Раздел IV. Общая схема исследования функций при построении графиков 65

• 1. Схема исследования функций с использованием производной
• 2. Применение ряда Тейлора к исследованию функций
• 3. Примеры применения общей схемы 65

Раздел V. Элементарные функции (продолжение) 83

Раздел VI. Простейшие неэлементарные функции 89

• 1. Ступенчатые функции
• 2. Кусочно-непрерывные функции
• 3. Графики функций, заданных с помощью пределов 89

Раздел VII. Некоторые специальные функции 103

Раздел VIII. Некоторые статистические функции

• 1. Дискретные распределения
• 2. Непрерывные распределения

Раздел IX. Кривые на плоскости 111

• 1. Основные понятия 111
• 2. Кривые, заданные параметрически ' 116
• 3. Кривые, заданные неявными уравнениями 135
• 4. Кривые, заданные уравнениями в полярных координатах 142

Раздел X. Важнейшие кривые 154

• 1. Алгебраические кривые 2-го порядка 154
• 2. Алгебраические кривые 3-го порядка 156
• 3. Алгебраические кривые 4-го и высших порядков 157
• 4. Трансцендентные кривые 159

Литература 160

Раздел I

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ

• 1. Функция

1. Понятие функции. Пусть D и Е — непустые числовые множества, а х и у — соответственно их элементы. Если каждому x£D ставится в соответствие по некоторому закону, только одно значение yED, то говорят, что между переменными х и (/ существует функциональная зависимость, и называют х независимой переменной (или аргументом), а у зависимой переменной (или функцией).

Символическая запись функции: y=f(x) (х££>).

Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество Е называют областью изменения функции. Говорят еще, что функция f отображает множество D на множество Е. Более строго понятие отображения будет рассмотрено в разд. IX.

Таким образом, символ Дх) обозначает число у, которое в силу закона f соответствует значению xED. Например, Дхо) есть значение функции f в точке х=хо, если xo^D. Если же хо не принадлежит D(xo^D), то говорят, что функция f не определена в точке хо. Для функций f и g, заданных на одном и том же множестве D, можно определить их сумму, разность, произведение и частное. Это новые функции f(x) + g(x), f(x) — g(x), f(x)-g(x), f(x)/g(x)(x^D), где в случае частного предполагается, что g(x)#=0 на D. Если функция f отображает множество D на множество Е, а функция F отображает множество Е на множество G, то функцию z=F{f(x)) называют функцией от функции (или сложной функцией или суперпозицией) f и F. Она определена на множестве D и отображает D на G.

2. Способы задания функции. Функция может быть задана различными способами: табличным, аналитическим (с помощью формулы), описательным и графическим.

Табличный способ состоит в том, что все числовые значения аргумента располагают в одной строке, а значения функции — в другой строке так, чтобы каждому значению аргумента отвечало соответствующее значение функции.

По этому принципу построены таблицы Брадиса и др.

При аналитическом способе функция задается математической формулой, с помощью которой значение у вычисляется по заданному значению X.

Пусть, например, у = х². Положим х=1; тогда получим у=\. Иногда это записывают так: f(l)= 1. При х=2 и х—5 соответственно найдем f(2) = 4 и f(5) = 25.

Рассмотрим другой пример. Пусть у = Igx. Полагая х= 1, х= 10,

х=0,1, соответственно получим f(l) = 0, f(10)=l, f(0,l) = —1. Если не дано каких-либо дополнительных ограничений, то обла

стью определения функции, заданной формулой, считают множество

всех тех значений аргумента, для которого все указанные в формуле операции выполнимы. Так, для функции у=х² область определения D(f) = (—оо, Н-оо); для функции t/=lgx область определения £>(f) = (0, +°°); для функции у=^/\ —х² имеем D(J) = [ — 1, 1]; для

функции i/=arcsinx имеем £>(/) = [ —1, 1]; для функции у = —

имеем £>(/) = (— оо, 2)(j(2, -f-oo).

При описательном способе зависимость между х и у выражается словесным описанием. Например у есть наибольшее целое число, не превосходящее х. Эту функцию принято обозначать [х]. Пусть х=2; тогда [х] = 2. При х=5,3 найдем [5,3] = 5, а при х= = —2,17 получим [—2,17] = —3.

Все перечисленные выше способы страдают одним и тем же недостатком — плохой наглядностью. Наилучшим с этой точки зрения является следующий способ задания функции — графический.

Зададим прямоугольную систему координат ху (рис. 1), на оси х отметим отрезок [а, 6] и изобразим любую кривую L, обладающую следующим свойством: какова бы ни была точка х£[а, Ь], прямая, проходящая через нее параллельно оси у, пересекает кривую L в одной точке. Такая заданная в декартовой прямоугольной системе координат кривая L называется графиком. График определяет функцию y=f(x) на отрезке [а, &] следующим образом. Если х — произвольная точка отрезка [а, 6], то соответствующее значение y = f(x) находится как ордината точки Л4(х, f(x)). Следовательно, с помощью графика задается вполне определенный закон соответствия между х и y=f(x). Вместо отрезка [а, 6] можно рассмотреть интервал, полуинтервал, действительную ось и т. д.

Приведенное определение графика относится исключительно к декартовой прямоугольной системе координат. В дальнейшем (см. разд. IX) будет дано более широкое определение.