От автора 5

1. Введение 7

2. Предварительные сведения 16

Функция и ее график - 16

О графиках важнейших функций 21

Приращение аргумента и приращение функции 28

8. Производная - 33

Мгновенная скорость как предел средней - 33

Производная 38

4L. Анализ. - - 54

Общие соображения 54

Возрастание п убывание функций 55

Экстремум 61

Применение теории к практике 71

5. Ряд Маклорена 78

Вывод формулы 79

Разложение синуса 84

Биномиальный ряд 89

в. Определенный интеграл 95

Задача о площади криволинейной трапеции 95

Интегральная сумма и определенный интеграл 99

Вычисление определенного интеграла 105

Формула Ньютона-Лейбница 113

7. Применение определенного интеграла 117

Геометрические задачи 118

Механические задачи 129

Разные задачи 136

8. Заключение 145

ВВЕДЕНИЕ

Познакомимся с тремя задачами. Все они взяты из практики, все очень важны, все на первый взгляд довольно просты. К сожалению, ни одну из них нельзя решить точно с помощью школьной математики. Слово «точно» подчеркнуто, потому что приближенные решения этих задач известны давным-давно, но современный уровень науки требует, чтобы погрешности в расчетах отсутствовали. Такие расчеты и называются точными.

В последующих главах будет показано, как находятся точные решения этих задач и какие новые приемы надо для этого применить. Эти приемы, новые лишь по отношению к школьной математике, познакомят вас с основными понятиями высшей математики.

ЗАДАЧА ПЕРВАЯ

Скорость переменного движения

Если тело движется так, что все его точки имеют одну и ту же скорость, то для изучения такого движения достаточно, конечно, следить за движением одной какой- нибудь точки. Обычно в качестве такой точки выбирается центр тяжести тела. Считается, что вся масса тела сосре-доточена в его центре тяжести. Короче говоря, изучение движения тела заменяется изучением движения матери-альной точки. Всюду, где в этой книге говорится о движении тела или материальной точки, подразумевается именно такое движение.

Из школьного курса физики известно, что скоростью движения тела называется путь, проходимый в единицу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заглавии книги поставлены три вопроса. В поисках ответов на них читатель проделал долгий путь. Пришлось познакомиться с новыми понятиями, с новыми матема-тическими приемами. Быть может, пришлось изменить свою точку зрения на математику как на науку в целом и на значение математики для его, читателя, профессии. Но главный результат затраченного труда тот, что получен ответ на поставленные в заглавии вопросы. Подведем итоги.

1. Что такое высшая математика?

Как математика — она занимается величинами. Как высшая математика, она занимается почти исключительно переменными величинами. Нами были рассмотрены свойства переменного движения, переменной скорости, работа переменной силы, переменное давление жидкости на по-груженное тело и т. д. Даже те величины, которые в школьной математике считаются постоянными, высшая математика рассматривает в движении. В задаче о наивы-годнейших размерах сосуда его диаметр и высота не оставались неизменными. Наоборот, мы предположили, что они непрерывно изменяются. Это позволило из всех возможных размеров выбрать именно те, которые удовлетворяли условиям задачи. Переменные величины рассматриваются не изолированно. Они связаны между собой. Изменение одной из них вызывает изменение другой. Переменные находятся в функциональной зависимости. Изучение этих зависимостей составляет сущность высшей математики. Итак, на первый вопрос получен следующий ответ: высшая математика — это математика переменных величин и функциональных зависимостей; это математика, изучающая явления мира в пх изменении, в их взаимной связи.

2. Чем высшая математика отличается от школьной?

Переход от постоянных величин к переменным потре-бовал не только открытия новых математических действий и приемов; пришлось развить новые взгляды на самые основные математические понятия. Высшая математика имеет много существенных отличий от школьной, и это понятно. Перечислим их вкратце:

а) в высшей математике уделяется гораздо большее вни-мание переменным величинам, чем в школьной;

б) подход к изучаемым величинам отличается значи-тельно большей глубиной. Например, связь функции с рядом Маклорена глубоко раскрывает ее сущность. Достаточно сослаться хотя бы на то, что только разложение функции в ряд объясняет нам, каким образом из аргумента х получается sin х или другая функция. Такие операции, как исследование функций, в школьной математике отсутствуют совсем;

в) в высшей математике основную роль играют новые (по сравнению со школьной) идеи. Большое значение имеют такие процессы, как стремление к нулю (вспомните Ах —> 0 и Ai/—>0), потому что, например, важнейшее понятие производной без знания такого процесса получить невозможно. С другой стороны, не меньшее значение имеет и прямо противоположный процесс — стремление к бесконечности: мы видели, что число слагаемых интеграль-ной суммы неограниченно возрастает; число членов ряда бесконечно велико.

Решающее значение имеет понятие предела. Только применяя его, можно получить производную из отношения , а ведь производная — это основа высшей математики. Предел интегральной суммы приводит нас к определенному интегралу — важнейшему инструменту для решения задач практики;

г) в высшей математике еще и большее число математи-ческих действий: появились новые действия — отыскание производной и первообразной.

Хотя здесь перечислены далеко не все отличия, их все же достаточно, чтобы оценить, насколько сильно разнится идейная и оперативная части высшей математики от школьной. Коротко ответ на второй вопрос можно изложить следующим образом.

В высшей математике а) более глубокий подход к ма-тематической величине, б) используется ряд новых идей (идеи стремления к нулю, неограниченного роста и т. д.); в) применяются новые математические действия, г) как следствие предыдущего, новые приемы решения задач.

8. Для чего нужна высшая математика?

Область применения высшей математики безгранична. Одно перечисление вопросов, разрешаемых с ее помощью, составило бы, вероятно, книгу, не меньшую, чем эта. Сравнительно недавно считалось, что существенную роль высшая математика играет лишь в точных науках: механике, астрономии, физике и т. д. Что же касается экономических наук, биологии и т. д., то в них высшая математика использовалась лишь эпизодически. Однако за последние 20—25 лет и здесь произошли колоссальные изменения. Принципы кибернетики, теория информации и другие важнейшие отделы высшей математики проникают в такие области, которые никогда и не помышляли о привлечении математики. Упомянем лишь одну науку: лингвистику — науку о языках. Кто когда-нибудь мог подумать, что филологи будут изучать высшую математику? А теперь уже появились представители новой специальности—математической лингвистики. Эти специалисты управляют машинами, которые выдают библиографические справки, переводят книги с одного языка на другой и даже сочиняют стихи.

Ответ на третий вопрос самый короткий: высшая мате-матика нужна во всех областях человеческой деятельности.

В настоящее время, как правило, всякий специалист подходит к своему делу творчески. Он стремится овладеть своей профессией в совершенстве, внести что-то новое, прогрессивное. Для этого приходится много читать, а в статьях научно-технических журналов и в учебниках в большом количестве используется высшая математика. Нередко читатель вынужден отложить статью и сказать со вздохом сожаления: «Не по зубам». Знание же основ высшей математики могло бы необыкновенно расширить воз-можности использования литературы и тем самым открыть новые пути к овладению вершинами мастерства.

Автор будет рад, если его книга побудит читателя заду-маться над вопросом: «А не следует ли мне основательно ознакомиться с этим мощным орудием знания?»

В заключение дадим несколько советов тем, кто захотел бы познакомиться с математикой более основательно.

Прежде чем обращаться непосредственно к изучению анализа, надо добиться, чтобы знания школьной математики были и достаточно прочными. При таком уровне знаний ссылки на правила и теоремы алгебры, геометрии и тригонометрии (они встречаются постоянно) не будут соз-давать дополнительные трудности в изучении и без того не легких вопросов высшей математики. Особенное внимание надо уделить второй части алгебры и всей тригонометрии, без которых совершенно невозможно продвинуться вперед в понимании анализа.

При самостоятельном изучении высшей математики первостепенное значение имеет самопроверка. Лучшая проверка — решение задач. Нередко кажется, что теория понятна, когда же пытаешься применить ее на практике, обнаруживается, что отдел теории требует еще изучения и изучения. Надо взять себе за правило: не считать раздел усвоенным, пока из него не решено несколько задач.

Математика не терпит поверхностного отношения. В математике ничего не принимается на веру. Поэтому при вдумчивом отношении к предмету у изучающего появляется множество вопросов. Иногда найти ответ на вопрос далеко не просто. Вот почему даже при самостоятельных занятиях высшей математикой необходимо время от времени беседовать со специалистом-математиком.