Как готовиться к приемным экзаменам в вуз по математике (Шахно) 1973 год - старые учебники

Глава III. Тождественные преобразования математических выражений.

§1. Тождество и тождественное преобразование.

§2. Преобразование алгебраических выражений.

§3. Преобразование показательных и логарифмических выражений.

§4. Преобразование тригонометрических выражений.

Упражнения.

Глава IV. Решение уравнений.

§1 Общие сведения об уравнениях.

§2. Решение алгебраических уравнений.

§3. Решение показательных и логарифмических уравнений.

§4. Решение тригонометрических уравнений.

Упражнения.

Глава V. Решение и доказательство неравенств.

§1 Алгебраические неравенства.

§2. Простейшие трансцендентные неравенства.

Упражнения.

Глава VI. Функции и их графики.

§1. Схема исследования функции и построения ее графика.

§2. Преобразование графиков.

Упражнения.

Глава VII. Геометрические задачи.

§1. Геометрические задачи на плоскости.

§2. Геометрические задачи в пространстве.

Упражнения.

Глава VIII. Разные вопросы.

§1. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

§2. Соединения и бином Ньютона.

§3. Метод математической индукции.

Упражнения.

Приложение. Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы в 1961—1967 гг.

Ответы, указания и решения к упражнениям.

Ответы, указания я решения к приложению.

Рассматриваемые в математике истины формулируются в виде предложений. Главнейшие из них следующие: определения, теоремы и аксиомы.

Определением называется предложение, в котором разъясняется смысл нового понятия. Теорема есть предложение, справедливость которого устанавливается путем некоторого рассуждения, называемого доказательством. Аксиомой называется истина, принимаемая без доказательства. Непосредственный вывод из аксиомы или теоремы называется следствием, Подготовительное предложение, вводимое для доказательства последующего, называется леммой. Следствие и лемма — теоремы.

Прямая и обратная теоремы.

Теорема называется обратной данной теореме, если ее условие и заключение являются соответственно заключением и условием (или частью их) данной теоремы. Так, для теоремы «в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы» обратной будет «в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны». С другой стороны, для второй из этих теорем первая будет обратной.

Обе эти теоремы верны. Но не всегда бывает так. Рассмотрим, например, теорему «в прямоугольнике диагонали равны». Для нее обратной будет такая теорема: «если в четырехугольнике диагонали равны, то он — прямоугольник». Эта теорема неверна. Для доказательства ее неверности достаточно привести один пример четырехугольника с равными диагоналями, который не является прямоугольником. Таким примером может служить равнобедренная трапеция. Но для той же теоремы «в прямоугольнике диагонали равны» обратной служит и такая: «если в параллелограмме диагонали равны, то он — прямоугольник», которая, как легко доказать, верна.