Элементы высшей математики и численных методов для 9-10 классов математических школ (Бакушинский, Власов) 1968 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 автор-учебник – Власов В.К.

Назначение: Учебное пособие для учащихся 9-10 классов математических школ

Книга представляет собой учебное пособие для учащихся 9-10 классов специальных школ и курсов лаборантов-программистов и посвящена теоретическим обоснованиям различных методов, применяемых программистами в своей работе. Пособие содержит элементы математического анализа, элементы теории погрешностей, решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций, Эйлера, Рунге-Кутта. Теоретические положения иллюстрированы практическими примерами.

© "Просвещение" Москва 1968 

Авторство: Бакушинский А.Б., Власов В.К. Под ред. профессора И.С. Березина

Формат: PDF Размер файла: 6.92 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие 7

Глава I. Элементарная теория погрешностей

§ 1. Множества. Вещественные числа 9

§ 2. Источники ошибок. Абсолютная и относительная погрешность числа И

§ 3. Правила округления 14

§ 4. Действия над приближенными числами 15

Глава II. Понятие о функции одной переменной

§ 1. Определение функциональной зависимости 21

§ 2. Способы задания функциональной зависимости 22

§ 3. Ограниченность, периодичность, четность, монотонность функции . . . \ 26

Глава III. Числовые последовательности и пределы. Числовые ряды

§ 1. Числовые последовательности 34

§ 2. Предел последовательности 35

§ 3. Некоторые теоремы о пределах последовательностей 40

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

§ 4. Числовые ряды   45

§ 5. Некоторые признаки сходимости рядов с положительными членами    49

§ 6. Знакочередующиеся ряды. Абсолютно сходящиеся ряды 54

Глава IV. Непрерывность функции

§ 1. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 57

§ 2. Непрерывные функции   68

§ 3. Простейшие свойства непрерывных функций 71

§ 4. Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке 73

Глава 1Л Линейные алгебраические уравнения и методы их решения

§ 1. Системы линейных алгебраических уравнений 76

§ 2. Действия над матрицами    78

§ 3. Определители матриц 84

§ 4. Свойства определителей 86

§ 5. Теорема Крамера   104

§ 6. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли 108

§ 7. Метод- исключения для- решения систем- линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса) 115

§ 8. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений   122

Глава VI. Теория интерполирования

§ 1. Понятие об интерполировании. Основная теорема об интерполировании многочленами  135

§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 139

§ 3. Интерполяционные многочлены для равноотстоящих узлов 142

Глава VIL Производная функции одной переменной

§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной 154

§ 2. Производная суммы, произведения, частного 158

§ 3. Производные элементарных функций 161

§ 4. Замечательные пределы 167

§ 5. Производные показательной функции, логарифма и гиперболических функций 174

§ 6. Производные сложных функций 176

§ 7. Производные обратных функций 179

§ 8. Производные высших порядков. Формула Лейбница. . 185

§ 9. Дифференциал функции 191

Глава VIII. Основные теоремы дифференциального исчисления

§ 1. Теорема Ферма 195

§ 2. Теорема Ролля 197

§ 3. Теорема Лагранжа 198

Глава IX. Исследование функций при помощи производных. Формула Тейлора. Функциональные ряды

§ 1. Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума 203

§ 2. Аналитические признаки максимума и минимума. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба 205

§ 3. Формула Тейлора для многочленов и произвольных функций 209

§ 4. Остаточный член формулы Тейлора 212

§ 5. Функциональные ряды. Ряды Тейлора 218

Глава X. Функции многих переменных

§ 1. Определение функции нескольких переменных 223

§ 2. Непрерывные функции нескольких переменных .... 226

§ 3. Частные производные 230

Глава XI. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

§ 1. Введение 233

§ 2. Метод последовательного деления отрезка пополам . . 234

§ 3. Итерационные методы приближенного решения уравнений 235

Глава XII. Неопределенный интеграл

§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. . 245

§ 2. Простейшие приемы интегрирования'   247

§ 3. Интегрирование рациональных функций 251

Глава XIII. Определенный интеграл

§ 1. Понятие определенного интеграла. Простейшие свойства определенного интеграла 262

§ 2. Интегрируемость кусочно-монотонной функции 272

§ 3. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование неопределенного интеграла 276

§ 4. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла 279

Глава XIV. Приближенное вычисление определенных интегралов

§ 1. Приближенные формулы для вычисления определенных интегралов 286

§ 2. Остаточные члены квадратурных формул , 292

Глава XV. Дифференциальные уравнения

§ 1. Основные понятия 296

§ 2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения y’=f(xt у) 300

§ 3. Уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах 301

§ 4. Дифференциальные уравнения в физике 309

§ 5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами   312

§ 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений . . . . 326

Приложение. Метод полной математической индукции 332

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Элементы высшей математики и численных методов для 9-10 классов математических школ (Бакушинский, Власов) 1968 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книге сделана попытка отобрать и доступно изложить те разделы математики (в том числе и вычислительной), которые не входят в обычные программы общеобразовательных средних школ, но которые, по мнению авторов, необходимо знать лаборанту-программисту. Поэтому книгу можно рассматривать как учебное пособие для учащихся школ и различных курсов, готовящих программистов. Кроме того, лица со средним образованием могут ее использовать для самостоятельного ознакомления с элементами высшей математики и методов вычислений.

Особенностью книги является тесное переплетение вопросов вычислительной математики и математического анализа. Разделы вычислительной математики помещены обычно после необходимых для их изучения разделов анализа.

В конце параграфов приведены иллюстрирующие материал упражнения, которых, однако, недостаточно для глубокого усвоения курса. Большое количество подходящих упражнений можно найти, например, в следующих задачниках:

В. П. Ми норе кий. Сборник задач по высшей математике. М., «Наука», 1964.

Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., «Наука», 1965.

Последовательное изучение предлагаемого курса можно начинать с 9-го класса при условии параллельного прохождения обычной программы по математике для средних школ.

Авторы приносят глубокую благодарность доценту В. М. Алексееву, преподавателю физико-математической школы-интерната А. А. Шершевскому и доценту Н. П. Жидкову, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд очень полезных замечаний.

Особую признательность авторы выражают профессору И. С. Березину, советы которого по содержанию и методике изложения существенно способствовали улучшению качества книги.

Л. Бакушинский

В. Власов

Г лава I

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ

ПОГРЕШНОСТЕЙ

§ 1. МНОЖЕСТВА. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

Одним из наиболее важных понятий в современной математике является понятие множества. Это понятие настолько общее, что ему нельзя дать какого-либо определения. Следует только иметь в виду, что слово «множество» эквивалентно словам: «совокупность», «собрание элементов», «семейство», «класс элементов» и т. п. Можно говорить, например, о множестве целых положительных чисел, множестве людей в комнате, множестве всех видимых звезд и т. д.

Множество может содержать как конечное число элементов (множество людей в комнате), так и бесконечное их число (множество всех целых чисел).

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным множеством. Множество, состоящее из бесконечного числа элементов, называется бесконечным множеством.

Большой интерес для нас будут иметь множества, элементы которых — вещественные (или действительные) числа.

Напомним некоторые определения и факты, относящиеся к понятию вещественного числа, нужные нам в дальнейшем. Как известно, вещественным числом называется любое целое, рациональное или иррациональное число. Рациональные числа — это числа вида где р и q целые. Они могут быть представлены в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Однако одних рациональных чисел недостаточно для решения даже очень простых алгебраических задач. Например, уравнение х2— 2 = 0 неразрешимо в множестве рациональных чисел

(не существует двух таких целых чисел р и q, что

Назовем иррациональным числом всякую непериодическую бесконечную десятичную дробь.

После введения иррациональных чисел уравнение х9 — 2 = 0 становится разрешимым (его решения: ±]/2 = = ±1,4142...). С введением иррациональных чисел получают свое решение и другие математические задачи, в частности задача определения длины отрезка, не соизмеримого с выбранной единицей масштаба, и т. п.

Очень полезно для дальнейшего представление вещественных чисел в виде точек на некоторой прямой. Эта прямая называется числовой и строится следующим образом: на прямой выбирают произвольную точку О и называют ее началом отсчета. Затем задают на прямой положительное направление и единицу масштаба. Тогда для каждой точки М на прямой можно измерить расстояние от этой точки до начала отсчета с помощью заданного масштаба. Таким образом, каждой точке на прямой можно поставить в соответствие некоторое вещественное число, и притом только одно, характеризующее расстояние от этой точки до начала отсчета. И наоборот, каждому вещественному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на данной прямой, и притом только одну, расстояние от которой до начала отсчета выражается этим числом.

Итак, мы установили соответствие между всеми вещественными числами и всеми точками числовой прямой. Поэтому очень часто различные вещественные числа называют просто точками.

Интервалом с концами в точках а и b называется множество точек, удовлетворяющих неравенству. Сам интервал обозначают (d, 6), принадлежность числа х этому интервалу обозначают (а, Ь) — знак принадлежности). На числовой прямой интервал изображают так, как указано на рисунке 1а. Стрелки в точках а и b указывают, что эти точки не входят в множество, которое мы назвали интервалом.

Интервал называется полуоткрытым, если в него входит один из его концов. Полуоткрытый интервал (а, Ь] — множество точек х, которые удовлетворяют неравенству (рис. 16): а<^х^Ъ.

Полуоткрытый интервал [а, Ь)— множество точек х, удовлетворяющих неравенству (рис. 1в): а^х<^Ь.

И, наконец, замкнутым интервалом или отрезком [а, ft], называется множество точек х, которые удовлетворяют неравенству (рис. 1г): а^х^Ь.

Объединением интервалов называется совокупность точек, принадлежащих хотя бы одному из интервалов, например, в объединение интервалов (аь Ьх) и (а2, ft2) (рис. Id) входят все точки обоих интервалов.

Q Ь Q Ь

5) ' й) "

a, bt а2 Ьг

д)

Рис. 1

Определение. Абсолютной величиной (модулем) числа х (обозначается | х |) называется само число х, если х^О, и (—х), если х<^0:

[ х, если х^О, |х| = <

( — х, если х<0.

Например, |1|=1, а | — 5| = 5.

Очевидное свойство абсолютных величин:

И —Ы=^1*+*/1=^1*1 + Ы-

§ 2. ИСТОЧНИКИ ОШИБОК. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ЧИСЛА

Если решением некоторой задачи является число, то практически далеко не всегда мы можем получить это число совершенно точно. Причины этого следующие.

Во-первых, числа, которые участвуют в операциях, обычно записываются в виде десятичных дробей. Если исходные числа были иррациональными, то точно записать их в виде десятичных дробей мы, конечно, не сможем (так как такая запись содержит бесконечное число цифр). Поэтому приходится вместо исходных иррациональных чисел оперировать с рациональными числами, полученными из данного иррационального числа, если в его записи оставить только первые несколько десятичных знаков (например, столько, сколько входит в разрядную сетку вычислительной машины).

Так, вместо числа 1^2 приходится использовать рациональные числа 1,4 или 1,41 или 1,4142 и т. д. Естественно, что результат действий будет содержать некоторую ошибку (погрешность) тем большую, чем меньше десятичных знаков содержат рациональные приближения к исходным иррациональным числам. Возникают подобные погрешности и тогда, когда исходные данные были рациональными, числами. При их, записи в виде десятичной дроби может получиться бесконечная периодическая дробь или конечная дробь, число знаков которой настолько велико, что имеющиеся в нашем распоряжении вычислительные средства не могут их учесть целиком и некоторое число знаков приходится отбрасывать.

Итак, исходные данные, промежуточные результаты и окончательные результаты мы обычно не можем записать совершенно точно, а округляем их. Это одна из причин неточности ответа.

Во-вторых, очень часто задачи в их непосредственной формулировке либо не поддаются решению,, либо решение чрезвычайно сложное. Тогда заменяют эту задачу другой, более простой, которая дает решение, достаточно близкое к требуемому, и решают эту более простую задачу. Естественно, и в этом случае результат получится с какой-то погрешностью, даже если все исходные данные и промежуточные результаты будут точными. Говорят, что возникает погрешность метода.

Наконец, одним из самых важных источников погрешности результата является неточность самих исходных данных. Как правило, исходные данные для задачи получают из какого-либо физического эксперимента. Любой эксперимент связан с измерениями, а измерения всегда производятся с той или иной погрешностью. Например, если нам нужно определить площадь прямоугольной комнаты, мы берем линейку и измеряем длину и ширину комнаты. Как бы мы ни старались, а на несколько сантиметров ошибемся, хотя бы из-за того, что сама линейка может быть не абсолютно точной. Естественно, и площадь комнаты как результат умножения длины на ширину получится не совсем точно. Подобных примеров можно привести сколь угодно много.

Количественной характеристикой погрешностей величин служит их абсолютная и относительная погрешность.

Пусть для величины, точное значение которой есть х, мы каким-либо образом получили приближенное значение х*.

Определение. Абсолютная величина разности между точным значением х и его приближенным значением х*

называется абсолютной погрешностью приближенного ла х* и обозначается ДЛ», т. е. | х — х* | —

Как правило, точное значение х нам неизвестно, а дователъно, неизвестна и абсолютная погрешность Но зато обычно можно определить число, которое

числе- Ах*. Эта абсолютная погрешность заведомо не превосходит (границу абсолютной погрешности, определяемую самим способом нахождения числа). Так, взвешивая какой-либо предмет на аптекарских весах, мы не сможем определить точного веса предмета, но гарантируем, что ошибка взвешивания не более, чем 0,01 грамма, т. е. абсолютная погрешность веса не будет превышать 0,01 грамма.

Однако абсолютная погрешность не всегда достаточно полно характеризует погрешность вычислений. В самом деле, пусть ошибка при измерении длины радиоволны равна одному метру. Если при этом измерялась длина волны в диапазоне длинных волн, то точность хорошая; такая же ошибка при измерении длины волны в диапазоне УКВ (ультракоротких волн) слишком велика. Поэтому вводят еще одно важное понятие — относительную погрешность. .

Определение. Относительной погрешностью приближенного значения х* называется отношение абсолютной погрешности Дж* к абсолютному значению приближенной

величины. 8Х* =7-5-7.

1**1

Нетрудно видеть, что если абсолютная погрешность всегда имеет ту же размерность, что и сами величины, то относительная погрешность есть величина безразмерная.

Разумеется, говорить об относительной погрешности можно только в том случае, когда х* 0. В дальнейшем мы будем там, где это необходимо, предполагать это условие выполненным и не будем делать специальной оговорки.

В примере с измерением длин радиоволн абсолютная погрешность равна одному метру. Если после измерения получим, что длина волны в диапазоне длинных волн 1000 м, а в диапазоне УКВ 4 м, то в первом случае

относительная погрешность равна —QQQ- = 0,001, а во втором 4 = 0,25.

Мы будем вполне удовлетворены, если наши часы будут убегать в сутки на 10 секунд, но вряд ли будем довольны, если они будут убегать на 10 секунд каждую минуту. В первом случае относительная погрешность равна 24 ♦ 60 • 60 == 8640 < 0,00012, а во втором = у = 0,17, абсолютная же погрешность и в том и в другом случае одинакова —10 секунд.

Упражнения

1) Записать число те лишь с двумя знаками после запятой и оценить абсолютную и относительную погрешность полученного приближенного значения.

2) Комнатный термометр дает отклонения не больше, чем 0,5 градуса. С его помощью измерили температуру и получили 20°. Требуется оценить абсолютную и относительную погрешности полученной величины температуры.

§ 3. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ

В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, что на практике часто приходится иметь дело с числами, запись которых в виде десятичной дроби требует бесконечно много знаков, и с числами, число знаков у которых в такой записи конечно, но может быть очень большим. Любая вычислительная машина имеет лишь вполне определенное количество разрядов. Поэтому, чтобы ввести такие числа в машину, нужно их каким-то образом записать так, чтобы количество 'цифровых знаков не превышало количества цифровых разрядов, имеющихся в машине (округлить число). Очевидно, что это необходимо делать и тогда, когда мы считаем на бумаге без помощи машин. Обычно округление производят по следующему правилу (иногда, правда, пользуются и другими правилами). Пусть какое-то число имеет в своей записи более, чем k, цифро-вых знаков и мы хотим округлить его, оставив ровно k знаков. Тогда если (^+0"я цифра в записи числа меньше или равна 4, то все цифры, начиная с (k-1—1)-й, просто отбрасывают.

Например, если в числе 3,14159265358... мы хотим оставить два знака после запятой, то округленное число

будет: 3,14; если мы хотим оставить пять знаков после запятой, то получим: 3,14159.

Пусть теперь (&4-1)-я цифра больше, чем 5. Тогда мы тоже отбрасываем цифры, начиная с (&-|-1)-й, но в оставшемся числе k-ю цифру увеличиваем на единицу. Так, если в вышенаписанном числе мы хотим оставить шесть цифр после запятой, то получим: 3,141593.

Если цифра есть 5, а за ней найдется хоть

одна отличная от нуля цифра, то поступают, как в предыдущем случае, т. е. отбрасывают все цифры, начиная с (&4-1)-й, а k-ю увеличивают на единицу.

. В нашем примере, оставив четыре цифры после запятой, получим: 3,1416.

Наконец, последний случай, когда (й-|- 1)-я цифра есть 5, а все последующие за ней цифры — нули. Тогда поступают так: отбрасывают «хвост», начиная с (&4- 1)-й цифры, и если k-я цифра четная, то оставляют ее без изменения, если же k-я цифра нечетная, то увеличивают ее на единицу.

Например, в числе 5,3865 оставим три знака после запятой: 5,386; если же округлим число 7,4235, то получим 7,424.

Все, что было сказано выше, можно сформулировать так: для того чтобы округлить число до k десятичных знаков, нужно отбросить все знаки, начиная с если при этом отброшенная часть меньше половины единицы k-ro разряда, то оставшуюся часть числа оставляют без изменения; если отброшенная часть больше половины единицы k-ro разряда, то к k-му разряду прибавляют единицу; наконец, если отброшенная часть в точности равна половине единицы k-ro разряда и k-я цифра четная, то оставляют эту цифру без изменения, если же нечетная, то увеличивают ее на единицу.

Легко проверить, что абсолютная погрешность числа, полученного округлением по этому правилу, не превосходит пяти единиц первого отброшенного разряда.

§ 4. ДЕЙСТВИЯ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

Производя различные арифметические операции над приближенными числами, мы получаем и приближенный ответ. Возникает вопрос: какова погрешность результата, если известны погрешности исходных данных? 

 

Для развития ПРОЕКТА!

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика