Skip to main content

Что мы знаем и чего не знаем о простых числах (Серпинский) 1963 год скачать Советский учебник

Старые учебники СССР

Книга для учащихся старших классов

В книге выдающегося польского математика Вацлава Серпинского собраны наиболее важные, интересные и доступные широкому кругу читателей результаты, относящиеся к теории простых чисел. Приводятся многочисленные указания на нерешенные проблемы.
Доказательства теорем даются лишь в тех случаях, когда они элементарны и не очень утомительны. В основном книга имеет информационный характер. Она может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в этой книге большой материал для занятий математического кружка.

Автор: В. Серпинский

Москва-Ленинград «Физико-математическая литература» 1963

 

С О Д Е Р Ж А Н И Е

И. Г. Мельников. Вацлав Серпинский (к восьмидесятилетию со дня рождения)

От переводчика

Предисловие

1. Что такое простые числа

2. Простые делители натуральных чисел

3. Сколько существует простых чисел

4. Как можно найти все простые числа, меньшие данного числа

5. Простые числа близнецы

6. Гипотеза Гольдбаха

7. Гипотеза Гильбрайта

8. Разложение натурального числа на простые сомножители

9. Какими цифрами могут начинаться и заканчиваться простые числа

📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ....

10. Число простых чисел, не превосходящих данное число

11. Некоторые свойства л-го по порядку простого числа

12. Многочлены и простые числа

13. Арифметические прогрессии, образованные из простых чисел

14. Малая теорема Ферма

15. Доказательство теорем, согласно которым имеется бесконечно много простых чисел каждого из видов 4k + 1, 4k + 3, и 6k + 5

16. Некоторые гипотезы относительно простых чисел

17. Теорема Лаграижа

18. Теорема Вильсона

19. Разложение простого числа на сумму двух квадратов

20. Разложение простого числа на разность двух квадратов и другие разложения

21. Квадратичные вычеты

22. Числа Ферма

23. Простые числа видов nn + 1, nnn + 1,и некоторых других видов

24. Три ошибочных теоремы Ферма

25. Числа Мерсенна

26. Простые числа в различных бесконечных последовательностях

27. Решение уравнений в простых числах

28. Магические квадраты, составленные из простых чисел

29. Несколько нерешенных задач, касающихся простых чисел

30. Гипотеза А. Шинцеля

Именной указатель

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать учебник СССР - Что мы знаем и чего не знаем о простых числах 1963 года (формат DjVu, 1.13 Mb)

СКАЧАТЬ DjVu

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

Цель этой книги — сообщить в наиболее доступной форме о том, что мы знаем и чего не знаем о простых числах. С простыми числами мы встречаемся уже в элементарной арифметике, но они играют важную роль и в других разделах математики, главным образом в теории чисел и алгебре.

Математика считается, и справедливо, наукой дедуктивной. Тем не менее не следует умалять роль, которую сыграла в математике индукция, и притом не так называемая полная индукция, а индукция, основанная на наблюдении большого числа случаев и ведущая от них к предполагаемым общим теоремам. Особенно это относится к учению о йростых числах, где именно таким путем было открыто много важных теорем, доказательства которых были найдены лишь позднее. Но этот путь часто приводил и к ошибочным предположениям. Известны также различные предположения, которые для многих частных случаев проверены, но о которых до сих пор неизвестно, истинны они или нет. Обо всем этом будет идти речь в данной книге.

Книга не является учебником по теории простых чисел; она имеет в основном информационный характер. В книге доказываются лишь некоторые теоремы, именно те, доказательства которых совершение элементарны и не очень громоздки. Читателя, желающего познакомиться с доказательствами других теорем и углубить свои знания о простых числах, отсылаю ко второй части моей книги «Теория чисел» *), где указывается и дополнительная литература.

Варшава, март 1961 г. Вацлав Серпинский

*) См W. Sierpinski, Teoria Hczb, И. Warsiawa, 19Б9. {Прим, перев )

1. Что такое простые числа?

К понятию простых чисел приводят уже самые простые задачи, которые возникают в связи с таким элементарным арифметическим действием, как умножение натуральных, т. е. целых положительных чисел.

Как известно, произведение двух натуральных чисел всегда является числом натуральным. Следовательно, существуют натуральные числа, представляющие собой произведения двух натуральных чисел, больших единицы. Но существуют -также натуральные числа, большие единицы, которые не являются произведениями двух натуральных чисел, больших единицы, например числа 2, 3, 5 или 13. Именно такие числа мы называем простыми.

Итак, простым, числом мы называем каждое натуральное число, большее единицы, которое не является произведением двух, натуральных чисел, больших единицы.

Напрашивается вопрос, имеем ли мы возможность относительно каждого натурального числа п 1 установить, простое оно или нет. Оказывается, само определение простых чисел позволяет ответить на этот вопрос.

Действительно, если натуральное число п 1 не является простым, то оно представляет собой произведение двух натуральных чисел а и Ь, больших единицы, т. е. п = ab, где а 1 и b 1, откуда тотчас же следует, что па и п Ь. Натуральное число я1, не являющееся простым, есть, таким образом, произведенные двух натуральных чисел, меньших п. Такое число мы называем составным. Если число п составное, то п =* ab, где а и b — числа натуральные 1 и <п. Частное п ; а = b является натуральным числом.

следовательно, а есть делитель натурального числа п, больший 1 и меньший чем п. Поэтому, чтобы убедиться в том, что натуральное число п 1 является простым, достаточно убедиться, что оно не имеет натурального делителя 1 и <л. Для этого достаточно выполнить п — 2 делений числа п поочередно на числа 2, 3, ..., л — 1. Если ни на одно из них число п не делится без остатка, то в этом и только в этом случае число п является простым.

Итак, по крайней мере теоретически, мы всегда сумеем (при помощи конечного числа делений) убедиться, является ли данное натуральное число л простым или нет. На практике описанный способ может порождать значительные трудности, когда п большое число. Так, до сих пор мы не можем, ввиду длинноты необходимых вычислений, применить этот способ к числу 2101 — 1, имеющему тридцать одну цифру (в десятичной системе счисления), хотя другим путем доказано, что это число является составным. Впрочем, до сих пор неизвестно ни одного разложения этого числа в произведение двух натуральных чисел, больших единицы (хотя мы и знаем, что такое разложение существует). Также неизвестно, является ли число 22l/+ 1 (имеющее 39 457 цифр) простым или нет.

2. Простые делители натуральных чисел

Докажем теперь несколько несложных теорем о простых числах.

Теорема /. Каждое натуральное число п 1 имеет по меньшей мере один простой делитель.

Доказательство. Пусть п — натуральное число 1. Это число имеет делители, большие единицы, например само л. Среди делителей числа л, больших единицы, существует наименьший. Обозначим его через р« Если бы число р не было простым, то, согласно определению простых чисел, р было бы произведением двух натуральных чисел, больших единицы: р = ab а. В этом случае а было бы делителем числа р, а значит, и числа л, большим единицы и притом меньшим р, что противоречит определению числа р. Теорема 1 доказана.

 

МОЖНО НАЙТИ ПОХОЖИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МЕТКАМ

👇

Автор-учебника - Серпинский В.В. , Школьные Кружки - Секции, Популярная математика, Математика - Кружки - Секции

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика