История математики (Попов) 1920 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 История математики (Попов) 1920

Назначение: Предлагаемый курс лекций пр истории математики является сокращенной переработкой большого специального труда, на который автор затратил много сил и времени и по независящим от него обстоятельствам лишен возможности его обнародовать, по крайней мере, в ближайшем будущем.

© "Типо-Лит" Москва 1920

Авторство: Г. Н. Попов

Формат: DjVu, Размер файла: 3.63 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3 — 4

 Введение 5 — 10

 Необходимость изучения истории науки и польза этого изучения 10

 Взаимоотношения философии науки и ее истории 24

 Роль истории математики в освещении путей к устранению трудностей, возникающих при решении проблем 41

 История математики, как воспитательный фактор и ее роль в отношении педагогики 53

 Материалы для истории математики и связь ее с историей культуры 74

 Обработка материалов (критика, интерпретация, конструкция, изложение) 80

 

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 Историографический очерк.

 Мифы и предания 102

 Греция 108

 Арабы 132

 Запад. Европа (XVI, XVII, XV1I1 века) 143-190

 

 Успехи историографии в XIX веке.

 I. Проблема общей интерполяции.

 A. Индусы 190

 B. Арабы 200

 C. Китайцы 221

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - История математики (Попов) 1920 года

СКАЧАТЬ DjVu

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 Отсутствие курсов, посвященных этому вопросу, в нашей историко-математический литературе с одной ст раны, потребность, в таковом для слушателей — будущих преподавателей математики с другой — побудили меня к осуществлению в виде этого курса той программы, согласно которой я должен читать лекции.

      Задача курса осветить в общих чертах ту неустанную и кропотливую работу человеческой мысли, которая на протяжении нескольких десятков веков, отделяющих вавилонских и египетских математиков от Лагранжа, Вейер-штрасса и Пуанкаре, создала величественное здание современной математической науки.

      Руководясь тем, что история науки является историей возникновения и развития научных идей в их преемственной связи, я пытаюсь проследить эту связь, начиная с донаучного периода, знакомству с которым приписываю исключительное значение, и в дальнейшем изложении стараюсь разбирать исторические факты, как в их взаимоотношениях, так и в связи с общим ходом культурно исторического процесса.

      Считая свой труд далеким от совершенства, я преследовал единственную цель — быть объективным в изложении фактов и потому не поддавался соблазну проводить исторические аналогии и делать искусственные сближения в целях непременного получения определенных выводов, тем где это по существу трактуемых вопросов могло оказаться натяжкой.

      Но с другой стороны, там, где я по состоянию исто рических данных в отношении разбираемых фактов мог без риска пользоваться вышеуказанными ресурсами — я старался их исчерпать до конца.

      Исключительные, условия спешности составления этого курса могли повлечь за собой неизбежные промахи и за них я заранее извиняюсь перед читателями, но в оправдание мне может служить в этом случае то обстоятельство, что в русской литературе по истории математики, и без того весьма бедной, мой курс является «первым шагом» в направлении разработки фактического материала новыми приемами, сущность которых легко выяснится при чтении.

      При составлении курса мне пришлось пользоваться целым рядом источников, преимущественно иностранных, и, конечно, в первую очередь, трудами Ганкеля, М. Кантора, П, Таннери, Р. Болла, 3. Гюнтера, Цейтлина, Тропке и других, если ограничиться сочинениями общего характера. В самом курсе при историографическом обзоре, а дальше и в тексте я указываю те специальные исследования, (рассеянные, главным образом, по научным журналам) к которым я обращался за справками, не считая первоисточников.

     

      Введение.

     

      «Lignorance et incuriositd sont un mol et doux chevet pour rdposer une t?te bien faite».

      Montaigne.

     

      «Все люди от рождения приносят с собой способности к математике. У одних они развиваются, а у большинства совершенно не развиваются, атрофируются и это зависит только от недостатков обучения и упражнения. Цель этих способностей заключается в постепенном открытии законов, которым подчиняется мир».

      Ламэ.

     

      Математика — самая простая и в то же время самая сложная из всех известных человечеству наук. Это звучит несколько парадоксально, но это так: она проста в своих основных положениях и необычайно сложна в следствиях, логически вытекающих из этих положений.

      Еще Кант высказался определенно в том смысле, что всякую науку можно считать таковой, поскольку в ней есть математика. Отсюда можно вывести во первых, что метафизик, дающий такую трезвую и правильную оценку этой науке, не ставит во главу угла увлечения чисто философскими умозрениями, а во вторых, авторитет такого крупного мыслителя, с суждениями которого считаются до сих пор, дает возможность категорически утверждать, что если в эпоху Канта состояние математических знаний вынудило его признать за ними доминирующее значение, то последующее развитие их показало, что вне математики нет истинной науки. Не в обиду будь сказано представителям многих областей знания, они поневоле читают наукой суррогат таковой, имеющийся в их распоряжении, и чем дальше, чем оторванные область знания (по характеру своих задач и объектов исследования) от математики, тем менее она может претендовать на звание науки. Накопляется опыт, совершенствуются методы, создаются ценные обобщения, с утилитарной точки зрения могут быть достигнуты поразительные результаты — и все же этого недостаточно. История развития научных идей показывает нам на ряде ярких примеров, что только тогда, когда в эту область протягиваются нити, устанавливающие связь с математикой, когда факты и явления начинают поддаваться математическим методам исследования — возникает возможность строго научного обоснования исходных положений. Оставляя в стороне механику, астрономию, физику, как дисциплины, развитие которых тесно связано с расширением и углублением «математики в самой себе», поставим вопрос в самой категорической форме: «Может ли химик, если только он не замкнулся в узкий круг удовлетворения чисто — практическим потребностям, обойтись без математики? Могла ли развиться экспериментальная психология без пользования данными этой науки? Могла ли статистика возвыситься до степени научной дисциплины без заимствований для обработки сырого материала из анализа и теории вероятностей? Знание математики нужно и врачу, и биологу и географу. Нам скажут, что сложность вопросов в некоторых случаях исключает возможность пользования данными анализа, сошлются на то, что у самой математики нет подходящих для этого средств. Подобные ссылки нередко приводятся в оправдание того всем обще известного факта, что с математикой у нас слишком мало знакомы, однако оправдание это довольно слабое. Не владея богатейшими ресурсами этой науки, нельзя безапелляционно утверждать, что эти ресурсы неприменимы к исследованию тех, или иных вопросов. И отсюда единственный, сам собой напрашивающийся, вывод, что широкое знакомство с завоеваниями математики необходимо всякому исследователю в любой области. Нам могут возразить, что научное обоснование некоторых положений — вопрос времени и что сама математика далека в настоящее время от совершенства в деле выработки универсальных методов, что и она, как всякая другая научная дисциплина, находится в стадии непрерывной эволюции. Все это совершенно справедливо, но от этого высказанное нами выше утверждение ничего не теряет в своей силе: чтобы «наука качества» стала наукой, она должна подчиниться «науке количества». Оставаясь при твердом убеждении, что до настоящего времени в ряде известных нам наук только математика вполне заслуживает названия таковой, мы естественно приходим к необходимости выяснить понятие «наука» и показать, что этому понятию математика удовлетворяет исчерпывающим образом. Поэтому то она и является тем идеалом, которому всякая другая наука стремится, или должна стремиться подражать, и тем ближе к званию науки подходит комплекс идей, чем у него больше связи с математикой. Таковы механика, астрономия, в несколько меньшей степени физика. Еще древне греческие геометры, обозначая сумму математических знаний словом «матезис» (буквально — предметы изучаемые), этим самым ясно указывали на точку зрения, которой они держались в своей классификации знаний. От практической арифметики, от «счетного искусства», называвшегося «логистикой», греческий ученый с презрением отвертывался. В его глазах истинной наукой была, главным образом, геометрия с ее выдержанной строго-логической системой. Для того времени действительно «Начала» Эвклида были образцом научной мысли именно потому, что это были не просто знания, а знания, приведенные в систему, знания упорядоченные.

      Научное мышление отличается от не научного способностью предвидения. Процесс познавания сводится, вообще говоря, к выявлению наличности соотношения. Процесс научного познавания есть разъяснение характера этого соотношения. Всякий раз, когда совершается переход от предвидений качественных к предвидениям количественным, по знание поднимается одной ступенью выше.

      Наш знаменитый соотечественник, геометр Лобачевский сказал: «Кажется, нельзя сомневаться ни в истине

      того, что все в мире может быть представлено числами, ни в справедливости того, что всякая в нем перемена и отношение выражаются аналитической функцией».

      Чистая математика, являясь системой формальных законов, допускает приложение их к исследованию объектов, независимо от их природы. В математические символы можно вкладывать какое угодно содержание, общность выводов содействует постоянному расширению границ их применимости, короче говоря, вся математика есть олицетворенный принцип количественного предвидения — вот почему все так называемые индуктивные науки ищут опоры в математике, где всякому факту соответствует закон.

      Чем более степень приближения к этой идеальной форме познания, тем более прав у той, или иной дисциплины на звание науки и, при настоящем состоянии наших знаний, мы во многих случаях далеки от этого идеала, но импульсом всякой научной работы должно быть стремление к его достижению.

      В области наук исторических, в частности, в истории науки мы оказываемся в этом отношении в самых неблагоприятных условиях и вследствие разнообразия сырого и необработанного материала и вследствие сложности возникающих при его обработке вопросов. Трудность исследования усугубляется пробелами в знании .подчас целых эпох, слабым развитием вспомогательных дисциплин, отсутствием надлежащих методов критического анализа научно-исторических памятников — все это в совокупности заставляет быть крайне осторожным в выводах и обобщениях, препятствует установлению законов исторического хода развития науки и следовательно лишает нас элемента предвидения.

      Может быть этим объясняется отчасти бедность научно исторической литературы. Неблагодарность задачи останавливает многих, что же касается того, что в этой области уже сделано, то дальнейшее знакомство с историографией даст нам немного утешительного. Мы далеки от мысли считать при современном состоянии этого вопроса историю математики наукой в вышеуказанном смысле. Но как и во всякой другой области исторического исследования, попытка к систематизации материала с целью получить ряд выводов, уясняющих хотя бы до некоторой степени связь между прошлым и настоящим науки, есть шаг вперед, такие шаги уже делаются и чем их будет больше, тем мы окажемся ближе к возможности трактовать «историю математики», как науку.

      Предмет «истории математики» состоит в анализе возникновения и эволюции математических идей, указания хода их постепенного развития в том, или ином направлении и, наконец, в выяснении законов, коими это развитие обусловлено.

      Если смотреть на математику, как на «особую форму мышления», то знакомство с историей ее развития заслуживает внимания уже по одному тому, что в ней отражается в любом ее фазисе «культурность» народа в самом широком смысле этого слова.

      И если до последнего времени наиболее видные представители истории культуры игнорировали (чаще всего неумышленно, а вследствие недостаточного знакомства) данные истории развития точных наук, то вдвойне непростительно трактовать это последнюю обособленно от общих завоеваний человеческого духа, т. е. не считаясь с результатами, добытыми в области так называемой духовной культуры, путем изучения в первую очередь древнейших памятников, сохранившихся и дошедших до наших дней.

      Спенсер говорит (The genesis of Science): « Если история наук начинает их рассмотрение только с того момента, когда оне приняли уже определенную форму, и опускает из виду первоначальные шаги, зарождение науки, то — эта история не будет полна. Если философия наук, трактующая об их развитии и соотношении, не займется исследованием вопросов о том, как каждая наука выделилась из общего хаоса первоначальных идей и развилась самостоятельно, то эта философия будет иметь важные недостатки, а может

      быть и просто противоречия истине. Не только прямое исследование занимающего нас предмета, но даже аналогия указывает нам, что ключ к позднейшим осложнениям должно искать в начальных и простейших периодах знания-Если мы оставим без внимания эмбриологию науки, не будем ли мы введены в заблуждение относительно принципов ее эволюции и современной организации?

      Я должен добавить, что опыт некоторых историков науки показал, что в этом случае можно придти к односторонним и нередко ошибочным заключениям, рисуя себе историческое прошлое науки в совершенно искаженном виде.

      Непонятные знаки и рисунки на стенах пещер и скал, полуистлевшие папирусы и надписи на стенах храмов, клинописные глиняные таблички древнего Вавилона, образцы узлового счета, геометрическая орнаментика, календарные записи и образное письмо древних мексиканцев — вот материал, который должен привлекать взоры пытливого исследователя. Без помощи археологии, этнографии и сравнительного языковедения, без опоры на целый ряд вспоминать льных дисциплин историк культуры не рискнет сделать ни одного вывода, обязывал к тому же образу действий и историка математики.

      Необходимость изучения истории науки и польза этого изучения.

     

      I

      Вильгельм Оствальд в своей «Истории электрохимии» считает историю науки средством исследования. «Она дает метод для открытия истины, или для развития науки, но не является сама предметом научной работы. Или, если она и является таковым, то не как история, по крайней мере».

      Таким образом история науки является служебной, вспомогательной дисциплиной и в самостоятельном значении ей отказывается. С этой точкой зрения согласиться трудно, т. к. в основе ее лежит односторонний взгляд на значение

      науки, взгляд утилитарный, по поводу чего Оствальд в дальнейшем высказывается более определенно, находя, что «корни познания были и остались в твердой почве человеческих потребностей и человеческой деятельности».

      Это справедливо по отношению к первым робким шагам на пути познания, в период господства индукции, как единственно доступного метода в накоплении знаний, т. е. задолго до формирования знаний научных. Но развитие науки в последующие периоды показывает нам, что сводить ее значение исключительно к «пользе» нет никаких оснований, т. к., по мере углубления в анализ той, или иной научной концепции, возникает «интерс» к знанию, независимо от его практической применимости, создается идеальное стремление к расширению области познания, завершающееся установлением ..философии науки» и отвечающее эстетическим потребностям исследователя.

      Если бы в сфере математических идей те, кто посвящает свои силы их разработке, ограничили бы себя утилитарными, или альтруистическими побуждениями, математика никогда не достигла бы той степени совершенства, глубины и крас ты мысли, которая обеспечивает ей первое место в ряду наук. Практика ставила и ставит задачи и многие из них математика блестяще разрешает только потому, что в ее распоряжении имеется богатейший арсенал средств для научного анализа фактов и явлений, средств, возникающих из рассмотрения взаимоотношений частей науки безотносительно к соображениям конкретного характера.

      Сошлюсь на авторитетное суждение Пуанкаре ((Science et methcde): «Можно ли требовать», говорит он, «чтобы мы, чистые математики, довольствовались только ожиданием заказов со стороны, вместо того, чт бы работать над наукой ради собственного удовольствия. Говорят, что, если у математики есть одна только цель — идти на помощь к изучающим природу, то от этих последних она и должна ждать приказаний. Законна ли такая точка зрения? Конечно, нет; если бы мы не разрабатывали точных наук ради их самих,

      мы не создали бы математического орудия, и в тот час, когда пришел бы лозунг от физика, мы были бы безоружны».

      На основании этого мы вправе заключить, что полнота науки обусловлена ассимиляцией реального начала с идеальным.

      Если приложить эту точку зрения к истории математики, как научной дисциплины, то мы не можем удовольствоваться узким взглядом на нее, только как на «средство» исследования. Как увидим ниже, она действительно может принести пользу и философии предмета, и самому предмету, изучение ее окажется полезным и учащемуся, и педагогу, с ее завоеваниями должен считаться историк общей культуры и знакомство с ней может пригодиться всякому образованному человеку.

      Но все это осуществится только в том случае, если историк математики возвысится до понимания истинных целей и задач своего предмета, если из массы сырого материала он произведет надлежащий «отбор» фактов, который при соответствующей систематизации даст возможность придти к определенным выводам, когда будет отмечена закономерность в чередовании этих фактов.

      Но для этого прежде всего необходимо, чтобы у истории математики была «самодовлеющая цель», к исчерпывающему разъяснения которой можно подойти подведением под комплекс объектов исследования незыблемого фундамента на общих основаниях, применимых к любой научной дисциплине, короче говоря, когда в распоряжении истории математики будет агрегат исходных положений, руководствуясь которыми можно выявить генетическую связь между фактами, можно объяснить, почему развитие идей следовало тому, или иному направлению, а в благоприятных случаях указать и возможный дальнейший путь этого развития.

      Это осуществимо только при условии выделения истории математики в особую научную дисциплину.

      В цитированном выше сочинении Оствальд задается вопросом, чем объясняется тот факт, что в то самое время,

      когда чуть ли не все преподавание философии в университетах свелось к изложению ее истории, история той, или другой дисциплины естествознания излагалась с университетской кафедры лишь в крайне редких случаях.

      Он склонен объяснить это печальное явление тем, что «отдельный исследователь может с успехом работать только в небольшой области этой науки, связь же этой работы с общей работой человечества, связь, несомненно существующая, не всегда им сознается, а некоторым никогда, пожалуй, и в голову не приходит. Если, поэтому, в какой нибудь области знания не обнаруживается склонности к изучению ее истории, то причину этого следует в общем искать в том, что в этой области нет еще нужды в той помощи, которую это изучение может оказать. До открытия спектрального анализа Бунзеном и Кирхгофом ни одна призма не попадала в химическую лабораторию, потому что она была бы там бесполезна. Точно таким же образом и истории науки нет места в мыслях научного исследователя, пока он не может ею воспользоваться, как орудием для своей работы «.

      С приведенным мнением можно согласиться, но только отчасти. Именно, с расширением науки является необходимым знакомство с историческим обзором всего сделанного не только в смысле возможности извлечь из него сведения о методах, о характере исследования и приемах решения различных вопросов, чтобы, пользуясь методом аналогии, подойти к разрешению очередных проблем. Это только одна сторона медали и притом не самая существенная.

      Гораздо важнее то обстоятельство, что знание всего, что на протяжении ряда веков достигнуто в данной области, экономит творческую мысль, предостерегая от бесплодных исследований, т. к. ясно указывает на состояние средств для дальнейшей работы, во вторых дает картину тех проблем, которые при данных условиях, вообще говоря, могут быть разрешены и, наконец, исключает возможность траты сил и времени на решение таких вопросов, которые оказываются уже давно известными и освещенными с достаточной пол нотой.

      В первом случае для иллюстрации я воспользуюсь знаменитой теоремой Ферма (P. Fermat, 1601 — 1665). На полях сочинения Диофанта Александрийского против того места текста, где говорится о разложении полного квадрата на сумму двух квадратов, Ферма пишет: «Совершенно невозможно разложить полный куб на сумму двух кубов, четвертую степень на сумму двух четвертых степеней, вообще какую либо степень на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить». (Oeuvres de Fermat — t. III. Paris, 1896, p. 241).

      К великому несчастью для науки доказательство Ферма до нас не дошло. По виду проблема очень проста: доказать, что уравнение

      неразрешимо в целых числах, если п 2.

      Над отысканием доказательства работали такие крупные математики, как Эйлер, обнаруживший справедливость этого положения для частного случая п = 3 и п = 4 (впрочем для суммы кубов доказательство этого предложения уже было известно Арабам) для п = 5 доказательство дал Дирихлэ, для п — 7 Ламэ, наконец, немецкий математик Куммер существенно подвинул вопрос вперед, поставив его в связь с теоремой алгебраических чисел, согласно которой задача сводится к разложению на множителей в области чисел е1).

      В частности, Куммеру удалось доказать предложение для всех показателей, меньших 100, и по мнению проф. Феликса Клейна полного доказательства теоремы Ферма можно ожидать только путем систематического развития работ Куммера.

      ) Область целых чисел е есть совокупность чисел вида:

      Трудность решения проблемы в общем виде вызвала со стороны умершего в 1907 г. математика Вольфскеля оригинальное завещание, согласно которому Гёттингенское Ученое Общество получило 100.000 марок для выдачи премии тому, кто представит полное решение задачи.

      Стоило газетам напечатать об этом завещании, и люди всевозможных профессий, до гимназистов включительно, буквально засыпали Гёттингенское Общество доказательствами. Как заметил Клейн, «общее во всех этих работах лишь то, что авторы их не имеют ни малейшего представления о серьезном математическом значении проблемы: они не делают даже ни малейшей попытки осведомиться в литературе вопроса (т. е. ознакомиться с историей его) и всегда стараются справиться с задачей какой либо необычайной идеей, и, конечно, неизменно, попадают в просак. Соблазн получить крупную премию, несомненно, велик, но простой здравый смысл предостерег бы многих от бесплодной траты времени и тщетных усилий мысли, если бы прежде чем браться за решение этой проблемы, quasi — математики ознакомились с историей ее происхождения и развития.

      Для второй иллюстрации примеров множество. Всякий молодой ученый, готовясь к получению ученой степени, выбирает тему для диссертации, чаще всего относящуюся к какой либо ветви математических наук, и, желая внести что либо свое, предварительно должен хорошо ознакомиться с литературой предмета, изучить вопрос с исторической точки зрения, чтобы предпринять дальнейшие шаги во всеоружии знания всего сделанного в этой области предшественниками. В этой подготовительной работе может помочь только знакомство с историей математики и библиографией вопросов, соприкасающихся с затронутой темой. 

 

★ ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

ВСЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика