Детская Энциклопедия том 3 (отрывок только математика). Числа и фигуры. 1959 - Скачать старые книги
Советская нехудожественная литература бесплатно
Описание: Для среднего и старшего возраста
В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот может достигнуть ее сияющих вершин, кто, не страшась усталости, карабкается по ее каменистым тропам.
Карл Маркс
Ведущее место в естествознании занимают физические науки, от успешного развития которых зависит движение вперед смежных наук и народного хозяйства. Дальнейшие перспективы технического прогресса определяются в настоящее время прежде всего достижениями основных направлений физической науки. Усилия советских физиков будут сконцентрированы на разработке проблем космических лучей, ядерных реакций, полупроводников.
Большое теоретическое и практическое значение для развития многих отраслей науки и практики имеют работы по математике. В частности, успехи вычислительной математики имеют непосредственную связь с развитием автоматики.
В области химических наук важнейшей задачей является' всемерное расширение теоретических исследований, способствующих разработке новых усовершенствованных технологических процессов и созданию синтетических материалов со свойствами, удовлетворяющими запросы современной техники.
© Издательство Академии Педагогических Наук РСФСР Москва 1959
Формат: PDF Размер файла: 13.6 MB
СОДЕРЖАНИЕ
ЧИСЛА И ФИГУРЫ ( Математика )
Несколько слов о математике, А. И.Маркушевич 21
ЧИСЛА
Как люди считали в старину и как писали цифры. И. Г. Башмакова Счет двойками, тройками и дюжинами
Задача на взвешивание.
Наш устный счет
Счет у первобытных народов
Первые нумерации
Алфавитные нумерации. Псаммит
Позиционные системы
Простейшие неопределенные уравнения. В. И. Нечаев
Пифагоровы треугольники
Покупка билета в метро.
Взвешивание груза на чашечных весах
Неопределенные уравнения
Рациональные и целые решения неопределенных уравнений первой степени. Метод рассеивания.
Решение задачи о взвешивании
Решение задачи о покупке билета в метро
Неопределенные системы уравнений первой степени
Рациональные решения неопределенных уравнений степени выше первой
Целые решения неопределенных уравнений степени выше первой
КУЛЬТУРА СЧЕТА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Хорошо ли вы считаете. П. Ю. Германович 49
Когда не следует пользоваться шаблонными приемами вычислений 50
Умеете ли вы размышлять 51
Сложение «в уме» нескольких двузначных чисел 53
Умножение «в уме» двузначных чисел 53
Умножение двух двузначных чисел, близких к 100 53
Процентные вычисления. 54
Особые случаи возведения чисел в квадрат 54
Заключение 55
Счетные приспособления. А.П.Доморяд 55
Счеты и палочки Непера 57
Логарифмическая линейка 59
Умножение и деление. 60
Возведение в степень и извлечение корня 61
Счетные машины 62
Электронные счетные машины. М. Г. Рейнберг 66
Машины-модели 67
Цифровые машины 68
Мир электрических импульсов 71
О двоичной арифметике. 72
«Анатомия» цифровой машины 75
Замечательные свойства цифровой машины 78
Цифровая машина работает 78
Заключение 82
ФИГУРЫ И ТЕЛА
Геометрия вокруг нас. М. В. Потоцкий
Как возникла геометрия. И. Г. Башмакова Возникновение геометрии как науки Построение дедуктивной системы
Измерение длин, площадей и объемов. Н. И. П о л ь с к и й Измерение длин
Измерение площадей
Измерение объемов
Геометрические отображения. И. М. Я г л о м
Движения и отображения подобия
Некоторые более сложные отображения
Отображения как основа классификации теорем
О различных геометриях. Н. И. Польский
С чего начинается изложение геометрии
Что такое аксиомы
Аксиома о параллельных 110
Попытки доказать аксиому о параллельных 111
Равна ли сумма углов треугольника 180° 111
Геометрия Лобачевского 114
Геометрия кривых поверхностей 114
Какова же геометрия нашего мира 116
Заключение 118
ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО С ТЕОРИЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Наука о случайном.} А. Я. X и ц ч и н|и А. М.Яглом 211
Существуют ли закономерности случайных явлений 212
Что называется вероятностью события 214
При решении каких задач возникла теория вероятностей 214
Какие задачи решали методами теории вероятностей во время войны 216
Несколько слов об истории развития теории вероятностей 217
Какие задачи решают методами теории вероятностей в наше время 218
Теория вероятностей и теория информации 219
СПРАВОЧНЫЙ ОТДЕЛ
Что читать по математике. Ю. И. С о р к и н 221
Указатель имен и предметов. Ю.И.Соркин 225
Условные обозначения и сокращения 232
Скачать бесплатную книгу времен СССР - Детская Энциклопедия том 3 (отрывок только математика). Числа и фигуры. 1959 года
СКАЧАТЬ PDF
Возьмем другой пример. Вы собрались погулять в выходной день, но погода внезапно переменилась настолько, что нельзя выйти из дому. Опять непредвиденное вмешательство случая нарушило нормальный ход событий в вашей жизни.
Конечно, не всегда случайные события приносят огорчения. Вы просматриваете, например, таблицу выигрышей лотереи и видите но
мер вашего лотерейного билета; здесь случайное явление — выигрыш — вам на пользу. Или, например, вы встретили на улице своего друга, не сговариваясь с ним. Это тоже приятное случайное событие.
Общей чертой всех таких случайных событий, однако, остается то, что они нарушают нормальный, плановый ход явлений. Именно поэтому нередко мы говорим: со случайностями надо бороться.
В общественной жизни случайные события также могут иметь место. Представьте себе, например, что урожай какой-то сельскохозяйственной культуры на данном участке погиб пэ-эа неожиданной засухи. Это — тяжелая случайность. Есть и много других тяжелых случайностей, которые пока не может предугадать наука. Мы знаем, на
пример, что землетрясение, от которого страдают все живущие в данной местности, — пока еще непредвиденная случайность. Мы говорим о «стихийных силах природы», которые паука еще не может преодолеть.
Но наука стремится дать человеку обоснованные средства борьбы с вредными случайностями.
Какие же могут быть средства борьбы, например, со случайностями непогоды? Можно всесторонне изучать жизнь растений в условиях данной местности и производить посев засухоустойчивыми или морозоустойчивыми семенами, если в этом есть надобность,— при этом влияние случайностей непогоды на урожай станет меньше. Можно стараться определить заранее, будут или не будут, скажем, сильные заморозки весной, и подготовить средства укрытия или обогрева растений в зависимости от этого. Можно, наконец, попытаться найти общие законы, управляющие чередованием плохой и хорошей погоды, и принять меры предосторожности в соответствии с этими законами.
В тех случаях, когда случайность может принести пользу, также желательно изучить законы, по которым происходят случайные явления, чтобы сделать эту пользу возможно большей.
СУЩЕСТВУЮТ ЛИ ЗАКОНОМЕРНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ
С первого взгляда может показаться, что никаких законов, управляющих случайными событиями, быть не может: на то эти события и случайны. Однако, если присмотреться к делу как следует, можно прийти к выводу, что и случайные явления часто не являются совсем уж хаотическими. Во многих случаях тут обнаруживаются определенные закономерности. Эти закономерности не похожи на обычные законы физических явлений; они весьма своеобразны. И все же можно утверждать, что законы случайных явлений существуют.
Возьмем пример настолько простой, что каждый сам может наблюдать описываемые ниже явления. Уже на этом простейшем примере легко обнаружить общие законы случая.
Представим себе, что вы бросаете на стол монету и смотрите, какая ее сторона окажется сверху. Возможны два случая: или монета ляжет на стол кверху гербом, или же сверху окажется та сторона, на которой обозначена стоимость монеты. Бросая монету один раз, нельзя предугадать, какой стороной она упадет. Но если бросать монету сто раз подряд, то уже многое можно сказать о том, сколько раз наверху окажется та и сколько другая сторона монеты.
Можно уверенно утверждать, что герб выпадет не один и не два раза, а больше, но и не 98 или 99 раз, а меньше. В самом деле, ведь монета сделана очень точно, и при бросании ни одна сторона ее не имеет преимуществ перед другой. Поэтому естественно ожидать, что примерно в половине случаев монета выпадет гербом кверху ив половине случаев — кверху цифрой. Число выпадений герба, таким образом, вероятно., будет близко к 50. Но нельзя, разумеется, утверждать, что это число будет точно равно 50. Однако можно с уверенностью предсказать, что число выпадений герба будет заключено между 40 и 60. Можно проверить это на опыте и убедиться, что это всегда оказывается так.
Можно предсказать явление даже еще точнее, и не будет слишком смелым заранее предсказать, что число выпадений герба будет заключено между 43 и 57, а число выпадений цифры — соответственно между 57. и 43. Но, каково будет точное число выпадений герба, предсказать нельзя — это зависит от случая. -Как мы видим, однако, и случай имеет свои законы; в нашем примере он приводит к тому, что число выпадений герба в различных сотнях бросаний будет меняться в пределах от 43 до 57, но почти никогда он не может дать больше 57 или меньше 43 выпадений герба.
Возьмем другой пример. Вы познакомились с хорошим стрелком, о котором говорят, что он дает 93% попаданий. Что означает это утверждение?
Оно означает, что из каждых 100 выстрелов, которые стрелок делает по мишени, примерно 93 пули попадают в цель, а около 7 пролетают мимо. При этом можно предсказать, что и из следующих 100 выстрелов, которые стрелок только собирается произвести, удачными будут около 93 выстрелов; уверенно можно утверждать, например, что число попаданий будет больше 80. (Разумеется, с течением времени средний процент попаданий для данного стрелка, возможно, изменится — стрелок может усовершенствоваться в стрельбе или же, наоборот, разучиться стрелять. Примерно то же можно сказать и об охотнике.)
Возьмем третий пример закономерности, относящейся к явлениям,представляющимся с первого взгляда совершенно случайными. Когда в семье должен родиться ребенок, никто не может предсказать заранее, будет ли это мальчик или девочка. Если даже ожидать, что в семье будет несколько детей (скажем, два, три или четыре ребенка), то и здесь также заранее нельзя сказать,
сколько из них будет мальчиков. Но во всех странах и среди всех народов всегда на 1000 родившихся в среднем приходится 511 мальчиков и 489 девочек; это поразительное постоянство процента рождений мальчиков и девочек отмечалось многими учеными, среди которых был и один из основателей теории вероятностей — французский математик Симон
1 Точнее говоря, можно подсчитать, что если очень много раз производить по 100 бросаний монеты, то лишь примерно в 15% случаев число выпадений герба будет больше 57 или меньше 43. Этот подсчет дает вам пример еще более тонкой закономерности, которой подчиняются случайные события.
Лаплас (1749—1827). Поэтому в тех случаях, когда нас интересует число мальчиков среди очень большого числа новорожденных, мы можем уверенно предсказать это число с большой степенью точности и никогда не ошибемся. Просматривая в свое время списки рождений по городу Парижу за 1745—1784 гг., Лаплас обнаружил, что отношение числа мальчиков к общему числу рождений здесь оказалось равным примерно 0,510, т. е. чуть меньше, чем 0,511. Несмотря на то что разница была очень мала, Лаплас заключил, что есть какая-то специальная причина, увеличивающая число девочек: ведь число рождений в Париже за 39 лет и в те годы уже было очень большим; поэтому даже такое малое отклонение от обычного отношения нельзя было объяснить действием случая.
И действительно, Лаплас обнаружил причину отклонения: она заключалась в том, что в число детей, рожденных в Париже, вклю
чались также и дети, подкинутые в специальный приют—единственный на всю Францию. Так как французские крестьяне ценили в сыновьях будущих работников, то они чаще подкидывали девочек, чем мальчиков. Исключив подкидышей из числа родившихся (многие из них на самом деле родились не в Париже), Лаплас получил и для Парижа обычное отношение числа мальчиков к числу девочек. Тем самым он показал, что в случае очень большого числа рождений можно предсказать общее число родившихся мальчиков с точностью до 0,1% — отклонение такого порядка может объясняться только какими-то специальными причинами.
Попытаемся теперь выразить те закономерности, о которых шла речь, на языке математики.
Пусть имеется событие Л, которое в каждом отдельном случае может наступить или же не наступить. Пусть, далее, произведено 7V испытаний, из которых в Л/ случаях событие А наступило, а в N — М случаях не наступило. Частота события А (т. е. доля числа испытаний, в которых событие А имеет место) здесь равна у При этом для больших N частота события оказывается примерно постоянной; так, например, при наблюдении падений брошенной М
монеты частота -у выпадения герба всегда близка
к y» а в случае определения пола новорожденных частота рождения мальчиков близка к 0,511.
Основной закон случайных явлений и заключается в устойчивости частоты определенного события при очень большой количестве испытаний (случаев). При этом чем больше произведено испытаний, тем меньше будут случайные отклонения частоты от среднего ее значения.
Этот закон имеет огромное практическое приложение во многих областях народного хозяйства.
Можно утверждать даже, что нет ни одной области народного хозяйства, в которой не применялись бы этот и другие законы случайных явлений, о которых мы будем говорить впоследствии.
Возьмем в качестве следующего примера страхование жизни. Пусть какой-то мужчина в возрасте 55 лет хочет застраховать свою жизнь. Чтобы знать, сколько следует взять с застрахованного и сколько нужно будет выплатить родственникам в случае его смерти, надо рассчитать, сколько людей в возрасте 55 лет останется в живых, например, через 5 или через 10 лет и сколько из них умрет в течение этого срока. Кажется, что здесь нельзя что-либо предвидеть — ведь никто не знает, когда он умрет. Но оказывается, что при большом числе случаев можно уверенно предсказать то количество людей, которое останется в живых после 60 или 65 лет.
Поэтому, рассматривая всю массу застрахованных, можно сделать очень точное предсказание — тем более точное, чем большее количество людей охвачено страхованием.
Аналогично этому можно заранее рассчитать необходимое в данном городе число пожарных команд или запасы зерна, которые надо иметь на случай неурожая.
ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ВЕРОЯТНОСТЬЮ СОБЫТИЯ
Устойчивая частота определенного случайного события называется вероятностью этого события. Изучение вероятностей и законов, которым они подчиняются, составляет содержание теории вероятностей.
В некоторых случаях вероятность события легко определить заранее, не производя никаких испытаний. Какова, например, вероятность выпадения герба при бросании монеты? Заранее ясно, что имеется столько же шансов на то, что это событие наступит, как и на то, что оно не наступит. Поэтому вероятность наступления рассматриваемого события А здесь рав- на-у. Это записывается так:
Последнее выражение означает, что при большом числе бросаний монеты герб выпадет примерно в половине всех случаев.
А что значит выражение
Р(А)=0,003?
Это выражение означает, что при большом числе испытаний рассматриваемое событие наступит только в трех случаях из тысячи.
Утверждение
означает, что событие А наступит обязательно* Так, например, равна единице вероятность того, что завтра утром взойдет солнце. Напротив, равенство Р(А)=0 означает, что событие А невозможно; так, например, равна нулю вероятность того, что при бросании монеты на стол она станет на ребро.
Ниже мы познакомимся с задачами, которыми занимается теория вероятностей.
Первые задачи, которые будут приведены в качестве примеров, могут показаться не слишком серьезными. Это — задачи о шансах на выигрыш при игре в кости. Однако следует иметь в виду, что теория вероятностей начала развиваться в XVII столетии именно при решении вопросов, возникавших при игре в кости. Математики по этому поводу шутя говорят, что глупая игра в кости породила большую и мудрую науку, очень важную для практической деятельности людей, в то время как умная игра в шахматы в истории пауки никакой роли не сыграла.
ПРИ РЕШЕНИИ КАКИХ ЗАДАЧ ВОЗНИКЛА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Приведем теперь некоторые простые задачи из числа тех, которые были решены еще в XVII. столетии.
Представьте, что вы бросаете на стол игральную кость — кубик, 6 граней которого занумерованы числами от
1 до 6. Какова вероятность того, / “ что при бросании кости на верхней / * А грани выпадет число 5?
Всех возможностей для кости лечь на стол той или иной гранью
имеется 6. Так как все грани равноправны, то каждая из них будет выпадать в одной шестой от общего числа случаев; значит,
Р(5)=|.
где Р(5) — вероятность выпадения пятерки.
Какова вероятность того, что при бросании кости выпадет четное число очков?
Благоприятных возможностей здесь будет 3: выпадение чисел 2, 4, 6. Поэтому
Какова вероятность одновременного выпадения числа 5 па двух костях?
При бросании двух костей мы будем иметь 36 возможных случаев: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 6), (2, 1), (2, 2) (2, 6) и т. д. до (6, 1),
(6, 2),., (6, 6) (здесь первая цифра указывает число очков, выпавшее па первой, а вторая — на второй кости). Все эти случаи совершенно равноправны; поэтому
Р(5, 5)=1.
Заметим еще, что, как оказалось, Р(5,5)=Р(5)-Р(5).
Это соотношение является частным случаем важной теоремы умножения вероятностей, на которой, однако, мы здесь не можем задерживаться.
Какова вероятность того, что сумма числа очков, выпавших при бросании двух костей, будет равна 8?
Составим таблицу тех случаев, при которых сумма очков будет равна 8. Это
будут случаи:
(2. 6), (3, 5), (4, 4), (5,3) и (6,2).
Таким образом, мы видим, что всего имеется пять благоприятствующих нашему условию комбинаций. Но каждая отдельная комбинация реализуется, как мы установили при решении предыдущей
1 задачи примерно в части всех
бросаний; поэтому условие о равенстве суммы очков числу 8 будет выполняться примерно в пяти случаях из каждых 36 бросаний. Таким образом, искомая вероятность
5 ГТ здесь равна Приведем теперь
один немного более сложный исторический пример, показывающий, как в XVII столетии практические запросы игроков в кости помогали развитию теории вероятностей, т. е., в конечном счете, помогали научно ставить вопросы о законах случая.
Один французский рыцарь, кавалер деМере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть при помощи игры и для этого придумывал разные усложненные правила, которые, как ему казалось, приведут его к цели. В то время стремление разбогатеть при помощи азартных игр охватывало, как болезнь, многих людей.
Де Мерс придумал, в частности, такие правила игры. Он предлагал бросить одну кость четыре раза подряд и бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6; если же этого не случалось— ни разу не выпадало 6 очков, то выигрывал его противник. Точное значение вероятности того, что в этих условиях выпадет 6, в то время было неизвестно, хотя было видно, что оно близко к у. Де Мере предполагал, что он будет чаще выигрывать, чем проигрывать, по все же обратился к своему знакомому, одному из крупнейших математиков XVII столетия — Блезу Паскалю (1623—1662) с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в придуманной им игре.
Приведем расчет Паскаля.
При каждом отдельном бросании вероятность выпадения 6 равняется Вероятность
п 5
же того, что не выпадет о очков, равна
Далее, пусть мы бросим кость дважды. Повторим опыт, состоящий в двукратном бросании кости, многократно, скажем, N раз.Тогда примерно в -|-из этих 7V случаев на кости, бросании кости. Таким образом, вероятность того, что при двукратном бросании кости ни разу не выпадет 6 очков, равна.
Точно так же показывается, что вероятность того, что ни разу не выпадет 6 при трехкратном бросании кости, равна.
Наконец, вероятность того, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет 6, равна
Таким образом, для рыцаря де Мере вероятность проигрыша была равна следовательно, вероятность выигрыша была больше половины. Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что рыцарь выиграет; при многократном же повторении игры он почти наверное оказывался в выигрыше.
Действительно, чем больше рыцарь играл, тем больше он выигрывал. Кавалер де Мере был очень доволен и решил, что он открыл верный способ обогащения. Однако постепенно другим игрокам стало ясно, что эта игра для них невыгодна, и они перестали играть с де Мере. Надо было придумывать какие-то новые правила, и де Мере придумал новую игру. Он предложил бросать 2 кости 24 раза и бился об заклад, что сверху, хотя бы один раз, окажутся две пятерки. Де Мере считал, что и в этой игре он будет чаще выигрывать, чем проигрывать.
Но на этот раз рыцарь ошибся. Вероятность одновременного выпадения двух пятерок при бросании двух костей равна, как мы знаем, ; поэтому вероятность того, что не выпадут две пя- 35 г, терки, равна Вероятность того, что при 24-кратном бросании двух костей ни разу не выпадут две пятерки, равна соответственно
Следовательно, для рыцаря вероятность проигрыша была больше половины. Это значило, что чем больше рыцарь будет играть, тем больше он будет проигрывать. Так и случилось. Чем больше он играл, тем больше разорялся и в конце концов сделался нищим.
Самое интересное в этом историческом анекдоте заключается в том, что благодаря таким своеобразным «практическим запросам» появилась теория расчета случайных явлений* В XVII и XVIII вв. ученые смотрели на зти примеры как на «забавные случаи» приложения математических знаний к явлениям, которые не имеют широкого распространения. Ведь игрок в кости, мечтающий о богатстве, никак не заслуживает, чтобы в помощь ему была создана специальная наука.
КАКИЕ ЗАДАЧИ РЕШАЛИ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВО ВРЕМЯ
ВОЙНЫ
Но оказалось, что область приложений теси рии вероятностей изумительно широка. Теория вероятностей занимается изучением всех массовых явлений, т. е. всех часто повторяющихся случаев, в какой бы области жизни, науки или техники они ни встречались.
Приведем пример из военной области. Хорошо известно, что очень трудно, почти невозможно, сбить самолет выстрелом из винтовки. Ведь стрелок должен не только попасть в само* лет, но и поразить его в уязвимое место. Поэтому вероятность того, что самолет будет сбит единичным выстрелом из винтовки, совершенно ничтожна — в каждом отдельном случае стрелок почти наверное не попадет в самолет. Совсем иначе обстоит дело при массовом обстреле. Теория вероятностей помогает рассчитать, сколько нужно сделать одновременных выстрелов по самолету противника для того, чтобы можно было надеяться сбить самолет.
Покажем приемы этого расчета. Допустим, что вероятность сбить самолет одним выстрелом равна 0,004; другими словами, вероятность того, что стрелок пе попадет в самолет, равна 0,996. Стрелок может стрелять в самолет очень много раз и все-таки имеет очень мало шансов попасть в него.
Предположим теперь, что в самолет одновременно стреляют 500 стрелков. Вероятность того, что ни один из 500 стрелков не поразит самолет, может быть вычислена по формуле
(0,996)'°°
(сравните с расчетами проигрыша в двух играх кавалера де Мере). С помощью таблиц логарифмов можно обнаружить, что
(0,996)“®° =^0,14.
Таким образом, вероятность того, что ни один из 500 одновременных винтовочных выстрелов не попадет в самолет, составляет всего 0,14. Другими словами, вероятность попадания в самолет, вероятность того, что самолет будет сбит, равна 0,86. Можно сказать, что самолет почти наверное будет сбит залпом из 500 выстрелов; у него гораздо меньше шансов уйти невредимым из-под такого обстрела, чем шансов погибнуть.
На самом деле вероятность попадания отдельного стрелка в самолет обычно меньше, чем 0,004; чаще ее следует считать близкой к 0,001. (Однако и в этом случае вероятность сбить самолет залпом из 500 выстрелов равна 0,54, т. е. имеется больше шансов сбить самолет, чем не сбить.
Теория вероятностей использовалась во время последней войны также для определения самых целесообразных методов поисков самолетов или подводных лодок противника или для указания путей, позволяющих уклониться от встречи с ними. Типичной здесь является, например, задача о том, как выгоднее всего вести караваны торговых судов по океану, в котором действуют вражеские подводные лодки. Если организовывать караваны из большого числа судов, то можно будет обойтись меньшим числом караванов, что делает менее вероятной встречу с подводной лодкой противника; при этом, однако, увеличивается ущерб, который может нанести подобная встреча. Методы теории вероятностей помогли рассчитать наиболее благоприятный режим судоходства в военных условиях, т. е. самые выгодные размеры караванов п частоту их отправления. Задач такого рода возникало настолько много, что при военном командовании пришлось создать специальные группы, занимавшиеся расчетами, связанными с теорией вероятностей. Подобные расчеты после войны стали применяться и к многочисленным хозяйственным вопросам мирного времени; они составили содержание нового большого направления, названного исследованием операций, которое на наших глазах оформляется в самостоятельную науку.
НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В XVII столетии теорией вероятностей занимались такие выдающиеся математики, как французы Б. Паскаль и П. Ферма и голландец X. Гюйгенс. При этом первые вклады в теорию вероятностей были сделаны, как мы уже отмечали, в связи с изучением азартных игр.
Однако уже в конце XVII в. начали пользоваться теорией вероятностей при страховании кораблей от случайностей, т. е. начали подсчитывать, сколько шансов на то, что корабль вернется в порт невредимым, что он не будет потоплен бурей, не будет захвачен пиратами, что груз на нем не подмокнет, не сгорит, не сгниет и т. д. Такой расчет позволял определить, какую страховую премию следует выплачивать владельцу корабля или владельцу груза в том случае, если корабль не вернется в порт или если груз испортится, так, чтобы это было выгодно владельцу страховой конторы.
В первой половине XVIII в. для развития теории вероятностей очень много сделал швейцарец Яков Бернулли — член Российской Академии наук. Вслед за ним следует назвать французских академиков С. Лапласа и
С. Д. Пуассона и замечательного немецкого математика К. Ф. Гаусса, работавших в конце XVIII и начале XIX в.
При всем том, в течение второй половины XVIII в. и первой половины XIX в. теория вероятностей в известном смысле «топталась на месте»,— в то время еще не была ясна связь между различными явлениями жизни и наукой о массовых явлениях. В середине XIX в. очень большой сдвиг в теории вероятностей произвели труды знаменитого русского математика П. Л. Чебышёва. Он нашел некоторые новые методы решения ранее поставленных задач и сумел создать вокруг себя большую группу молодых ученых, из которых некоторые впоследствии достигли мировой известности. В первую очередь здесь надо упомянуть А. А. Маркова, А. М. Ляпунова; несколько позже развернулась деятельность академика С. Н. Бернштейна — нашего современника, здравствующего и ныне. Советская школа теории вероятностей, возглавляемая академиком А. Н. Колмогоровым, поддерживает традиции дореволюционной русской математики — она бесспорно стоит на одном из первых мест в мировой науке.
КАКИЕ ЗАДАЧИ РЕШАЮТ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В НАШЕ
ВРЕМЯ
Постепенно в XIX в. многие физики пришли к той точке зрения, что выводы теории вероятностей могут быть приложены и к физическим явлениям. Во второй половине XIX в. в трудах англичанина К. Максвелла, австрийца Л. Больцмана и американца Д. В. Гиббса зародилась так называемая «статистическая физика», представляющая собой область физики, специально изучающая огромные совокупности^ атомов и молекул, составляющие любое вещество, с точки зрения теории вероятностей.
С середины XIX в. учение о вероятностях развивалось с огромной быстротой, завоевывая все новые и новые области применения. Самая наука о случайном получила новое освещение. По мере того как массовые случайные явления изучались все глубже, открывались и новые законы случая.
Практическое значение теории вероятностей — той ветви математики, которая изучает массовые явления, с каждым годом становится все больше и больше. В последнее время теория вероятностей нашла, например, важные приложения в астрономии. Значение теории вероятностей для астрономии очень сильно возросло с тех пор, как астрономы стали изучать не только отдельные планеты и звезды, но целые массы звезд — звездные скопления, а также внегалактические туманности, или галактики, состоящие из невообразимо большого количества отдельных звезд. За последнее время в астрономии стало развиваться также направление, изучающее методами теории вероятностей всю массу галактик, подобных той огромной звездной системе, к которой принадлежит наше Солнце со всеми планетами; огромное число галактик во Вселенной позволяет подходить к ним с методами, относящимися к массовым явлениям.
Освобождение атомной энергии, создание атомных бомб, а затем и атомных электростанций, атомных двигателей и т. д. поставили новые серьезные задачи перед теорией вероятностей. В любой атомной установке основную роль играют ядерные реакции—процессы деления или слияния атомных ядер, вызываемые их случайными столкновениями с мельчайшими элементарными частицами (в первую очередь нейтронами) и друг с другом. При этом крайне важно очень точно заранее рассчитать ход всех процессов в установке — мельчайшая ошибка в этом отношении может привести к грандиозной катастрофе. И здесь на помощь приходит теория вероятностей — несмотря на случайный характер отдельных атомных столкновений, она позволяет с огромной точностью определить, как будут происходить изменения во всей массе атомов.
Кустарное производство имеет в настоящее время всюду весьма малое значение; напротив, значение массового производства все больше возрастает. Поэтому возрастает важность для промышленности теории массовых явлений, позволяющей научно обоснованно вести производство. Нужны научно обоснованные методы контроля качества изделий, методы определения доли бракованных изделий по наблюдению лишь небольшой части из них. Нет ни одного завода, который не нуждался бы в использовании выводов теории вероятностей для практики.
При этом отдельный завод часто не в состоянии решить те проблемы научного подхода к явлениям, которые возникают в его практике. Над созданием общей теории массовых явлений, охватывающей множество конкретных задач, возникающих на производстве, работают математики — специалисты по теории вероятностей.
В настоящее время почти все отрасли массового производства применяют выводы теории вероятностей.
Каждый из нас пользуется автоматическим телефоном. Возможность устройства автоматических телефонных станций обоснована теорией вероятностей. Для того чтобы пояснить роль теории вероятностей в телефонии, остановимся на одном довольно
специальном примере.
Многие из вас обращались к «говорящим часам» — автоматическому устройству на телефонной станции, быстро отвечающему вам, который час. Теория вероятностей позволила рассчитать примерное число ЛЮДОЙ одновременно обр а- щающихся к «говорящим часам» с целью узнать время. И хотя людей, которые в любую минуту и даже секунду могут поинтересоваться по телефону, который час, в Москве очень много, у «говорящих часов» практически никогда пе бывает «очереди»; когда к ним ни обращаешься — всегда телефон свободен. Это происходит потому, что теория вероятностей позволяет сделать расчет, сколько людей и в какое время будет обращаться за справкой. Исходя из этого, можно определить мн-
нимальное количество комплектов автоматических аппаратов, необходимое для того, чтобы удовлетворить потребности миллионов жителей города.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
Роль теории вероятностей для практики особенно бурно растет в наши дни. Возникают новые большие разделы теории вероятностей, которые сразу же находят многочисленные применения. Совершенно очевидно, что очень скоро ни один хороший инженер не сможет обойтись без знания этой науки; в будущем же знание теории вероятностей станет необходимым для всякого образованного человека. В нашей стране все время увеличивается количество технических учебных заведений, в которых изучается теория вероятностей, а в некоторых других странах, например в Японии, элементы теории вероятностей уже введены в программу средней школы.
Выше мы уже упоминали об одном весьма важном новом направлении в науке, тесно связанном с теорией вероятностей,— о так называемом исследовании операций. В заключение остановимся еще на одном совсем молодом, но весьма важном разделе теории вероятностей — на так называемой теории информации.
Теория вероятностей занимается случайными событиями, исход которых заранее нам неизвестен. Поэтому выяснение того, какой исход имело какое-либо из подобных событий, несколько увеличивает наши знания, или, как обычно говорят, дает нам какую-то новую информацию. При этом очевидно, что в разных случаях увеличение наших знаний будет совершенно разным: знание того, какой стороной легла на стол монета при однократном бросании, меньше знания исходов двух бросаний той же монеты, а знание того, выпадет ли уже снег в Москве, к ноябрьским праздникам, следует считать гораздо более ценным, чем знание того, выпадет ли снег к зимним каникулам; в последнем мы можем быть совершенно уверены без всякой проверки. В 1947—1948 гг. талантливый американский математик и инженер Клод Шеннон указал метод, позволяющий численно измерить «количество информации», содержащееся в выяснении результата того или иного опыта со случайным исходом, что сразу же оказалось очень полезным для многих задач естествознания и техники.
Непосредственно работы Шеннона были связаны с вопросами телеграфии. Телеграфный аппарат служит для передачи определенной информации; при этом естественно поставить вопрос о том, как передавать эту информацию наиболее экономным образом. Хорошо известно, что часто передача ведется при помощи так называемой азбуки Морзе, согласно которой буквы передаются определенными комбинациями точек и тире; так, например, буква «е», по азбуке Морзе, изображается одной точкой «.», а буква «ш» — четырьмя тире « ».
Легко объяснить, почему запись буквы «е», по азбуке Морзе, сделана более короткой, чем запись буквы «ш»: действительно, в передаче первая буква встречается много чаще второй, и поэтому для нее нам гораздо важнее иметь короткое обозначение. Таким образом, уже при создании азбуки Морзе были учтены неодинаковые
вероятности появления в сообщении различных букв — это обстоятельство и было использовано для того, чтобы сделать запись передаваемых с помощью этой азбуки сообщений возможно более короткой. Еще больший эффект можно получить, если учитывать то обстоятельство, что вероятность каждой буквы в сообщении существенно зависит от переданной перед ней буквы. Действительно, если предыдущая
буква была гласной, то вероятность согласной резко повышается, а еслп предыдущая буква была «ч», то почти наверное следующей будет «и», «е» или «т» (как в слове «что»). Подобные расчеты, непосредственно относящиеся к теории вероятностей, проводил еще в свое время замечательный русский математик А. А. Марков, тщательно проанализировавший в этих целях отрывки из «Евгения Онегина» и других произведений классической русской литературы. Но лишь Шеннон связал эти расчеты с общим вопросом о «количестве информации», которое можно передать по телеграфу в единицу времени, и вывел отсюда практические правила, позволяющие указать самые выгодные приемы передачи сообщений.
В дальнейшем указанная Шенноном возможность численной оценки «количества информации» оказалась очень ценной не только для узких целей телеграфии, но и во всех тех случаях, когда мы имеем дело с какой бы то ни было передачей или накоплением определенных знаний. Здесь речь может идти и об автоматической регулировке движения поездов, и о современных математических машинах, самостоятельно решающих заданные им сложнейшие задачи, и о передаче нервными волокнами человека определенных сигналов, идущих от органов чувств к коре головного мозга и обратно — от головного мозга к мускулам. В настоящее время теория информации служит основным математическим аппаратом кибернетики —большого направления, объединяющего ряд наук и изучающего широкий круг явлений, относящихся к технике, физике, биологии, экономике.
МАТЕМАТИКА - ЭНЦИКЛОПЕДИИ, СПРАВОЧНИКИ, КАТАЛОГИ, ТАБЛИЦЫ

Энциклопедии, справочники, каталоги, таблицы по математике, Математика - ДЛЯ ШИРОКОГО КРУГА, ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ, Математика - Для учащихся старших классов, Математика - для средних классов