Задачи к главе II 65

Глава III. Проекции. Расстояния и углы. Сфера и шар 69

• 12. Проектирование —
• 13. Расстояние от точки до фигуры. 74
• 14. Расстояние между фигурами. Расстояние и параллельность 81
• 15. Угол между прямыми. 88
• 16. Углы между прямой и плоскостью и между плоскостями 93
• 17. Сфера и шар 101
• 18. Симметрия сферы и шара. 113

Выводы. 122

Задачи к главе III. 124

X КЛАСС

Глава IV. Цилиндры и конусы. Многогранники 127

• 19. Цилиндры —
• 20. Призмы 133
• 21. Конусы 142
• 22. Пирамиды 150
• 23. Многогранники 156
• 24. Симметрия 161

Выводы. 165

Задачи к главе IV. 166

Глава V. Объемы тел и площади их поверхностей. 169

• 25. Определение площади и объема. —
• 26. Объем прямого цилиндра. 172
• 27. Представление объема интегралом 178
• 28. Объемы некоторых тел 180
• 29. Площадь поверхности. 189
• 30. Развитие геометрии от начала до Лобачевского. 199

Задачи к главе V 205

Глава VI. Координаты. Векторы. Движения 207

• 31. Прямоугольные координаты —
• 32. Векторы 216
• 33. Координаты и векторы. 226
• 34. Преобразования 235

Глава VII. Основания геометрии. Современная геометрия 240

• 35. Определения —
• 36. Об аксиомах 244
• 37. Современная геометрия 249

Предметный указатель. 266

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих классах мы изучали главным образом геометрию на плоскости — планиметрию, а теперь будем заниматься геометрией в пространстве. Ее называют стереометрией (от греческих слов «стереос» — телесный, пространственный, «метрео» — измеряю).

Обращаясь к геометрии в пространстве — к стереометрии, будем предполагать, что геометрия на плоскости — планиметрия — нам в основном известна.

Каждый представляет, что такое плоскость или, по крайней мере, конечный кусок плоскости, как поверхность стола, доски и т. п. В планиметрии плоскость рассматривается сама по себе, независимо от окружающего пространства. В стереометрии же плоскость — это фигура в пространстве, и в нем много плоскостей. На каждой из них выполняется планиметрия.

Вместе с каждой плоскостью в пространстве есть содержащиеся в ней известные нам фигуры — точки, отрезки, углы, треугольники, окружности и т. д. Основными свойствами этих фигур, теоремами о них, доказанными в планиметрии, мы будем постоянно пользоваться.

Однако важнейшие в стереометрии — пространственные фигуры, не лежащие ни в какой плоскости. Если любое реальное тело рассматривалось с точки зрения только формы и размеров, считая их абсолютно точными, то это пространственная фигура, «геометрическое тело», т. е. тело, как его понимают в геометрии. Простейшие знакомые вам тела изображены на рисунке 1: а) шар; б) куб; в) параллелепипед; г) пирамида; д) призма; е) цилиндр; ж) конус.

Напомним, что куб — это многогранник, у которого шесть граней и все они квадраты. Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней и все они прямоугольники. А вообще параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней и все они параллелограммы.

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — какой-либо многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Первая грань называется основанием пирамиды, остальные же называются боковыми гранями; их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, причем ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.

Если основание пирамиды n-угольник, то она называется п-угольной. Простейшей среди всех пирамид (и даже среди всех многогранников) является треугольная пирамида,

которую называют также тетраэдром, т. е. четырехгранником (рис. 2). У тетраэдра четыре грани и все они треугольники.

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а все боковые ребра равны (рис. 3). Знаменитые египетские пирамиды — правильные

четырехугольные.

Тетраэдр же называется правильным, если все его грани — правильные треугольники (т. е. все его ребра равны). Правильный тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Отличие рисунков, употребляемых в стереометрии (например, рис. 1—3), от тех, какими иллюстрируется курс

планиметрии, состоит в том, что на плоскости рисунка (в книге, в тетради, на доске) изображаем не только плоские, но и пространственные фигуры. Основные правила и приемы таких изображений известны из курса черчения и будут обоснованы в курсе стереометрии. Перечислим три самых простых из них.

- 1) Плоскость изображается в виде про- f х. из вольной области (рис. 4), а иногда в виде

I I параллелограмма.

k Ф I 2) Параллельные отрезки (как и пря-

У мне изображаются параллельными от

резками (как при изображении куба, па-

Рис. 4 параллелепипеда, призмы на рисунке 1).

3) Середина отрезка изображается как середина изображающего его отрезка.

Очень важно уметь правильно, наглядно изобразить пространственную фигуру и, наоборот, посмотрев на- рисунок, представить себе форму пространственной фигуры, изображенной на нем. Это трудно, но этому можно научиться.

Тематический материал учебника разбит на две части — основную и дополнительную.

Основная часть, во-первых, содержит теоретические сведения (аксиомы, определения, теоремы), которые надо твердо усвоить и уметь применять при решении задач. После каждой главы этот теоретический материал кратко формулируется в специальном разделе «Выводы».

Во-вторых, к основной части относится материал, в котором рассказано о значении наиболее важных геометрических результатов, о различных применениях стереометрии в других науках, технике, искусстве, быту, об истории геометрии. С этим материалом, отмеченным значками А (начало) и ▼ (конец), следует ознакомиться. Он поможет вам понять роль геометрии и, ее место в современной культуре.

В дополнительном материале с большей глубиной и подробностью обсуждаются самые трудные вопросы курса. Этот материал рассчитан на учащихся, особенно интересующихся математикой. Он отмечен значком*.

Из задач к параграфу выделены задачи, которые названы основными. Их решение считаем обязательным. Почти ко всем параграфам есть дополнительные задачи, приведенные в конце главы.

II

Своеобразие геометрии заключается в неразрывной связи живого воображения со строгой логикой. Можно сказать, что геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, определение, теорема или задача, непременно присутствуют эти оба элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — «лед и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и надо изучать: соединяя наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.

Поэтому основное правило состоит в том, что, встречаясь с определением, теоремой или задачей, нужно прежде всего понять их содержание: представить наглядно, нари

совать или еще лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чем идет речь.

Ничего не старайтесь заучить, не нарисовав, не вообразив того, о чем идет речь, не поняв, как это наглядное представление точно выражается в формулировке определения, теоремы или задачи.

Геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется везде, где нужна малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и рабочему, и архитектору необходимо геометрическое воображение.

Математика, геометрия в частности, представляет собой могущественный инструмент познания природы и создания техники.

Идеальные геометрические понятия возникают в результате отвлечения от всего внешнего и случайного относительно самих пространственных отношений и форм, как таковых, в их собственном виде. Это отвлечение закрепляется в выводах геометрии, которой нужна прочная логическая структура, как нужна прочная структура хорошей машине.

В. И. Ленин писал: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит — если оно правильное. — от истины, а подходит к ней. все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее.» (Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 152).

проводить кратчайшие линии и делать другие построения и измерения. В общем, они создали бы свою геометрию, отражающую свойства поверхности, в которой они живут. Это и была бы внутренняя геометрия данной поверхности. Вместе с тем это была бы геометрия того «пространства», в котором они живут, потому что вне ее для них ничего нет.

Это только образное описание того факта, что внутренняя геометрия поверхности полностью определяется измерением длин на самой поверхности. Поверхности имеют разную внутреннюю геометрию, и можно представить себе наших двумерных «людей» на одной или другой поверхности — в одном или другом «пространстве». Можно вообразить, что поверхность, где они живут, деформируется, так что геометрия ее изменяется со временем.

Мы живем в своем трехмерном пространстве, измеряем в нем длины, находим геометрические соотношения, делаем построений: Все это на самом деле, в нашей материальной деятельности. В ней люди обнаружили общие закономерности, выраженные потом в отвлеченной идеализированной форме в евклидовой геометрии. Но почему мы должны быть убеждены, что она абсолютно точно соответствует действительности? Ведь ниоткуда, кроме как из наших привычек и нашего воображения, не следует, что никакие отношения, отличные от евклидовых, невозможны. Например, почему теорема Пифагора не могла бы выполняться только приближенно или длина окружности была бы не в точности пропорциональна радиусу? И если в пределах обычного земного опыта эти отличия ничтожны, то почему бы они не могли обнаружиться в звездных или атомных масштабах?

Таких вопросов не задавал никто, они могли казаться нелепыми и невозможными, пока их не задали себе в начале прошлого века независимо друг от друга два великих математика К. Гаусс и Н. И. Лобачевский. Попытки обнаружить отклонения от евклидовой геометрии не дали тогда никакого результата. Но 100 лет спустя их догадки оправдались: теперь можно считать точно установленным, что в космических масштабах геометрия реального пространства несколько отлична от евклидовой.

37.4. Геометрия Лобачевского

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельных. От других аксиом она отличалась своей сложностью: в принятой теперь формулировке она говорит о всей бесконечной прямой, не пересекающей данную, а в формулировке самого Евклида была гораздо сложнее остальных. Поэтому возникли попытки вывести ее из остальных предпосылок геометрии. Этим занимались на протяжении более 2000 лет многие математики, но все напрасно. Некоторым казалось, что они

достигли цели, но потом выяснилось, что они лишь заменяли аксиому Евклида другой равносильной аксиомой.

Пытались доказать аксиому параллельных методом от противного: прийти к противоречию, предполагая противоположное ей утверждение. Но противоречие не получалось.

Наконец в начале XIX в. одновременно у нескольких математиков возникла мысль, что противоречия и не может получиться, что мыслима геометрия, в ко

торой выполняется аксиома: на ПЛОСКО- н. И. Лобачевский сти через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Первым выступил с этой идеей Н. И. Лобачевский (1792— 1856). В 1826 г. он сделал об этом доклад в Казанском университете (где он учился и работал всю жизнь). В 1829—1830 гг. вышла его первая обширная работа, посвященная новой геометрии. В 1832 г. была опубликована работа венгерского математика Яноша Бойаи (1802—1860) с теми же, в общем, результатами. Гаусс, придя одновременно к тем же выводам, не решился их опубликовать, опасаясь, как он сам объяснял, быть непонятым и подвергнуться нападкам. Опасения были справедливыми. Лобачевский и Бойаи остались непонятыми почти всеми математиками того времени: Лобачевский подвергался насмешкам, а некоторые считали его чуть ли не сумасшедшим. Однако он имел силу убеждения и мужество развивать новую геометрию и публиковать все более развернутые ее изложения. В последние годы жизни, уже ослепший, он продиктовал еще одну книгу о новой геометрии. Когда же после его смерти она была, наконец, понята, ее во всем мире стали называть геометрией Лобачевского, а самого Лобачевского даже сравнивали с Коперником; и справедливо, потому что Лобачевский произвел в геометрии величайший переворот. До него веками без тени сомнения было принято всеми, что есть и мыслима только одна геометрия — та, основы которой изложены у Евклида. А Лобачевский опрокинул это всеобщее убеждение: наряду с евклидовой геометрией он построил другую — неевклидову.

Но нельзя очень порицать современников. Можете ли вы представить себе, чтобы через одну точку проходили две прямые, параллельные данной? Посмотрите на рисунок 346: конечно же, прямые, а, Ъ пересекут прямую с. Значит, геометрия Лобачевского — вымысел и быть такой не может. Однако это заключение слишком поспешно. Сам Лобачевский исходил из убеждения, что реальные пространственные отношения могли бы несколько отличаться от того, что дает евклидова геометрия. Но у Лобачевского это была только гипотеза; возможный реальный смысл его «воображаемой» геометрии оставался неясным, и, строго говоря, не было доказано, что в ней нет никакого логического противоречия.

Вскоре были найдены простые модели геометрии Лобачевского на плоскости и в пространстве. Выяснилось, что ничего невообразимого и невозможного в ней нет; нужно только правильно ее понять. Тогда же она была включена в более общую теорию, созданную Бернхардом Риманом (1826—1866).

37.5. Многомерное пространство

Идея пространства с числом измерения больше трех зародилась еще до XIX в., но основы геометрии таких пространств были созданы к середине XIX в.

В прямоугольных координатах в обычном пространстве точка задается тремя координатами. Представим себе точки, задаваемые каждая п координатами (xi, Хг, , х_я). Между ними можно определить расстояние так же, как в обычном пространстве:

IXY | = д/'(х । — г/1 )² + (х₂ —1/₂)² +. + (х„ — у_п)².

Так получается «n-мерное евклидово пространство». Его геометрия аналогична обычной стереометрии — геометрии трехмерного евклидова пространства. Можно определять расстояния иначе, и тогда будут получаться другие п-мерные пространства.

37.6. Топология

Еще один путь, по которому шло обобщение геометрии, проходил через разделение разных свойств фигур. Самое основное из них — прикосновение. На это указал еще Лобачев-

скии, когда писал, что прикосновение составляет основное свойство тел и дает им название геометрических, когда удерживают это свойство, отвлекаясь от всех остальных. Так, разные части целой фигуры прикасаются друг к другу, фигура прикасается к своим граничным точкам.

Например, для всякого выпуклого многогранника выполняется теорема Эйлера: если е — число вершин, k — число ребер, / — число граней, то е — k-\-f=2. (Вообще для всякой сети на плоскости из хотя бы криволинейных отрезков, не распадающейся на отдельные сети, выполняется такое же соотношение, если k — число «отрезков», f — число ограниченных ими областей (включая и бесконечную часть плоскости.) Форма отрезков и ограниченных ими областей не играет там никакой роли. Важно только прикосновение: поскольку отрезков сходится в вершине сети и по скольку отрезков «прикасается» к областям, ограничивая их. Можно деформировать сеть любым способом, лишь бы эти свойства сохранялись.

Свойства фигур, основанные на «прикосновении», — это такие их свойства, которые сохраняются при любых обратимых и непрерывных (в обе стороны) отображениях, т. е. при отображениях, происходящих без склеиваний и разрывов.

Со временем эти свойства фигур стали предметом специальных исследований и учение о них выделилось в особую область геометрии, названную топологией, а сами указанные свойства получили название топологических. В начале нашего века возникло общее понятие топологического пространства как такого, где определено только прикосновение фигур (или для любой фигуры — ее «точки прикосновения»; прикосновение фигур определяется тем, что одна содержит «точки прикосновения» другой).

Топология приобрела большое значение и рассматривается как особая область математики, выделенная из геометрии. Значение ее основано на том, что она изучает самые основные свойства пространства и других математических объектов — свойства непрерывности.

Геометрия возникла из задач измерения, а изучение геометрических величин, их соотношений составляет главный предмет элементарной геометрии. Но в топологии измерение не играет в принципе никакой роли; топология является не количественной, а качественной частью математики.

37.7. Другие геометрии

Еще раньше, чем топология, в геометрии определились другие ее части, тоже основанные на особых свойствах фигур.

Например, при параллельном проектировании с одной плоскости на другую длины, вообще говоря, изменяются, но параллельные прямые Тьере ходят в параллельные, отношения параллельных отрезков сохраняются, а вместе с ними сохраняются все зависящие от них свойства фигур. Учение об этих свойствах выделяется в особую область, называемую аффинной геометрией.

При центральном проектировании (проектировании из точки) параллельность не сохраняется, но прямые переходят в прямые и сохраняются связанные с этим свойства фигур. Такие свойства называют проективными. Учение о них образует проективную геометрию. Она имеет значение в связи с изображением фигур в перспективе.

До этого речь шла о параллельном или центральном проектировании с плоскости на плоскость и соответственно об аффинной и проективной геометрии плоскости. Но можно их обобщить на пространство, и притом любого числа измерений. Именно к аффинной геометрии относятся те свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях, переводящих прямые в прямые и параллельные в параллельные, а к проективной геометрии относятся свойства, сохраняющиеся при преобразованиях, переводящих прямые в прямые без условия сохранения параллельности. (Книга «О проективных свойствах фигур» французского геометра Жана Понселе (1788—1867) вышла в 1822 г.) Соответственно определяют пространства аффинное и проективное.

37.8. Основания геометрии

Если какое-либо пространство определяется аксиомами, или, как говорят, системой аксиом, то обязательно встает вопрос: возможно ли такое пространство, нет ли в принятых аксиомах противоречия?

В отношении пространства элементарной геометрии вопрос не вставал, потому что оно представлялось уже данным и дело шло о его изучении. Но когда Лобачевский заменил аксиому параллельных на противоположную, вопрос возник со всей остротой: а нет ли тут противоречия, возможна ли, в самом деле, неевклидова геометрия? Вопрос был решен положительно предъявлением соответствующей модели; первую дали поверхности, внутренняя геометрия которых совпадает с геометрией Лобачевского (в области на его плоскости).

Таким образом, первое, обязательное условие для любой системы аксиом — это ее непротиворечивость. Она доказывается предъявлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Второе условие состоит в том, чтобы аксиомы действительно давали основание, соответствующее теории, т. е. чтобы все свойства того пространства или тех пространств, которые рассматриваются в теории, вытекали из аксиом, а не домысливались, помимо аксиом.

Конечно, нельзя абсолютно все выразить явно в аксиомах, но то, что подразумевается, должно быть по крайней мере общепризнанным, чтобы уж не требовать определения в аксиомах. Например, мы говорим: через две точки проходит прямая, подразумевая, что смысл слова «две» общепризнан. Вообще обычно подразумевают понятие действительного числа известным. Конечно, необходимо стремиться к тому, чтобы подразумевать как можно меньше и чтобы подразумеваемое можно было действительно считать не требующим определения, как общепризнанное и общепонятное.

У Евклида и всех геометров до конца прошлого века многое подразумевалось как само собой понятное, например свойства расположения точек на прямой и плоскости, что точка разбивает прямую на два луча, что из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими, что прямая разбивает плоскость. Тогда не возникало мысли выразить это явно в аксиомах, это стали делать лишь к концу XIX в., и в 1899 г. немецкий математик Давид Гильберт (1862— 1943) дал полную с современной точки зрения систему аксиом евклидовой геометрии.

У него уже ничего не подразумевается, кроме основных логических понятий. Его «Основания геометрии» начинаются словами: «Мы мыслим три вида вещей, которые называются точками, прямыми, плоскостями». Тут ничего не подразумевается, кроме самого общего понятия «вещь», как то, что обозначается в языке именем существительным. Дальше называются основные отношения, как «точка лежит на прямой» и др., и опять ничего не подразумевается, кроме общего понятия отношения. Свойства отношений явно формулируются в аксиомах, и наглядный их смысл не подразумевается.

Система аксиом Гильберта была потом еще усовершенствована и были даны также другие системы аксиом в том же

строгом духе.

Когда предмет аксиом не подразумевается и речь идет о «некоторых вещах», «некоторых отношениях», то встает вопрос о непротиворечивости. Он решается указанием модели на основе действительных чисел (точка плоскости — это пара чисел (г, у), прямая — это уравнение ах-}- by-|-с = 0 с точностью до общего множителя и т. д.).

Второй вопрос касается так называемой полноты системы аксиом: вполне ли она определяет одно пространство, так что к ней уже нельзя добавить — никаких новых аксиом.

Третий вопрос — о независимости аксиом: нет ли среди них лишних, которые можно было бы вывести из других? Это требование у Гильберта сначала еще не было полностью выполнено, его систему довели до совершенства позже.

Теперь имеется непротиворечивая полная система независимых аксиом элементарной геометрии, в которой подразумеваются только основные логические понятия.

Однако при всех этих уточнениях что-то все же подразумевается, и потому вопросы о дальнейшем уточнении системы аксиом не могут быть полностью сняты. Не решается до конца и вопрос непротиворечивости, потому что его решение опирается на какие-то предпосылки, которые сами требуют доказательства непротиворечивости, и т. д. Если Гильберт доказывал непротиворечивость своих аксиом числовой моделью, то сама теория действительных чисел нуждается в доказательстве непротиворечивости. Словом, нет ни в какой науке, ни в самой строгой математике окончательной непротиворечивости, окончательной абсолютной истины. Математика, как все человеческое познание, движется не только в ширь новых открытий и результатов, не только в высь новых теорий, но и в глубину оснований, и за одной достигнутой их глубиной лежит еще другая. Некоторые ученые могут думать, что достигли полной строгости, но приходят другие, более глубоко мыслящие, и задают новые вопросы, и ищут новые решения.

В современной геометрии та или иная система аксиом определяет, как правило, не одно единственное пространство, а класс — некоторый вид пространств, например метрические пространства. Тут полноты системы аксиом заведомо нет, к ней можно добавлять новые аксиомы, выделяя другие классы пространств, как из всех метрических пространств можно выделить, например, евклидовы, а из них именно трехмерное евклидово пространство элементарной геометрии.

37.9. Геометрия и действительность

Отношение геометрии, как и всей математики, к опыту, к данной в нем реальной действительности сложно.

Геометрия возникла из практики, как практическая опытная наука о пространственных формах и отношениях реальных тел. Она явилась, можно сказать, первой главой физики, за которой следовала как вторая глава механика — наука о движении тел: если геометрия трактует взаимное расположение тел, то механика — его изменение.

Однако геометрия постепенно отделилась от опыта, ее предмет составили уже не реальные, а идеальные фигуры. Обращение к опыту, даже к чертежу, было исключено из ее аргументов; доказательство теоремы дается путем одного рассуждения. Это понятно: с идеальными фигурами нельзя

ставить опыты, их нельзя ни сделать, ни нарисовать, их в их идеальности можно только мыслить.

Это отделение геометрии от действительности особенно четко проявилось, когда были открыты несоизмеримые отрезки.

Содержание теоремы Пифагора было известно задолго до Пифагора как опытный факт, как закон реальной геометрии, подобно любому закону физики. По этому закону отношение диагонали квадрата к его стороне равно -\/2. Диагональ и сторона несоизмеримы: нет отрезка, укладывающегося в них по целому числу раз.

Но это последнее утверждение не имеет смысла, проверяемого на опыте, потому что абсолютно точное измерение невозможно. Оно вообще не имеет реального смысла, так как никакие реальные предметы не имеют абсолютно точных размеров, никакая реальная длина не может быть абсолютно точно фиксирована, поскольку тела состоят из частиц, не имеющих вполне определенных размеров.

Таким образом, исходя из твердо установленного опытного факта, геометрия делает вывод, не имеющий реального смысла. Физики отбросили бы такой вывод как ненужный и бессмысленный, а математики удержали его, и, мало того, они построили теорию отношений несоизмеримых величин, затем истолковали эти отношения как новый вид чисел — как иррациональные числа, потом на этой почве развили математический анализ и т. д.

Что тут происходило? Во-первых, выводу из опыта был придан абсолютно точный смысл. Во-вторых, из него был сделан логический вывод, затем на этом выводе шло восхождение к новым отвлеченным понятиям.

Такова особенность и сущность математики вообще. Всякой науке свойственна абстракция, но во всех других науках их абстракции сверяются с опытом, им йе придается самостоятельного значения. В математике же они принимаются в их идеальном существовании.

Евклидова геометрия сложилась, таким образом, как наука об идеальных фигурах, и вместе с тем казалось, она абсолютно точно соответствует свойствам реального пространства — реальным пространственным отношениям. Однако это убеждение было подвергнуто сомнению Лобачевским и Гауссом и опровергнуто современной физикой — ее выводами из общей теории относительности Эйнштейна. Евклидова геометрия, возникнув из опыта и отделившись от него в своей идеальной точности, пришла с ним хотя бы в некоторое несоответствие. Но это ничуть не затрагивает ее как часть чистой математики, потому что в этом смысле она представляет собой систему логических выводов из аксиом независимо от их возможного отношения к действительности.

Произошло раздвоение единой геометрии на чисто математическую геометрию с ее единственным условием логической точности и на геометрию как физическую теорию, как учение о свойствах реального пространства, сверяемое с опытом, что присуще всякой физической теории. Эту геометрию реального пространства в космических масштабах трактует космология, основанная на общей теории относительности и известных данных о строении Вселенной.

Во всем этом есть как бы противоречие: идеально точная евклидова геометрия оказалась неточной. Возникнув как опытная наука, она превратилась, можно сказать, в собственную противоположность — в науку, которая сама по себе не заботится о соответствии с опытом. Такие реальные противоречия, такие переходы в противоположность, такое раздвоение единого — единой геометрии — охватываются общим понятием диалектики.

В. И. Ленин писал: * Раздвоение единого и познание противоречивых частей его. есть с у т ь. диалектики.

Правильность этой стороны содержания диалектики должна быть проверена историей науки.» (Поли. собр. соч.— т. 29.— с. 316).

Так, в истории науки единая геометрия раздвоилась на противоречивые части, разошедшиеся в чистую математику и в физику.

Сочетание двух взаимно противоположных сторон геометрии проходило через весь наш курс с самого начала. Мы постоянно ссылались на него и вместе с тем старались вести строго логические выводы из аксиом без ссылок на опыт, чертежи и пр.

Всякая теория чистой математики, взятая именно в этом ее качестве чисто математической теории, является системой логических выводов, и ее собственная математическая истинность состоит только в ее непротиворечивости. Но вместе с тем она имеет смысл и значение только в меру того, насколько она так или иначе, прямо или косвенно через другие теории, служит познанию действительности и овладению ею в практике.

Математические теории можно уподобить станкам, значение которых состоит в том, чтобы делать нужные людям вещи, сами же по себе они не нужны. Но как станку нужна точная и прочная структура, так и чистой математике нужна логическая строгость — прочность ее структуры. В станке непосредственно работает один резец, но без станка в целом он не будет хорошо работать. Так и в математике: непосредственно применяться в практике могут отдельные ее части и выводы, но, чтобы обеспечить точность их применений, нужны целостные математические теории, вся логическая структура математики в целом. Сказанное определяет отношение

к действительности «геометрии» разных пространств: они служат теоретическим средством для других наук.

Представим себе, например, какую-нибудь физическую систему, будь то машина, газ в данном сосуде, атом кислорода или даже отдельная частица — электрон. Система может находиться в разных состояниях. Множество всех ее возможных состояний образует то, что в физике называют фазовым пространством системы. Оно характеризует свойства системы. Для его теоретического описания, для выводов, его касающихся, полезной и важной оказывается подходящая «геометрия» из арсенала отвлеченных геометрий разных пространств. (Пространство состояний квантовой системы даже бесконечномерно.)

В частности, общее понятие метрического пространства оказывается полезным, когда определяют «расстояние» между «вещами» или явлениями одного и того же рода как меру того, насколько одно отлично от другого. Например, определяют расстояние между двумя цветами (ощущениями цвета), характеризующими степень их различия. Множество всех цветов (цветовых ощущений) оказывается, таким образом, некоторым метрическим пространством. Это пространство на самом деле рассматривают в науке — в цветоведении, оно характеризует цветное зрение человека. Кстати, оно трехмерно, так как каждое ощущение цвета — цвет можно получить как комбинацию трех основных ощущений — цветов: красного, зеленого и синего. Это записывают в виде Ц = хК + -j- уЗ -j- zC, где х, у, z — интенсивности красного, зеленого и синего в каких-либо единицах.

Но самый яркий пример применения отвлеченной геометрии — это общая теория относительности, математическим аппаратом которой послужила общая теория пространств. Начала этой теории были заложены немецким математиком Риманом за 60 с лишним лет до создания общей теории относительности. Выросшая на почве математических абстракций, теория вернулась к исходной геометрической действительности как орудие ее более глубокого познания.

«Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов etc. каковые понятия, законы etc., и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы.» (Л е- н и н В. И. Поли. собр. соч.— т. 29.— с. 163—164).

Движение познания бесконечно.

предметный указатель

Аксиома 247

Аксиома о прямой и плоскости 9

— пересечения плоскостей 8

— плоскости 7

— разбиения пространства плоскостью 11

— расстояния 10

Антипризма 160

Апофема правильной пирамиды 98

Ближайшие точки фигур 74, 81

Боковая грань пирамиды 4, 150

---- призмы 150

— поверхность конуса вращения 145

---- пирамиды 150

---- призмы 133

---- цилиндра вращения 129

--- усеченного конуса вращения 146

Боковое ребро пирамиды 4, 150

---- призмы 134

Большая окружность сферы (шара) 107

Вектор 216

— нормали к плоскости 230

— нулевой (нуль-вектор) 216

Векторы параллельные (коллинеарные) 217

— перпендикулярные 229

— противоположно направленные 217

— сонаправленные 216

Величина векторная 216

— двугранного угла 95

Вершина конуса 142

— многогранника 157

Вершина пирамиды 4

Винтовое движение (винт) 238

Внутренность фигуры 241

Внутренняя точка фигуры 241

Выпуклая фигура 190

Высота конуса 143

— пирамиды 33, 150

— усеченного конуса 145

— цилиндра (призмы) 83, 128, 134

Гипербола 147

Гомотетия 236

Граница фигуры 241

Граничная точка фигуры 240

Грань двугранного угла 94

— многогранника 156

Движение (перемещение) фигуры 119

Двойственные правильные многогранники 159

Двугранный угол 94

Диаметр сферы 102

— шара 102

Диаметрально противоположные точки сферы 102

Додекаэдр 158

Замкнутая область 243

Зеркальный поворот 163, 238

Икосаэдр 158

Касательная плоскость к сфере 106

Конические сечения 146

Конус 142

— вращения 144

— прямой круговой 144

Координаты прямоугольные (декартовы) 207

Куб 3, 158

Линейный угол двугранного угла 95

Многогранник 156

— выпуклый 157

— описанный вокруг тела 190

— правильный 158

Наклонная к плоскости 33

Направление проектирования 70

Направленный отрезок 216

Образующая конуса 143

— цилиндра 127

Объем конуса 180

— пирамиды 180

— призмы 180

— простого тела 171

— прямого цилиндра 172

— шара 181

Ограниченная фигура 169

Октаэдр 158

Описанный многогранник 109, 190

Опорная плоскость 106

Ортогональное проектирование 69

Осевая симметрия в пространстве 118

Оси координат 207

Основание конуса 142

— пирамиды 4

— призмы 26

— цилиндра 127

Основные понятия теории 163

Ось поворота 140

— симметрии 114

— симметрии фигуры порядка п 163

Отображение (преобразование) 117

Отражение в плоскости 118

Парабола 146

Параллелепипед 4, 26

— прямой 136

— прямоугольный 3

Параллельная проекция точки на плоскость 70 фигуры на плоскость 71 Параллельное проектирование 70

Параллельные плоскости 9

— прямая и плоскость 9

— прямые 19

Параллельный перенос 235

Перемещение (движение) фигуры 119

Пересекающиеся плоскости 8

— отрезки 16

— прямая и плоскость 9

Перпендикуляр к плоскости 32

Перпендикулярность плоскостей 51 — прямой (отрезка, луча) и плоскости 32

Пирамида 4

— л-угольная 150

— правильная 4, 151

Плоскость 7

— перпендикуляров к прямой 38 — симметрии 115

Площадь боковой поверхности конуса вращения 192

--- усеченного конуса вращения 193

-------- цилиндра вращения 192

— поверхности 190

— простого участка 171

— сферы 191

Поворот фигуры вокруг прямой 140, 237

Подобие 239

Полупространство 11

Построения в пространстве 23

Преобразование симметрии 117

— фигуры 117

Призма 26, 133

— п-угольная 26

— правильная 27, 134

— прямая 27

Проекция точки (фигуры) на плоскость 69

Простое тело 169

Пространство 245

Прямая 8, 245

Равенство фигур 10

Равные фигуры 10

Радиус шара (сферы) 102

Разность векторов 219

Расстояние между точками 10

Расстояние между фигурами 82 — от точки до фигуры 74 Ребро двугранного угла 94 — многогранника 157

Сечение фигуры плоскостью 9 Симметрия зеркальная 114 — осевая 118 — фигуры 161 — центральная ИЗ, 118 Система аксиом 247

Скалярное произведение векторов 229

Скалярный квадрат вектора 229

Скользящее отражение 238 Скрещивающиеся прямые 20 Слой между плоскостями 83 Составляющие векторЬ 219 Сумма ректоров 218 Сфера 102 — вписанная в многогранник 109 — описанная около многогранника 109

Тело 242

Теорема 248 — о ближайшей точке 75 — о трех перпендикулярах 76 Тетраэдр 4 — правильный 4, 158

Угол между векторами 229

---- лучами 89

---- плоскостями 95

---- прямой и плоскостью 94

---- прямыми 91

— поворота 140

Умножение вектора на число 221

Уравнение плоскости 230

— сферы 210

Усеченная пирамида 151

---- правильная 151

Усеченный конус 145

---- вращения 146

Утверждение единственности 23

— существования 23

Участок 170, 243

Фигура вращения 116

Центр шара (сферы) 102

Цилиндр 127

— вращения 129

— прямой 128

---- круговой 129

Шар 102

Элементы симметрии 163

Эллипс 146