Н. Я. Виленкин, С. И. Шварцбурд, А. Г. Мордкович

Метод математической индукции 51

• 1. Полная и неполная индукция. 52
• 2. Метод математической индукции 56
• 3. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование 62
• 4. Доказательство тождеств 65
• 5. Доказательство неравенств методом математической

индукции. 67

• 6. Доказательство неравенств. 71.
• 7. Применение метода математической индукции к решению вопросов делимости. 73
• 8. Задачи на делимость 74
• 9. Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей (прогрессий, ряда Фибоначчи) 75
• 10. Свойства числовых последовательностей 78
• 11. Разные задачи, решаемые методом математической индукции 80

Отве ты и указания к упражнениям 83

П. С. Моденов Геометрические преобразования 85

• 1. Общие сведения о преобразованиях. —
• 2. Изометрические и подобные преобразования- 89
• 3. Инверсия. 100
• 4. Круговые преобразования. 107
• 5. Решение задач на построение одним циркулем 113
• 6. Примеры и задачи. 118

Литература. 132

П. В. Стратилатов Задачи по общему курсу 133

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

С. Б. Суворова, А. А. Шершевский

В научно-популярной математической литературе большое внимание уделено свойствам бесконечных множеств. Знакомство с понятием эквивалентности множеств, мощности множества и т. д. рекомендуется и программой факультативных занятий по математике в школе. У теории множеств есть, однако, более элементарная часть, в которой различие между конечными и бесконечными множествами не выступает явно. Это в первую очередь «алгебра множеств», в которой изучаются свойства операций над множествами. Как мы увидим, она ближе к проблематике школьной алгебры.

В настоящей работе вводятся основные определения, терминология и символика теории множеств и на хорошо известном школьном материале показано применение этих понятий. Язык теории множеств позволяет взглянуть с более общих позиций на такие важные разделы школьного курса математики, как решение уравнений, неравенств и др., и способствует устранению устойчивых логических ошибок, встречающихся часто при изучении этих тем в средней школе.

Материал, изложенный в данной статье, рассчитан на 12 часов. § 8 может быть пропущен при первом чтении дальнейшее изложение не опирается на его содержание. Заметим, что задачи § 11 можно решать на протяжении всех двенадцати часов по мере прохождения материала.

• 1. Множество, элемент множества. Принадлежность, включение, подмножество, равенство множеств

Прежде всего мы познакомимся с тем, что такое множество.

Мы будем считать множество одним из первоначальных понятий, не подлежащих формальному определению. Достаточно привести примеры множеств: множество учащихся в классе, множество книг в библиотеке, множество точек на плоскости, множество целых чисел, множество решений уравнения х² — 5х + 6 = 0.

Предметы любой природы, составляющие множество, называются его элементами. Вводятся следующие обозначения:

1) А = {а Ь) — множество А состоит из элементов а, Ь 2) а £А—элемент а принадлежит множеству А. Например, если множество рациональных чисел обозначить буквой Q, то тот факт, что число 8 рациональное, записывается следующим образом: 8 Е Q 3) а^А—элемент а не принадлежит множеству А. Например, известно, что число )/3 иррациональное, т. е. ]/'3 ё Q-

В каком случае можно считать, что множество задано?

Для этого достаточно было бы перечислить все элементы множества. Однако это возможно только в том случае, когда множество содержит конечное число элементов (но и это не всегда удобно, если число элементов очень велико).

Множество можно было бы также задать и его описанием, т. е. указанием характеристического признака, позволяющего относительно любого объекта однозначно судить, принадлежит он данному множеству или нет.

Например, элементы множества однозначных простых чисел нетрудно явно перечислить: А = {2 3 5 7}. А выписывание элементов множества всех четных четырехзначных чисел хотя и возможно, но слишком трудоемко. Множество всех чисел, кратных шести, бесконечно, и вы- £

писать все его элементы невозможно оно состоит из чисел вида 6/г, где k — любое целое число.

Множество всех простых чисел определяется описанием с помощью следующего характеристического признака: этому множеству принадлежат те и только те числа, которые имеют два делителя — самого себя и единицу.

Однако формулировка некоторого характеристического свойства еще не гарантирует существование объектов, которые этим свойством обладают, т. е. возможно, что множество, задаваемое этим свойством, не будет содержать ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом 0. Например, если все ученики IXА класса успевают по всем предметам, то при подведении годовых итогов в классном журнале в графе «количество неуспевающих» проставляется число О, а множество неуспевающих учеников этого класса оказывается пустым. Пустым также, к примеру, является множество чисел, делящихся на 2 и на 3, но не делящихся на 6.

Непосредственным обобщением понятия принадлежности элемента а множеству А является включение множества А в множество В. Говорят, что множество А включено в множество В (А содержится в В), если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Множество А называется подмножеством множества В, обозначают это так: А В. Например, множество целых чисел Z является подмножеством множества рациональных чисел Q, т. е. Z Q. Если . одновременно с отношением А В имеет место факт включения множества В в множество А (В А), то оба множества попросту совпадают, т. е. состоят из одних и тех же элементов. Равенство или совпадение множеств обозначается так: А = В. Для принадлежности некоторого элемента множеству А в этом случае необходима и достаточна принадлежность его множеству В. Пусть, например, каждая книга ученика Иванова есть и у ученика Петрова. Однако этого еще недостаточно, чтобы утверждать, что их домашние библиотеки совершенно одинаковы. Но если сверх того известно, что каждая книга Петрова есть и в библиотеке Иванова, то отсюда с необходимостью вытекает, что их библиотеки тождественны.

Из определения равенства множеств непосредственно следует, что порядок, в котором перечисляются элементы

множества, несущественен, а важен лишь состав множества. Например, множества А = {2 3 5}, В = {3 2 5} и С = {5 3 2} равны между собой, т. е. представляют собой одно и то же множество.

Если каждый элемент непустого множества А принадлежит множеству В, но хотя бы один элемент множества В не принадлежит множеству Д, то Д называется собственным подмножеством множества В, и это записывается так: Д cz В (сравните с обозначением строгого и нестрогого неравенства).

Таким образом, из факта Д с В вытекает, что Д Е В, но из того, что А £ В следует лишь, что имеет место одно из двух соотношений: A cz В или А — В.

Так как мы ввели в рассмотрение пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, то мы будем считать, что все пустые множества равны между собой и каждое пустое множество является подмножеством любого другого множества, пустого или непустого.

Введенные в этом пункте понятия и отношения наглядно иллюстрируются с помощью так называемых кругов Эйлера. Множество изображается некоторым кругом, а его элементы — точками этого круга. На чертеже 1 изображен следующий факт:

Черт. 1

И в заключение этого параграфа заметим, что выделение некоторого понятия из более общего указанием дополнительных признаков есть по существу рассмотрение некоторого подмножества данного множества.

Так, требование равенства двух сторон выделяет из множества треугольников А подмножество равнобедренных треугольников В, а требование равенства основания и боковой стороны выделяет из множества равнобедренных треугольников В подмножество равносторонних треугольников С. Отношение между множествами Д, В и С проиллюстрировано на чертеже 2.

• 2. Числовые множества множества точен на прямой, задаваемые алгебраическими уравнениями и неравенствами с одной переменной

В этом разделе мы рассмотрим конкретные примеры множеств, возникающих при решении уравнений и неравенств с одной переменной, таким образом, мы будем рассматривать различные подмножества множества всех действительных чисел. В геометрической интерпретации это будет соответствовать различным множествам точек числовой оси.

При решении линейных уравнений вида ах + Ъ = О возможны три случая: 1) уравнение имеет единственное решение 2) не имеет решений 3) уравнение является тождеством. Так, например, уравнению 2х + 4 — 0 удовлетворяет число —2, уравнение 2 (х — 1) = 2х + 2 не имеет решений, а корнем уравнения 2 (х — 1) = 2х — 2 является любое число. В последнем случае говорят, что множеством решений этого уравнения является вся числовая прямая.

Рассмотрим уравнение

х² — 5х 4- 6 — 0.

Оно имеет два корня: 2 и 3. Мы будем говорить, что множество корней данного уравнения состоит из чисел 2 и 3 (можно сказать — из двух элементов: 2 и 3). Это множество обозначается следующим образом: {2 3}. Аналогично множество решений уравнения (х— 1) (* — 2)² X х (х + З)³ — 0 состоит из трех чисел, или из трех элементов:

{1 2 -3).

Рассмотрим уравнение х² + 1 = 0. Оно не имеет корней. И для того чтобы мы всегда имели возможность говорить о множестве решений алгебраического уравнения, используем введенное выше так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента (в нашем случае ни одного числа). Таким образом, множество решений уравнения х² + 1 = 0 пусто.

Уравнению х = | х| удовлетворяют все неотрицательные числа. Это множество геометрически изображается лучом.