Избранные вопросы математики: 10 класс - Факультативный курс (Абрамов, Виленкин, Дорофеев, Егоров, Земляков, Мордкович, Шварцбурд) 1980 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Избранные вопросы математики: 10 класс - Факультативный курс (Абрамов, Виленкин, Дорофеев, Егоров, Земляков, Мордкович, Шварцбурд) 1980

Назначение: Книга содержит теоретический материал и упражнения по темам факультативного курса по математике для десятого класса.

Эта книга — третья в цикле учебных пособий по факультативному курсу «Избранные вопросы математики». Содержание пособия соответствует программе факультативных курсов, утвержденной Министерством просвещения СССР.

В программу факультативного курса для 10 класса входят 3 темы: «Дифференциальные уравнения», «Комплексные числа и многочлены», «Элементы сферической геометрии». Первые две темы считаются основными, третья — дополнительной. Основные темы рекомендуется изучать в первую очередь. В настоящее учебное пособие включены материалы по всем трем темам.

© "Просвещение" Москва 1980 

Авторство: А. М. Абрамов, Н. Я. Виленкин, Г. В. Дорофеев, А. А. Егоров, А. Н. Земляков, А. Г. Мордкович, Составитель: С. И. Шварцбурд

Формат: PDF Размер файла: 12.7 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

Дифференциальные уравнения 5

§ I. Показательный рост и процессы выравнивания

§ 2. Основные понятия, связанные с дифференциальными уравнениями 12

§ 3. Составление дифференциальных уравнений 18

§ 4. Решение дифференциальных уравнений   32

Комплексные числа и многочлены   61

§ 1 Зачем нужны комплексные числа

§ 2. Многочлены 66

§ 3. Комплексные числа 84

§ 4. Применения комплексных чисел 122

Элементы сферической геометрии 154

§ !. Начальные понятия сферической геометрии 155

§ 2. Соответствие между сферической геометрией и планиметрией . .159

§ 3. Сферическая тригонометрия 161

$ 4. Перемещение сферы ... 166

§ 5. Площади сферических многоугольников и формула Эйлера . . .172

§ 6. Применения сферической геометрии в навигации 176

§ 7. Картографические проекции 181

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник  СССР - Избранные вопросы математики: 10 класс - Факультативный курс (Абрамов, Виленкин, Дорофеев, Егоров, Земляков, Мордкович, Шварцбурд) 1980 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 Тема «Дифференциальные уравнения» углубляет материал курса начал анализа 9—10 классов. Основная цель изучения — показать учащимся, что дифференциальные уравнения являются одним из основных орудий математического естествознания, т.е. познакомить их с математическим моделированием реальных процессов методом дифференциальных уравнений. Поэтому не следует уделять много внимания различным способам решения конкретных типов дифференциальных уравнений. Важно разобраться в геометрической интерпретации уравнений первого порядка и показать, как составляются дифференциальные уравнения, отправляясь от естественнонаучных примеров. Решение ряда важных в прикладном плане дифференциальных уравнений рекомендуется проводить подбором с последующим подробным обсуждением физического смысла полученных ответов. Статья «Дифференциальные уравнения» содержит избыточный материал. Выбор материала для проведения занятий — дело вкуса учителя. Однако в любой вариант содержания занятий должны обязательно войти пункты 1—6, 8 (вводная часть и пример 1), 13—17, 20, 25. От наличия времени и состава учащихся зависит, какие еще линии включит учитель в свой факультатив. Этих линий несколько; они прослеживаются в следующих пунктах: 1) 9; 2) 10 и 24; 3) 11 и 19; 4) 12 и 23; 5) 7; 6) 8, 18, 21 и 22. Любая из этих линий может быть исключена без ущерба для основного содержания; каждую из них можно предложить учащимся для подготовки самостоятельных выступлений. При этом в обязательных пунктах можно рассмотреть лишь часть задач.

Тема «Комплексные числа и многочлены» углубляет и расширяет знания учащихся о числовых системах и о решении алгебраических уравнений. При этом основное внимание уделяется приложениям теории комплексных чисел. Рассматриваются также и некоторые «внутренние» вопросы теории комплексных чисел, в том числе показательная, логарифмическая и тригонометрические функции комплексного переменного. Содержание статьи «Комплексные числа и многочлены» не может полностью быть уложено в часы, отведенные для изучения этой темы. Предполагается, что учитель сосредоточит внимание уча- 

шихся на тех или иных вопросах в зависимости от их интересов и уровня подготовки. Однако в любом случае следует продемонстрировать учащимся возможности применения теории комплексных чисел к решению задач, близких к школьному курсу. Для этого в статье приведен ряд задач с решениями. Учащиеся должны овладеть теорией настолько, чтобы понимать приведенные решения и уметь решать задачи аналогичного содержания. Для повышения общего уровня математической культуры учащихся, для расширения их математического кругозора следует подробно рассмотреть вопросы прикладного характера из § 4, причем не все, а некоторые — по выбору учителя. Остальной материал из § 4 можно предложить для индивидуального чтения наиболее интересующимся математикой учащимся. С целью пробудить у учащихся интерес к вопросам не узко математического, а более широкого, логического и методологического характера полезно остановиться на «тонкостях» построения теории комплексных чисел, рассмотренных в пункте 1 § 3. С другой стороны, в случае нехватки времени эти «тонкости» можно опустить.

Тема «Сферическая геометрия» знакомит учащихся с основными понятиями и некоторыми результатами, относящимися к геометрии сферы. Содержание статьи «Сферическая геометрия» непосредственно связано с программным материалом: в ходе изложения повторяются сведения, известные учащимся из курса геометрии, находят применение теоремы стереометрии, получают развитие сведения о перемещениях пространства. Доказанные в статье теоремы сферической геометрии позволяют ознакомить учащихся с некоторыми красивыми фактами — теоремой Эйлера о многогранниках, невозможностью изометрического отображения сферы на плоскость и др. Содержащиеся в статье сведения о геометрии сферы дают возможность убедительно показать ее практические применения: в заключительных параграфах решаются простейшие задачи навигации и картографии, дается представление о некоторых картографических проекциях.

Материал по каждой теме содержит большое (избыточное) количество задач. Ввиду ограниченности объема в пособие не включен специальный раздел, посвященный задачам повышенной трудности по общему курсу математики; этот материал учитель сможет почерпнуть из задачников, выпущенных издательством «Просвещение» в серии «Библиотека учителя математики». Выбор задач для решения на факультативных занятиях предоставляется учителю, который знает уровень подготовки и интересы своих учеников.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ РОСТ И ПРОЦЕССЫ ВЫРАВНИВАНИЯ

1. Равномерные и неравномерные процессы. Процессы, протекающие в окружающем нас мире, характеризуются взаимосвязанностью величин, определяющих эти процессы. Математическим выражением этой взаимосвязи является понятие функциональной зависимости. Например, путь s, пройденный падающим телом, является функцией от времени t, которое прошло с начала падения: s=f(t). Зависимость s от t весьма сложна — надо учитывать сопротивление воздуха, которое, в свою очередь, зависит от величины атмосферного давления, температуры, от массы, формы и размеров падающего тела и многих других причин.

Чтобы упростить задачу, сначала рассматривают приближенную модель явления, заменяя падающее тело материальной точкой, что позволяет вывести за рамки исследуемой задачи его форму и размеры. Если, кроме того, предположить, что сопротивление воздуха отсутствует, то закон падения примет, как gt* известно, сравнительно простои вид: s=— где g — ускорение 2 ^

силы тяжести на поверхности Земли. Но эта упрощенная формула неприменима ко многим практически важным процессам. Например, по ней нельзя рассчитать процесс падения парашютиста (поскольку здесь существенную роль играет сопротивление воздуха), процесс возвращения посланной к Луне межпланетной станции (из-за того, что сила притяжения зависит от расстояния до Земли) и т. д.

Таким образом, реально протекающие процессы слишком сложны для того, чтобы непосредственно применять к ним математические методы, а слишком упрощенные схемы явлений дают результаты, весьма далекие от истины. Чтобы справиться с этой трудностью, строят для данного процесса несколько математических моделей, позволяющих со все большей точностью описать изучаемое явление, получить ответы, которые потом можно сравнить с результатами экспериментов, и выяснить, какая модель дает ответы, достаточно близкие к истине, и в то же время достаточно проста для дальнейшего изучения.

Одним из самых упрощающих является предположение о равномерности изучаемого процесса. Так, почти во всех школьных задачах на движение скорости движущихся тел считаются постоянными. Если некоторая величина у меняется равномерно и в момент времени /0=0 она имела значение уо, а в момент времени t=ti—значение уи то ее значение в произвольный момент времени t выражается формулой

У=Уо+(У1~Уо) -f-.

Ч

Следующими по сложности после процессов с постоянной скоростью являются процессы, для которых постоянно ускорение,— сюда относится, в частности, свободное падение тела вблизи земной поверхности. В этом случае скорость v изменяется равномерно — в момент времени t она равна Оогде ц0 — начальная скорость (т. е. скорость в момент времени *=0), а — ускорение. Закон изменения самой величины у за промежуток времени [/о, 0 выражается, как показано в пособии «Ал-

t

гебра и начала анализа, 10», интегралом f v(t)dt. Значит, в нашем примере имеем:

»(<)-»(0)“ '((t>0+e<)<"=»o/+

т. е.

y=yo+v0t+ где уо—у(0).

В разобранных примерах скорость была либо постоянна, либо менялась равномерно, но она не зависела от значения самой меняющейся величины. Однако часто значение скорости изменения величины связано со значением величины. Например, чем больше величина вклада в сберкассе, тем больше прирост за год; чем больше стадо коров, тем больше приплода будет за год, и т. д. Во многих случаях можно в первом приближении принять, что скорость изменения величины в момент времени t пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Мы приходим, таким образом, к следующей математической задаче.

Задача. Скорость изменения v величины у в каждый момент времени пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Найти значение у в момент времени t, если при t=0 значение этой величины равнялось уо.

Решение. По условию задачи имеем: v—ky. Так как о= = 1/, то получаем дифференциальное уравнение

y'=by. (1)

В пособии Алгебра и начала анализа, 10» показано, что этому уравнению удовлетворяют функции вида у=Сем и только они.

По условию если /=0, то у=уо. Значит, уо=Сект. е. C=tfo. Таким образом, значение у выражается формулой

У=Уое". (2)

yi=yoehti

Если значение коэффициента пропорциональности k не дано, а известно, что при t = t\ значение величины равнялось уи то и потому

y==yQeht=y0(eht

 

Это значение отличается от значения у=уо+ {У\— Уо) • — » по-

Л

лученного выше в предположении, что скорость изменения у постоянна.

Если задать любые числа to и уо, то всегда найдется одно и только одно решение дифференциального уравнения (1), принимающее при t=U значение у0, а именно решение у— = «/0e*(t~4 или, иначе, «/=*/0е~Л*®*еЧ Таким образом, уравнение (1) вместе с начальным условием y(to)—yo однозначно определяет решение.

из этих отрезков. На отрезке

находим эту скорость по

Заметим, что процессы разобранного вида можно приближенно свести к процессам, у которых скорость постоянна. Для этого разобьем отрезок [0; /] на п равных частей и будем считать, что скорость изменения величины у постоянна на каждом

формуле v—y'=ky, учитывая, что при /о=0 имеем у=у<>. Получаем, что v0=ky0. Это позволяет найти приближенное значение

у в точке — оно равно y0+v0— =yo+ky0- —, т. е. у\ =

п п п

*=*/0^ 1+—j. Вновь используя формулу (1), находим приближенное значение скорости при /i= — —оно равно о, =£«/,=

п

=ky0 Но тогда в момент времени t2= — значение у

\ п ! п

равно 02=yi + i>r — =Уо (l + —) +ky0(\ + —) —, т. е. у2=

п \ П ) \ л/л

=Уо^1+ “j2. Таким же путем устанавливаем, что значение у при tm = — равно ут=Уо{ И 1 . В частности, это значение при т=п, т. е. в момент времени t, равно у0 ^1 + — .

Описанный метод является лишь приближенным, поскольку мы считаем скорость изменения у постоянной на каждом изот- резков —Но при увеличении числа этих отрезков

длина каждого из них уменьшается, а потому делаемая на каждом шагу ошибка становится все меньше. Можно доказать, что в результате и общая ошибка стремится к нулю, т. е. что

2. Процессы показательного роста. Рассмотренная в предыдущем пункте математическая модель, при которой скорость изменения величины пропорциональна этой величине, с достаточной точностью описывает многие физические, химические и биологические процессы.

Пример 1. При радиоактивном распаде мгновенная скорость распада в каждый момент времени t пропорциональна наличному количеству вещества (чем больше имеется атомов вещества, тем больше их распадается). Найдем закон радиоактивного распада.

Решение. Обозначим массу вещества в момент времени t через т, m — m(t), а мгновенную скорость распада через v. Из условия следует, что v = —km, где k — коэффициент пропорциональности; знак «минус» поставлен потому, что вещество распадается и его количество уменьшается, т. е. скорость изменения количества вещества отрицательна (заметим, что написанная формула справедлива лишь в случае, когда речь идет о самопроизвольном распаде вещества, а не о распаде в промессе атомного взрыва).

Поскольку v — скорость изменения массы вещества, т. е. скорость изменения функции m(t), то v = m'(t), а потому равенство v=—km можно переписать в виде:

т’=—km.

Это уравнение вида (1). Его решение имеет, как было отмечено выше, вид: где т0 — первоначальная масса вещества (при /=0).

Найдем, за какой промежуток времени 7 масса вещества уменьшится вдвое. Для этого надо решить показательное уравнение erht= — . Из него находим, что —kT=\n ■— , и потому 2, 2

kT=ln 2, т. е. 7'= iSi. .

*

Найденное значение Т называют периодом полураспада данного радиоактивного вещества. Этот период зависит не от начального количества т0 этого вещества, а лишь от вида атомного ядра. Например, период полураспада радия-226 равен 1620 годам, а урана-238 — 4,5 млрд. лет. В физике закон радиоактивного распада обычно выражают через период полураспа* да Т:

Итак, получаем следующий закон радиоактивного распада:

m=m° (т)т'

Пример 2. Пусть колония живых организмов находится в благоприятных условиях, благодаря чему рождаемость выше, чем смертность, причем пространство, занимаемое колонией, и пищевые ресурсы будем считать неограниченными. Предположим также, что хищников, питающихся организмами данной колонии, нет. Найдем закон изменения численности организмов в зависимости от времени, если в момент времени t—0 их число равнялось уо.

Решение. Заметим, что число организмов всегда выражается целым числом. Поэтому оно является разрывной функцией от времени, и, казалось бы, к данному вопросу нельзя применить модель, основанную на понятии производной. Но при достаточно большом числе организмов в колонии эту разрывную функцию можно с достаточной точностью приблизить непрерывной и даже дифференцируемой функцией и изучать соответствующую модель явления. Если в результате расчетов окажется, что, например, число организмов в колонии равно 125,76, то это означает, что на самом деле число организмов примерно равно 125 или 126. Сделанная при этом ошибка куда меньше, чем ошибка, связанная с неточностью выбранной модели, недостаточной определенностью значений коэффициентов и начальных условий и других привходящих обстоятельств.

Будем считать, что скорость изменения численности организмов пропорциональна этой численности и а — коэффициент пропорциональности: v—ay. Так как v=y\ то численность у организмов в колонии в момент времени t удовлетворяет уравнению

Из формулы (2) получаем, что число организмов в колонии выражается законом

Поскольку при а>0 функция у^еа* стремится к бесконечности при /-»-+оо, то и число экземпляров данного вида будет стремиться к бесконечности. Например, расчеты показывают, что потомство одной пары мух за два года при беспрепятственном размножении имело бы массу, превосходящую массу Земли. В действительности столь быстрый рост, естественно, не на* блюдается, хотя известны случаи, когда некоторые виды животных и растений, попав в благоприятные условия, размножались настолько быстро, что становились бедствием (кролики в Австралии, водяной гиацинт в реках США и т. д.).

Сделанные нами при решении примера 2 предположения не отражают все стороны явления. Позднее (см. п. 9) мы вернемся к этой задаче, учтя ограниченность пространства, пищевых ресурсов, наличие хищников и т. д.

Пример 3. При распаде ядер радиоактивных веществ образуются нейтроны. При некоторых условиях они попадают в другие ядра и вызывают их радиоактивный распад. Если при этом образуется больше нейтронов, чем поглощено, начинается цепная реакция. Напишем уравнение цепной реакции, если вначале было по нейтронов.

Решение. Будем считать, что число появляющихся нейтронов пропорционально их числу в данный момент времени (чем больше нейтронов в данном объеме, тем чаще они сталкиваются с ядрами и тем больше новых нейтронов появляется).Это значит, что скорость v возникновения нейтронов в данный момент времени пропорциональна их числу п в тот же момент времени: v=kn, т. е. n'=kn. Изучаемый процесс, как мы видим, укладывается в разобранную выше модель, что позволяет записать ответ в следующем виде:

n=n0eht.

Поскольку при каждом распаде ядра выделяется энергия, а число распадов растет по показательному закону, то столь же быстро растет и выделяемая энергия — получается ядерный взрыв.

Мы рассмотрели три примера процессов, математической моделью которых служит уравнение вида t/=ky. Поскольку решение этого уравнения имеет вид у=Сем, т. е. решение уравнения— показательная функция, то уравнение y'=ky называется уравнением показательного роста. Рассмотренные в настоящем пункте процессы (и аналогичные им) называются процессами показательного роста.

3. Процессы выравнивания. Наряду с процессами показательного роста, когда скорость изменения величины пропорциональна значению этой величины, встречаются процессы, в которых эта скорость пропорциональна разности между значением величины и некоторым стандартным значением а, причем коэффициент пропорциональности отрицателен. 

Для развития ПРОЕКТА!

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика