293 Преобразования как основа классификации теорем

Н. И. Польским

294 О различных геометриях

294 С чего начинается изучение геометрии

295 Как применяется геометрическая теория

297 Аксиома о параллельных

300 Равна ли сумма углов треугольника 180°

302 Нужны ли другие геометрии

305 Чем отличаются различные геометрии

Функции

* В. А. Ефремович

306 Что такое координаты и для чего они служат

308 Декартовы координаты точки

308 Простейшие задачи

309 Задание фигуры, состоящей из бесчисленного множества точек

311 Прямая

312 Основные задачи на прямую

313 Окружность

314 Аналитическое решение геометрических задач

315 Неразрешимые задачи на построение

316 Полярные координаты

317 Координаты на сфере

318 Криволинейные координаты на любой поверхности.

Общая идея координат

Н. Я. Виленкин

319 Функции в природе и технике

320 Жесткость балки

320 Прогиб балки

321 Сосредоточенная нагрузка

322 Число е. Натуральные логарифмы

322 Один человек может удержать корабль

323 Радиоактивный распад вещества

323 Остывание чайника

324 Почему парашютист падает равномерно

324 Как измеряют высоту при помощи барометра

325 Сколько топлива должна взять ракета

325 Гармонические колебания

326 Колебания маятника

326 Разряд конденсатора

326 Как соединить две трубы

326 Изгиб колонны

327 Затухающие колебания

327 Вынужденные колебания

328 Сложение колебаний

328 Биения

330 Приливы и отливы

330 Спектральный анализ 330 Как машина открыла теорему

330 Почему не работал

трансатлантический кабель 331 Радиоприемник и камертон 331 Заключение

В. Г. Болтянский и Н. Я. Виленкин

332 Интеграл и производная

332 Задача Кеплера

332 Математика за чайным столом

332 Объем тела

334 Промер реки

335 В автомобиле

335 Интеграл

336 Геометрическое вычисление интегралов

338 Применение интегралов

339 Чудесная формула

340 Как измерить скорость полета пули

340 Скорость радиоактивного распада

341 Умеете ли вы проводить касательную?

342 Производная

343 Производные многочленов

343 Пчелы-математики

344 Как сделать самую большую коробку.

345 Балка наибольшей прочности

345 Формула Ньютона —

Лейбница

346 Производные синуса и косинуса

347 Производная показательной функции

347 Радиоактивный распад

348 Показательная функция в природе и технике

348 Леверье и Адамс открывают новую планету

350 Уравнение гармонических колебаний

350 Моделирование

Множества и операции

П. С. Александров 351 Понятие множества

351 Множества конечные

и бесконечные

352 Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами

355 Счетные множества

355 Множество всех рациональных чисел счетно

356 Множество всех действительных чисел несчетно

357 Мощность множества

И. М. Яглом

360 Алгебра множеств и алгебра логики

360 Алгебра чисел

361 Алгебра множеств

362 «Нуль» и «единица»

364 Удивительная алгебра

366 Дополнение множества. Аналогия меЖду сложением и умножением множеств

368 Два способа задания множества. Множества и высказывания

368 Алгебра множеств и алгебра высказываний

370 Отрицание. Отношение следствия

371 Законы мысли

372 Правила вывода

В. Г. Болтянский и Н. Я. Виленкин

374 Чем занимается алгебра

374 Числа и действия

374 Необычная конференция

375 Фундамент алгебры

376 Сила букв

377 Кольца

378 Поля

378 Разложение на множители и решение уравнений

378 Разложение чисел на множители

379 Разложение многочленов на множители

379 Удивительное разложение

380 Разложение многочленов на множители и решение уравнений

380 Основная теорема алгебры многочленов

381 Решение уравнений в радикалах

382 Циркуль и линейка

383 Группы

383 Умножение геометрических преобразований

384 Что такое равные фигуры

385 Группы геометрических преобразований

386 Разные геометрии

386 Группы симметрий

387 Симметрия в природе

387 Группы алгебраических преобразований

389 Абстрактная теория групп

390 Заключение

Математика учит предсказывать и управлять Ю. И. Соколовский

391 Электронные

вычислительные машины

391 Создать электронный арифмометр!

392 Двоичная нумерация

393 Считают лампы

394 Обязанности вычислителя

395 Возможен ли такой автомат?

396 Главные части машины

398 Инструкция для машины

399 Исполнение программы

399 Программа

с преобразованиями

400 Универсальность машины

401 Автоматический перевод

В. М. Глушков

404 Что такое кибернетика

404 Управляющие системы

405 Информация и кодирование

406 Теория автоматов

407 Вычислительная техника в народном хозяйстве

409 Разумная Машина — верный помощник человека

В. М. Монахов

413 Чем занимается теория линейного

программирования

Е. С. Вентцела

417 Исследование операций

Б. В. Гнеденко

420 Наука о случайном

420 Обыденные представления

421 Примеры случайных событий

422 Зачем нужно изучать случайные явления

423 Зарождение науки о случае

425 Теоремы сложения и умножения вероятностей

426 Дополнительные - исторические сведения

427 Закон больших чисел

428 Некоторые современные направления развития теории вероятностей

Е. С. Вентцела

429 Теория игр

429 Чем занимается теория игр

429 Парная игра с нулевой суммой. Цена игры

430 Игра в нормальной форме. Матрица игры

432 Примеры конечных игр. Принцип минимакса

434 Седловая точка. Чистая цена игры

435 Решение игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории игр

Выдающиеся

математики

И. Г. Башмакова

416 Архимед

А. П. Юшкевич

418 Омар Хайям

М. В. Чириков 43» Франсуа Виет

М. В. Чириков

441 Рене Декарт

И. Г. Башмакова

443 Пьер Ферма

И. Г. Башмакова

444 Исаак Ньютон

М. В. Чириков

447 Готфрид Вильгельм

Лейбниц

А. П. Юшкевич 44» Леонард Эйлер

С. С. Демидов

451 Жозеф Луи Лагранж

И. Г. Башмакова

453 Карл Фридрих Гаусс

И. Г. Башмакова

455 Николай Иванович

Лобачевский

И. Г. Башмакова

457 Эварист Галуа

И. Г. Башмакова

458 Пафнутий Львович

Чебышев

М. В. Чириков 4М Софья Васильевна Ковалевская

С. С. Демидов 461 Норберт Винер

Справочный отдел И. Г. Башмакова и А. П. Юшкевич

464 Летопись знаменательных дат развития математики

В. И. Битюцков

468 Что читать по математике

В. И. Битюцков

471 Словарь-указатель

Несколько слов о математике

Если спросить всех школьников, какой предмет нравится им больше других, то вряд ли большинство из них назовут математику. Обычно ее скорее уважают, чем любят. У нас в стране научные знания пользуются большим почетом, но, конечно, и среди наших школьников есть такие, которые тяготятся изучением математики. По-видимому, дело объясняется не только тем, что ее изучение многим нелегко дается и требует упорства и труда, но также и тем, что некоторые вопросы школьной математики иногда кажутся недостаточно интересными и даже порой скучными. Однако азбука и грамматика какого-либо языка часто также не очень интересны, а между тем только через их изучение лежит путь ко всей литературе с ее увлекательными сказками, рассказами, повестями, романами и стихами. Подобно этому через те простейшие, азбучные положения математики, которые изучаются в школе, лежит столбовая дорога к современной математике — огромной, почти необозримой по своему богатству области человеческого знания, которая находит с каждым годом все большее применение.

Иногда приходится слышать мнение, что в математике в основном все уже известно, что времена открытий в этой науке давно прошли, а теперь остается только изучать теоремы, названные именами ученых прошлых веков, и применять их к решению разных задач. Но в действительности это далеко не так. Более того, именно сейчас математика переживает период чрезвычайно бурного развития, несмотря на то что родилась она много тысячелетий назад. Новые математические открытия в наши дни делаются буквально ежедневно во всех частях света. Чтобы получить представление о количестве этих открытий, достаточно знать следующее. В Советском Союзе издается ежемесячный реферативный журнал «Математика», в котором убористым шрифтом печатаются самые краткие сообщения (рефераты) о различных математических открытиях, сделанных в самое последнее время во всем мире. Так вот, комплект этого журнала за 1970 г. представляет собой огромный том (свыше 3000 страниц большого формата!), содержащий более 25 000 рефератов. Так велико число математических открытий, сделанных всего за один год: в среднем по 70 открытий в день! Конечно, не все они одинаково значительны, но почти каждое из них означает продвижение науки вперед, пусть иногда даже на совсем маленький шажок.

Такое бурное развитие математики тесно связано с тем, что теория и практика выдвигают все новые и новые задачи, которые математики должны решать. И вот когда старых знаний не хватает, приходится изобретать новые пути, находить новые методы. Ныне математика применяется не только в астрономии, механике, физике, химии и технике, где она применялась и раньше, но также в биологии, некоторых отраслях общественных наук и даже в языкознании. Особенно большое поле для ее применений открылось в связи с созданием быстродействующих электронных вычислительных машин. Они предсказывают погоду, вычисляют орбиты искусственных спутников, космических кораблей, переводят научные тексты с одного языка на другой.

В ближайшее время новые типы вычислительных универсальных и специализированных машин еще более широко будут применяться в самых разнообразных областях человеческой деятельности, в том числе для управления производственными процессами, для статистического и бухгалтерского учета, плановых и проектных расчетов.

Коротко математику можно охарактеризовать как науку о числах и фигурах. Трудно назвать такую отрасль человеческой деятельности, где не приходилось бы ставить и решать вопросы о количестве предметов, об их размерах и форме. С глубокой древности, по мере развития человеческого общества, накапливалось все больше сведений о числах, о размерах и формах различных предметов. Появилась необходимость приводить эти сведения в порядок, чтобы их легче было передавать от одного поколения другому. Так постепенно зарождалась математика.

Начатки математических знаний обнаруживаются уже примерно за 2 тыс. лет до н. э. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас египетские папирусы, клинописные вавилонские таблички, где встречаются решения арифметических, геометрических и алгебраических задач.

Большого расцвета математика достигла в Древней Греции. Более чем за 300 лет до н. э. здесь появились «Начала» Евклида — сочинение, в котором систематически излагалась геометрия в том примерно объеме, в каком она доныне изучается в средней школе, а также давались сведения о делимости чисел и о решении квадратных уравнений (в геометрической форме). В III в. до н. э. Архимед нашел способ определения площадей, объемов и центров тяжести простых фигур. В кон

це III в. до н. э. Аполлоний написал книгу о свойствах некоторых замечательных кривых — эллипса, гиперболы и параболы. Если к этому добавить еще, что во II в. н. э. Птолемей в астрономическом сочинении, известном под арабским названием «Альмагест», изложил основы тригонометрии, дал таблицы синусов (вернее, длин хорд окружности) и способы решения сферических треугольников (т. е. треугольников, сторонами которых являются дуги больших кругов, проведенных на шаре), то станет ясно, какой большой вклад в развитие математических знаний внесли древние греки за много столетий до нашего времени. Можно смело утверждать, что нынешние школьники изучают за все время пребывания в школе лишь небольшую часть этих знаний (правда, они получают также и ряд сведений, которые древним грекам были неизвестны).

Много сделали для развития математики ученые народов Востока (особенно больших успехов добились индийцы и арабы в развитии алгебры и тригонометрии). Ученым Западной Европы, после длительного застоя в развитии науки во времена средневековья, пришлось затратить немало усилий, чтобы усвоить труды их предшественников. Лишь после этого они смогли двигаться вперед самостоятельно. Расцвет математики в Европе начинается к XVII в. В это время зарождаются новые отрасли математики, которые относятся к так называемой высшей математике и изучаются ныне в высших учебных заведениях. Особенно глубоко высшая математика изучается на физико-математических факультетах университетов и педагогических институтов, некоторые ее разделы изучаются в высших технических учебных заведениях.

Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия и дифференциальное и интегральное исчисления. Их создание, связанное с именами великих ученых XVII в. — Р. Декарта, П. Ферма, И. Ньютона и Г. Лейбница, позволило математически изучать движение, процессы изменения величин и геометрических фигур. Вместе с этим в математику вошли координаты, переменные величины и понятие функции. С координатами, переменными величинами и функциями школьники знакомились при изучении алгебры и тригонометрии. Новые программы помогают им перешагнуть порог той высшей математики, которая в течение последних трехсот лет проявила себя как незаменимый инструмент исключительной силы и тонкости, позволивший сменяющим друг друга поколениям астрономов, физиков, механиков и представителям других областей науки решать труднейшие проблемы естествознания и техники.

Невозможно проследить здесь, хотя бы и бегло, успехи математики за последние столетия. Отметим большой вклад, внесенный русскими учеными Н. И. Лобачевским, 11. Л. Чебышевым и советскими математиками. Можно сказать, что современная математика достигла такой ступени развития и так богата содержанием, что одному человеку, даже большому ученому, нельзя охватить ее всю и приходится специализироваться в какой-либо определенной ее области.

Надо заметить, что современная математика состоит не только из алгебры, геометрии и анализа, как школьный курс; сейчас насчитываются десятки различных областей математики, каждая из которых имеет свое особое содержание, свои методы и области применения.

В разделе тома, посвященном математике и названном «Числа и фигуры», мы поместили несколько статей, тесно связанных со школьным курсом математики, дополняющих и углубляющих те знания, которые читатель уже имеет. Мы считали необходимым шире представить содержание школьного курса математики, как части большой и развивающейся математической науки.

Мы понимаем, что некоторые из наших статей нельзя назвать простыми и легкодоступными. Мы советуем при чтении таких статей вооружиться терпением, а также бумагой и карандашом и одолевать их шаг за шагом. Если читатель и тут потерпит неудачу — отчаиваться не следует. Можно вспомнить слова, с которыми знаменитый французский математик Ж. Лагранж обращался к молодым математикам: «Читайте, понимание придет потом».

Во всяком случае, мы надеемся, что каждый любитель математики найдет здесь такие статьи, которые будут для него сразу же доступны. Что касается остальных, то к ним можно обратиться позже, когда читатель продвинется вперед в школьном курсе. Словом, понимание придет!

Числа

Как люди считали в старину и как писали цифры

Все числа мы привыкли записывать с помощью де- сяти знаков — цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9. Например, число, состоящее из четырех сотен, четырех десятков и четырех единиц, мы записываем так: 444. При этом один и тот же знак «4» обозначает число единиц, если он стоит на последнем месте, число десятков — если на предпоследнем, и число десятков десятков, т. е. сотен, если он стоит на третьем месте от конца. Такой принцип записи чисел называется позиционным, или поместным, потому что каждая цифра получает числовое значение не только в зависимости от своего начертания, но и от того, на каком месте она стоит при записи числа. Позиционный принцип позволяет с помощью десяти знаков — цифр записать любое сколь угодно большое число. Действительно, пусть нам дано натуральное число /V. Для того чтобы записать его в нашей системе, находим сначала остаток от деления на 10, затем остаток от деления частного на 10 и т. д. —до тех пор, пока в качестве частного не получим число, меньшее 10. Например:

jV = 523 = 10-52 + 3, 52= 10-5 + 2, 5=10-0 + 5.

Полученные остатки и являются последовательными цифрами нашего числа, записанного в позиционной десятичной системе:

/V = 523, или, более подробно:

523 = 5- 10² + 2- 10 + 3.

Для тех, кто знаком с алгеброй, скажем, что каждое натуральное число М можно представить в таком же виде.

Если

10" < 10"",

то

М =-. а_л10" + а„ ПО" ¹ 4- + а, 10 + а,„

где каждый из коэффициентов а₀, . а_П меньше

10 (это просто остатки от последовательного деления числа М на 10). Следовательно, каждый из коэффициентов выразится одной из десяти цифр. Следуя десятичному позиционному принципу, записываем число М так:

М = а„а„

где а₀ означает число обычных единиц, или единиц первого разряда, содержащихся в М; — число еди

ниц второго разряда, т. е. десятков; а₂ — число единиц третьего разряда, т. е. сотен, и т. д. (Чтобы за-

Аллегорическое изображение математики. Гравюра на дереве из энциклопедии научных знаний начала XVI века.

Чайный сервиз обычно составляют из 12 чашек. Мы до сих пор год делим ма 12 месяцев, отсчитываем часы в течение суток от 0 до 12 дважды.

пись не воспринималась как произведение а_п a_n 1Х X — • fli • Яо» сверху ставится черта.)

Число 10 называется основанием нашей системы.

Итак, для записи чисел мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления.

Счет двойками, тройками и дюжинами

Однако вовсе не обязательно считать десятками. Можно, например, вести счет двойками или тройками. Для этого за основание системы счисления примем число 2 или 3, а в остальном будем поступать точно так же, как это делали, когда основание равнялось десяти. Для записи по двоичной системе понадобятся всего две цифры: 0 и 1. Число «два» в этой системе запишется как 10, так как 2= 1-2 + 0. А чтобы не спутать нашу запись с обычной, будем справа внизу ставить маленькую цифру 2 — это будет означать, что основанием системы служит число «два». Итак, 10₂ будет записью числа 2, 11₂ — записью числа 3, так как 3= 1-2+1.

Число 4 = 1-2² + 0-2 + 0-1, поэтому оно запишется ь виде 100₂. Записью числа 5 будет 101₂, число 7 будет выглядеть так: 111₂.

Чтобы найти запись любого натурального числа N, нужно определить остатки от последовательного деления этого числа на 2. Мы предоставляем читателям проверить, что записью числа 35 в двоичной системе будет 100 011₂.

Если число /V таково, что

2"-'W <2^{Л + 1}

то его можно представить в виде:

N ~ я_п2 4 Я/? 12 4- . 4- 0(2 4“ Оо*

т. е. это число в двоичной системе запишется так:

Л/ — О'п^гг 1

но здесь уже каждый из коэффициентов а₍ может принимать только одно из двух значений: 0 или 1.

Более подробно о двоичной системе, которая сейчас приобрела большое значение в связи с ее применением в быстродействующих вычислительных машинах, узнаете, если прочтете статью «Электронные вычислительные машины», помещенную в этом томе.

Для записи числа в троичной системе нужны три цифры, например 0, 1, 2. Число 3 здесь будет записываться как 10₃, а 4 — как 11₃. Записью числа 35 в этой системе является 1022_я.

Но можно считать и дюжинами, т. е. пользоваться системой счисления с основанием двенадцать. Еще не так давно в нашей стране и в Западной Европе некоторые предметы, например перья и карандаши, принято было считать дюжинами. Сервизы тоже обычно составляют из 12 чашек, 12 блюдец, 12 тарелок, а комплекты мебели — из 12 стульев или кресел. Существовало даже специальное название для дюжины дюжин — гросс.

О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев, а сутки на 24 часа, причем в повседневной жизни часы считаем только до 12, а затем начинаем счет сначала («час дня», «два часа дня» и т. д.). Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (двенадцатиглавый змей, двенадцать братьев-разбойников), что свидетельствует о древнем происхождении двенадцатеричной системы счисления.

Посмотрим, как будут изображаться числа в этой системе.

Во-первых, в ней должно быть двенадцать цифр. Значит, к нашим десяти цифрам надо прибавить еще две, например А для обозначения десяти и Б — для одиннадцати. Во-вторых, запись чисел в ней будет короче, чем в нашей системе, а таблица умножения длиннее. Число 12 запишется как 10₁₂ (снова ставим значок 12 для того, чтобы знать, в какой системе сделана запись), число 13 — как 11₁₂. число 35 = 2-12+11 — как 2Б₁₂, а число 133 = 11 12+ 1 — как Б112» т. е. оно станет двузначным.

Ниже мы расскажем о том, что когда-то существовали нумерации с основанием 20 и даже 60.

А теперь сделаем некоторые общие выводы: 1) всякое натуральное число, отличное от единицы, может служить основанием позиционной системы счисления; 2) в системе счисления должно быть столько цифр, сколько единиц содержится в основании системы.

Несмотря на то что принципиально все позиционные системы счисления равноправны, некоторыми из них в определенных случаях пользоваться особенно удобно. Например, как мы уже говорили, при счете на электронных вычислительных машинах в основном пользуются двоичной системой.

Приведем несколько задач, для решения которых удобнее воспользоваться не десятичной, а другими системами счисления.

Задача о взвешивании

Вот одна из классических задач, решить которую можно сразу же, если выбрать систему счисления с подходящим основанием. Эта задача приведена в математической книге знаменитого математика XIII в. Леонардо Пизанского. Ею интересовался также в XVIII в. и Л. Эйлер.

Требуется выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить (с точностью до 1 кг) любой груз до 30 кг при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов и масса гирь различна.

Какие же гири нужно выбрать?

Сумма масс всех гирь должна быть не меньше 30 кг. Но, конечно, этого недостаточно. Если мы выберем, например, гири в 1, 2, 3, 10 и 15 кг, то с их помощью нельзя будет взвесить грузы в 7, 8, 9, 22, 23 и 24 кг.

Разберем математический смысл задачи. Чтобы взвесить некоторый груз, помещая гири только на одну чашу весов, надо представить его массу в виде суммы масс имеющихся гирь, причем так, чтобы каждая гиря бралась не более одного раза. Если выбранные нами гири имеют массу /П|, т₂. т₃, m₄, ms, то груз массой М<^30 кг должен представляться так:

М — 4 а>т₂ + а₃т₃ + ^а4^/л4 +

где каждый коэффициент равен единице, если кладем соответствующую гирю на чашу весов, и нулю, если не пользуемся ею при взвешивании.

При такой постановке вопроса видно сходство с представлением числа М в двоичной системе счисления. Нужно только в качестве т₂, тз» ^5

взять гири массой: /77] = 1 кг, т₂ = 2 кг, т₃ = 4 кг, т₄ = 8 кг, ms = 16 кг. Сумма их масс 1 + 2 + 4 + 8 + + 16 = 31 кг. Кроме того, каждое число М, не большее 31, можно представить в виде:

М = + Ь₃2³ + Ь₂2² + 6₁2¹ + Ьо,

где каждый из коэффициентов до* Ь\, д₂» дз» д₄ будет, как нам и нужно, либо нулем, либо единицей.

Пусть, например, надо взвесить груз в 22 кг. Запишем число 22 по двоичной системе:

22= 10 110₂.

Значит, нужно взять гири т₂ = 2 кг, т₃ = 4 кг и т₅ = 16 кг.

Теперь несколько видоизменим задачу: пусть требуется выбрать 4 гири, с помощью которых можно было бы взвесить любой груз до 40 кг, при условии, что гири можно класть и на левую и на правую чашу весов.

Нетрудно убедиться, что для решения этой задачи можно воспользоваться троичной системой счисления, выбрав следующие 4 гири: т\ = 1 кг, т₂ = 3 кг, т₃ = 9 кг, т₄ = 27 кг. Нужно только заметить, что двойной вес гирь гщ, m_2l m3 можно заменять разностью двух разных гирь, например: 2m₂ = m₃ — m₂, 2m₃ = m₄ —m₃ и т. п.

Следует помнить, что, хотя в различных системах счисления числа записываются по-разному, основные свойства их от этого не меняются: так, число 20 будет делиться на 2, в какой бы системе мы его ни записали, а 27 не разделится на 2, но будет делиться на 3. Числа 3, 5, 7 останутся простыми в любых системах счисления. Однако признаки делимости, которые устанавливаются исходя из записи числа в определенной системе счисления, будут меняться вместе с основанием системы. Так, число делится на 5, если его запись в десятичной позиционной системе оканчивается нулем или пятеркой. Но число не всегда делится на 5, если на 0 оканчивается его запись в троичной системе, например, числа 10₃ (т. е. 3), 100₃ (т. е. 9), 1000₃ (т. е. 27) не делятся на 5, а число 120₃ (т. е. 15) будет делиться на 5.

Наш устный счет

Теперь, естественно, возникает вопрос: почему мы все-таки пользуемся десятичной системой, а не системой с другим основанием? И еще: всегда ли люди записывали числа, пользуясь позиционным принципом? На эти вопросы мы и постараемся дать ответ.

Цифры в древнем Риме. Внизу крупными цифрами записано число 444.

Чтобы лучше понять, как люди считали в старину, обратимся сначала к нашей речи, к нашему устному счету. Прежде всего заметим, что наш устный счет очень отличается от письменного.

Как мы называем число 444? Мы говорим: «Четыреста сорок четыре», т. е. произносим три разных слова. В то же время это число записываем тремя одинаковыми знаками. Если то же самое число нужно будет записать немцу или французу, то они напишут такие же три знака, а произнесет каждый из них различные слова: один —по-немецки, другой — по-французски.

Итак, наша письменная нумерация носит международный характер, тогда как названия числительных и способы их образования у разных народов различны. Но дело не только в этом. Давайте рассмотрим более подробно, как мы называем числа.

Для нуля и первых девяти чисел мы употребляем специальные названия : «нуль», «один», «два», «девять». Для следующего числа у нас есть новое слово — «десять»; мы не говорим «один, нуль», хотя и записываем его с помощью единицы и нуля: 10.

Все числа от 11 до 99, как правило, составляются из названий первых чисел: «одиннадцать» (т. е. один- на-десять), «тридцать один» (т. е. три-десять-один) и т. д. Для 100 мы употребляем новое слово — «сто». Все наименования чисел от 101 до 999 опять составные, а для 1000 вводится новое слово — «тысяча». Далее появляются новые слова: «миллион», «миллиард», «триллион» и т. д. Как видим, по мере роста самих чисел возрастает и количество названий для них. Из этого явствует, что способ наименования чисел не является позиционным. Наш устный счет сохранил следы каких-то более старых нумераций, одной из которых мы и сейчас пользуемся при записи чисел по римской системе.

В римской системе есть специальные знаки для единицы (I), пяти (V), десяти (X), пятидесяти (L),

ста (С), пятисот (D) и тысячи (М). Остальные числа записываются при помощи этих символов с применением сложения и вычитания: Ш, например, есть запись числа 3 (I + I + I), IV—числа 4 (V-I), VI — числа 6 (V4-1) и т. д. Наше число 444 запишется в римской системе так: CDXLIV.

Эта форма записи менее удобна^ чем та, которой мы теперь пользуемся. Здесь четыре единицы записываются одними символами (IV), четыре десятка — другими (XL), четыре сотни — третьими (CD). Запись чисел получается намного длиннее. С числами, записанными в римской нумерации, очень трудно производить арифметические действия. Попробуйте, например, умножить 444 на 36, если оба числа обозначены римскими цифрами, и вы сразу же убедитесь в трудности задачи. Сами римляне пользовались для производства арифметических операций специальной счетной доской — абаком.

В римской системе есть и еще один существенный недостаток: она не дает способа для записи сколь угодно больших чисел. Например, чтобы написать по этой системе 1 000 000, надо либо 1000 раз повторить знак Л4, либо ввести новый символ.

Таким образом, для записи чисел по мере их роста надо будет вводить все новые и новые знаки. Это происходит потому, что римская нумерация не является позиционной. Знак V, например, означает в ней только пять единиц и не может обозначать пяти десятков или пяти сотен. Римская нумерация не является и строго десятичной. В ней сохранились следы другого основания — пяти. Действительно, здесь есть специальные знаки для пяти, пятидесяти и пятисот.

В нашем устном счете имеются некоторые черты, напоминающие эту систему.