Примеры колец с нарушением однозначной разложимости на простые множители. 257
• 38. Приложение общей теории к целым числам, многочленам и целым гауссовым числам 271

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Числа и многочлены, на первый взгляд столь различные между собой, имеют, однако, много общего. Для тех и других определены действия сложения, вычитания, умножения и деления, обладающие одними и теми же свойствами. Как те, так и другие являются частными случаями общего понятия кольца, являющегося одним из основных понятий современной алгебры. Поэтому становится возможным изучение чисел и многочленов в рамках одной общей теории. Это позволяет яснее видеть взаимосвязь и значение различных их свойств и устраняет многократное и утомительное повторение одних и тех же рассуждений при построении различных числовых областей и многочленов.

В первых двух главах вводятся общие понятия, необходимые для понимания всей книги. В последующих главах строятся натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа, многочлены и алгебраические дроби. Эти главы можно читать в любом порядке,так как свойства чисел, которые там доказываются, известны па школы.

Примеры, иллюстрирующие новые понятия, используют свойства чисел, доказательство которых часто дается лишь дальше, но которые читателю известны.

При работе над книгой я использовал ряд ценных указаний С. А. Я п о в- с к о й, А. Н. Колмогорова, П. С. Александрова, А. Я. Хинчина и И. Р. Шафаревича.

Всем им я выражаю свою сердечную благодарность.

Москва, 25 октября 1948 г. И. Проскуряков

За пятнадцать лет, прошедших со времени первого издания, я получил ряд положительных отзывов об этой книге. Надеюсь, что она и в дальнейшем будет содействовать привлечению молодежи к работе в области математики.

Настоящее издание выходит без существенных изменений. Добавлены лишь отдельные замечания и изменены ссылки на литературу в связи с выходом новых изданий указанных книг.

Москва, 15 июня 1964 г. И. Проскуряков

ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ

Глава первая

МНОЖЕСТВА

• 1. Понятие о множестве

Любая область математики изучает те или иные объекты не каждый в отдельности, а в их связи между собой. Объекты, обладающие теми или иными общими свойствами, объединяются вместе в одну совокупность и изучаются совместно. Так, в арифметике не изучаются порознь числа 3 и 5, но рассматривается совокупность всех простых чисел, обладающих общим свойством не делиться ни на какое другое (натуральное) число, кроме самого себя и единицы.

Совокупность всех натурал ьных чисел включается в более широкую совокупность целых чисел. Расширяя уже полученную числовую область, мы приходим далее крациональ- ным, действительными, наконец, комплексным числам. В алгебре рассматриваются такие совокупности, как многочлены и алгебраические дроби. В геометрии, изучая свойства треугольника, отвлекаются от его положения на плоскости или даже от его размеров, получая теоремы, справедливые для всех равных или же всех подобных треугольников, рассматриваются совокупности точек, обладающих тем или иным общим свойством (геометрические места), и т. д.

Бессмертной заслугой Кантора * является создание общей теории таких совокупностей, носящей название теории множеств и лежащей теперь в основе всей математики.

Мы ограничимся здесь лишь начальными сведениями из этой теории, отсылая читателя, желающего детально с ней ознакомиться, к книге Ф. Хаусдорфа «Теория множеств», перевод с немецкого Н. Б. Веденисова, ГОНТИ, 1937.

Множество — это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Эти слова не следует принимать за определение

• Георг Кантор, 1845—1918.

понятия множества, ибо чем слово «совокупность» лучше слова «множество»? Понятие множества принимается за основное, т. е. несводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом а и содержащим его множеством А обозначается так: а Е А (словами: а есть элемент множества А, а принадлежит А, А содержит а). Если а не является элементом множества А, то пишут а Е А (словами: а не входит в Л, Л не содержит а). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем употребляются фигурные скобки. Так, {а, б, с} обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Но, конечно, значение точек должно быть дополнительно разъяснено. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, .}, множество четных чисел {2, 4, 6, .}, причем многоточие имеет уже иной смысл.

Два множества Лий называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества А принадлежит множеству В и, обратно, каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Тогда пишут А = В. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов а, Ь, с допускает 6 видов записи:

{л, Ь, с} = {л, с, Ь} — {Ь, а, с} = {6, с, а} = {с, а, Ь) = {с, Ь, а}.

Из соображений формального удобства к числу множеств относят еще одно-единственное множество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется пустым множеством и обозначается символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Если каждый элемент множества А входит в множество В, то А называется подмножеством В; тогда В называется надмножеством А. Пишут А В, В А (словами: А входит в В или А содержится в В, В содержит А). Очевидно, что если Л^Вийс/^юЛ = В. Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества А входит в множество В, но множество В содержит хотя бы один элемент, не входящий в А, т. е. если А В и А В, то А называется собственным подмножеством множества В, В — собственным надмножеством множества А. Тогда пишут А с В, В зз А. Например, запись А^Ои АоО означает одно и то же, именно, что множество А непусто.

Заметим еще, что надо различать элемент а и множество {л}, содержащее а в качестве единственного элемента. Помимо того, что такое различие диктуется уже смыслом основного отношения элемента и множества, играющих при этом неодинаковую роль 6

(отношение а £ А не симметрично, т. е. если а £ А, то не имеет смысла запись A € а), такое смешение ведет к противоречию. Так, пусть множество А = {а, Ь} содержит два элемента. Рассмотрим множество {Л}, содержащее своим единственным элементом множество А. Тогда А содержит два элемента, тогда как {Л} лишь один элемент, и поэтому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому мы не будем применять запись а с Л, сохраняя обозначение а £ Л.

Примеры множеств. Понятно, что примеров множеств можно привести сколько угодно. Так, можно говорить о множестве всех букв данной книги, причем одна и та же буква на разных страницах или разных строках одной страницы считается за два различных элемента множества; о множестве всех людей на земном шаре, причем надо сделать гипотезу, что в рассматриваемый момент времени никто не рождается и не умирает; о множестве молекул воды в данном стакане и т. д. Все это — конечные множества. Кроме уже упоминавшихся выше бесконечных множеств натуральных чисел, четных натуральных чисел, рациональных чисел, действительных чисел и других, приведем еще некоторые.

Пусть а и Ь — два действительных числа, причем а < Ь. Множество всех действительных чисел х, для которых а х sj Ь, называется отрезком с концами а и Ь и обозначается символом [а, Ь]. Множество (а, Ь) всех х, для которых а < х < Ь, называется интервалом с концами а, Ь. (алее, полуинтервалами называются множества | а, Ь) тех х, для которых а sg: х < Ь, и (а, 6] тех х, для которых а <i^b.

Введем еще два символа: оо (плюс бесконечность) и — со (минус бесконечность). Они не считаются числами и вводятся лишь для удобства записи. Тем не менее для более легкого обращения с ними можно считать, что -(- со больше, а — со меньше любого действительного числа. Тогда можно ввести обозначения, аналогичные приведенным выше, для бесконечных полуинтервалов и интервалов. Именно: [а, -|- со) есть множество элементов х, для которых а «с х, (— со, 6] — множество элементов х, для которых х Ь, (а, -|- со) — множество х, для которых а < х, (— ос, Ь) — множество х₍ для которых х < Ь, (— оо, -|- ос) — множество всех действительных чисел

• 2. Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих по крайней мере одному из данных множеств (т. е. либо А, либо В, либо одновременно и А и В). Пишут А V В а читают; А объединение В.

Пересечением множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих одновременно и А и В. Пишут А /\ В и читают: А пересечение В.

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих А и не принадлежащих В. Пишут и читают: А минус В .

Примеры. 1. Пусть А есть отрезок [1, 3], В — отрезок (2, 4]. Тогда Я V В есть отрезок |1, 4], А Д В — отрезок |2, 3], А \В — полуивтервал (1, 2), В\Л — полуинтервал (3, 4J.

* Некоторые авторы применяют обозначения А В, АВ, А — В, во в алгебре это неудобно из-за смешения с алгебраическими операциями.

2. Пусть А есть множество всех прямоугольников, & В — множество* всех ромбов на плоскости. Тогда А Д В есть множество всех квадратов,

В — множество прямоугольников с неравными сторонами, В \Л — множество всех ромбов с неравными углами.

3. Пусть А и В — множества, для которых А В. Тогда

A \JВ = В, А /\В = А.

k. Пусть А — множество всех целых чисел, кратных числу k, В — множество всех чисел, кратных числу I. Тогда А /\В есть множество чисел, кратных общему наименьшему кратному k и I.

Очевидно, что А /\В = 0 тогда и только тогда, когда А и В не имеют общих элементов, и Л\В = 0 тогда и только тогда, когда А<=В.

Операции объединения и пересечения множеств обладают многими свойствами сложения и умножения чисел. А именно:

I. Коммутативность объединения (переместительный закон):

А \/В = В V Л.

II. Ассоциативность объединения (сочетательный закон):

А у (В у С) =(А V В) У С.

III . Коммутативность пересечения:

А А В — В А А.

IV . Ассоциативность пересечения:

А/\(В/\С) = (А/\В)/\С.

V. Дистрибутивность пересечения относительно объединения (распределительный закон):

А МВ У С) = А /\ В у А /\ С.

При употреблении скобок мы пользуемся теми же правилами, как в случае чисел, т. е. при отсутствии скобок считаем, что операция пересечения предшествует операции объединения, скобки же указывают на изменение этого порядка, как в свойстве V, или на расхождение порядка операций с порядком их записи, как в свойствах II и IV.

Кроме того, операции над множествами обладают еще одним свойством, не выполняющимся для чисел, а именно:

VI. Дистрибутивный закон объединения относительно пересечения:

А У В /\ С =(А VS)A(^ У С).

Таким образом, объединение и пересечение множеств симметричны, т. е. играют в свойствах I — VI одинаковую роль. Иными

словами, переставив местами операции объединения и пересечения в системе свойств I — VI, мы получим опять ту же систему свойств (изменится лишь порядок этих свойств).

Мы докажем в качестве примера рассуждений подобного рода лишь свойство VI, предоставляя читателю доказательство остальных свойств в качестве упражнения. Согласно определению равенства множеств нужно доказать, что любой элемент х, принадлежащий левой части равенства, должен принадлежать правой его части и, наоборот, любой элемент х правой части должен принадлежать и левой части.

а) Пусть х £ А \/ В Д С. По определению объединения либо х 6 А, либо х £ В Д С. Если х £ А, то из А А \/ В, А А \/С находим х £ А V В и х £ А V С. Откуда х £ (Л \/ В) /\ (А \/С). Если х 6 В Д С, то по определению пересечения х Е В s А V В и х 6 С А V С ^т- ^е- снова г £ (Л Х/ В) /\ (А \/ С).

6) Пусть, обратно, х 6 (Л \/ В) /\ (А V О- Тогда х £ А \/ В и х 6 Л V С. Поэтому либо х £ А S Л V В Д С, либо х £ Л; но так как х £ А V В и х £ А \/ С» то должно быть х £ В, х £ С и, следовательно, х £ В /\ С <= А V В Д С.

Понятия объединения и пересечения множеств дословно переносятся на случай более двух и даже любого (конечного или бесконечного) множества множеств.

Для удобства речи будем называть системами такие множества, элементами которых служат другие множества. Тогда объединением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих по крайней мере одному множеству данной системы. Пересечением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, входящих во все множества данной системы.

Применяются следующие обозначения. В случае конечной системы множеств A_it Л2, .» А_п объединение 5 и пересечение D обозначаются так:

$=Л, V. \Мп= \/А_ь

i =1

£)=Л1ДЛ_гД . ДЛ_П= A A_t. i=i

В случае бесконечной последовательности множеств Л_ь Лг>-» Л_п, ., т. е. системы, множества которой занумерованы всеми натуральными числами, пишут:

5=Л, уАг V- \Mn V-= \M_b

1=1

Z>=4i ДЛ₂Д. ДЛ_П Д.= Д Л,.

Наконец, в случае произвольной системы {Л_т} множеств Л_т, индексы которых составляют некоторое множество Л/, пишут:

5= \/ А_т, D= Л А_т. 771 € М тл € М

В иных случаях применяются обозначения, аналогичные указанным (см., например, задачу 1).

Задача 1. Пусть А_п есть множество точек плоскости, лежащих внутри круга радиуса 2” с центром в точке О, причем п принимает все целые значе- +⁰⁰ *+-«

бия от — со до + оо. Найти объединение и пересечение д А_п. п = —х П = —сю

Задача 2. Пусть А и В — любые множества, S ~ A\jВ> D = А /\В. Доказать равенства

Задача 3. Пусть есть какая-нибудь система подмножеств множества Я, причем М есть множество индексов т. Доказать равенства

«W Л_ОТ=Л (Я\4_я), Я\лл_я= У(К\А„). тем тем тем тем

• 3. Функция, отображение, мощность

Такую же существенную роль, как понятие множества, играет в математике понятие функции. Что же такое функция? Часто говорят, что функция есть переменная величина, зависящая от другой переменной величины (аргумента). В применении к обычным функциям, изучаемым в школе, как у = sin х, это определение вполне подходит и может применяться в преподавании. Наша задача, однако, состоит в более точном уяснении сущности этого понятия и получении современного определения его. Прежде всего, если взять функцию// = sin* х + 4- cos* х, то ее значение уже не зависит от значения х. Далее, под величинами принято понимать такие объекты которые можно сравнивать между собой, т. е. такие, между которыми существуют отношения больше и меньше. Между тем в математике рассматриваются функции, для которых эти отношения не установлены, как в случае комплексных чисел или вообще элементов некоторого множества. Внимательное рассмотрение показывает, что в понятии функции существенно не столько ее изменение с изменением аргумента, сколько сам закон соответствия, в силу которого по каждому значению аргумента однозначно определяется соответствующее ему значение функции. Так, функцию у = sin¹ х 4- 4- cos* х можно определить просто, сказав, что каждому вещественному числу х она ставит в соответствие число 1. Соответствие есть закон, позволяющий для каждого элемента х некоторого множества X однозначно указать некоторый объект (соответствующий данному элементу). Эти слова лишь поясняют понятие соответствия, но не должны пониматься как его определение. Понятие соответствия, как и понятие множества, принимается за основное, не подлежащее определению. Тогда наиболее общее определение функции будет такое:

Определение 1. Функцией, заданной (или определен

ной) на некотором множестве X, называется соответствие, в силу которого любой элемент х множества X определяет некоторый (соответствующий ему) объект /(х). Множество X называется областью определения функции, а множество Y объектов, соответствующих всем элементам множества X,— областью значений функции.

Примеры. 1. у = sin х. За область определения функции можно принять множество действительных чисел. Тогда областью значений функции будет отрезок {— 1, -|- 1].

2. у — tg х. За область определения функции можно принять множество действительных чисел, отличных от чисел вида пл -Ьу» где п пробегает все целые значения (ибо для этих значений х функция пе определена). Тогда областью значений функции будет множество всех действительных чисел.

3. Функция Дирихле: / (х) = 10 при х рациональном, 11 при х иррациональном.

Область определения функции — множество действительных чисел, область значений — множество (0, 1}, состоящее из двух элементов.

Весьма близким к понятию функции является понятие отображения.

Определение 2. Пусть даны два множества X и Y. Такое соответствие, при котором каждому элементу х £ X соответствует (единственный) элемент у 6 Y, называется отображением множества X в множество У; в частности, если каждый элемент у £ Y соответствует по крайней мере одному элементу х £ X, то такое соответствие называется отображением множества X на Y. Если элементу х соответствует у, то у называется образом х, ах — прообразом у. Пишут х у или у = f(x). Множество А всех элементов х£ X, имеющих один и тот же образ у £ У, называется полным прообразом элемента у.

Примеры. 1. Пусть D — множество действительных чисел. Соответствие х—► |х| будет отображением множества D в себя же и отображением D на множество неотрицательных чисел. Прообразом числа 0 будет один 0, число у > 0 имеет два прообраза -|- у и — у.

2. Поставим в соответствие каждой точке квадрата ее ортогональную проекцию на основание. Получим отображение квадрата на отрезок. Полным прообразом каждой точки основания будет множество всех точек квадрата, лежащих на перпендикуляре к основанию, восставленном в данной его точке.

Эти примеры показывают, что при отображении множества X в У, с одной стороны, некоторые элементы из У могут вовсе не иметь прообразов, а, с другой стороны, могут быть элементы, имеющие несколько (даже бесконечно много) прообразов. Если нет ни того, ни другого, то отображение называется взаимно однозначным. Таким образом, мы приходим к следующему определению:

Определение 3. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и У (или отображением X на У) называется соответствие (соответственно отображение), обладающее следующими тремя свойствами:

1) каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества У;

2) двум различным элементам множества X всегда соответствуют два различных элемента множества Y;

3) всякий элемент множества У соответствует хотя бы одному элементу множества X.

Заметим, что первые два свойства дают взаимно однозначные отображения множества X на некоторое подмножество множества У. В этом случае говорят о взаимно однозначном отображении X в У.

Если у = / (я) есть взаимно однозначное отображение X на У, то каждому элементу у Е У можно поставить в соответствие тот единственный элемент х 6 X, образом которого при отображении / является у. Это соответствие называется обратным отображением для отображения / и обозначается через В качестве легкого упражнения предлагается доказать, что есть также взаимно однозначное отображение У на X и что обратным для отображения /“* будет исходное отображение /.

Определение 4. Два множества X и У, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными, что обозначается символом X -- У. Об эквивалентных множествах говорят, что они имеют одинаковую мощность или что они равномощны. Пустое множество эквивалентно только самому себе.

Замечание. Мы сказали, когда два множества имеют одинаковую мощность, т. е. дали определение понятия равномощности, но не понятен мощности. Можно было бы сказать, что мощность есть то общее, что имеется у всех эквивалентных между собой множеств, однако это слишком неопределенно. Этой неопределенности можно избежать (хотя это покажется непривыкшему к абстракции весьма искусственным), назвав мощностью сам класс равномощных множеств. Впрочем, всюду достаточно понятия равномощности.

Соотношение эквивалентности обладает следующими тремя основными свойствами:

1) рефлективностью: X Х\

2) симметрией: если X У. то и У Х\

3) транзитивностью: если X У и У Z, то X~^Z.

Для доказательства, например, первого из них достаточно каждому элементу х £ X поставить в соответствие его же самого (тождественное отображение), что уже дает взаимно однозначное отображение множества X на себя. Доказательство остальных двух свойств предоставляется читателю .

Мощность множества характеризует, так сказать, «количество» его элементов. Однако при этом может оказаться, что часть

Подробнее о значении этих свойств будет сказано в главе IV, § 20.

Таким образом, приняв /(z)=./V(z) за целочисленную функцию в кольце R, мы убеждаемся, что кольцо R является евклидовым кольцом (§ 37, опр. 4), а значит, и кольцом главных идеалов (§ 37, опр. 5). Поэтому для него справедлива вся теория делимости предыдущего параграфа. В частности, любое целое число Гаусса разлагается в произведение простых чисел Гаусса и притом единственным образом.

Выясним, каковы же простые числа Гаусса. Условимся, в отличие от простых чисел Гаусса, под простыми числами всегда понимать натуральные простые числа 2, 3, 5, . . . (§ 17), т. е. натуральные числа, отличные от 1 и не имеющие делителей (среди натуральных чисел), отличных от 1 и самого данного числа.

Теорема 3. Если норма целого числа Гаусса — простое число, то само это число будет простым числом Гаусса.

Доказательство. Пусть z — целое число Гаусса и N (z)=p — простое число. Если z=xy, где х и у — целые числа Гаусса, то p=N(z) =N(x)-N(y). Так как N (х) и N (у) — натуральные числа и р — число простое, то либо ЛГ(я)=1, либо N(y)=i, т. е. одно из чисел х или у является делителем единицы в R. Но это значит, что z — простое число Гаусса.

Теорема 4. Любое простое число Гаусса z является делителем одного и только одного простого числа.

Доказательство. Из N (z) =zz следует, что любое целое число Гаусса, кроме нуля, является делителем натурального числа, а именно его нормы. Пусть

ЛГ(z)=p,p₂ . . . р_п

разложение натурального числа 7V(z) на простые множители. Так как произведение N (z) делится на простое число Гаусса z, то один из сомножителей р_{ делится на z (§ 37, теорема 9). Если простое число Гаусса z делит два различных простых числа р и q, то сопряженное с z число z также делит р и д, ибо р и q совпадают с сопряженными им числами. Поэтому натуральное число N (z) =гз делит взаимно простые числа р* и q*. Таким образом, 7V(z)=l, z — делитель единицы. Однако простое число Гаусса z не является делителем единицы. Значит, z не может делить два различных простых числа.

Теорема 5. Норма простого числа Гаусса z является либо простым числом, либо квадратом простого числа.

Доказательство. По предыдущей теореме существует простое число р, делящееся в кольце R на z. Тогда p=zt, где t — целое число Гаусса. Переходя к нормам, получим:

N(z)N(t)=N(p)=p\

Так как р* делится лишь на натуральные числа 1, р, р^г и N(z)^l, ибо z— не делитель единицы, то либо 2V(z)=p, либо A^r(z)=p^t.

Простые числа Гаусса, нормы которых — простые числа, называются числами первого порядка, а те, нормы которых равны квадратам простых чисел,— числами второго порядка.

Если натуральное число п равно норме целого числа Гаусса z=a-\-bi, то оно представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел, так как n=N (z) =а*+6*. Обратно, любое натуральное число п, равное сумме двух квадратов целых чисел, является нормой целого числа Гаусса, так как если п=а'-\-Ь* и z=a+bi, то n=N(z). Один из этих квадратов может отсутствовать (при а=0 или Ь—0). Но если N — число простое, то оба числа а и b отличны от нуля и можно считать их положительными. Итак, простое число р тогда и только тогда является нормой целого числа Гаусса, когда оно равно сумме двух квадратов натуральных чисел.

Теперь легко показать, что существуют простые числа Гаусса как первого, так и второго порядка. Прежде всего:

2 = (1+0 (1—0

Значит,

N(l+i) =2,

т. е. 1+i — число первого порядка. По единственности разложения на простые множители 1 + i и числа, с ним ассоциированные, исчерпывают все простые числа Гаусса, норма которых равна 2. Посмотрим, какие нечетные простые числа являются нормами простых чисел Гаусса первого порядка. Любое нечетное простое число р является либо числом вида 4и + 1, как 5, 13, 17, . . ., либо числом вида 4п+3, как 3, 7, 11, . . ., где п — целое неотрицательное число. Простые числа вида р =4п+3 не являются нормами простых чисел Гаусса, ибо не могут равняться суммам двух квадратов натуральных чисел. В самом деле, если р=4п + +3=а*+&*, то из нечетности р следует, что одно из чисел а, b четно, другое нечетно. Если

о, =2k, &=2Z+1, то

а’+6* =4£’+4Z¹+4i+l,

т. е. дает при делении на 4 остаток 1, тогда как р=4п+3 при делении на 4 дает остаток 3. Если р делится на простое число Гаусса z, то

p=zi, ЛГ(р)=А^г(г)ЛЧ0.

Но 2V(z)+=p. Значит, 7V(z)=p², N(t) =1, t — делитель единицы, z — число второго порядка, ассоциированное с р. Итак, все простые числа вида 4п+3 остаются простыми также в кольце чисел Гаусса и являются числами второго порядка.

Для простых чисел вида р=4п4-1 находим, например:

5=1*+2*, 13=2*4-3’, 17=1’4-4*.

Можно доказать, что любое простое число вида 4п4-1 является нормой простого числа Гаусса первого порядка и потому представляется в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Однако для этого нужны совершенно иные методы (в частности, теория сравнений), которых мы касаться не можем. Весьма ценным дополнением к этой книге, содержащим простое изложение ряда интересных свойств чисел (в частности, свойств целых чисел Гаусса), является книга Р. О. Кузьмина и Д. К. Фадеева «Алгебра и арифметика комплексных чисел», Учпедгиз, 1939.

Нашей задачей было не ознакомление читателя с новыми для него фактами, а выяснение точного смысла понятий числа и многочлена и строгое обоснование их свойств, уже известных читателю из средней школы.