Skip to main content

Математика

Элементы математической – Часть вторая: Логика предикатов (Столяр) 1965 - Скачать старые книги

Советская нехудожественная литература бесплатно

Элементы математической – Часть вторая: Логика предикатов (Столяр) 1965

Описание: «Элементы математической логики» предназначены для учащихся IX—X классов школ с математической специализацией. Они состоят из двух частей. Часть 2. Логика предикатов (включающая некоторые сведения из алгебры множеств). Материал из истории возникновения и развития математической логики дается в конце второй, части. Учебные материалы составлены с целью проведения экспериментального изучения элементов теории множеств и математической логики в средних' школах с математической специализацией.

© "Просвищение" Москва 1965

Авторство: А.А. Столяр

Формат: PDF Размер файла: 4.73 MB

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1. Некоторые сведения из теории множеств 3
  • 2. Недостаточность логики высказываний. Логика предикатов 14
  • 3. Операции логики высказываний над предикатами 21
  • 4. Кванторы 28
  • 5. Некоторые преобразования формул логики предикатов. 34
  • 6. Логика предикатов с равенством 40
  • 7. Об аксиоматическом построении математической теории 44
  • 8. Из истории возникновения и развития математической логики 51

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Элементы математической – Часть вторая: Логика предикатов (Столяр) 1965 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

    • 1. Множество — одно из основных понятий современной математики. Это понятие обычно принимается за первоначальное и поэтому не определяется через другие понятия. Когда мы говорим, что под множеством предметов понимаем совокупность или класс различимых предметов, указываем лишь синонимы («совокупность», «класс» и др.) для слова «множество».

      О каждом предмете, принадлежащем некоторому множеству, говорят, что он является элементом этого множества.

      Высказывание «предмет а принадлежит множеству А» или, что то же, «предмет а — элемент множества А» обозначим символом «а ЕД».

      Например, если М — множество натуральных чисел, 2

      то 2 6Е N—истинное высказывание, а — E/V, — 2 ЕЕ N —

      ложные высказывания, или их отрицания — г= N

      3 ’

      — 2 EETV — истинные высказывания.

      Множество будем считать заданным, если для всякого данного предмета можно определить, принадлежит ли он или нет рассматриваемому множеству.

      Множество может быть конечным (содержит конечное число элементов) или бесконечным. Конечное множество может быть задано перечислением всех его элементов. Бесконечное множество не может быть за

      дано таким способом (мы не можем перечислить, например, все элементы множества натуральных чисел).

      Если, например, множество состоит из элементов а, Ь, с, мы его обозначим символом {а, Ь, с}', при этом порядок записи элементов никакой роли не играет, символ {6, а, с} обозначает то же самое множество.

      Множество, конечное или бесконечное, может быть задано описанием, с помощью характеристического свойства, т. е. такого свойства, которым обладает каждый предмет, принадлежащий этому множеству, и не обладает ни один предмет, ему не принадлежащий.

      Множество, характеризуемое свойством Р, обозначим символом

      X

      где Р (х) обозначает функцию-высказывание: «х обладает свойством Р» [Эта запись будет дальше (§ 2) детально разъяснена].

      Например, М [х2 + 2 = 3 х] — множество всех тех

      X

      чисел, которые при подстановке вместо переменной х в уравнение х2 + 2 = Зх обращают его в истинное высказывание. Это будет {1, 2}.

      2. Если каждый элемент некоторого множества А является также элементом множества В, то говорят, что множество А включается в множество В, или является его подмножеством.

      Высказывание «множество А включается в множество В» обозначим символом «А С В».

      Например, если N — множество натуральных чисел, С — множество целых чисел, R — множество рациональных чисел, D — множество вещественных чисел, то ЛГсС, CciP, RaD— истинные высказывания.

      Отношение включения обладает свойством транзитивности, т. е. для любых трех множеств А, В, С из ДСВ и В^С следует ЯСС, или истинна импликация

      (ДсВ) Л (В С С)(Д с С)

      (так же, как, например, отношение меньше (<) между числами: для любых чисел а, Ь, с истинна импликация:

      (а < Ь) Л (Ь < с)-> (а < с).

      • 8. ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ и РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

      В наших рассуждениях, в частности в математических доказательствах, мы выводим из одних высказываний другие, пользуясь при этом законами мышления, или, как говорят, средствами логики — Науки о законах и формах мышления.

      Теорию логического вывода впервые разработал древнегреческий философ Аристотель. Он по праву считается основоположником формальной логики, рассматривающей познающее мышление со стороны его формы, строения, структуры. Рассуждения совершенно различного конкретного содержания, применяемые в различных областях науки и повседневной жизни, могут иметь одну и ту же структуру, одну и ту же форму. Формальная логика и изучает формы человеческих рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания, она ищет ответ на вопрос: как мы рассуждаем?

      Логика Аристотеля дополнялась, изменялась и усовершенствовалась в течение многих веков различными философами и целыми философскими школами. Однако значительный прогресс этой науки был достигнут лишь в XIX в., когда в логике стали применять математические методы.

      В результате весьма плодотворного применения математических методов к проблемам формальной логики и возникла математическая логика. Название этой отрасли науки вдвойне оправдано. С одной стороны, она строится как математическая теория и с этой точки зрения представляет собой математику логики, с другой стороны, разрабатывая точный логический язык математики, она представляет собой логику математики.

      Идею о возможности и целесообразности математизации логики высказал еще известный немецкий математик и логик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Ему принадлежат и первые в истории науки попытки представления логики в виде алгебраического исчисления. Однако как особая область науки математическая логика оформилась в середине XIX в. прежде всего благодаря трудам Буля. Джордж Буль (1815—1864) — ирландский математик (отец писательницы Э. Л. Войнич, автора бессмертного романа «Овод»), Буль был выходцем из семьи ремесленника, а математикой овладел путем самообразования.

      Первая работа Буля по математической логике — «Математический анализ логики» — вышла в 1847 г. В том же году (несколько позже Буля) английский математик Август де-Морган опубликовал работу, в которой также содержалась система математической логики. В 1854 г. вышел в свет основной труд Буля — «Исследование законов мысли».

      В трудах Буля, де-Моргана и их последователей математическая логика оформилась как своеобразная алгебра, алгебра логики, впоследствии названная также булевой алгеброй.

      Буль применил к логике методы современной ему алгебры, т. е. прежде всего составление и решение уравнений. Другой английский ученый, логик и экономист, Джевоне (1835—1882) разработал логическое исчисление значительно более простое, чем исчисление Буля, и построил машину, на которой с помощью ме

      ханических переключений можно было осуществить логические выводы (машина Джевонса была затем воспроизведена в России). Направление алгебры логики, истолковавшейся прежде всего как алгебра классов( множеств), затем как алгебра высказываний, достигло высокого уровня развития в трудах немецкого математика Э. Шредера (1853—1901) и русского математика П. С. По- рецкого (1846—1907). Платон Сергеевич Порецкий в 1887 и 1888 гг. впервые в России читал в Казанском университете лекции по математической логике. Его результаты в области логики классов и логики высказываний справедливо считаются одним из наивысших достижений направления алгебры логики в XIX в. Но это направление, начатое Булем, не было непосредственно связано с потребностями тогдашней математики.

      Создание великим русским математиком Н. И. Лобачевским (1793—1856) первой неевклидовой геометрической системы вызвало к жизни глубокие исследования в области оснований математики, которые привели уже к концу XIX в. к применению математической логики для обоснования математики. Это потребовало дальнейшего развития математической логики, введения в нее ряда новых идей и методов, разработки новых логических исчислений, более широких, чем исчисление высказываний (или классов)

      Этот новый этап в истории математической логики связан прежде всего с именем немецкого математика Готлоба Фреге (1848—1925). В 1879 г. Фреге в своей работе «Исчисление понятий» впервые дал аксиоматическое построение математической логики. Логическая система Фреге содержала уже и исчисление высказываний и исчисление предикатов. Фреге стремился построить совершенный логический язык, приспособленный для математики. В своем труде «Основные законы арифметики» (два тома, 1893 и 1903 гг.) Фреге построил первую в истории науки формальную логико-математическую систему, включающую в себя значительную часть арифметики.

      Начатое Фреге новое направление развития математической логики в применении к теории математического доказательства привлекло многочисленных исследователей. В этой работе приняли участие наиболее выдающиеся математики и логики конца XIX и XX в. и среди них: итальянский математик и логик Джузеппе Пеано (1858—1932), англичане — философ и логик Бертран Рассел (р. 1872 г.) и математик Уайтхед (1861—1947), польские логики Лукашевич и Тарский, известный немецкий математик Давид Гильберт, австрийский математик Курт Гедель й др.

      Крупный вклад в развитие теории математического доказательства внесла советская школа математической логики в исследованиях И. И. Жегалкина (1860—1947), В. И. Гливенко (1896—1940), академика А. Н. Колмогорова (р. 1903 г.), академика П. С. Новикова (р. 1901 г.), чл.-корр. АН СССР А. А. Маркова (р. 1903 г.) и их многочисленных учеников.

      А. А. Марков и Н. А. Шанин возглавили направление конструктивной математики и логики, представители которого стремятся устранить трудности, связанные с математическим понятием бесконечности, за счет некоторого изменения употребляемых логических средств, в частности отказа от применения закона исключенного третьего к бесконечным множествам.

      Большие достижения имеет советская школа математической логики в теории алгоритмов; работы в этой области имеют не только теоретическое значение, но представляют интерес и с точки зрения приложения логики к технике.

      Еще в 1910 г. Павел Сигизмундович Эренфест (1880—1933), преподававший в то время физику в Петербургском политехническом институте, указал на булеву алгебру как на математический аппарат для исследования * логической структуры релейных (э именно телефонных) схем. Однако только в 30-х годах советским ученым В. И. Шестаковым и американским ученым К. Э. Шенноном были разработаны систематические методы синтеза релейноконтактных схем, основанные на применении булевой алгебры.

      Пример теории релейно-контактных схем облегчил внедрение булевой алгебры и других средств математической логики в теорию бесконтактных релейных схем. Цепи первой электронно-вычислительной машины ЭНИАК (1946 г.) проектировались в какой-то мере с помощью булевой алгебры. Математическая логика становится одной из математических основ теории автоматических устройств и сама развивается под влиянием потребностей этой области теории. Так выросло в последнее время крупное направление в математической логике, которое можно условно назвать технической логикой, занимающейся проектированием автоматических устройств дискретного действия. Техническая логика широко развивается в СССР и в зарубежных странах. Советскими учеными создана в этой области научная школа с рядом важных направлений.

      Большой интерес представляют философские проблемы математической логики, исследуемые проф. С. А. Яновской (Москва) и ее многочисленными учениками.

      Выдающиеся достижения советских ученых в области математической логики и ее приложений удостоены Ленинских премий. К ним относятся: исследование акад. П. С. Новикова «Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп», удостоенное Ленинской премии в 1957 г.; работы акад. А. И. Мальцева по приложениям математической логики к алгебре и теории моделей, удостоенные Ленинской премии в 1964 г.; работы акад. В. М. Глушкова по математической теории цифровых автоматов, удостоенные Ленинской премии в 1964 г.

    Математическая логика

    БОЛЬШЕ НЕТ

    Математика - ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ

    БОЛЬШЕ НЕТ

    Математика - ДЛЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ И ПТУ, СПТУ

    БОЛЬШЕ НЕТ

    Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

                 👇

    Автор-учебника - Столяр А.А. , Математическая логика, Математика - 10 класс 11 класс, Математика - 9 класс

    НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

    БОЛЬШЕ НЕТ

    ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

    БОЛЬШЕ НЕТ

    Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

    БОЛЬШЕ НЕТ

    УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

    Яндекс.Метрика