1. Отрицательные числа. 37

2. Дроби. 45

3. Иррациональные числа. 49

III. Особые свойства целых чисел 57

1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании 57

2. Простые числа и разложение на множители. 61

3. Обращение простых дробей в десятичные 62

4. Непрерывные дроби. 64

5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма 69

6. Задача о делении окружности на равные части . 75

7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой. 78

IV. Комплексные числа 85

1. Обыкновенные комплексные числа. 85

2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы 88

3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве. 99

4. Комплексные числа в преподавании 112

V. Современное развитие и строение математики вообще 114

1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ. 114

2. Краткий обзор истории математики 118

АЛГЕБРА

Введение 127

I. Уравнения с действительными неизвестными 127

1. Уравнения, содержащие один параметр. 27

2. Уравнения с двумя параметрами 129

3. Уравнения с тремя параметрами. 137

II. Уравнения в области комплексных чисел 147

А. Основная теорема алгебры 148

В. Уравнение с одним комплексным параметром .151

1. Двучленное уравнение 2^П = w. 159

2. Уравнение диэдра 166

3. Уравнения тетраэдра, октаэдра н икосаэдра. 173

4. Продолжение; вывод уравнений 178

5. О решении нормальных уравнений 186

6. Униформизация нормальных уравнении посредством трансцендентных функций. 190

7. Разрешимость в радикалах. 197

8. Сведение общих уравнений к нормальным 202

АНАЛИЗ

I. Логарифм и показательная функция. 206

1. Систематика алгебраического анализа. 206

2. Историческое развитие учения о логарифме. 209

3. Некоторые замечания о школьном преподавании 222

4. Точка зрения современной теории функций 224

II. О тригонометрических функциях. 233

1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме 233

2. Тригонометрические таблицы 243

3. Применения тригонометрических функций 249

III. Исчисление бесконечно малых в собственном смысле слова 295

1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых 295

2. Теорема Тейлора. 315

3. Замечания исторического и педагогического характера 331

ПРИЛОЖЕНИЯ

I. Трансцендентность чисел е и л. 334

1. Исторические замечания 334

2. Доказательство трансцендентности числа е. 336

3. Доказательство трансцендентности числа л. 343

4. Трансцендентные и алгебраические числа 352

II. Учение о множествах. 355

1. Мощность множества. 355

2. Порядок элементов множества 372

3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в школе. 378

Примечания. 382

Именной указатель 426

Предметный указатель 429

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Феликс Клейн (1849—1925) принадлежит к числу математиков-классиков, обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших ее современное лицо. В области геометрии XIX век ознаменовался, прежде всего, значительным расширением наших взглядов на пространство и предмет геометрии. Если раньше господствовало представление о том, что научные факты, теоремы, законы в точности описывают свойства единственного мыслимого, волею творца созданного пространства*), то XIX век не только поколебал, но и полностью опрокинул эти идеалистические взгляды. И начало этому было положено работами нашего выдающегося соотечественника Н. И. Лобачевского.

Лобачевский, открывший новую геометрию, отличную от евклидовой, неизбежно пришел к вопросу о том, какова же геометрия реального пространства, подошел к пониманию того, что евклидова геометрия может лишь приближенно описывать свойства реального пространства, которое в действительности является значительно более сложным. И его эксперименты по вычислению суммы углов огромного космического треугольника — яркое свидетельство этого. Работы Лобачевского открыли перед математиками целый новый мир, позволили искать новые и новые геометрии, и это вскоре ознаменовалось появлением римановой геометрии, введением нормированных, топологических и многих других пространств.

Вместе с тем был один пробел в математическом наследии Лобачевского, существенность которого он сам отлично понимал. Речь идет о доказательстве непротиворечивости его «воображаемой геометрии». Вместо построения необходимой для этого модели Лобачевскому удалось построить другую модель: оказалось, что на предельной сфере пространства Лобачевского реализуется планиметрия Евклида. Какая горькая ирония судьбы! Для того чтобы «узаконить» свою геометрию, Лобачевскому нужна была «обратная» модель, реализующая все соотношения его геометрии

*) Этих взглядов придерживался и великий Ньютон. Приведем несколько цитат из книги: Клайн М. Математика —* утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — С. 72—73: «Как и все математики и естествоиспытатели того времени, Ньютон верил в то, что бог сотворил мир в соответствии с математическими принципами. изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и власти могущественнейшего и премудрого существа. господь бог — искусный математик и физик. Задача науки состоит в том, чтобы раскрыть блистательные замыслы творца».

и построенная из евклидова «материала». Но этого ему не суждено было сделать. Это выпало на долю нескольких геометров, работавших во второй половине XIX столетия, и Феликс Клейн — один из них. Один из тех, кто построением изящной модели завершил более чем двухтысячелетнюю «борьбу» математиков с пятым постулатом Евклида (постулатом о параллельных) и подтвердил правомерность идей Лобачевского о возможности существования разных геометрий.

Если бы математические заслуги Клейна этим только и ограничивались, одно это полностью оправдывало бы интерес к его научному наследию. Однако Клейн сделал гораздо больше. В 1876 году, при вступлении на должность профессора по кафедре геометрии университета в городе Эрлангене, Клейн прочитал блестящую лекцию, в которой наметил далеко идущую научную программу переосмысления различных геометрий с единой групповой точки зрения. Мысль Клейна можно пояснить следующим образом.

Равенство (точнее, конгруэнтность) геометрических фигур — например на плоскости — является отношением эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Иначе говоря, для любых фигур F, G, Н справедливы следующие утверждения (в которых символом т обозначается конгруэнтность геометрических фигур):

F — F (рефлексивность);

если F со. G, то G ~F (симметричность)*

если F аО и G са.Н, то F си Н (транзитивность).

Справедливость этих утверждений вытекает из определения конгруэнтности и свойств движений. Напомним, что фигура F называется конгруэнтной фигуре G, если существует движение g, переводящее F в G, т. е. g(г) = G (заметьте, здесь равенство, т. е. совпадение, а не конгруэнтность!). Чтобы доказать рефлексивность, нужно найти такое движение, которое переводит фигуру Р в себя. Таким движением является тождественное отображение е, т. е. рефлексивность отношения конгруэнтности вытекает из включения е е D, где D — группа всех движений плоскости.

Несложно доказывается и симметричность. Пусть F caG, т. е. существует такое движение g. что g(F) в G. Тогда обратное преобразование (которое также является движением) переводит фигуру G обратно в F, т. е. g“*(G) «= F. Это и означает, что G a' F, т. е. отношение конгруэнтности симметрично.

Наконец, пусть F ~ G и G ~ Н, т. е. существуют такие движения f, g, что f(F) = G и g(G) = Н, Тогда композиция g ° f (т. е. результат последовательного выполнения движений f и g), которая в свою очередь является движением, сразу переводит F в Н, т. е. g ° f(F) = Н. Это означает, что F са Н, т е. отношение конгруэнтности транзитивно.

Итак, рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения конгруэнтности вытекают из того, что множество D всех движений является группой преобразований плоскости, т.е. это множество не пусто и обладает следующими двумя свойствами: если f е D, то J-* е D, и, кроме того, если f eD и g е D_t то g°f^D.

Но группа всех движений — не единственная известная нам группа преобразований. Аффинные преобразования (плоскости

или пространства) также составляют группу. Образуют группу все проективные преобразования (проективной плоскости или проективного пространства), все преобразования подобия, все параллельные переносы, все движения плоскости Лобачевского и т. д. По мысли Клейна каждая группа преобразований (некоторого множества) задает «свою» геометрию. Именно, пусть Г — некоторая группа преобразований множества А4; тогда две фигуры F и G (т. е. два подмножества множества М) называются Г-лк груэнтными, если существует такое преобразование g е Г, которое переводит F в G И подобно тому как евклидова геометрия изучает те свойства фигур, которые одинаковы у конгруэнтных фигур, т. е. те свойства фигур, которые сохраняются (остаются инвариантными) при движениях, так и геометрия группы преобразований Г изучает те свойства фигур (т е подмножеств множества М), которые одинаковы у Г-конгруэнтных фигур, т. е. те свойства фигур, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях, принадлежащих группе Г.

Эта идея Клейна позволила ему объединить, охватить единым подходом многие различные геометрии: евклидову, аффинную, проективную, гиперболическую геометрию Лобачевского, эллиптическую геометрию Римана и ряд других.

Прошли десятилетия. Групповой подход Клейна к осмыслению геометрии приобрел новые звучания и новые области приложения. Теперь значение идей эрлангенской программы Клейна не ограничивается рамками геометрии. Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике^ Знаменитый русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров, используя идеи Клейна, открыл кристаллографические группы, носящие теперь его имя. Они стали в наши дни научной основой кристаллографии. Групповой подход находит важные применения в ядерной физике, квантовой теории, физике элементарных частиц; принципы симметрии и четности — яркое проявление групповой точки зрения. Еще один впечатляющий пример — специальная теория относительности. Ее основой является группа преобразований Лоренца, которая задает своеобразную геометрию четырехмерного пространства — времени и служит подлинной основой современного физического понимания взаимоотношения времени и пространства (локально, в небольшой области).

Разумеется, помимо физики и других естественных наук, принципы эрлангенской программы применяются и в самой математике. Развитие этих идей воплощено сейчас в понятии однородных пространств (нередко называемых пространствами Клейна), которые находят различные приложения в ряде разделов математики.

А в проблемах, связанных с преподаванием геометрии, идеи эрлангенский программы вплоть до сегодняшнего дня имеют огромное значение и находятся на переднем крае «методического фронта». С влиянием этих идей школьный преподаватель математики встречается буквально во всех разделах курса геометрии, и за прошедшие сто лет со дня провозглашения Клейном эрлангенский программы влияние этих идей не только не ослабло, но, скорее, возросло.

Сейчас хорошо известно, что традиционно «школьные» геометрические задачи на доказательство могут решаться не только идущим из седой древности (от Евклида или даже ранее) методом цепочек равных треугольников, связанным с применением трех признаков равенства их, но также применением геометрических преобразований и в первую очередь движений. Именно такие решения, связанные с движениями и использующие, в частности, соображения симметрии, наиболее важны для развития «геометрического видения>. Применение движений сближает математику с идеями физики, химии, биологии, техники, соответствует прогрессивным чертам математического осмысления мира.

Влияние группового подхода Клейна можно проследить во всех темах школьной геометрии. Каждая фигура г определяет некоторую группу движений; эта группа содержит все те движения, которые переводят фигуру F в себя, и называется группой самосовмещений (или группой симметрий) фигуры F. Знание группы самосовмещений фигуры F во многом определяет геометрические свойства этой фигуры. Все свойства параллелограмма вытекают из того, что его группа самосовмещений содержит (кроме тождественного преобразования) центральную симметрию. Группа самосовмещений ромба (или прямоугольника) богаче: она содержит еще две осевые симметрии, и это полностью определяет те дополнительные свойства, которые имеет эта фигура по сравнению с параллелограммом общего вида. Свойства равнобедренного треугольника — проявление его симметричности. Все свойства правильных многоугольников вытекают из рассмотрения их групп симметрий. Свойства правильных многогранников (или других многогранников, обладающих той или иной симметричностью), свойства сферы, цилиндра, конуса удобнее всего выводит с помощью рассмотрения групп самосовмещений этих фигур. И для каждой конкретной геометрической фигуры богатство ее свойств определяется прежде всего ее группой самосовмещений. Все это — своеобразное преломление клейновских идей в школьном преподавании.

Мы остановились на двух ярких геометрических достижениях Клейна. Но его многостороннее научное наследие содержит и много других идей и результатов. Клейн вместе с великим французским математиком Пуанкаре заложил основы теории авто- морфных функций-, он внес существенный вклад в развитие теории римановых поверхностей многозначных аналитических функций; так называемые клейновы группы являются классическим объектом рассмотрения в теории функций комплексной переменной; всем хорошо известна бутылка Клейна, явившаяся одним из первых примеров односторонних поверхностей, и т. д.

Несомненно, личность такого математика, как Клейн, привлекает внимание, и его взгляды на развитие математики, ее теоретическую и прикладную значимость, взаимосвязь различных разделов математики, его методические взгляды и понимание ценности науки — все это пробуждает интерес многих читателей. Подобно тому как вызывает взволнованное внимание визит в мастерскую известного художника, посещение творческого вечера композитора или чтение мемуаров выдающегося писателя, так каждая возможность заглянуть в творческую мастерскую крупного математика вызывает живой интерес. К сожалению, математики скупо делятся секретами творчества со своими будущими почитателями, и в этом плане книги Пуанкаре, Пойа, Адамара представляют собой приятные исключения. И книга Клейна, в ка

кой-то степени воссоздающая творческий стиль его мышления, взгляды и замыслы, несомненно, очень привлекательна.

Автор «Элементарной математики с точки зрения высшей» — не только крупный ученый-теоретик, но также и большой популяризатор науки. Перу Клейна принадлежат такие замечательные произведения, как «Высшая геометрия», «Лекции об икосаэдре», «Четыре знаменитые задачи древности» и многие другие, в которых с удивительным мастерством, в интересной и доступной форме он рассказывает о тонких и глубоких математических фактах, теориях, методах. И в этой книге, предлагаемой вниманию читателя, Клейн выступает как мастер-популяризатор. Читатель найдет здесь красивый этюд о пифагоровых числах и великой теореме Ферма, изящное изложение теории деления окружности, рассказ о кватернионах, прозрачно изложенную гауссову идею доказательства основной теоремы алгебры, доказательство трансцендентности чисел е и л, много крайне интересных подробностей из истории математики и ряд других вопросов.

И все же, несмотря на многоплановость предлагаемой вниманию читателей книги и наличие в ней различных математических идей, подходов, популяризаторских находок, не изложение взглядов Клейна на развитие математики и не его стремление внести вклад в научно-популярную литературу составляет основной замысел книги. Написание этой книги связано еще с одной стороной жизни и деятельности Феликса Клейна, направленной на осуществление прогрессивных тенденций в деле школьного математического образования. Остановимся несколько подробнее на истории этого вопроса.

Старая германская гимназия (школа филологического типа) давала своим воспитанникам очень скудные сведения по математике и естествознанию. В противовес гимназическим программам под руководством В. Гумбольдта (имя которого ныне носит Берлинский университет) были разработаны новые программы, в которых много места отводилось математике и предметам естественнонаучного цикла. Через некоторое время были учреждены «реальные гимназии» с несколько расширенными программами по математике. Однако все правовые преимущества, в том числе доступ в высшие школы, были сохранены только за классическими гимназиями.

Признать образование, основанное на естествознании и математике, равноправным с классическим — таково было первое требование группы новаторов, возглавляемой Клейном.

Реформа математического образования, за проведение которой боролись Клейн и его единомышленники, была направлена на то, чтобы обновить застывший курс математики реальных училищ, сделать его более современным, включающим новые идеи и достижения науки. Взгляды Клейна на преподавание математики в средней школе были весьма прогрессивны. И хотя многие из его требований сейчас воплощены в школьном преподавании, педагогические идеи Клейна остаются актуальными и сегодня. Эти идеи можно изложить следующим образом.

Математика XIX столетия принесла с собой ряд замечательных идей, которые наложили глубокий отпечаток на все отрасли знания и техники. Совершенно недопустимо поэтому, чтобы общеобразовательная школа была чужда тому, что составляет подлинное содержание современной математики. Основную, руководя

щую роль в курсе математики средней школы должно играть понятие функции. Оно должно быть усвоено учащимися очень рано и должно проникать все преподавание алгебры и геометрии. Развить в юноше способность к функциональному мышлению составляет основную задачу реформы.

Далее, изучение функций, их возрастания и убывания необходимо и естественно проходит к понятию производной. Это вызывает следующее требование реформаторов: в программу средней школы должны быть введены начала математического анализа. Основные понятия дифференциального и интегрального исчислений играют важную роль во всех отраслях и приложениях математики, и обойтись без них невозможно. В механике при определении понятий скорости и ускорения, а также в ряде разделов физики, которые изучаются в средней школе, мы фактически оперируем производными. Клейн высказывает убеждение, что искусственные приемы, к которым прибегают в каждом частном случае, чтобы избежать понятия о производной и об интеграле, только сбивают учащихся, создают путаницу и отнимают много времени.

Наконец, по мнению Клейна, на первых ступенях преподавания надо отказаться от строго логических тенденций; нужно возможно больше наглядных представлений, возможно большее число примеров из повседневной жизни. Но при этом Клейн считает необходимым, чтобы в течение последних лет обучения логическая сторона дела достаточно выяснялась.

Итак, отказ от господства филологической школы в пользу изучения естествознания и математики, углубление связи между теоретической и прикладной математикой, введение в преподавание математики функционального мышления и начал математического анализа, а также наглядное обучение и прежде всего широкое применение графических методов — вот те принципы, которые Клейн и его последователи считали необходимым положить в основу реформы преподавания математики в школе. Не правда ли, эти принципы не только прогрессивны, но удивительно актуальны и современны?! Достаточно сказать, что в советской школе эти принципы осуществлены более или менее полно лишь за последние два-три десятилетия.

Но вернемся к истории создания книги. В связи с борьбой за проведение в жизнь своих взглядов Клейн прочел ряд курсов для преподавателей и будущих учителей средних учебных заведений. Один из этих курсов (прочитанный в Гёттингенском университете в 1907/08 учебном году) и составляет основу книги. В своих лекциях Клейн имел в виду дать учителю или студенту старшего курса содержание и обоснование вопросов, составляющих элементарную математику. Он стремился подойти к этим вопросам, как он сам писал в предисловии к литографированным лекциям, вышедшим в 1903 году, «с точки зрения современной науки в возможно простой и живой форме». Лекции Клейна представляют собой редкий вклад в учебную математическую литературу. Некоторые вопросы ни в каком другом сочинении в подобной обработке нельзя найти: многое заимствовано непосредственно из научных мемуаров, из обширных исторических сочинений, малодоступных или даже вовсе недоступных тому читателю, для которого предназначены лекции Клейна. Мало того, книга интересна не только учителю, а местами, пожалуй, и вовсе не

учителю. Она интересна выпускнику университета, пединститута, технического вуза, аспиранту — она дает ему обзор руководящих идей, проникающий многие отделы современной математики.

Понятие об «элементарной математике» является очень растяжимым. Клейн признает элементарным все то, что доступно юноше школьного возраста. Но с этой точки зрения многие части сочинения Клейна вовсе не могут быть признаны элементарными. Учение о кватернионах, уравнения и группы многогранников и их связь с римановыми поверхностями, учение о малых колебаниях, о рядах Фурье, об интерполяции никак не могут быть признаны элементарными. В некоторых своих частях книга требует значительной научной подготовки — что, конечно, вовсе не уменьшает ее достоинства для тех, кому эти вопросы доступны. Вместе с тем книга имеет характер сборника этюдов по вопросам элементарной математики и их осмыслению с точки зрения математики современной. Как писал Клейн в предисловии к упомянутым выше литографированным лекциям, «.я не имел в виду дать систематическое изложение, как это делают, например, Вебер и Вслывтейн*); я хотел придать этим лекциям характер эскизов в той самой форме, в какую они выливались, когда я их читал».

Школьный преподаватель математики хорошо разбирается в вопросах методики преподавания своего предмета, но, как правило, судиг об этих вопросах на уровне школьной программы и наличия межпредметных связей с другими, но именно школьными, предметами. Помочь ему подняться над этим уровнем, взглянуть на школьную математику с высоты научных и прикладных интересов — искреннее желание автора. При общении со школьниками преподаватель часто сталкивается с тем, что учащийся недоумевает, для чего автору учебника понадобился тот или иной сложный аппарат, те или иные громоздкие рассуждения и как можно было до этого додуматься. Вот эти именно вопросы Клейн и старается осветить, он старается раскрыть идею в свете ее исторического развития, пояснить проблему в сопоставлении попыток ее решения. Клейн всюду стремится соединить геометрическую наглядность с точностью аналитических формул, пояснить в историческом плане особенности различных способов изложения, которые в школьном преподавании нередко уживаются рядом. И высшую награду своему труду автор видел в том, «.чтобы книга побуждала учителя средней школы к самостоятельному размышлению о новом, более целесообразном изложении того учебного материала, который он преподает. Исключительно с такой точки зрения надо смотреть на мою книгу, а не считать ее готовым учебным планом; разработку последнего я всецело представляю тем, кто работает в школе».

Остановимся кратко на содержании первого тома. Первая его часть представляет собой обзор современной теоретической арифметики. Кроме раздела 3 главы IV («Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве»), здесь все очень доступно и может в такой же мерс служить введением в теоретическую арифметику, как и дополнением к ней.

*) Книга имеется в русском переводе, хотя и является библиографической редкостью: Вебер Г., В е л ь ш т е й и И. Энциклопедия элементарной математики/Под ред. В. Ф. Кагана. — Одесса: Матезис, 1912.

Читатель должен только помнить, что доказательства нигде не доводятся до конца, автор лишь выясняет их ведущие идеи.

Перейдем, далее, ко второй части первого тома, к «Алгебре». Из обилия тем, которые предоставляет алгебра для беседы с бу* дущими учителями, Клейн выбрал вопросы, связанные с решением уравнений. Здесь, прежде всего, изложены интересные графические приемы нахождения действительных корней уравнений с параметрами. Материал этот близок к школьному преподаванию, представляет интерес для учителя и может быть использован в кружковой работе со школьниками. В полной мере к освещению проблем элементарной математики с точки зрения математики современной относится обсуждение вопросов, связанных с комплексными числами, основной теоремой алгебры, двучленными уравнениями, неразрешимостью задачи трисекции угла в общем виде. Вместе с тем заключительные разделы «Алгебры» излагают вопросы, составлявшие главным образом предметы собственных работ Клейна. Эти идеи находят замечательное осуществление в вопросах о том, как слить различные отделы математики в одно целое и как геометрические представления помогают уяснить аналитические теории. Но хотя в ряде мест Клейн возвращается к школьным проблемам и дает крупицы ярких и интересных мыслей о преподавании (например, в связи с решением кубических уравнений), в целом эти идеи стоят далеко от школы, и изучение их вряд ли может принести существенную пользу будущему преподавателю. Однако для студентов и математиков, которые интересуются алгеброй, эти главы представляют глубочайший интерес. Впрочем, сама идея этих исследований Клейна очень близка к вопросам элементарной математики. В общих чертах она сводится к следующему С давних времен были указаны методы вычисления корней двучленных уравнений вида х" = а. Пожалуй, именно в связи с этим извлечение корня было отнесено к числу операций, которые должны считаться хорошо известными и изученными. Классическая постановка задачи об алгебраическом решении уравнений в том именно и заключалась, чтобы свести решение всякого уравнения к решению «основных», т. е. двучленных уравнений. Как известно, это удалось для уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Относительно же уравнений более высоких степеней было обнаружено, что их решение, вообще говоря, не может быть сведено к извлечению корней, т. е. решению двучленных уравнений. Подобно тому как были изучены двучленные уравнения, можно искать новые типы «основных» уравнений, изучить, определяемую этими уравнениями функциональную зависимость и попытаться свести дальнейшие группы уравнений к этим новым основным типам. К такому направлению относится известное исследование Клейна об икосаэдре, общие результаты которого и приведены в главе II «Алгебры». Руководящей нитью здесь служило изображение функциональной зависимости, определяемой «основным» уравнением, на римановой поверхности. Эта зависимость в случае двучленных уравнений приводит к уравнению диэдра Дальнейшее развитие идеи, которое читатель найдет в тексте, приводит к уравнениям многогранников. Клейн указывает категорию уравнений, которые приводятся к этим типам. И хотя эти исследования, глубокие по идее и талантливые по исполнению, носят все же специальный характер, но замысел их (изложенный в виде резюме на последних двух страницах «Ал

гебры») очень интересен и дает повод к раздумьям и более глу- бокому осмыслению математики.

Третья часть первого тома, посвященная анализу, написана (за небольшими исключениями) в высшей степени доступно. Так же как первую часть и начало второй части, ее можно рекомен* довать всем изучающим математику. Более того, именно эта часть дает преподавателю богатый иллюстративный, методический и исторический материал как в отношении функционального мышления, так и по вопросу о началах анализа в школе (не только средней). Как и книга в целом, эта часть написана неравномерно. Наряду с очень интересными идеями, связанными с изучением элементарных трансцендентных функций, с основными идеями математического анализа и их историей, здесь есть и более специальные вопросы (сферическая тригонометрия, ряды Фурье и другие «нешкольные» темы). Много идей как бы брошено вскользь и не развито подробно. Поэтому в этой книге, предназначенной по замыслу Клейна для учителя, мы в предлагаемом издании добавили, с целью разъяснения, ряд сносок (иногда учитывающих сегодняшний уровень науки). Некоторые методологические положения Клейна покажутся советскому читателю, грамотному в идеологическом отношении, несколько наивными. Однако это не снижает большого интереса и значения труда Клейна. Книга математически и методически значительна, в высшей степени привлекательна, полезна. Она написана большим ученым, выдающимся популяризатором, педагогом, мастером слова.

Обратимся теперь к содержанию второго тома, посвященного геометрии. Эта книга необычно интересна и оригинальна — и не только потому, что в ней автор эрлангенской программы и группового подхода к построению и осмыслению геометрии излагает свои мысли и взгляды на этот предмет. Изложение второго тома особенно интересно еще и тем, что Клейн здесь с самого начала становится на путь аналитического осмысления идей и понятий геометрии. Теория инвариантов — тот геометрический компас, который хочет дать Клейн в руки читателя. И именно с помощью этого компаса он осуществляет ориентировку в том объеме геометрических сведений, который необходим учителю для глубокого понимания предмета: измерение геометрических величин, векторы, преобразование координат, движения и другие геометрические преобразования (в частности, проективные), эрлангенская программа, основания геометрии.

Клейну принадлежит принципиальная оценка того вклада в геометрию, который содержится в работе замечательного геометра Грассмана, появившейся в середине прошлого столетия, но далеко не сразу замеченной математиками. Именно от Грассмана идет идея многомерного пространства и идея векторного осмысления геометрии, завершившаяся (уже после выхода книги Клейна) появлением вейлевской аксиоматизации геометрии И первую часть своих геометрических лекций, озаглавленную «Простейшие геометрические образы», Клейн изящно излагает, выводя все первоначальные геометрические идеи из грассманова принципа определителей, который Клейн считает «целесообразным путеводителем среди множества основных геометрических образов» и источником «большого круга идей, который охватывает всю геометрическую систематику». Клейн как бы подчеркивает этим, что в значительной степени из идей Грассмана он исходил в предложенной

им систематике геометрии, т. е. в эрлангенской программе.

Вторая часть геометрического тома посвящена геометрическим преобразованиям. Клейн с удивительным мастерством ученого и популяризатора охватывает евклидову, аффинную, проективную геометрии и касается таких вопросов, казалось бы, далеких от основной темы, как меркаторская карта мира, теория зубчатых колес и т. п.

Третья часть геометрического тома посвящена систематике геометрии, т. е. эрлангенской программе. Изложение Клейна, как и во всей книге в целом, подчеркнуто аналитическое. Это не значит, что Клейн настаивает на исключительно аналитическом изложении геометрии в школе. Клейн подчеркивает, что речь идет о создании у учителя целостного понимания геометрии, тогда как школьное преподавание должно быть генетическим, наглядным и — до определенного места — синтетическим. Заканчивается третья часть интересным обзором, посвященным основаниям геометрии. Здесь читатель найдет оригинальный критический раэбор «Начал» Евклида, построение системы аксиом геометрии с помощью движений, идеи неевклидовой геометрии.

Последняя часть книги связана с вопросами преподавания геометрии. Хотя Клейн освещает состояние преподавания геометрии в разных странах в начале нашего столетия, но на этом фоне он излагает свои мысли о преподавании, имеющие большой интерес и сохраняющие значение сегодня.

В заключение отметим, что, сохранив в целом содержание книги Клейна, мы все же произвели некоторые купюры в тексте сочинения. Исключены дополнения «Развитие реформы преподавания математики в Германии», «Дополнительные сведения о математической и дидактической литературе», а также дополнения ко второму тому (все они написаны не самим Клейном, а его сотрудником Ф. Зейфартом).

Далее, в разделе «Арифметика» выпущен текст «Описание счетной машины Brunsviga», в котором автор описывает арифмометр с вращающейся ручкой и перемещающейся кареткой. В условиях широкого внедрения информатики и быстрой компьютеризации рассказ о «современной вычислительной технике» в виде арифмометра малоинтересен.

В предлагаемом издании книги значительно сокращены ссылки на статьи и учебники (на немецком языке), выпущенные в конце прошлого и начале нынешнего столетий. В некоторых случаях добавлены ссылки на современную математическую и методическую литературу на русском языке.

В остальном текст книги Клейна сохранен без изменений (если не считать некоторого редактирования перевода, который в предыдущем издании книги местами оставлял желать лучшего). Отметим, что правильным переводом заглавия книги было бы «Элементарная математика с высшей точки зрения»; однако мы сохранили прежнее заглавие, поскольку именно под этим названием книга Клейна приобрела столь заслуженный интерес и признание.

В. Г. Болтянский

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы в среде университетских преподавателей математики и естествознания стал обнаруживаться интерес к вопросу о целесообразной, соответствующей всем потребностям, подготовке кандидатов на учительские должности. Это явление замечается сравнительно недавно. До того в течение долгого периода в университетах культивировалась исключительно высокая наука без внимания к тому, что, собственно, нужно школе; об установлении связи между университетским преподаванием и школьной математикой никто не заботился. Но к каким последствиям привела такая практика? Вступая в высшую школу, молодой студент оказывается лицом к лицу с такими задачами, которые совершенно не напоминают ему того, чем он до сих пор занимался; естественно, что все это он быстро и основательно забывает. Когда же он заканчивает университетское образование и становится преподавателем, он вынужден в качестве учителя преподавать традиционную математику; не будучи в состоянии самостоятельно связать эту задачу с тем, что он слышал в высшей школе, он быстро усваивает старую традицию; университетское же образование остается у него только в виде приятного воспоминания, не оказывающего никакого влияния на его преподавание.

В настоящее время возникло стремление уничтожить этот двойной разрыв, который, несомненно, был одинаково вреден как для средней, так и для высшей школы. Именно, мы стараемся, с одной стороны, провести через весь материал школьного обучения те идеи, которые отвечают современному развитию науки и общей культуры (к этому мы еще неоднократно будем возвращаться); с другой стороны, мы стараемся в университетском преподавании принять во внимание

нужды учителей. В этом именно деле очень полезным средством представляются мне научные обзоры, к одному из которых мы нынче приступаем. Я имею, следовательно, перед собой не начинающих; напротив, я считаю, что всем вам общий материал важнейших математических дисциплин хорошо знаком. Мне придется неоднократно говорить о задачах алгебры, теории чисел, теории функций, не входя в детали. Вы должны быть со всеми этими вещами до некоторой степени знакомы. Моя задача будет постоянно заключаться в том, чтобы выдвигать взаимную связь между вопросами отдельных дисциплин (которая часто скрадывается в специальных курсах), чтобы указывать их отношение к вопросам школьной математики. Я полагаю, что этим путем мне удастся облегчить вам достижение цели, которую вы должны иметь в виду при изучении математики в высшей школе: позже, в вашем собственном преподавании, сохранить живую связь с той наукой, которая вам здесь преподносится в изобилии.

Позвольте прежде всего упомянуть о том интересе, который вызывает в последнее время в широких кругах вопрос о подготовке учителей. В частности, эти вопросы очень занимали последний съезд естествоиспытателей в Дрездене, состоявшийся в сентябре 1907 г., на котором мы, согласно представлению педагогической комиссии, приняли «предложения относительно научной подготовки преподавателей математики и естествознания».

В качестве введения в настоящий курс я хочу обратить ваше внимание на то, что три года назад я читал лекции, преследовавшие такую же цель, как и настоящий курс. Мой тогдашний ассистент Р. Шим- мак обработал эти лекции, и первая часть их недавно появилась в печати. В них идет речь о различного рода школах, включая и высшие, об общем ходе преподавания и о взаимной связи между этими школами. Здесь, как бы в виде продолжения того же изложения, я буду останавливаться на том, что относится собственно к математике и что имеет то или иное отношение к преподаванию. Часто касаясь преподавательской практики, я основываюсь при этом не на одних только расплывчатых соображениях о том, как это дело могло бы обстоять, или же на собственных

старых школьных воспоминаниях; напротив, я нахожусь в постоянном общении с Шиммаком, который я настоящее время преподает здесь в одной гимназии и постоянно осведомляет меня о настоящем положении преподавания, несомненно ушедшем далеко вперед по сравнению с прошлым. В настоящем семестре я намерен изложить «три великие А»: арифметику, алгебру и анализ; продолжение же этого курса в следующем семестре будет посвящено геометрии. Замечу кстати, что в высших учебных заведениях эти три отдела нередко именуются общим названием арифметики; да и вообще мы не раз встретимся с отклонением терминологии, принятой в школе, от той, которая царит в высшем учебном заведении. Только живое общение, как вы видите на этом незначительном простом примере, может привести к взаимному пониманию.

Обращу ваше внимание на обширное сочинение, которое, в общем, преследует те же цели, какие имею и я в виду; это — «Энциклопедия элементарной математики» Вебера и Вельштейна. Укажу сейчас же на некоторое различие между этим сочинением и планом настоящего курса. У Вебера и Вельштейна элементарная математика систематически и логически развивается на зрелом математическом языке, доступном студенту, далеко подвинувшемуся в своих занятиях. О том, в каком собственно виде этот материал должен фигурировать в школе, здесь вовсе нет речи. Между тем изложение в школе, выражаясь образно, должно быть психологическим, а не систематическим. Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши, должен уметь возбудить его интерес, а это будет ему удаваться только в том случае, если он будет излагать вещи в наглядной, доступной форме. Лишь в старших классах возможно также и более абстрактное изложение.

Приведем пример. Ребенок никогда не поймет излагаемый материал, если мы будем вводить числа аксиоматически, как объекты, не имеющие никакого реального содержания, над которыми мы оперируем по формальным правилам, установленным принятыми Нами соглашениями. Напротив, он соединяет с числами реальное представление; они являются для него

не чем иным, как количествами орехов, яблок и тому подобных хороших вещей; только в такой форме эти вещи можно передавать в начальном обучении, только в этой форме их и будут в действительности передавать детям. Но и вообще, во всем ходе обучения математике, даже в высшей школе, необходимо всегда указывать на связь между этой наукой и теми интересами, которые занимают учащегося в повседневной жизни*). Это именно имеют в виду новые тенденции, стремящиеся поднять прикладную математику в университете. Впрочем, в школе этим требованием никогда не пренебрегали в такой мере, как в университете. Эти психологические моменты я и намерен подчеркнуть в своих лекциях.

Другое различие между книгой Вебера и Вель- штейна и моей точкой зрения заключается в разграничении материала школьной математики. В этом отношении Вебер и Вельштейн настроены «консервативно», я же «прогрессивно». Мы, которых называют теперь реформаторами, стремимся положить в основу преподавания понятие функции, ибо это есть то понятие. которое в течение последних 200 лет заняло центральное место всюду, где только мы встречаем математическую мысль. Это понятие мы желаем выработать при преподавании столь рано, как это только возможно, постоянно применяя графический метод изображения каждого закона в системе координат (х,у), которая теперь употребляется при всяком практическом применении математики. Чтобы сделать возможным это нововведение, мы готовы отказаться от многих частей материала, входящего в состав действующих программ; эти вопросы, несомненно, интересны сами по себе, но по общему своему значению и по связи со всей современной культурой они представляются менее существенными. Развитие пространственных представлений должно при этом играть пер

*) С методологической точки зрения особенно важно подчеркивать эту связь для формирования диалектико-материалистического мировоззрения школьников и студентов. Существенно так* же акцентировать внимание на том, что понятия математики возникли в результате практической деятельности людей как отражение действительных отношений между реальными объектами и как необходимый язык и аппарат для развития техники и естествознания.

венствующую роль. Обучение в школе должно про» никнуть вверх, в область начал исчисления бесконеч* но малых в такой мере, чтобы молодой человек выходил уже из средней школы во всеоружии того математического материала, без которого будущий естествоиспытатель или страховой деятель совершенно не в состоянии обойтись. В противоположность этим сравнительно современным идеям, Вебер и Вельштейн но существу держатся старого разграничения материала. В настоящих лекциях я имею, конечно, целью пропагандировать те идеи, которых я придерживаюсь*).

*) В следующем абзаце, который мы не приводим, автор высказывает замечания по поводу книги М. Симона, выпущенной в 1908 г. в Мюнхене.

АРИФМЕТИКА

I. ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Естественно, что мы начнем прежде всего с основного вопроса всей арифметики, т. е. с действий над целыми положительными числами. Здесь, как и во всем своем изложении, я намерен прежде всего поставить вопрос о том, как этот предмет трактуется в школе, а затем уже займусь исследованием того, что он, собственно, в себе содержит с более глубокой точки зрения.

1. Введение чисел в школе

Я ограничусь здесь краткими указаниями, так как вы, несомненно, еще помните, как вы сами учились этим вещам в школе. Я, конечно, отнюдь не имею в виду действительно ввести вас в практику школьного обучения, как это делается на семинарских занятиях в средних учебных заведениях. Я только приведу материал, который поможет нам ориентироваться в наших критических рассуждениях.

Ознакомить детей с учением о целых числах, приспособляясь к их пониманию, научить их действиям над ними так, чтобы они этим предметом вполне овладели, в высшей степени трудно и требует многолетних усилий, начиная с первого года обучения вплоть до третьего класса гимназии. Тот способ изложения, который в настоящее время господствует почти во всех наших школах, можно лучше всего характеризовать словами «наглядно» и «генетически». Это значит, что весь материал развивается постепенно на почве хорошо известных, наглядных представлений. В этом заключается коренное отличие от логического и систематического метода обучения, который практикуется в высшей школе. Весь материал расчленяется приблизительно следующим образом (в точности,

конечно, этого указать невозможно). Весь первый год обучения посвящается счету в пределах первых двух десятков, а примерно первое полугодие — даже счету в пределах одного десятка. Числа вводятся как числовые образы, составленные из точек, или как количества всевозможных доступных детям предметов. Сложение и умножение объясняются детям и усваиваются ими на наглядных представлениях. На второй ступени разрабатывается числовая область от единицы до ста; в этот период обучения, а зачастую еще и раньше вводятся арабские цифры, выясняется значение места, занимаемого цифрой в числе, и вообще вводится десятичная система. Хочу здесь попутно указать, что установившееся название «арабские цифры», как и многое в обычной терминологии, исторически неправильно. Эта система счисления в действительности ведет начало от индусов, а не от арабов¹).

Следующая важная задача, относящаяся к этой ступени обучения, есть разучивание таблицы умножения. Сколько составит 5X3 или 3X8, нужно всегда помнить наизусть, а поэтому и заставляют детей выучить табличку наизусть, пояснив им ее предварительно на наглядных примерах. Для этого служит главным образом «счетная машина», обычно называемая счетами. Она состоит из десяти параллельно укрепленных проволок, по которым свободно передвигаются по десяти шариков на каждой. Передвигая надлежащим образом шарики, мы можем прочесть на счетах результат умножения, написанный уже в десятичной форме.

Третий год обучения посвящается действиям над многозначными числами по известным простым правилам, справедливость которых детям обыкновенно ясна, или, по крайней мере, должна была бы быть ясна. Правда, этой ясности еще обыкновенно недостаточно для того, чтобы ученик вполне усвоил правило, и учитель нередко прибегает к очень действенному средству: «если ты этого не будешь знать, то тебе придется плохо!».

Я хочу здесь подчеркнуть еще одну сторону всего этого обучения, ибо этой стороной дела обыкновенно пренебрегают в высшей школе; именно, с самого начала уделяется особенное внимание приложениям счета к потребностям практической жизни. Числа с

самого начала вводятся на конкретных примерах практической жизни; ученик очень скоро начинает считать монетами, мерами, весами, и вопросом «Сколько стоит?», столь важным в повседневной жизни, начинается обыкновенно немалая часть наших школьных задач. Отсюда преподаватель постепенно восходит к таким задачам (к так называемым «скрытым» задачам), в которых ход вычисления предполагает уже некоторое самостоятельное рассуждение; это приводит к задачам на пропорциональное деление, смешение. К словам «наглядно» и «генетически», которыми мы старались охарактеризовать школьное обучение, в качестве третьей характеристики мы могли бы присоединить «практические приложения».

Если бы мы, наконец, еще хотели охарактеризовать в немногих словах и цель обучения арифметике, то мы должны были бы сказать следующее: она заключается в том, чтобы приучить детей уверенно владеть арифметическими действиями, пользуясь при этом различными параллельно развивающимися психологическими соображениями, к которым приходится апеллировать, не настаивая глубоко на логичной концепции, связывающей этот материал.

Упомяну здесь кстати о некоторой вражде, играющей для школы нередко фатальную роль, — именно, о вражде между преподавателями, получившими образование в учительских семинариях, и преподавателями, вышедшими из высших учебных заведений²). Начиная с третьего класса, на место преподавателя, получившего образование в семинарии, вступает лицо с высшим образованием. Вследствие этого в ходе обучения часто происходит разрыв, достойный всякого сожаления. Бедные дети часто бывают вынуждены внезапно оперировать совершенно другими выражениями, нежели те, к которым они до того привыкли и над которыми теперь даже издеваются. Небольшим примером является, скажем, различие в знаках умножения: крест, который предпочитает учитель начальных классов, и точка, которой охотнее пользуются математики. Это враждебное отношение можно сгладить только в том случае, если преподаватели, приходящие из высшей школы, отнесутся с большим вниманием к своим коллегам из семинарии и будут стараться сойтись с ними. Это вам легко удастся вы

полнить, если вы всегда будете помнить, с каким уважением вы должны относиться к народному учителю. Подумайте только, какую нужно выработать в себе методическую выдержку, чтобы постоянно обучать арифметике сотни тысяч неразумных мальчишек, не приносящих в школу никакой предварительной подготовки. Попытайтесь это сделать, и вы убедитесь, что вся ваша академическая подготовка принесет вам здесь мало пользы.

Однако после этого краткого отступления возвратимся к школьному преподаванию. В третьем и, в особенности, в четвертом^{2 3}) классе обучение счету постепенно принимает уже благородное облачение математики, что характеризуется прежде всего переходом к буквенному исчислению. Буквами а, 6, с или х, у, г обозначают какие-нибудь числа, хотя первоначально все же целые положительные; над этими числовыми значениями, изображаемыми буквами, производят действия, исходя из конкретного, наглядного содержания, которое присваивается числам. Это представляет уже существенный шаг вперед в переходе от конкретного к абстрактному; математика, собственно, и начинается с действий над буквами. Конечно, этот переход не должен совершаться в школе внезапно; напротив, нужно приучить юношу к абстракции постепенно.

Но уже здесь в деле обучения становится совершенно необходимым, чтобы сам преподаватель был хорошо знаком с логическими законами и основами счета и теории целых чисел, хотя бы ему, естественно, и не приходилось непосредственно сообщать их ученикам. Займемся поэтому теперь несколько подробнее основными законами счета.

2. Основные законы арифметических действий

В ходе исторического развития, конечно, долго складывали и умножали, не отдавая себе отчета в тех законах, которым подчиняются эти операции. Лишь в 20-х и 30-х годах предыдущего столетия главным образом французские и английские математики выяснили основные свойства этих операций. Кто хочет ознакомиться с историей этого вопроса подробнее, тому я могу рекомендовать здесь, как буду это делать

неоднократно ниже, большую «Энциклопедию математических наук»⁴).

Возвращаясь к нашей теме, я имею в виду теперь действительно перечислить те пять основных законов, к которым приводится сложение:

1) а 4-6 всегда представляет собою число, иначе говоря, действие сложения всегда без всяких исключений выполнимо (в противоположность вычитанию, которое в области положительных чисел выполнимо не всегда);

2) сумма а-\-Ь всегда определена однозначно;

3) имеет место сочетательный, или ассоциативный закон: (а 4- Ь) 4“ с = а 4- (Ь 4- с), так что скобки можно и вовсе опустить;

4) имеет место переместительный, или коммутативный закон: а 4- b » b 4- а;

5) имеет место закон монотонности: если b > с, то а 4- b > а 4- с.

Эти свойства понятны без дальнейших пояснений, если мы имеем перед глазами наглядное представление о числе как о количестве. Но они должны быть выражены строго формально, чтобы на них можно было опираться при дальнейшем строго логическом развитии теории.

Что касается умножения, то здесь действует, прежде всего, пять законов, аналогичных только что перечисленным:

1) а-b всегда есть число;

2) произведение а-b однозначно;

3) закон сочетательности:

а • (Ь • с) — (а • Ь) • с = а • b • с;

4) закон переместительности: а-Ь = Ь'а;

5) закон монотонности: если b > с, то а-b > а*с.

Наконец, связь сложения с умножением устанавливается шестым законом:

6) закон распределительности, или дистрибутивности:

а • (Ь + с) = а • b + а • с.

Легко уяснить, что все вычисления опираются исключительно на эти 11 законов. Я ограничусь простым примером, скажем, умножением числа 7 на 12;

согласно закону распределительности 7 • 12 = 7 • (10 4-2) = 70 4~ 14;

далее, если мы разобьем 14 на 10 4-4 (чтобы вывести «перенесение десятков»), то, опираясь на закон сочетательный, имеем

70 4-(10 4" 4) = (70 4- 10)4-4 = 80 4-4 = 84.

В этом коротком рассуждении вы, конечно, узнаете отдельные шаги, которые мы производим при вычислениях в десятичной системе⁵). Предоставляю вам самим разобрать примеры посложнее. Мы здесь выскажем только сводный результат: наши цифровые вычисления заключаются в повторном применении перечисленных выше одиннадцати основных положе- н-ий, а также в применении заученных наизусть⁶) результатов действий над однозначными числами (таблица сложения и таблица умножения).

Однако, где же находят себе применение законы монотонности? В обыкновенных, формальных вычислениях мы на них действительно не опираемся, но они оказываются необходимыми в задачах несколько иного рода. Напомню вам здесь о способе, который в десятичном счете называют оценкой величины произведения и частного. Это прием величайшей практической важности, который, к сожалению, в школе и среди студентов известен далеко еще не достаточно, хотя при случае о нем говорят уже во втором классе; я здесь ограничусь только примером. Допустим, нам нужно умножить 567 на 134, причем в этих числах цифры единиц установлены, — скажем, посредством физических измерений — лишь весьма неточно. В таком случае было бы совершенно бесполезно вычислять произведение с полною точностью, так как такое вычисление все равно не гарантирует нам точного значения интересующего нас числа. Но что нам действительно важно — это знать порядок величины произведения, т. е. определить, в пределах какого числа десятков или сотен число заключается. Но эту оценку закон монотонности действительно дает вам непосредственно, ибо из него вытекает, что искомое число содержится между 560-130 и 570-140. Дальнейшее развитие этих соображений я опять-таки предоставляю вам самим. Во всяком случае, вы видите.

что при «оценочных вычислениях* приходится постоянно пользоваться законами монотонности.

Что касается действительного применения всех этих вещей в школьном преподавании, то о систематическом изложении всех этих основных законов сложения и умножения не может быть и речи. Учитель может остановиться только на законах сочетательном, переместительном и распределительном, и то только при переходе к буквенным вычислениям, эвристически выводя их из простых и ясных численных примеров.

3. Логические основы теории целых чисел

Если в деле школьного преподавания мы, естественно, не можем дойти до постановки тонких и трудных вопросов, то в современном математическом исследовании серьезные вопросы здесь, собственно, и возникают: как обосновать эти законы, как обосновать понятие числа? Здесь я намерен ориентировать вас в этом вопросе, оставаясь верным цели настоящего сочинения — осветить материал школьного преподавания с высшей точки зрения, и я делаю это тем охотнее, что эти современные идеи и помимо того проникают к вам со всех сторон в течение ваших академических занятий, между тем как психологическая сторона этого дела обычно не оговаривается в той мере, в какой это необходимо.

Что касается, прежде всего, самого понятия числа, то корни его в высшей степени трудно вскрыть. Легче всего дышится, быть может, тогда, когда решаешься вовсе оставить в стороне эти трудные вещи. За более подробными указаниями относительно этих вопросов, очень усердно обсуждаемых философами, вы вновь должны обратиться к соответствующей статье <Энциклопедии математических наук»⁷); здесь же я ограничусь немногими замечаниями. Очень распространена точка зрения, что понятие числа тесно связано с понятием последовательности во времени. Из представителей этого воззрения назову из философов Канта, из математиков Гамильтона. Другие, напротив, полагают, что понятие числа стоит ближе к пространственным представлениям, они сводят понятие числа к одновременному созерцанию различных пред

метов, находящихся в пространстве друг подле друга. Наконец, третье направление усматривает в представлении о числе выражение особой способности нашего духа, независимо стоящей рядом с нашими гредставлениями о пространстве и времени, а может быть, и выше их. Я полагаю, что эта точка зрения хорошо выражается цитатой из «Фауста»*), которую Г. Минковский приводит относительно чисел в сообщении о новом его сочинении «Диофантовы приближениям

Если в этой задаче мы имеем дело более с вопросами теории познания и психологии, то в проблеме об обосновании наших одиннадцати законов мы стоим существенно перед вопросом логики.

Мы здесь будем различать четыре точки зрения.

1. Первая точка зрения, представителем которой я могу назвать Канта, смотрит на правила действий как на непосредственный результат созерцания (Ап- schauung), причем это слово в наиболее широком его значении нужно понимать как «внутреннее созерцание» или интуицию. Впрочем, этот взгляд отнюдь не сводится к тому, что вся математика опи- _{в е} рается на экспериментально контролируемые факты грубого внешнего опыта. При- • • • ведем простой пример. Закон перемести- р_ис i тельный доказывается ссылкой на приведенную здесь фигуру (рис. 1), в которой соединены две строки по три точки в каждой, причем мы видим, что совокупность их распадается также на три столбца но две точки в каждой: 2-3 = 3-2. Если на это, однако, возражают, что при сколько-нибудь значительных числах это непосредственное созерцание уже не приводит к сознанию справедливости высказанной истины, то приходится прибегнуть к закону совершен* ной индукции', если некоторое предложение справед* ливо для небольших чисел и если сверх того оно остается справедливым для числа п + 1 всякий раз, как оно справедливо для числа п, то оно справедливо вообще для всякого числа. Это предложение, имеющее, по моему мнению, интуитивное происхождение, действительно всегда помогает нам выйти за те

• ) «Там царят в уединении богини, не ведающие ни пространства, ни времени».

пределы, в которые нас необходимо ставит конкретное созерцание. На этой приблизительно точке зрения стоит также и Пуанкаре в своих известных философских сочинениях.

Если мы хотим уяснить себе значение этого вопроса об обосновании одиннадцати основных законов счета, то мы должны принять в соображение, что совместно с арифметикой на них в конечном счете покоится и вся математика. Мы не впадем поэтому в преувеличение, если скажем, что, согласно выясненной сейчас точке зрения, достоверность всего здания математики в конечном счете опирается на созерцание (интуицию) в самом обычном смысле этого слова.

2. Во вторую очередь мы приведем некоторую модификацию первой точки зрения. Она заключается в том, что пытаются расчленить эти основные законы на значительно более мелкие ступени, так что на непосредственном созерцании приходится основывать лишь немногие простейшие случаи, из которых можно вывести остальные уже чисто логически, не прибегая вновь к созерцанию. В то время как обычно чисто логические операции применяются лишь после установления названных одиннадцати законов, здесь сказывается возможным воспользоваться ими раньше, именно после введения упомянутых более простых предложений. Граница, отделяющая созерцание от логики, отодвигается, и притом в пользу последней. Эту точку зрения впервые провел Герман Грассман в своем «Учебнике арифметики», выпущенном в 1861 г. В качестве примера я укажу, что закон переместительности с помощью совершенной индукции может быть выведен из закона сочетательности.

После книги Грассмана следует указать сочинение итальянского ученого Пеано «Начала арифметики, изложенные новым методом», Турин, 1889. Она написана на собственном символическом языке автора, который имеет целью выделить каждый шаг логического доказательства. Пеано имеет в виду таким образом достигнуть гарантий, что он действительно опирается исключительно на те положения, которые он предварительно принял, и не пользуется никаким другим интуитивным материалом. Он хочет избежать опасности, которую необходимо вносит обыкновенный язык своими бесконтрольными ассо

циациями идей и воспоминаниями о наглядных образах. Должен сказать вам к тому же, что Пеано является главой целой школы, очень обширной в Италии, которая таким же образом расчленяет предпосылки каждой отдельной математической дисциплины и старается посредством идеографии (писания понятиями) исследовать ее логические концепции⁸).

3. Мы переходим теперь к современному развитию этих идей, которое, впрочем, оказало уже свое влияние и на Пеано. Я имею в виду ту трактовку учения о числе, которая кладет в основу понятие совокупности, или множества. Вы составите себе представление о широком объеме этого понятия, если я скажу вам, что совокупность всех целых чисел, с одной стороны, и совокупность всех точек отрезка, с другой стороны, представляют собой частные примеры множеств. Общую идею о множестве впервые сделал предметом систематического математического исследования Георг Кантор (G. Kantor), профессор в Галле; созданное им учение о совокупностях, или множествах, в настоящее время весьма заинтересовало молодое поколение математиков. Позже я еще попытаюсь дать вам возможность заглянуть в эту теорию; здесь же я ограничусь следующей краткой характеристикой этой новой системы арифметики: эта система старается свести свойства целых чисел и относящихся к ним операций к общим свойствам множеств и связанных с ними абстрактных соотношений', этим имеется в виду достигнуть возможно более глубокого и общего обоснования теории целых чисел. В качестве пионера этого направления я должен указать еще Р. Дедекинда (R. Dedekind), который в своей небольшой, но весьма содержательной книжке «Что такое числа и каково их значение?»⁹) впервые дал такое обоснование учения о целых числах. К этой точке зрения по существу примыкает и Г. Вебер в первой главе первого тома «Энциклопедии элементарной математики». Однако оказывается, что развитие теории становится при этом настолько отвлеченным и мало доступным, что в приложении к третьему тому того же сочинения автор был вынужден дать более элементарное изложение того же предмета, оперирующее исключительно с конечными множествами.

4. Наконец, в заключение, я хочу привести чисто формальную теорию числа, которая восходит еще к Лейбницу и которая в последнее время особенно выдвинута Гильбертом. К арифметике относится в этом смысле его доклад на III Международном математическом конгрессе в Гейдельберге «Об основах логики и арифметики»¹⁰). Исходная точка здесь заключается в следующем. Если мы уже располагаем одиннадцатью законами счета, то мы можем вести счет в буквах а, Ь, с, выражающих любые числа, совершенно не считаясь с тем значением, которое таковые имеют как числа. Или яснее: пусть а,Ь,с, . будут вещи без всякого значения, вернее, вещи, о значении которых нам ничего не известно. Положим также, что нам все же известно, что над ними можно производить операции согласно перечисленным одиннадцати основным положениям, хотя бы эти операции не имели какого-либо известного нам содержания; тогда мы можем оперировать с этими объектами совершенно так же, как и с обыкновенными числами, но при этом возникает только вопрос, не могут ли эти операции когда-либо привести к противоречию. Если обыкновенно говорят, что опыт обнаруживает существование чисел, для которых перечисленные правила имеют место, и что в этих правилах, следовательно, нет противоречия, то теперь, когда мы отказываемся от реального значения этих символов, такого рода ссылка на наглядное представление уже недопустима. Вместе с тем возникает совершенно новая задача — доказать чисто логически, что при любых операциях над нашими символами, согласно перечисленным одиннадцати основным законам, мы никогда не придем к противоречию, т. е. упомянутые одиннадцать законов логически совместны. Если мы вначале, при изложении первой точки зрения, сказали, что достоверность математики покоится на существовании наглядных объектов, для которых имеют место ее законы, то представитель настоящей формальной точки зрения усматривает достоверность математики в том, что основные ее законы с чисто формальной точки зрения, независимо от их наглядного содержания, представляют логически цельную систему, не содержащую противоречия.

Для выяснения и оценки этой новой точки зрения я должен сделать еще несколько замечаний.

а) Гильберт формулировал эти идеи по отношению к арифметике и начал их разрабатывать, но он отнюдь не дал полного развития их. После упомянутого доклада он еще раз возвратился к этому предмету в одной лекции, но больше этими вопросами не занимался. Мы можем, следовательно, сказать, что здесь мы имеем перед собой только программу.

Ь) Попытка совершенно изгнать созерцание и удержать только логическое исследование представляется мне в полной мере неосуществимой. Некоторый остаток, некоторый минимум интуиции всегда должен сохраниться, и эти остаточные интуитивные представления мы необходимо должны соединять с символами, с которыми оперируем, даже уже потому, что мы должны эти символы постоянно вновь узнавать, хотя бы этот остаток и сводился только к внешнему виду наших символов.

с) Но примем даже, что поставленная задача действительно безупречно разрешена, что обнаружено чисто логически отсутствие противоречия в наших одиннадцати основных положениях. Но тогда все еще остается место возражению, которому я придаю наибольшее значение. Нужно себе уяснить, что эти соображения, собственно, обоснования арифметики еще отнюдь не дают и что в этом порядке идей его и нельзя провести. Именно, совершенно невозможно чисто логическим путем показать, что законы, в которых мы обнаружили отсутствие логического противоречия, действительно имеют силу по отношению к числам, столь хорошо нам известным эмпирически, что неопределенные объекты, о которых здесь идет речь, могут быть отождествлены с реальными числами, а выкладки, которые мы над ними производим, — с реальными эмпирическими процессами. Что здесь действительно достигается — это только расчленение обширной задачи обоснования арифметики, мало доступной по своей сложности, на две части-, первая часть представляет собой чисто логическую проблему установления независимых друг от друга основных положений, или аксиом, и доказательства их независимости и отсутствия противоречия. Вторая часть задачи относится, скорее, к теории познания и в

известной мере выражает применение названных логических исследований к реальным соотношениям; никаких попыток приступить к разработке этой второй задачи, строго говоря, еще не было, хотя для действительного обоснования арифметики и она необходимо должна быть исчерпана. Эта вторая часть вопроса представляет крайне глубокую задачу, трудность которой коренится в общих проблемах теории познания. Быть может, я выражу наиболее ясно постановку этого вопроса, если выскажу несколько парадоксальное утверждение, что всякий, кто признает чистой математикой только чисто логическое исследование, необходимо вынужден будет отнести вторую часть проблемы обоснования арифметики, а вместе с этим, стало быть, и саму арифметику, к прикладной математике.

Я считаю необходимым отчетливо все это здесь указать, так как в этом именно пункте наиболее часто возникают недоразумения вследствие того, что многие просто не замечают существования этой второй задачи. Гильберт сам отнюдь не стоит на этой точке зрения, и мы не можем высказать ни одобрений, ни возражений его теории, которые исходят из такого именно допущения. Томе, профессор в Вене, остроумно назвал людей, стоящих на почве этих чисто абстрактно-логических исследований о вещах, ничего не обозначающих, и о предложениях, ничего не выражающих, которые, таким образом, не только забывают эту вторую проблему, но и всю остальную математику, — мыслителями без мысли¹¹)*» конечно, это ироническое замечание не может относиться к лицам, занимающимся этого рода исследованиями попутно, рядом с многочисленными другими вопросами.

В связи с этими рассуждениями об основах арифметики, обзор которых я вам изложил, я хочу представить вашему вниманию еще некоторые соображения общего характера. Многократно высказывалось мнение, что обучение математике можно и даже необходимо вести строго дедуктивно, полагая в основу целый ряд аксиом и развивая из него все остальное строго логически. Этот прием, который так охотно поддерживают историческим авторитетом Евклида, однако, отнюдь не соответствует историческому ходу развития математики. Напротив, в действительности

математика развивалась подобно дереву, которое не разрастается путем* тончайших разветвлении, идущих от корней, а разбрасывает свои ветви и листья вширь и вверх, распространяя их зачастую вниз, к корням. Совершенно так же и математика, оставляя образног выражение, начала свое развитие с определенного пункта, соответствующего, скажем, здравому человеческому смыслу, и по мере того как мы восходили к новым и новым научным достижениям, мы одно* временно опускались также и вниз к исследованию оснований науки. Так, например, мы стоим теперь от* носительно оснований на совершенно другой точке зрения, чем та, которой придерживались исследова* тели несколько десятков лет тому назад; точно так же то, что мы выдаем за последние принципы, через ко* роткое время сделается пережитком, так как последние истины будут все глубже и детальнее расчленяться и приводиться к более общим положениям. В основных исследованиях в области математики не может быть окончательного завершения, а вместе с тем и окончательно установленного первого начала, которое могло бы служить абсолютной исходной точкой для преподавания.

Я хотел бы сделать еще одно замечание, касающееся отношения между логической и интуитивной математикой, между чистой и прикладной математикой. Я имел уже случай упомянуть, что в школе приложение с самого начала сопровождает обучение арифметике, что ученик не только должен понимать правила, но должен также учиться делать из них то или иное употребление. Так оно нормально должно было оставаться и всюду, где идут занятия математикой. Чисто логические концепции должны составить, так сказать, жесткий скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но сама жизнь математики, важнейшие ее линии развития и продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям, т. е. к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложение из математики — это то же, что искать живое существо с одной только костной основой без мускулов, нервов и сосудов.

В деле научного исследования будет, конечно, всегда оставаться разделение между чистой и

прикладной наукой, но, если только мы хотим сохранить разумное положение вещей, мы должны заботиться о непрерывной связи между этими сторонами дела; здесь же я хотел бы особенно подчеркнуть то, что в школе такого рода разделение, такого рода специализация отдельного учителя совершенно невозможны. Вообразите себе, например, — я несколько утрирую, чтобы ярче это выразить, — в какой-либо школе учителя, который трактует числа как символы, лишенные значения; другого, который умеет из этих ничего не означающих символов получить наглядные числа; наконец, третьего, четвертого, пятого, которые владеют приложениями этих символов в геометрии, механике, физике. Представьте себе, что в распоряжение всех этих различных учителей будут предоставлены ученики. Вы понимаете, что таким образом дело обучения не может быть организовано; этим путем предмет не может быть усвоен учениками, а различные учителя не смогут понимать друг друга. Потребности школьного преподавания, таким образом, предполагают известную разносторонность каждого учителя, уменье довольно широко ориентироваться в области чистой и прикладной математики в самом широком смысле этого слова; этим путем учитель должен всегда создавать коррекцию слишком мелкому расщеплению науки.

Я возвращусь здесь еще раз к упомянутым уже выше дрезденским предложениям, чтобы дать практическое направление всем последним замечаниям. В этих предложениях мы настаиваем на том, чтобы прикладная математика, которая с 1898 г. введена в испытание на звание учителя как особая специальность, была признана необходимой составной частью каждого нормального математического образования, чтобы, таким образом, удостоверение в праве преподавания чистой и прикладной математики выдавалось всегда совместно. Наконец, упомянем также, какие цели обучения математике в выпускном классе предусматривает педагогическая комиссия в так называемой меранской программе:

1) научный обзор систематического построения математики;

2) уменье грамотно справляться с численным и графическим решением отдельных задач;

3) некоторое знакомство со значением математической мысли в естествознании и современной культуре ^,2).

Ко всем этим резолюциям я присоединяюсь с глубочайшим убеждением в их правильности.

4. Практика счета с целыми числами

После отвлеченных рассуждений, которыми я преимущественно занимался до сих пор, я обращусь к конкретным вещам, именно — исключительно к операциям, производимым над числами. Из литературы, дающей возможность ориентироваться в этом вопросе, я прежде всего отмечу опять-таки статью Р. Мемке по этому предмету в энциклопедии. Я лучше всего дам вам обзор относящихся сюда вопросов, если сначала изложу план этой статьи. Она распадается на две части, именно: А. Учение о точных вычислениях; В. Учение о приближенных вычислениях. К отделу А принадлежат все методы, облегчающие точные действия над большими числами, как, например, удобное расположение тех или иных схем в вычислении, таблицы произведений и квадратов, в особенности же счетные машины¹³). В отделе В, напротив, вы найдете разработку всех тех приемов, которые имеют в виду определить только порядок величины результата, т. е. установить первые значащие его цифры. Сюда относятся таблицы логарифмов и аналогичные средства вычисления, как, например, счетная линейка ^н).

Остановимся еще на минутку на общем значении того факта, что действительно существуют счетные машины, которые освобождают математика от чисто механических вычислений и которые выполняют их гораздо быстрее и более безошибочно, так как машина свободна от случайных ошибок, с которыми всегда может быть сопряжено беглое вычисление. Само существование такого рода машины может служить для нас подтверждением того, что для производства вычислений существенным является не значение целых чисел, а формальные правила, по которым они совершаются, ибо машина может следовать только этим правилам — так она устроена, — но наглядного представления о значении чисел она иметь не может.

Вряд ли можно считать случайным то, что такой человек, как Лейбниц, который был в такой же мере абстрактным мыслителем первого ранга, как и человеком выдающихся практических дарований, является одновременно как отцом чисто формальной математики, так и изобретателем первой счетной машины. Его машина еще по настоящее время представляет одно из наиболее ценных достояний музея Кестнера в Ганновере. Хотя это исторически и не удостоверено, но я склонен допустить, что Лейбниц имел в виду изобретением счетной машины не только достигнуть практических целей, но и ярко осветить строго формальный характер математических вычислений.

Само собою разумеется, однако, что Лейбниц отнюдь не был склонен изобретением счетной машины умалить значение математической мысли, а между тем такого рода выводы иногда приходится слышать. «Если, — говорят, — научная деятельность может осуществляться также машиной, то на эту науку, конечно, немного можно поставить, и роль ее неизбежно должна быть совершенно второстепенной». Однако на такого рода аргументацию достаточно возразить, что математик, когда он сам оперирует с числами и формулами, отнюдь не представляет собой только жалкой копии непогрешимой машины, что он ни в коем случае не является «мыслителем без мысли» по выражению Томе. Напротив, он сам себе ставит задачи, имеющие определенную и полезную цель, и разрешает их всякий раз новыми, своеобразными приемами. Он изобрел счетную машину только для того, чтобы освободить себя от некоторых операций, постоянно повторяющихся в однообразной последовательности, и что нужно менее всего забывать, математик ее изобрел и математик постоянно ставит ей на разрешение задачи ¹⁵).

Позвольте мне закончить пожеланием, чтобы со счетной машиной ввиду большого значения, которое сна приобретает, познакомились более широкие круги; в настоящее время ее, к сожалению, знают еще весьма немногие. Прежде всего же с нею должен, ко- нечто, познакомиться учитель; я не могу не высказать пожелания, чтобы каждый ученик в старшем классе средней школы имел возможность хоть раз посмотреть эту машину ^,6).

II. ПЕРВОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА

Мы намерены теперь оставить целые числа и в настоящей главе перейти к расширению понятия числа. В школе этот процесс разделяют обыкновенно на следующие ступени:

1. Введение дробей и действия над ними.

2. Изложение теории отрицательных чисел в связи с началом буквенного исчисления.

3. Более или менее подробное развитие понятия иррационального числа на примерах из различных областей; вместе с этим постепенно формируется представление о совокупности всех действительных чисел.

Совершенно безразлично, начинать ли с пункта первого или со второго. Мы предпочитаем последнее ^,7).

1. Отрицательные числа

Начнем с одного замечания, относящегося к терминологии. В школе положительные и отрицательные числа обыкновенно называют «относительными» числами в противоположность «абсолютным» (положительным); между тем в университете эта манера выражения не принята. В школе те же относительные числа называют также «алгебраическими» числами¹⁸)— термин, который в университете мы употребляем в совершенно ином смысле.

Что касается происхождения и введения отрицательных чисел, то относительно фактического материала я могу быть краток: этими вещами вы владеете свободно и, во всяком случае, по моим сведениям вы легко в них ориентируетесь ^,0).

Ближайшим поводом для введения отрицательных чисел является, как известно, требование сделать вычитание операцией, выполнимой во всех случаях. Если, а <.Ь, то в области натуральных чисел разность а — b не имеет смысла. Существует, однако, число с = b — а; мы полагаем

а — b = — с,

и называем —с отрицательным числом. С этим связывают обыкновенно с самого начала интерпретацию целых чисел при помощи шкалы равноотстоящих

точек на прямой, простирающейся безгранично в обе стороны, или «числовой оси» (рис. 2). Этот образ можно считать в настоящее время достоянием всех образованных людей, и нужно полагать, что своим распространением он обязан главным образом известной всем термометрической шкале. Наглядный и хорошо известный образ отрицательных чисел представляет расчет прибылей и убытков.

—1-- 1_____ I___ 1____ I____ lit!

-3 -2. и +1 +2 +J +4

Рис. 2

Но мы здесь, прежде всего, точно выразим, в чем заключается, собственно, принципиальный и чрезвычайно трудный шаг, который связан с введением отрицательных чисел в школе.

Если ученик привык постоянно связывать с числами и затем с буквами, с которыми он оперирует, конкретные количества и при сложении их, а также при других действиях всегда имел перед глазами соответствующие операции, которые можно реально над этими количествами производить, то теперь дело совершенно меняется. Ему приходится иметь дело с чем-то новым, с «отрицательными числами», которые уже не имеют ничего общего с наглядным образом о количестве предметов; ему приходится производить над ними действия как над количествами, а между тем именно эти действия совсем уже не имеют для него прежнего ясного, наглядного значения²⁰). Здесь приходится в первый раз делать переход от реальной математики к формальной, для полного уяснения которой нужно значительное развитие способности к абстракции.

Присмотримся, однако, подробнее, что происходит с арифметическими действиями после введения отрицательных чисел. Прежде всего, ясно, что сложение и вычитание по существу сливаются воедино. Прибавление положительного числа есть вычитание противоположного отрицательного числа. М. Симон делает по этому поводу остроумное замечание, что именно вследствие введения отрицательных чисел, благодаря которому вычитание становится действием, ье имеющим исключения, оно перестает существовать

как самостоятельная операция. Для этого обобщенного сложения, охватывающего также и вычитание, в области положительных и отрицательных чисел неизменно остаются в силе те же основные пять формальных законов: 1) постоянная выполнимость, 2) однозначность, 3) сочетательность, 4) переместительность и 5) монотонность. Относительно свойства 5) нужно заметить, что а < b теперь означает, выражаясь кратко, что при геометрическом изображении число а лежит влево от Ь, так что, например, —2 < —1, —3 < 4-2 и т. д.

При умножении важнейшим моментом является так называемое правило знаков, согласно которому а.(—с) = (—с)-а =— (а-с) и (—с) • (—с') = 4-^'; в особенности последнее (минус на минус дает плюс) часто представляет собой камень преткновения. К внутренней сущности этого правила нам придется еще вскоре возвратиться. Мы выразим его предварительно одним предложением, относящимся к произведению какого угодно количества положительных и отрицательных чисел: модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а по знаку произведение будет положительным или отрицательным в зависимости от того, входит ли в его состав четное или нечетное число отрицательных сомножителей. При таком определении умножения в области положительных и отрицательных чисел оно опять обладает следующими свойствами: 1) постоянная выполнимость, 2) однозначность, 3) сочетательность, 4) переместительность и 5) распределительность относительно сложения. Только в законе монотонности здесь оказывается отклонение. Его место теперь занимает следующий закон: если а> Ъ, то ас> Ьс, ас = Ьс или ас <. Ьс в зависимости от того, будет ли ОО, с = 0 или с < 0.

Спросим себя теперь, не заключают ли эти законы по чисто формальному своему содержанию логического противоречия. Мы должны в первую очередь сказать, что доказательство отсутствия противоречия, основанное на чисто логических соображениях, по настоящее время здесь удалось провести еще менее, чем для целых положительных чисел. Но вопрос удалось свести к тому, что названные законы заведомо не имеют противоречия, если они не содержат такового

в применении к целым положительным числам. До тех пор, следовательно, пока этот вопрос не будет доведен до конца*), т. е. пока не будет дано логическое доказательство отсутствия противоречия в области тех же операций над целыми положительными числами, мы можем основывать уверенность в отсутствии противоречия в названных законах лишь на том, что существуют наглядные объекты и наглядные операции над ними, которые удовлетворяют этим законам. В качестве таких наглядных объектов мы указали уже выше ряд равноудаленных одна от другой точек на числовой оси; нам остается только прибавить, что означают в применении к этим образам арифметические действия. Сложение x' = x-j-a при постоянном а относит каждой точке х некоторую точку х' таким образом, что неограниченная прямая просто передвигается по себе на отрезок а и притом вправо или влево в зависимости от того, имеет ли а положительное или отрицательное значение. Далее, умножение х' — ах представляет собой отображение подобия прямой в себя (гомотетию) и притом при а>0 — растяжение, при а <С 0—растяжение, сопровождаемое симметрией относительно нулевой точки.

Я хочу теперь остановиться на том, как, собственно, все эти вещи исторически возникли. Не нужно думать, что отрицательные числа представляют собой открытие какого-либо одного умного человека, который вместе с тем, быть может, даже обнаружил на основании геометрического их толкования отсутствие в них противоречия. Напротив, в процессе медленной эволюции употребление отрицательных чисел как бы само собой напрашивалось, и лишь позже, когда ими уже давно оперировали, именно в XIX в. возник вопрос об отсутствии противоречия.

Переходя к истории отрицательных чисел, позвольте мне обратить ваше внимание на то, что древние греки, несомненно, не владели отрицательными числами, так что здесь мы имеем пункт, в котором грекам не приходится отводить первого места, как это некоторые всегда склонны делать.