3.2.3. Отрицательные числа. 40

3.2.4. Равные отрицательные числа 41

3.2.5. Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа 42

3.2.6. Модуль числа 43

3.2.7. Изображение отрицательных чисел на координатной прямой 44

3.2.8. Сравнение чисел 45

3.2.9. Числа и измерение величин —

3.2.10. Изменение величин 47

3.2.11. Перемещение точек по координатной прямой —

3.3. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел 48

3.3.1. Сложение разностей —

3.3.2. Сложение положительных и отрицательных чисел 50

3.3.3. Сложение отрицательных чисел. 51

3.3.4. Сложение чисел с разными знаками

3.3.5. Сумма двух противоположных чисел —

3.3.6. Законы сложения 52

3.3.7. Задачи, решаемые сложением 53

3.3.8. Вычитание положительных и отрицательных чисел 55

3.4. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел 56

3.4.1. Умножение разностей. —

3.4.2. Умножение положительных и отрицательных чисел 58

3.4.3. Умножение отрицательных чисел 59

3.4.4. Умножение чисел с разными знаками —

3.4.5. Частные случаи умножения 60

3.4.6. Применение умножения при решении задач —

3.4.7. Законы умножения положительных и отрицательных чисел 61

3.4.8. Деление положительных и отрицательных чисел 63

3.5. Обоснование правил действий над положительными и отрицательными числами с помощью задач 64

3.5.1. Сложение положительных и отрицательных чисел —

3.5.2. Умножение положительных и отрицательных чисел 66

4. Рациональные числа 69

4.1. Преобразования обыкновенных дробей, их сложение и вычитание —

4.2. Умножение и деление дробей. 74

5. Рациональные числа в 6—7 классах 81

5.1. Степень с натуральным и нулевым показателями —

5.2. Рациональные дроби. 84

5.3. Степень с целым показателем. 88

5.4. Пропедевтические сведения о корнях и иррациональных числах 92

6. Действительные числа в курсе 8 класса 96

6.1. Степень с рациональным показателем

6.1.1. Понятие о корне п-й. степени. —

6.1.2. Степень с рациональным показателем 98

6.2. Показательная функция и логарифмы в курсе 8 класса 103

6.2.1. Общие замечания —

6.2.2. Понятие о степени с действительным показателем —

6.2.3. Показательная функция 105

6.2.4. Прямые и обратные действия. 109

6.2.5. Понятие о логарифме числа. Логарифмическая функция ПО

Заключение 116

ПРЕДИСЛОВИЕ

На протяжении обучения в 1—3 классах учащиеся получили интуитивно правильное представление о натуральных числах и приобрели определенные навыки в действиях над ними, научились решать несложные задачи практического характера. Однако точный смысл понятия числа не выяснялся. На вопрос, что такое число, нельзя дать достаточно обоснованный ответ на протяжении всего времени обучения в школе. Термин «число» означает любой элемент наиболее широкого числового множества, которое изучается в данный момент. Например, для учащихся начальных классов термин «число» означает натуральное число или нуль; для четвероклассника—натуральное число, нуль, обыкновенную или десятичную дробь; для пятиклассника — рациональное число; для учащихся старших классов — действительное число.

Определения целого, рационального, действительного, комплексного числа могут быть даны на основе ранее установленного понятия натурального числа. Строгая теория натурального числа, основанная, например, на системе аксиом Пеано и определениях Грассмана (Бра- дис В. М. Теоретическая арифметика.— М.: Учпедгиз, 1954.—208 с.), недоступна для учащихся младшего и среднего школьного возраста, трудна для старшеклассников.

В предлагаемой книге ставится задача добиться стройности и естественности изложения материала, сделать его доступным для учащихся и правильно сформировать в их сознании понятие рационального, а затем и действительного числа. Для этого, во-первых, приводятся конкретные замечания по изложению соответствующих разделов в учебниках, во-вторых, рассматриваются идеи, которые могут быть положены в основу расширения понятия числа, в-третьих, подчеркиваются те вопросы, относящиеся к изучению чисел, которые наиболее успешно могут быть использованы учителем в целях коммунистического воспитания учащихся в процессе изучения математики.

Все замечания и пожелания просьба направлять по адресу: 220600 Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Народная асвета», редакции физики и математики.

в том, что для нахождения ее любого значения достаточно иметь таблицу значений ее при изменении аргумента от нуля до 1 (с шагом 0,0001, если мы хотим иметь 4 верные цифры результата).

Например, зная, что 10⁰-³⁰¹⁰=2,000, легко найти 1О³>³⁰¹⁰. В самом деле, Ю³-³⁰¹⁰= 10³+°>³⁰¹⁰= 10³ • 10°’³⁰¹⁰= = 10³-2,000=2000.

Это значит, что таблица антилогарифмов (степеней числа 10) дает возможность находить значащую часть числа, если известен его логарифм (показатель степени). Зная же его характеристику (или порядок), легко определить и место запятой, если мы хотим записать это число в стандартной форме.

Рассмотрим несколько упражнений.

Найти х, если lgx=3,1427.

По таблице антилогарифмов находим значащую часть числа 1^;—3—8—9 (или значение функции 10* при t = = 0,1427, равное 1,389). Так как характеристика логарифма числа равна 3, то в искомом числе до запятой должно быть 4 цифры, т. е. х?«1389.

Если бы мы пожелали искомое число записать в стандартном виде, то можно было бы сразу написать х^ 1,389-10³.

Такая форма записи искомого числа обязательна лишь тогда, когда после последнего десятичного знака надо дописывать одиц или несколько нулей, так как при обычной форме записи числа в этом случае было бы невозможно отличить верные цифры от сомнительных.

Рассмотрим пример.

Найти х, если lgx= 11,4771.

По таблице антилогарифмов находим 4 верные цифры искомого числа 3—0—0—0. Так как характеристика логарифма числа равна 11, то в целой части его должно быть 12 цифр. Искомым будет число 300000000000. Но такая запись числа в этом случае не годится, так как она не дает возможности отличить верные цифры от сомнительных. Искомое число следует записать в стандартной форме.

х^З,000-10¹¹.

При такой записи вся необходимая информация об искомом числе есть: первые три нуля после цифры 3 являются верными «значащими» цифрами, а остальные — нет.

Найти х, если lgx= —4,8817.

Для нахождения х_запишем его логарифм в искусственной форме: lgx=5, 1183. Значащую часть искомого числа найдем по таблице антилогарифмов: 1—3—1—3. Так как характеристика логарифма числа равна —5, то перед первой его значащей цифрой, включая 0 целых, должно быть 5 нулей: 0,00001313.

Стандартная форма записи искомого числа ~ 1,313-10^-5 почти не дает преимуществ. Но если число нулей достаточно большое (до первой значащей цифры), то стандартная форма записи более удобная (в случае, когда отрицательная характеристика логарифма числа имеет достаточно большой модуль).

На одном из заключительных уроков в 8 классе проводим обзорную беседу об иррациональных числах. Вспоминаем, что впервые с иррациональными числами мы встретились в 7 классе при извлечении квадратных корней. В 8 классе приходилось находить значения корней п-й степени из известных нам чисел, вычислять значения показательной функции и логарифмы. Как правило, в результате получались иррациональные числа, хотя мы не всякий раз заостряли на этом внимание.

Докажем, например, что lg3 есть иррациональное число.

В самом деле, предположим, что это число рациональ- „ ^а г

ное,, равное отношению где а и о — натуральные

числа (так как lg3>0), т. е. 1g 3 =

Переходя к показательной форме записи, получим а

10 ^ь =3 или после возведения обеих частей равенства в b-ю степень 10“ —З^ь.

Однако это равенство невозможно, так как левая часть его оканчивается нулем и, следовательно, делится на 2, правая же часть оканчивается нечетной цифрой 1, 3, 7 или 9 и на 2 не делится. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

Рациональные и иррациональные числа, являющиеся корнями алгебраического уравнения п-й степени с целыми коэффициентами, называются алгебраическими. Известное из геометрии число л — пример не алгебраического иррационального числа. Такие числа называются трансцендентными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В книге рассмотрены почти вое вопросы, связанные с формированием понятия числа в 4—8 классах, даны (с учетом внеклассной работы) обоснования практически всем фактам, предусмотренным программой по математике. Однако натуральные числа, их сложение введены на основе наглядных представлений. Укажем один из возможных путей более строгого введения этих понятий.

Прежде всего нам потребуется понятие взаимно однозначного соответствия, которое используется в учебном пособии «Алгебра и начала анализа, 9—10» А. Н. Колмогорова и др., но не определяется и не описывается. Взаимно однозначное соответствие — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества, причем разным элементам “первого множества соответствуют разные элементы второго и каждый элемент второго множества поставлен в соответствие некоторому элементу первого. Множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными (эквивалентными).

Примеры равномощных множеств: множество крыльев птицы и множество концов отрезка, множество лепестков цветка капусты и множество сторон квадрата и т. д.

Если множество равномощно своему собственному подмножеству, то оно называется бесконечным. Примером такого множеству может служить множество точек отрезка. Множества, не являющиеся бесконечными, называются конечными.

Распределим все непустые конечные множества по классам, отнеся в каждый из них все равномощные между собой множества. Каждое множество попадает в один и только один Класс, пересечение двух любых различных классов является, пустым. В один из этих классов отнесем, например, все множества, равномощные множеству пальцев руки человека. Сюда же попадет множество граней пирамиды с квадратным основанием, множество лепестков яблоневого цветка и т. д. В другой класс попадут множества, равномощные множеству естественных спутников Земли: множество центров данной окружности, множество осей симметрии острого угла и т. д.

Рассматривая множество выделенного нами первого

класса, замечаем, что все они. качественно различны. Но есть нечто общее, именно то, что послужило поводом для отнесения их в один и тот же класс. То общее, что сохраняется при переходе от одного множества данного класса к любому другому, или инвариант класса равномощных между собоД конечных множеств, и есть характеризующее этот класс натуральное число, в интересующем нас случае равное пяти.

Несовпадающим классам множеств соответствуют различные натуральные числа. Разные множества одного и того, же класса имеют одну и ту же количественную характеристику, общую для всех множеств данного класса. Поэтому чтобы ' задать натуральное число, являющееся инвариантом конкретного класса равномощных между собой конечных множеств, достаточно указать лишь одного представителя рассматриваемого класса. Этим как раз и пользуются в начальной школе при первоначальном знакомстве учащихся с натуральными числами: каждое множество данного класса является естественной моделью натурального числа. Без демонстрации таких моделей усвоение учащимися понятия натурального числа было бы невозможным.

Натуральное число является количественной характеристикой конечных множеств, не зависящей от их качественного состава. Прошли тысячелетия в истории развития человечества, прежде чем люди заметили это особое свойство множеств. На основе практики и под руководством учителя учащиеся начальных классов легко выделяют это специфическое свойство множеств и получают правильное представление о натуральном числе, хотя и не знают определения этого понятия.

Перейдем, наконец, к выяснению понятия суммы двух натуральных чисел.

Пусть даны два конечных множества А и В, не имеющие общих элементов, натуральные числа, им соответствующие, а и Ь. Объединение этих множеств Ли В —С относится к одному и трлько одному классу равномощных между собой конечных множеств, характеризующемуся натуральным числом с. Это число с и называется суммой натуральных чисел а и Ь. Обозначают: а + Ь = с.

Действие нахождения суммы двух натуральных чисел а и b называется их сложением.

Справедливость переместительного и сочетательного законов сложения вытекает из соответствующих свойств объединения множеств.

Определяя число элементов исследуемого множества, человек приводит его во взаимно однозначное соответствие с некоторым подмножеством хорошо известного ему- множества, играющего роль эталона. При этом элементы эталонного множества всегда следуют в строго определенном порядке. На какой-то стадии исторического развития человечества таким эталонным множеством служило упорядоченное множество пальцев руки, например: большой, указательный, средний, безымянный, мизинец.

Постепенно в качестве эталонного множества стал употребляться набор слов один, два, три, четыре, или символов 1, 2, 3, Удобство его состояло в том, что по мере надобности оно пополнялось все новыми и новыми элементами. Используемое таким образом эталонное упорядоченное множество слов или символов для их записи и представляет собой натуральный ряд чисел.