Одновременно хорошо пользоваться наглядными пособиями: палочки, спицы, картон, цветные нитки, пластилин, также модели, анаглифы и стереоскоп. Но модель не должна заменять чертежа, а лишь только его дополнять. Неплохо иногда возвращаться к ранее решённым задачам и ученику поработать над задачей после её решения.

В X классе большое внимание приходится уделять решению задач на сечения тел, определение вида сечений, на тела вращения и комбинацию тел.

При решении задач по геометрии с применением тригонометрии полезны для развития разбор и решение задач, в которых предельные значения угла приводят к скачкообразному переходу одной геометрической формы в другую, так называемые «вырождения геометрических образов». Вообще решение задач с исследованием предоставляют наибольший простор творческой мысли ученика.

Проведённый опыт говорит, что если в основу изучения математики поставить вопросы, связанные с различными исследованиями как в теории, так и в практике, то результаты получаются значительно более высокие. При решении тригонометрических задач главное внимание приходится обращать на сознательность изучения свойств тригонометрических функций, их графическое изображение и на развитие свободной техники тригонометрических преобразований. Здесь особенно важна продуманная последовательность предлагаемого материала, достаточно длительная тренировка во времени на разнообразном материале.

Большое образовательное и воспитательное значение имеет умелое применение в процессе обучения математике исторического материала. Это значительно оживляет уроки, усиливает интерес к предмету и путём анализа содержания и хода соответствующего исторического процесса помогает учащимся глубже уяснить изучаемые вопросы. Раскрытие вопросов теории, практики и истории развития математики в их взаимосвязи оказывает на учащихся огромное развивающее влияние, воспитывает уважение к науке, содействуя идейному росту и убеждённости их знаний. По этому вопросу Чернышевский говорил: «Без истории предмета — нет теории предмета. Без теории нет и мысли о самом предмете».

Для более подробного освещения биографий великих математиков хорошо организовывать доклады самих учащихся в математическом кружке (Эйлер, Софья Ковалевская, Магницкий, Лобачевский).

Для воспитания патриотизма и любви к своей родине надо знакомить учащихся с русскими и советскими математиками, которые своими глубокими и оригинальными работами создали в науке целые направления.

В борьбе за прочные и глубокие знания и сознательное овладение учащимися основ наук особенно важное значение имеет умение применять полученные знания на практике, умение решать кон- 346

кретные жизненные задачи. Опыт показывает, что привитие учащимся практических навыков и умений положительно отражается на усвоении учащимися основ наук и качестве работы школы в целом. Нужно конкретизировать излагаемый материал и насыщать его примерами и задачами из жизненной практики и техники. Так воспитывается не только логическое мышление, но и материалистическое мировоззрение. Надо всячески поощрять осведомлённость учащихся во всяких производственных вопросах и путём классных упражнений и выходов в поле в первую очередь создать реальные представления о всех часто употребляемых единицах измерения. На математическом кружке можно поставить специальный доклад о единицах измерения, повторить метрическую систему мер и провести практические упражнения. Конкретные представления об единицах измерений длины, площади и объёма отражаются на развитии пространственных представлений, и в дальнейшем употребление различных единиц делается значительно более сознательным. Упражнения с единицами измерения содействуют развитию навыков глазомера, что имеет огромное практическое значение. Полезно составить специальные таблицы приблизительных размеров некоторых предметов, часто встречающихся на местности.

Кроме проведения простейших землемерных работ по измерению площадей участков и вычерчиванию их планов, в связи с изучением в VIII классе темы о площадях, а в X классе более сложных работ по измерениям на местности с применением тригонометрии. в классной и домашней работе, огромное значение имеет выполнение учащимися ряда графических работ в разрезе связи математики с черчением. Сознательное выполнение подобных работ положительно отражается на прочности и глубине знания учащихся и даёт им много ценных практических навыков. Получив необходимые указания и просмотрев образцы, учащиеся в срок 10—20 дней самостоятельно дома выполняют данные работы, обычно цветной тушью, с соблюдением всех правил черчения. В отдельных случаях плохо исполненные работы переделываются. Все работы даются после изучения соответствующего теоретического материала. Хотя подобные графические работы требуют от учащихся большого внимания и времени, они выполняют их с достаточной аккуратностью и охотой. Примерами подобных работ могут быть следующие: графическое изображение функций и графическое решение уравнений по алгебре, задачи на построение методом подобия в геометрии — в VI11 классе; построение графиков показательной и логарифмической функции и их сравнительное построение по алгебре; построение правильного n-угольиика (в связи с разметкой отверстий в форме правильных многоугольников в практике токарных и слесарных мастерских), построение в связи с решением задач на розетки по геометрии; построение расположения тригонометрических линий во всех квадрантах, построение синусоиды и косинусоиды, построение тангенсоиды и котанген-

соиды по тригонометрии — в IX классе; построение сечений тел и комбинаций тел в связи с решением задач по геометрии; пост* роение графиков обратных тригонометрических функций (ар- кусов) в тригонометрии; повторительные построения по всему курсу — в X классе. Подобные работы дают учащимся полезные практические навыки. При построениях на доске надо требовать выполнения построения «от руки» и лишь при решении задач на построение надо пользоваться чертёжными инструментами.

В процессе решения геометрических задач полезно производить моделирование и изготовление соответствующей модели к предстоящему уроку по индивидуальному заданию.

Очень важно дать учащимся навыки рационального расположения вычислений, различных выкладок, аккуратного оформления математических работ и умения проверять правильность получаемых результатов. Необходимо систематически упражнять в привитии навыков устного счёта и разбирать приёмы устных вычислений, пользоваться различными вычислительными справочными таблицами, познакомить с графическими расчётными таблицами — номограммами, с графическим извлечением квадратного корня и измерительными приборами.

Очень важно дать учащимся некоторые навыки и провести практикум по приближённым вычислениям. Разобрать примеры на округление чисел и на нахождение погрешностей.

Учащиеся должны уметь пользоваться математическими знаниями в других смежных дисциплинах и в производстве различных практических измерений и расчётов: объёмы цистерн, пиломатериалов, кубатуры вынимаемой земли, умение составить смету по строительным работам и ремонту на транспорте. Практика показывает, что иногда небольшая удачно предложенная задача с техническим или практическим уклоном вызывает интерес и делается предметом обсуждения, особенно со стороны мальчиков. Приведём пример из тригонометрии по курсу VIII класса.

«По сторонам полотна железной дороги ставятся указатели профиля пути. На таблицах этих указателей в виде дроби обозначается: сверху — каков уклон пути, а внизу — на каком расстоянии (по плану) будет такой уклон, что выражает собой тригонометрически уклон пути. Вычислить подъём пути по таблице: 0,002/400».

В более старших классах можно решать практические задачи и примеры из области механики, оптики, техники, военного дела (см. Шмулевич, Прямолинейная тригонометрия и её приложения, 1928).

В процессе занятий также можно составлять диаграммы и графики, познакомить со счётным прямоугольником и арифметической линейкой; научиться пользоваться русскими счётами. Для сокращения времени и труда на всевозможные вычисления нужно изучить логарифмическую линейку и уметь производить на ней хотя бы основные действия. Постепенно, начиная с VIII класса, 348

показывая производство отдельных действий на линейке, пере* нося часть работы на кружковые занятия и самостоятельную работу, можно добиться достаточно удовлетворительной работы на линейке всех учащихся. Также желательно ознакомить с работой на арифмометре. Указать, что с развитием техники появилась новая специальность вычислителей, необходимых во всех областях учёта, планирования и проектирования, и создался новый предмет «машинная математика» с вычислительными кабинетами и специальной литературой. Если есть возможность, то провести экскурсии на выставку счётных машин.

При очередном изучении темы надо чётко спланировать, что и в какой формулировке рассказать сначала, что задать для самостоятельной работы, какие выводы, сопоставления и обобщения сделать, что добавить при повторении, какие применить наглядные пособия. Объясняя новый материал, надо выделять основное, облечь всё в доступную и понятную для учащихся форму; там, где нужно, делать паузы и подчёркивать отдельные слова, обращаясь к учащимся с вопросами. Неплохо иногда и пошутить, если это не нарушает общего делового настроения. Нельзя делать уроки занимательными, но можно сделать уроки интересными, если втянуть учащихся в содержательную осмысленную работу.

При гыводе новых формул, особенно в vypce тригонометрии, яе следует требовать их немедленного полного запоминания, ибо до их практического усвоения эго только излишне будет загружать память учащихся. При пользовании различными формулами надо приучить учащихся смотреть на формулы как на определённый инструмент, которым надо научиться пользоваться. В процессе их практического изучения нет беды, если в начале учащиеся будут пользоваться справочником или специально составленной сводкой. В процессе работы на ближайших уроках по данной теме необходимость делать подобные справки будет исчезать и формула будет сознательно усвоена в результате неоднократных упражнений и полного убеждения в её практической целесообразности.

Для расширения и углубления знаний учащихся необходимо организовать занятия в математическом кружке и выпуск специальных витрин «За математическую культуру». Витрины художественно оформляются и содержат различные статьи, чертежи, рисунки, образцовые решения задач, интересные задачи, приёмы устных вычислений, «куда пойти учиться», биографические очерки и т. д. Материал витрин хорошо оформлять в специальные альбомы, удобные для обозрения и дальнейшего пользования. Сюда же может быть отнесён выпуск математических газет, бюллетеней. Можно практиковать и годовые домашние ученические сочинения в X классе по специально заранее разработанной тематике. Кружковые занятия имеют целью поднять математическую культуру учащихся и обслужить интересы наиболее одарённых. Тематика кружковых занятий —самая разнообразная: практические занятия по моделированию и изготовлению наглядных пособий, разбор

интересных задач и упражнений, отдельные лекции преподавателя, рефераты и доклады самих учащихся. Это работа важная и её надо проводить.

В борьбе за прочные знания и качество обучения особо важное значение имеет правильная организация повторения как метод закрепления знаний. Повторение нужно спланировать и начинать с начала учебного года. В повторные упражнения надо включать что-либо новое, «вплетать новое в старое», как говорил Ушинский, или поставить вопрос в непривычной для учащихся форме, тогда работа становится для них интересной и они охотно ею занимаются. При повторениях особенно надо обращать внимание на объединение, углубление, сопоставление известных уже фактов, особо выделяя вопросы принципиального и идейного содержания. Здесь полезны обобщающие схемы, соответствующие наглядные пособия и специальные таблицы.

Для подготовки к экзаменам в последний месяц учебного года полезно провести ряд повторительных обзорных уроков по различным вопросам курса.

Если учащиеся почувствовали систему предмета и логику математических построений, то общий успех всей работы будет обеспечен. И чем научнее поставить всё преподавание, тем глубже, сознательнее и прочнее будут знания учащихся. Но для этого много и упорно приходится учиться самому преподавателю, следя за всем новым и передовым и в области методики, и в области самой науки, помня, что тот учитель действительно учит, кто сам постоянно учится, собирает, пробует, анализирует — овладевает математической культурой. На значение математической культуры для учителя указывает акад. П. С. Александров. Он говорит: «Преподаватель с большой математической культурой и на элементарном материале может раскрыть учащимся большую перспективу и показать математику как науку, а не только как учебный предмет». Надо всегда стараться пользоваться всяким случаем, когда можно особенно воздействовать на развитие творческих способностей своих учеников, раскрывая перед ними руководящие идеи изучаемого курса.

Учащиеся должны почувствовать, что перед ними не просто учебный предмет с набором знаков, правил, теорем, фигур и пр., а определённая наука, имеющая свой метод исследования и на своём условном языке отражающая конкретную действительность.

Личный пример учителя и его отношение к делу имеют огромное воспитывающее значение.

Важно во всю работу внести искреннюю заботу о своих учениках и живой творческий дух, увлекаться работой, увлекая за собой и своих учеников.