Функция, ее предел и производная (Доброхотова, Сафонов) 1969 год - старые учебники
Скачать Советский учебник
Назначение: Книга предназначается для учеников старших классов средней школы и для школьных математических кружков.
Авторы книги в доступной учащимся форме и в то же время с достаточной глубиной рассматривают важнейшие понятия математического анализа — понятия функции, предела, производной, сопровождая изложение теоретического материала интересными примерами.
© "Просвещение" Москва 1969
Авторство: Мирра Александровна Доброхотова, Алексей Николаевич Сафонов
Формат: PDF Размер файла: 20 MB
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. 3
Глава I. Введение
- 1. Понятие множества. 5
$ 2. Действия над множествами. 7
- 3. Числовые множества 9
- 4 Абсолютная величина 14
Глава II. Функция
- 5. Определение функции 24
- 6. Примеры некоторых функций 31
- 7. Задание функции, ее область определения и ранг 34
- 8. Наибольшее и наименьшее значения функции 39
- 9 Геометрическое изображение функции 44
- 10. Арифметические действия над функциями 50
- 11 Образование сложной функции 54
- 12. Понятие о функции нечислового аргумента 57
Глава III. Простейшие способы исследования функций
- 13. Монотонные функции 61
- 14. Ограниченные и неограниченные функции 66
- 15. Четные и нечетные функции. 68
§ 16. Периодические функции * 72
- 17. Понятие об обратной функции 78
- 18. О существовании обратной функции. 81
- 19. График обратной функции 83
- 20. Обратные тригонометрические функции 88
- 21. Простейшие преобразования графиков 95
- 22. Сложение и вычитание графиков 97
- 23. Умножение графиков и их растяжение от оси абсцисс 99
- 24. Графики функций у = f (х + с) и у = f (kx) 103
$ 25. Применение графиков функций к решению уравнений
и неравенств 109
- 26 Разные задачи. 113
Глава IV. Пределы
- 27. Числовая последовательность 116
- 28. Ограниченные и неограниченные последовательности 119
- 29. Монотонные последовательности. 121
- 30. Арифметические действия над последовательностями 124
- 31. Предел числовой последовательности 126
- 32. Бесконечно малые последовательности 132
- 33. Некоторые свойства бесконечно малых последовательностей 135
- 34. Теоремы о пределах последовательностей. 137
- 35. Существование предела у монотонных последовательностей 141
- 36. Число е. Натуральные логарифмы 143
- 37. О стремлении аргумента к числу а. ‘ 147
- 38. Бесконечно малые функции 151
- 39. Предел функции в точке 155
- 40. Предел функции в точке и значение функции в точке. 159
- 41. Основные теоремы о пределах функций. 160
- 42. Предел функции при х->+оои при х ->—<х> 163
sin х
- 43. Предел отношения --------- при х -> 0 166
х
- 44. Применение предела в приближенных вычислениях 168
- 45. Некоторые геометрические и физические приложения теории пределов 170
Глава V. Непрерывность функции
- 46. Понятие о непрерывности функции. 182
- 47. Приращение аргумента и функции 184
- 48. Другая форма определения непрерывности функции 185
- 49. Некоторые свойства непрерывных функций 187
- 50. Свойства функции, непрерывной на сегменте 190
Глава VI. Производная
- 51. Средняя и мгновенная скорость прямолинейного движения 194
- 52. Линейная плотность стержня 198
- 53. Среднее и мгновенное значение величины тока 201
- 54. Скорость изменения функции, понятие производной 203
- 55. Непосредственное вычисление производных 205
- 56. Геометрический смысл производной. 209
- 57. В каждой ли точке функция имеет производную? 214
- 58. Производная суммы и разности функций. 217
- 59. Производная произведения и частного 219
- 60. Таблица производных 222
- 61. Производная сложной функции. 226
- 62. Формула бинома Ньютона 229
- 63. Применение формулы бинома Ньютона в приближенных вычислениях 232
- 64. Понятие о производных высшего порядка. 234
- 65. Понятие о дифференциале функции. 235
- 66. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 240
Глава VII. Исследование функций с помощью производной
- 67. Признаки возрастания и убывания функции 244
- 68. Интервалы монотонности 248
- 69. Максимум и минимум функции 251
- 70. Необходимое условие существования экстремума функции 255
- 71. Достаточные условия существования экстремума 258
- 72. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 266
- 73. Дальнейшие примеры. 269
- 74. Отыскание экстремума функции с помощью второй производной 278
- 75. Построение графиков функций с помощью производной 280
- 76. Доказательство неравенств 285
Ответы 288
Скачать бесплатный учебник СССР - Функция, ее предел и производная (Доброхотова, Сафонов) 1969 года
СКАЧАТЬ PDF
ПРЕДИСЛОВИЕ
На занятиях по началам математического анализа в юношеской математической школе нам часто приходилось слышать вопрос от наших пытливых слушателей: «Где можно прочесть о функциях, пределах и производной, кроме школьного учебника?» В этой книге мы и стремимся, несколько расширив объем материала за рамки школьной программы, удовлетворить этот запрос учащихся, интересующихся математикой. Она рассчитана на участников юношеских математических школ, членов школьных математических кружков. Учитель математики найдет в ней материал для факультативных курсов и занятий математического кружка старших классов.
В первой главе мы уделяем внимание основным операциям над множествами и абсолютным величинам и их свойствам с целью выработать у учащихся навыки и умения оперировать с ними, что необходимо для усвоения общего понятия функции и изучения теории пределов, производной и вообще основ высшей математики.
Известны методические трудности, возникающие при изложении для школьников общего понятия функции, предела, производной. В преодолении этих трудностей во многом нам помогли обсуждения методики изложения отдельных вопросов, вошедших в книгу, на семинаре при математических кафедрах Ярославского государственного педагогического института. Выражаем всем участникам семинара, принявшим участие в этих обсуждениях, нашу признател ьность.
Считаем своим приятным долгом поблагодарить профессора А. М. Лопшица за просмотр отдельных глав, замечания к ним и советы.
Профессор Н. Я. Виленкин и И. Б. Вейцман в своих отзывах о рукописи высказали ряд пожеланий, способствовавших улучшению книги, за что мы выражаем им глубокую благодарность.
При работе над книгой мы пользовались различной литературой. В частности, были использованы учебные пособия:
В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа, I. М., ГИТТЛ., 1957.
Г. М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. II М., ГИТТЛ., 1955.
К. А. Рыбников. История математики, I. Изд-во МГУ, 1960. II. 1963.
В. М. Брадис и др. Алгебра, под ред. А. И. М а р- кушевича. М., Учпедгиз, 1957.
Статьи в журнале «Математика в школе» Н. Я. Виленкина и С. И. Шварцбурда, № 1, 1961; А. Н. Ко л- мо го ров а, № 6, 1965 и № 6, 1966.
При подборе задач и упражнений воспользовались работой И. П. Натансона «Суммирование бесконечно малых величин». М., 1960.
Авторы.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
- 1. Понятие множества
1. При изучении функций нам придется пользоваться понятием множества, которое играет большую роль в современной математике.
Под множеством понимают совокупность предметов (объектов), объединенных некоторым общим признаком.
Например, мы можем говорить о множестве учащихся данной школы, множестве книг в библиотеке, множестве прямоугольников с данным периметром, множестве всех целых чисел и т. д.
Предметы, из которых составлено множество, называются его элементами. Так, в случае множества целых чисел его элементами будут числа 0, ±1, ±2, ± 3,
Будем множество обозначать прописными буквами, а его элементы строчными и записывать множество с помощью фигурных скобок. Например, если т — четные положительные числа, то множество М этих чисел запишется в виде
М = {т}.
Принадлежность элемента т множеству М выражают записью tn £ М. Если элемент пг не принадлежит множеству М, то это записывают так: т £ М.
Например, для множества М четных положительных чисел:
2£М; 44ЕЛ1; 11 — 8QM.
Множество может состоять из любого числа элементов. Например, множество А корней уравнения х2 — Зх 4- 4-2=0 состоит из двух элементов и может быть записано так: А = {1, 2|.
Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Так, множество А — конечное множество.
Множество может не быть конечным. Такое множество называется бесконечным. Например, множество всех корней уравнения sin х = 0, т. е. множество чисел вида /гл, где k =0, ±1, ±2, , множество всех целых чисел является бесконечным множеством.
Множество может не иметь ни одного элемента. Такое множество называется пустым. Например, если в классе все ученики успевают, то множество неуспевающих учеников из этого класса будет пустым. Пустым будет также множество корней уравнения cos х = 2. Пустое множество обозначается символом 0.
Множество можно задать двумя способами. Первый способ — перечисление его элементов. Например, множество участников шахматного турнира задается списком; множество из двух чисел — А = {1, 2} и т. п.
Этот способ применим лишь к конечным множествам (хотя и не всегда удобен).
Второй способ — указание некоторого характеристического свойства элементов именно этого множества; например: множество треугольников; множество планет солнечной системы. Иногда такой способ задания множеств выражают специальной записью. Например, в записи
А = {х/х2 — Зх 4- 2 = 0}
показано, что множеству А принадлежат все те элементы х, которые являются корнями уравнения х2 — Зх 4- 2 =0, т. е. числа х = 1 и х = 2. Аналогично запись W = ={x/sin х = 0} показывает, что множеству А принадлежат все те числа х, которые являются корнями уравнения sin х = 0, т. е. числа вида х = fat, где k = 0, ±1, ±2,
2. Часть множества или подмножество
Может случиться, что все элементы множества А будут также элементами множества В. В этом случае множество А называется частью или подмножеством множества В. Этот факт записывается так: A cz В.
Математика - Алгебра - Анализ-Начала анализа, Функциональный анализ, Автор - Доброхотова М.А., Автор - Сафонов А.Н., Математика - Кружки - Секции, Математика - Для учащихся старших классов