• 1. Общие свойства степени 45
• 2. Общие свойства логарифма. 51

Глава четвертая.

Теория соединений (комбинаторика) 57

• 1. Размещения. 57
• 2. Перестановки 58
• 3. Сочетания 60
• 4. Теоремы Эйлера и Ферма 63
• 5. Размещения с повторениями. 64
• 6. Перестановки. с повторениями. 65
• 7. Сочетания с повторениями 66

Глава пятая.

Элементы теории вероятностей. 69

• 1. Понятие об единственно возможных, равновозможных и несовместных событиях 69
• 2. Понятие о вероятности события 69
• 3. Понятие о сложных событиях 71
• 4. Понятие о зависимых событиях. 72
• 5. Теорема умножения вероятностей 72
• 6. Теорема сложения вероятностей 78
• 7. Случай нескольких событий. 84

Глава шестая.

Прямые и плоскости в пространстве. 86

• 1. Определение положения плоскости. Пересечение прямых и плоскостей . 86
• 2. Перпендикуляр к плоскости и наклонные к ней. 90
• 3. Параллельные прямые и плоскости. 92
• 4. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости. 95

Глава седьмая.

Трехгранные и многогранные углы. Правильные многогранники . 100

• 1. Трехгранные углы. 100
• 2. Многогранные углы. 105
• 3. Правильные многогранники 107

Глава восьмая.

Конгруэнтность и подобие многогранников 111

• 1. Конгруэнтность многогранников. 111
• 2. Подобие многогранников 114

Глава девятая.

Тригонометрические функции любого угла 115

• 1. Векторы 116
• 2. Дуги и углы 126
• 3. Тригонометрические функции 132

Глава десятая.

Тригонометрические уравнения. 142

• 1. Тригонометрические уравнения типа sinx = /n, cosx = m, tgx — m и приводящиеся к ним 142
• 2. Тригонометрические уравнения типа asinx -\-b cosx = c. 147
• 3. Системы тригонометрических уравнений 150

Глава одиннадцатая.

Обратные тригонометрические функции 153

• 1. Понятие об обратных тригонометрических функциях. 153
• 2. Соотношения, связывающие обратные тригонометрические функции . 155

Глава двенадцатая.

Особые случаи решения треугольников. 165

Глава тринадцатая.

Обоснование действий над алгебраическими выражениями. 176

• 1. Смысл действий над алгебраическими выражениями. 176
• 2. Тождественно равные алгебраические выражения. 177
• 3. Тождественные преобразования многочлена. 178
• 4. Тождественные преобразования выражений A -j- В. и А— В 180
• 5. Тождественные преобразования выражения АВ . 184
• 6. Тождественные преобразования выражения . 185
• 7. Деление многочлена на многочлен . 188
• 8. Деление на двучлен х — а 193
• 9. Теорема о тождественности многочленов. 196

Глава четырнадцатая.

Теория эквивалентности уравнений. 200

263

ДОПОЛНЕНИЯ.

Глава пятнадцатая.

Стр.

Иррациональные числа 208

• 1. Понятие об иррациональном числе. 208
• 2. Сложение вещественных чисел. 212
• 3. Вычитание вещественных чисел. 213
• 4. Основное свойство разности . . . . 214
• 5. Положительные и отрицательные вещественные числа 215
• 6. Умножение вещественных чисел. 218
• 7. Деление вещественных чисел. 220
• 8. Основное свойство частного. 221
• 9. Неравенства в области вещественных чисел 223
• 10. Сравнение вещественных чисел 223
• 11. Двойные ряды, члены которых суть вещественные числа. 225
• 12. Степень с. натуральным показателем 226
• 13. Корень из вещественного числа 226
• 14. Степень с. иррациональным показателем 229
• 15. Логарифм вещественного числа 235

Глава шестнадцатая. Учение об отношении и измерении. 238

• 1. Рациональное отношение отрезков 238
• 2. Алгорифм Евклида. 245
• 3. Приближенные отношения 249
• 4. Измерение длины отрезков 260

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Весьма плодотворным является углубление содержания элементарного преподавания, в котором, не выходя из границ, можно найти неисчерпаемые богатства материала; такое углубление действует на учащегося, развивая его, и оживляет предмет".

Вебер, Предисловие к Энциклопедии элементарной математики*.

Я хочу высказать пожелание, чтобы настоящая книга оказалась полезной тем, что побудит иного учителя нашей средней школы к самостоятельному размышлению о новом, более целесообразном изложении того учебного материала, который он преподает'.

Клей к, Предисловие к „Элементарной математике с точки зрение высшей*.

Элементарная математика представляет собою дисциплину, точные границы которой не могут быть установлены. Но в одном нет сомнения: современная наука включает в область элементарной математики большое число разделов, которые далеко выходят за пределы курса элементарной математики средней школы. Эти разделы содержат в себе как дополнительный материал, на который опираются другие ветви математики, так и учения, которые имеют самую тесную связь с курсом элементарной математики средней школы, представляя собою научные основания этого курса.

Вряд ли следует доказывать, что преподавание только в том случае будет находиться на достаточно высоком уровне, если оно будет построено на соответствующих научных основаниях. Вместе с тем, не опасаясь упреков в парадоксальности, можно утверждать, что чем изложение вопроса ближе к научной форме его, тем легче и глубже оно воспринимается учащимся. Все затруднения, возникающие у преподавателя и учащегося при стремлении дать наиболее ясное и удовлетворяющее определение понятия или наиболее исчерпывающую теорию вопроса, могут быть устранены только путем изучения состояния этого вопроса в науке. С другой стороны, еще в большей мере, чем приобретение научных знаний, оказывает влияние на преподавателя и учащегося изучение научных методов дисциплины, которое воспитывает в них наиболее ценное качество — творческую инициативу, научно-исследовательские навыки. Изучение путей, по которым развивается исследование в науке, тех общих приемов рассуждения, которые выработала наука и которые являются ее главным достоянием, тех обобщений, которые и составляют содержание метода, — должно являться основной задачей преподавателя.

Эти именно идеи, столь ясно выраженные в приведенных эпиграфах, принадлежащих двум крупнейшим ученым, которые своими сочинениями по элементарной математике оказали решающее влияние на содержание и преподавание этой дисциплины, — положены в основу настоящей книги. Составленная по программе „Общего* и отчасти „Специального* курсов элементарной математики, читаемых на физико-математических факультетах педагогических институтов, книга содержит в себе весь материал, включенный в эту программу, за исключением тех немногих вопросов, которые изложены либо в стабильных учебниках, либо в учебниках для педагогических институтов. Но, по* 4* 3

мимо этого, в книгу включены две главы („Иррациональные числа* и „Учение об отношении и измерении*), которые, составляя со всем остальным материалом книги органическое целое, позволяют построить изложение других глав на научных основаниях.

В связи с указанными выше стремлениями, положенными в основу книги, при изложении значительное внимание уделялось введению тех понятий и идей элементарной математики, которые представляют особенную ценность для преподавателя или являются вместе с тем общими понятиями и идеями всей математики.

В главе XV дана теория иррациональных чисел, основанная на понятии о двойном ряде чисел. Этот способ изложения теории иррациональных чисел, принятый Бибербахом в его „Диференциальном исчислении» и Фербером в его „Арифметике*, может быть с ббльшим успехом, чем другие способы, использован в средней школе, так как идея двойных рядов получается в результате обобщения свойств рядов, связанных с нахождением приближенных значений корня и приближенных отношений отрезков с последовательно возрастающей степенью точности.

На основе теории иррациональных чисел представилось возможным изложить свойства степени и логарифма во всей полноте и привести доказательства существования (в области действительных чисел) арифметического корня из всякого положительного действительного числа и логарифма всякого положительного действительного числа. Точно так же приобрела завершенную форму глава XVI, в которой дана строгая теория точных и приближенных отношений и установлено понятие об измерении.

В главе VI („Прямые и плоскости в пространстве*) не только сообщается новый материал, не включаемый обычно в курс геометрии средней школы, но и самое изложение ведется на более высокой научной основе: на примере материала этой главы выясняются научные элементы определений геометрических понятий и доказательств геометрических предложений.

Глава IX содержит учение о тригонометрических функциях любого угла, построенное на понятии об алгебраическом значении вектора, расположенного на оси. Эта форма определения понятия о тригонометрических функциях, принятая в книге „Lemons de Trigonometric rectiligne* C. Bourlet, имеет за собою все преимущества, указывающие на необходимость введения ее в среднюю школу. В пользу этого говорят не только научные и методические соображения, но также и тот факт, что предлагаемая форма учения о тригонометрических функциях приблизила бы среднюю школу к высшей и установила бы более тесную связь между тригонометрией и физикой.

В главе X указаны методы решения тригонометрических уравнений и даны примеры исследования этих уравнений и найденных корней. Эту главу читатель должен привести в связь с главой XIV („Теория эквивалентности уравнений*).

Глава XII („Особые случаи решения треугольников*) посвящена изложению весьма оригинального и плодотворного, но, к сожалению, недостаточно известного метода „дробей нулевого измерения*,принадлежащего проф. С.О. Шатуновскому. В этой главе сущность метода и его приложения выяснена на большом числе примеров.

Глава XIII посвящена выяснению смысла алгебраических действий и обоснованию преобразований данных алгебраических выражений в другие выражения, тождественно равные данным. В этой же главе изложена задача о делении многочлена на многочлен и связанные с нею теорема о делении на двучлен х — а и теорема о тождественности многочленов.

В главе XIV даны формулировки и доказательства основных теорем об эквивалентности уравнений в самой общей форме, относящейся как к численным, так и к буквенным уравнениям и предусматривающей все случаи, которые могут возникнуть при преобразовании уравнения путем двух основных приемов.

Необходимость написать эту книгу в сравнительно небольшой срок заставила автора отказаться от введения ряда методических замечаний, которые, должно быть, могли бы сделать книгу более ценной для преподавателя. Автор надеется исправить этот пробел в следующем издании.

Считаю своим долгом отметить работу ответственного редактора Б. Я. Березовского, который проявил в этой работе не только надлежащую научную культуру, но и подлинную идейность, всемерно стремясь к повышению качества книги и удовлетворению интересов читателя.