Дополнительные главы по курсу математики 10 класса для факультативных занятий (Скопец) 1970 год - старые учебники

§ 1. Первоначальные понятия теории вероятностей 63

§ 2. Применение формул числа' перестановок и сочетаний к вычислению вероятностей 74

§ 3. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий . 84

§ 4. Геометрические вероятности 96

§ 5. Повторные независимые испытания с двумя исходами 104

Ответы 113

Г. Б. ХАСИН. Многочлены и их корни 115

§ 1. Основные понятия 115

§ Делимость многочленов 121

§ 3. Алгоритм деления с остатком * 123

§ 4. Теорема Безу и следствия из нее . ^ 128

§ 5. Теорема Виета 137

§ 6. Рациональные корни многочленов 144

§ 7. Кратные корни 149

§ 8. Производный многочлен и его свойства 152

§ 9 Разные задачи 159

Отвечы и решения . 161

1. А. СКОПЕЦ. Задачи по общему курсу математики IG4

I

$ 1. Параллельность и пропорциональность на плоскости и в пространстве 164

| Площади и объемы 169

§ 3. Разные задачи 171

II

§ 4. Метрические задачи планиметрии 173

§ 5. Центральная и осевая симметрия на плоскости 174

§ б. Трехгранный угол 176

$ 7. Геометрические места 173

§ 8. Неравенства . , 179

§ 9. Перпендикулярность на плоскости и в пространстве . 181

§ 10. Конструктивные задачи . 183

6_П. Площади и объемы 184

§ 12. Окружность и сфера 185

5 13. Цилиндрическая и коническая поверхности . „ 187

§ 14. Разные задачи 188

III

§ 15. Делимость чисел 190

§ 16. Суммы и последовательности 191

§ 17. Числовые тождества 192

§ 18. Неравенства 193

§ 19. Уравнения 194

§ 20. Функции и графики 195

| 21. Наибольшие и наименьшие значения функции • . 196

§ 22. Метод математической индукции 197

§ 23. Геометрические приложения комплексных чисел 198

Ответы и указания к решению . * . 199

Предисловие

По курсу десятого класса в программе факультативных занятий значатся’ такие темы: 1) Интеграл (12 часов), 2) Начало теории вероятностей с элементами комбинаторики (18 часов), 3) Алгебраические уравнения любой степени (.8 часов), 4) Тема по выбору преподавателя (10 часов), 5) Решение задач по общему курсу математики (22 часа).

Чтобы сосредоточить внимание на первых трех темах, рекомендуем 10 учебных часов, отведенных на изучение четвертой темы, разделить между первой и третьей темами с таким расчетом, чтобы на изучение каждой из этих тем приходилось по 15 уроков. Кроме того, не меняя по содержанию третью тему, мы ее называем так: «Многочлены и их корни».

В предлагаемом учебном пособии содержится теоретический материал с упражнениями по указанным трем темам, а также сборник задач по всем основным разделам общего курса математики. Сборник задач содержит преимущественно задачи по стереометрии, решение которых должно в первую очередь способствовать развитию пространственных представлений и выработке умений применять знания по алгебре и тригонометрии к решению геометрических задач.

В теме «Интеграл» излагается понятие определенного интеграла и его приложения к геометрии, механике и физике.

Определенный интеграл на данном сегменте рассматривается как приращение первообразной функции на этом сегменте. Это позволяет в доступной для учащихся форме ввести понятие интеграла, изучить некоторые его свойства.

Специальные приемы нахождения первообразных не рассматриваются. Рекомендуется использовать функции, первообразные которых непосредственно угадываются на основании известной учащимся 'таблицы производных. В отдельных случаях, в связи с решением задач ^например, при вычислении площади круга, эллипса и др.), эта таблица может быть расширена.

Весь теоретический материал иллюстрируется решением примеров и задач. Предложенные упражнения и задачи могут служить материалом для классных и до-машних занятий.

Время, отведенное программой факультативных занятий на изучение интеграла, вряд ли позволяет охватить весь предложенный материал. В первую очередь из приложений интеграла в план занятий естественно включить вычисление площади и объема, длины пути, пройденного телом при прямолинейном неравномерном движении, массы стержня (или величины тока и работы переменной силы). Если количество часов на изучение этой темы может быть увеличено, то рекомендуем рассмотреть другие приложения интеграла, в частности обосновать принцип Кавальери и вывести формулы Симпсона.

Прежде чем перейти к изучению интеграла, учащиеся должны повторить понятие предела функции, ее непрерывность и таблицу производных.

Изучение начал теории вероятностей предполагается начинать с беседы, в которой на интересных примерах раскрывается содержание этого раздела мате-матики.

Первый параграф темы посвящен начальным понятиям теории вероятностей (элементарное событие, случайное событие, схема испытания, вероятность). Формирование ©тих понятий осуществляется путем разбора достаточного числа специально подобранных упражнений.

Второй параграф знакомит учащихся с элементами комбинаторики и вычислением вероятностей при помощи непосредственного подсчета всех возможных исходов испытания и исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию. Изложение этого материала сопровождается решением большого количества задач. Помимо формул числа перестановок и сочетаний без повторений, включены и формулы числа перестановок с повторениями, применение которых* позволит значительно расширить число решаемых задач. Эти формулы находят применение при изучении схемы повторных независимых испытаний и выводе формулы бинома Ньютона.

В третьем параграфе рассматриваются теоремы о вероятности суммы и произведения событий и основанные на них задачи. Большое внимание уделяется выполнению операций над событиями на основе решения соответствующих подготовительных упражнений.

Достаточное внимание уделено геометрическим вероятностям. При решении задач этой темы появляется возможность повторить вопросы предыдущего параграфа.

Изучение схемы повторных независимых испытаний позволяет решить много интересных задач. Здесь дается вывод формулы Бернулли. Однако эту формулу можно предложить и без ее вывода, но так, чтобы необходимость этой формулы следовала из разбора специально подобранных задач.

Тема «Многочлены и их корни» содержит по существу два раздела: 1) Операции над многочленами (§ 1—6) и 2) Свойства корней многочлена (§7—10). Эта тема не должна вызвать особых затруднений, так как понятие многочлена (линейного и квадратного) и его корней встречается при изучении различных разделов обязательного курса алгебры.

Задачи по общему курсу математики предназначены для повторения всего курса математики средней школы. Большинство из них не требует знакомства с материалом, не входящим в курс средней школы. В тех немногих случаях, когда для решения целесообразно применить не предусмотренную программой теорему, эта теорема приводится в виде задачи и дается ее решение. Это касается, например, теоремы Менелая для треугольника и косого (не плоского) четырехугольника и теоремы косинусов и синусов трехгранного угла.

Для развития умения обобщать теорему наряду со стереометрическими задачами предложены также планиметрические. Содержание последних обобщается в стерео-метрических задачах.

Почти ко всем задачам даны краткие указания, ответы или решения, в которых из-за недостатка места, естественно, не приводится полное исследование возможных случаев, допускаемых условием задачи. Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой.

ИНТЕГРАЛ

М. А. Доброхотова, А. Н. Сафонов

Понятие производной, как мы знаем, имеет большое практическое значение. Так, зная закон прямолинейного движения, мы находим скорость его как производную пути по времени; зная *закон распределения массы пря молинейного стержня, мы находим его плотность как производную массы по длине. По уравнению кривой с помощью производной мы можем определить угловой коэффйциент касательной и т. д.

Но приходится решать и обратную задачу: по известной скорости неравномерного прямолинейного движения устанавливать закон его движения или находить длину пройденного пути; по заданному угловому коэффициенту касательной к кривой находить уравнение этой кривой Другими словами, приходится искать (восстанавливать) функцию по заданной ее производной.

Далее, из курса геометрии известно, как найти площадь многоугольника, круга и его частей, объем пирамиды, шара. Но в практике часто приходится искать площади фигур, ограниченных различными кривыми,— дугами парабол, гипербол и т. д., а также объемы тел более сложных форм.

Необходимость отыскания функции по заданной производной, а также потребность создать общий метод для вычисления площадей, объемов, работы и т. п. приведи к созданию интегрального исчисления.

Возникновение интегрального исчисления, как и дифференциального, относят обычно ко второй половине XVII века и связывают с именами английского матема-тика и механика И. Ньютона и немецкого математика и философа Г. Лейбница. Дальнейшее' развитие интегральное исчисление получило в трудах ученых различи ных стран. В России интегральное исчисление разрабатывали Л. Эйлер, М. В. Остроградский, П. Л. Чебышев, а в последние десятилетия Н. Н. Лузин, А. Я- Хинчин, А. Н. Колмогоров и др.

§ I. Первообразная Функция а

Решим такую задачу

Задача. Тело движется прямолинейно со скоростью о=2/ Найти закон движения, если за две первые секунды тело прошло 15 м.

Решение. Искомый закон движения выражается функцией, связывающей длину пройденного пути со временем.’ Обозначим эту функцию через S(t). Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени v — S'(t). В данном случае 5'(/)=2/. Таким образом, нам нужно найти функцию S(/), зная ее производную по времени и ее значение при / = 2; 5(2)= 15.

Легко проверить, что производная каждой функции

S=/» + C, (1)

где С —произвольная постоянная, равная 2/.

Для решения нашей задачи годится не всякое значение С. Например, если бы мы взяли С =100, то получили бы функцию S = t2 4-100, значение которой при t — 2 равнялось бы 104, в то время как по условию задачи, при / = 2 значение S’ должно равняться 15.

Чтобы найти значение произвольной постоянной, используем условие: при / — 2 сек получаем 5=15 м.

Подставив эти значения / и 5 в равенство (1), получим 15 = 4 4-С, откуда С=11. Функция 5 = t24- 11 выражает искомый закон движения, ибо скорость этого движения равна 2i и при / = 2 имеем S=15. ■

При решении рассмотренной задачи мы сначала искали по производной. 5'» 2/ саму функцию. Таких функций

оказалось бесконечное множество. Это функции S = t2 + С, где <7 может равняться любому действительному числу. Затем из этого множества функций мы выбирали ту, которая при t = 2 принимает значение, равное 15. Ею оказалась функция S= I2 + 11. Но мы все же не можем пока утверждать, что найденное решение S — t2 + 11 является единственным, так как мы еще не знаем, является ли множество функций (1) множеством всех функций, производная которых равна 2/.

Отыскание множества всех функций, производная каждой из которых равна заданной функции, составляет одну из задач интегрального исчисления.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на сегменте [а, Ь], если в любой точке этого сегмента ее производная равна f(x):

F'(x) = f(x), х£[а,Ь].

Например, функция S=/2 + C в рассматриваемой задаче является первообразной для функции t' = 2/, так как S'(t) — 2t для всех значений t.

Убедимся, что функция F(x)——cosx + C, где С — произвольная постоянная, является первообразной для функции f(x)— sinx на любом сегменте. Для этого найдем производную F(x). Имеем: К'(х) = (—cosx + C)'” •=(—cosx)' + С = sin х= f(x).

Найти первообразные функций:

а) f(x)=2x; б) /(х) = 4х3+1; в) f(x)”cosx.

Нетрудно сообразить, что первообразными этих функций являются функции: a) F(х)=х2+С,1 б) /?(х)—х4+х+С; в) F(x) = sin x-f-C — при любом значении х и при любом С.

Как видим, если функция f (х) имеет на сегменте (а, t>] первообразную F(x), то она имеет на этом сегменте бесконечное множество первообразных F(x) + C, получаемых при различных значениях С. Возникает вопрос, содержит ли множество F(x) + C, где С можно взять равным любому действительному числу, все первообразные функции /(х).

Известно, что производная постоянной равна нулю. Оказывается, справедливо и обратное утверждение, которым мы и воспользуемся, для отыскания множества всех первообразных заданной функции.

Лемма. Если производная функции на некотором сегменте равна тождественно нулю, то функция на этом сегменте сохраняет постоянное значение.

Доказательство леммы выходит за пределы нашей программы, и мы примем ее без доказательства.

Теорема. Если функция F (х) является! первообразной для функции f(x) на сегменте [а, Ь], то множество функций F(x) + C, где С—произвольная постоянная, со-держит все первообразные функции f (х) на этом сегменте.

Доказательство. Пусть G(x)—другая произвольная первообразная функции /(х) на том же сегменте, т. е. пусть G'(x)=f(x), х£[а, 6]. Убедимся, что первообразная G(x) содержится в множестве Г(х)4-С.

Рассмотрим функцию:

C/(x)=G(x)-F(x). (2)

Ее производная на сегменте [а, 6] тождественно равна нулю:

U' (х) = G' (х)—F’ (х) = f (х)—f (х) = 0.

По лемме функция U (х) на сегменте [а, &] сохраняет постоянное значение. Обозначим его через Сх:

U(x)=Clt х£[а, Ь]. (3)

Из равенств (2) и (3) получим: G(x)=. F(x)4-C1. Следовательно, первообразная функция G (х) на сегменте [а, Ь] отличается некоторой аддитивной1 постоянной от первообразной F(x) и поэтому содержится вх множестве 5(х) + С: G(x)€F(x) + C, что и требовалось доказать.

Упражнения

1. Тело движется прямолинейно со скоростью о==;4/-|-1. Найти закон движения, если за пять первых секунд тело прошло 105 м.

2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку Л (1,2), у которой угловой коэффициент касательной в каждой точке равен Зх2.

Реш е н и е. Значение углового коэффициента касатель-

1 То есть постоянной, которую надо прибавить.

ной к кривой y — f(x) в точке кривой Л(х, у) равно значению производной функции /(х) в точке х:

f (х) = 3х2.

Таким образом, решение задачи сводится к отысканию функции, производная которой равна Зх2 и график которой проходит через точку Л (1,2). Функций, которые имеют производную, равную Зх1, бесконечное множество: у = х9 + С, где С — произвольная постоянная. Используя условие, что кривая проходит через точку А (1, 2), найдем значение С.

Из равенства у = х3 + С при х=Ги у = 2 получим равенство 2=1+С, откуда С=1. Кривая, заданная уравнением t/ = xs+ 1, является искомой. Действительно, кривая проходит через точку 4(1,2), и угловой коэффициент ее касательной в каждой точке равен Зх2.

3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку 4(1, 1), у которой угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен удвоенной абсциссе этой точки.

4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку Л (0, —1), у которой угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен 5.

5. Найти все первообразные функции /(х), если! а) /(х) =—2х; б) f(x) = 5x4; в) f(х) = 10; г) /(х)=-6х + б.

6. Доказать, что если F(x)—первообразная для функции /(х) на сегменте [а, Ь], то в каждой его точке функция у = F(x) + cos х имеет производную. Может ли функция z/=|x| быть первообразной некоторой функции на сегменте [—1, 3]?

§ 2- Таблица первообразных.