Что и требуется доказать! Из опыта проведения математических олимпиад школьников Карелии (Эпштейн, Серов, Ковалева) 1985 год - старые учебники

От авторов

Математике школьники обучаются не только на уроках математики. Математические методы, рассуждения, подобные доказательствам теорем, используются во многих науках. Еще К- Маркс указывал, что наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. И при решении различных производственных задач, при составлении плана любой работы неизбежно приходится решать задачи, сходные с математическими. Поэтому математическое образование школьник получает, порой незаметно для себя, и на других уроках, и знакомясь с окружающей его жизнью. Развитие математических способностей школьника является очень важной и, можно сказать, необходимой составной частью воспитания строителя нового общества. В умственном развитии человека математика играет такую же роль, какую занятия физкультурой играют в физическом его развитии. М. И. Калинин метко называл математику гимнастикой ума. Известно, какую роль в привлечении к занятию физкультурой и в развитии физического совершенства молодого человека играют спортивные соревнования. Сходную роль в развитии математических и вообще умственных способностей играют математические соревнования — математические олимпиады.

Система математических олимпиад в нашей стране существует несколько десятилетий и непрерывно совершенствуется. Математическими соревнованиями охвачены сейчас все школы нашей Родины. Ежегодно проводятся Всесоюзные математические олимпиады. Каждая из них состоит из пяти туров: школьные, районные, областные (в автономных республиках они называются республиканскими), олимпиады союзных республик и завершающий пятый тур — Всесоюзная олимпиада.

Для наиболее полного охвата всех учащихся, желающих принять участие в этих соревнованиях, проводятся заочные математические олимпиады. Их победители обычно получают право участия в третьем туре Всесоюзной математической олимпиады.

Авторы настоящей работы в течение нескольких лет участвовали в организации и проведении математических олимпиад — составляли задачи, проверяли олимпиадные работы учеников, беседовали со школьниками, выступающими на олимпиадах, и с их учителями. На основании многолетнего опыта мы убедились, что олимпиада — не изолированное мероприятие, а дело, связанное со всей работой школьника и его учителя в течение всего учебного года. Олимпиада приносит достойные плоды в математическом развитии ученика лишь тогда, когда она завершает хорошо поставленную подготовительную работу учителя— занятия математического кружка, работу над факультативным курсом, индивидуальную работу с учащимися. Как спортсмен не достигнет высоких спортивных результатов на соревнованиях, если он будет лишен тренировочных занятий, так и юный математик вряд ли сможет хорошо выступить на олимпиаде, если не поработал (лучше, если с помощью учителя) над «тренировочными задачами». В качестве таких задач можно использовать задачи, предлагавшиеся на различных математических олимпиадах прошлых лет.

Для проведения таких подготовительных к олимпиаде занятий задачи следует выбирать не случайно, а в некоторой определенной последовательности. В этой работе мы стремились расположить их в таком порядке. Мы считаем, что эти задачи могут послужить отправной точкой и для составления заданий школьных и районных олимпиад, а также для проведения кружковой работы и для индивидуальных занятий с учащимися, проявившими стремление к решению нестандартных задач.

В 1966 году на страницах газеты «Комсомолец» впервые были опубликованы задачи заочной математической олимпиады школьников Карелии. И с тех пор в газете ежегодно в феврале печатались такие задачи.

Сотни школьников их решали, а те, кто это делал особенно успешно, участвовали в очередной республиканской олимпиаде. Сейчас некоторые из участников этих заочных олимпиад уже окончили институты, одни из них стали математиками, другие — инженерами, третьи — биологами, но все они, наверное, помнят о своих первых успехах в решении наших задач, которые по своей форме часто отличались от задач из школьных задачников и тре-бовали для решения немалой доли того, что называется смекалкой, а порой и незаурядного упорства.

Собранные в этой брошюре задачи нельзя с полным основанием назвать «олимпиадными». Здесь вы встретите достаточно простые задачи, для решения которых нужны очень скромные знания математики и небольшой элемент «догадки», и задачи, уже близкие по трудности к тем, которые предлагаются и в таких серьезных соревнованиях, как Всесоюзная или Международная математические олимпиады.

Многие задачи в этой работе предложены авторами. Некоторая часть — заимствована из списков задач, рекомендованных для областных математических олимпиад жюри Всесоюзной математической олимпиады, из задач, предлагавшихся на математических олимпиадах в зарубежных странах, из математических изданий социалистических стран, среди которых мы наиболее часто обращались к журналу «Альфа» (ГДР).

Задачи разбиты на семь разделов. Внутри каждого раздела мы старались расположить задачи в порядке возрастающей трудности. Распределение на разделы произведено по тематическому признаку, но, конечно, оно весьма условно. Так, во втором разделе собраны задачи с очень пестрой тематикой, для решения которых требуются лишь самые общие математические сведения, а основным методом решения служит, можно сказать, сообразительность решающего.

Задачи рассчитаны на учеников от седьмого—восьмого классов. Задачи, для решения которых нужны сведения из программы 9—10 классов, уже в своей формулировке содержат соответствующие указания (упоминание об арифметической прогрессии, тригонометрических функциях, стереометрический материал). Если таких «сигналов» в формулировке нет, то за задачу может смело браться восьмиклассник.

Для ряда задач даны достаточно подробные указания к их решению. Мы настоятельно рекомендуем знакомиться с этой частью книги только после того, как читатель может предложить свой вариант ответа на поставленный вопрос. Каждая задача может быть решена разными спо-

5 собами, и авторы не гарантируют, что их способ — лучший. Иногда указание — только намек. Думайте!

Мы надеемся, что, решив самостоятельно значительную часть предлагаемых задач, школьник может легко перейти и к более трудным задачам, например собранным в книгах (5), (6) из списка литературы, а также из задачника «Кванта».

I. ИГРЫ С ЦИФРАМИ

(ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ)

1. На каждой из шести граней двух кубиков написано по одной цифре. Все шесть цифр на кубике разные. Прикладывая кубики различным способом друг к другу, можно на двух верхних гранях получить различные дву-значные или однозначные числа. Укажите наибольшее и наименьшее число получающихся таким способом различных между собою двузначных и однозначных чисел.

2. Замените каждую букву соответствующей цифрой, чтобы равенство сохранилось:

twenty f i f t у + nine one eighty

3. Найдите четырехзначное число, если известно, что первая цифра этого числа равна сумме второй и третьей (считая слева направо), суммы первой и третьей цифр в 10 раз больше четвертой, и что это число — точный квадрат (т. е. оно является квадратом другого целого числа).

4. Девятизначное число, в записи которого есть все цифры, кроме нуля, после некоторой перестановки цифр увеличилось в восемь раз. Найдите все такие числа.

5. Какие натуральные числа уменьшатся в 13 раз от зачеркивания последней цифры?

6. Между двумя цифрами некоторого четырехзначного числа поставили знак умножения и, вычислив образовавшееся произведение, вычли из него исходное число. Разность оказалась равной 1969. Найдите исходное число.

II. СООБРАЖАТЬ НАДО!

7. Можно ли из этих фигур сложить шахматную доску размером 10X10?

8. Школьники для игры разбились на две партии: на серьезных, отвечающих правильно на любой вопрос, и на «шутников», дающих на любой вопрос только неправильные ответы. Преподаватель, узнав об этом, спросил Иванова, серьезный ли он человек или шутник. Не расслышав ответа Иванова, он спросил у Петрова и Сидорова, сидевших рядом с Ивановым: «Что ответил мне Иванов?» Петров сказал: «Иванов ответил, что он серьезный человек». Сидоров же сказал: «Иванов ответил, что он «шутник». Подумав немного, преподаватель сказал, кем были Петров и Сидоров. Как он это сделал?

9. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до полу, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одинаковой скоростью, а вторая, хотя и поднималась в 1,5 раза медленнее, зато спускалась в 1,5 раза быстрее, чем первая. Какая из мух раньше приползет обратно?

10. Группу туристов из 6 человек в 52 километрах от железнодорожной станции, куда туристы должны были попасть как можно скорее, догнал знакомый шофер на машине «Запорожец» и предложил их подвезти. «Запорожец» вмещает только трех пассажиров. Вычислите наименьшее время, необходимое для прибытия на станцию всей группы туристов, если скорость движения туристов 4 км/час, а скорость «Запорожца» 40 км/час.

11. В какой момент между двумя и тремя часами минутная стрелка будет перпендикулярна часовой стрелке?

12. Предположим, что справедливы следующие утверждения: 1) среди Af учеников — победителей олимпиады — есть только JV отличников; 2) среди учеников, каждый