Как надо вычислять? (Брадис) 1960 год - старые учебники

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ.

Это небольшое пособие представляет собой переработку 1 в II выпусков книги, вышедшей в свет под тем же заглавием в серии «Рабочая библиотека по математике для школ II ступени» под редакцией А. М. Воронца тремя выпусками. Выпуск I (первое издание в 1929 г., переиздания в 1930 и 1932 гг.) содержал материал по приближённым вычислениям на пятом году обучения; выпуск II (первое издание в 1931 г., переиздание в 1932 г.) — разные дополнительные сведения о вычислительной работе на шестом, седь-мом, восьмом годах обучения; выпуск III (1934 г.) —о вычислениях с помощью таблицы логарифмов и счетной логарифмической линейки.

Предназначенное для учителя более глубокое изложение вопросов арифметики приближённых вычислений можно найти в книгах:

В. М Б р а д и с, Средства и способы элементарных вычислений, Учпедгиз, 1954;

В, У. Грибанов, Приближённые вычисления в средней школе, Учпедгиз, 1958.

Попытки построения учебника арифметики для учащихся V и VI классов средней школы, включающего важнейшие сведения по арифметике приближённых вычислений, имеются в книгах:

И. К. Андронов, Арифметика дробных чисел и основных величин, Учпедгиз, 1955;

И. К. Андронов и В. М. Брадис, Арифметика, Учпедгиз, 1957.

Методические соображения автора, которыми он руководствовался при написании настоящего пособия, изложены в его книге «Методика преподавания математики в средней школе» (издание 3, Учпедгиз, 1954). Основная его идея; обычный школьный курс арифметики» рассматривающий почти исключительно операции над числами» которые являются точными значениями соответствующих величии» нуждается в небольшом, но существенном добавлении, дающем важнейшие понятия и правила арифметики приближённых вычислений. Необходимость такого добавления становится все более и более острой по мере того, как школьная математика в соответствии с ходом общей перестройки школы перестраивается в направлении сближения с требованиями практической жизни. Судя по многочисленным статьям, публикуемым в наших журналах, эта основная идея завоёвывает себе всё большее и большее признание. В деталях её реализации ещё много разногласий, и автор отнюдь не претендует на то, что рекомендуемые им пути ознакомления учащихся с элементами приближённых вычислений являются единственно возможными.

По-видимому, в настоящее время нельзя включать в обязательную программу школьного курса арифметики весь предлагаемый в книге материал. Однако кое-что можно использовать в круж-ках и дополнительных заданиях. Кроме того, если сам учитель признает его ценность и будет его использовать на уроках арифметики, не делая предметом специального изучения, он сэкономит много времени и сил, затрачиваемых учащимися на решение задач, и создаст у них некоторые хорошие вычислительные навыки.

Буду весьма признателен за отклики на предлагаемую книгу

В. Брадис. 

§ I. ЧИСЛА ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ.

Всякое вычисление состоит в том, что мы, имея некоторые данные числа, находим посредством их некоторые другие, искомые числа. Так, желая вычислить, сколько листов стёкол надо купить для застекления дома, мы должны прежде всего сосчитать, сколько в доме рам, сколько в каждой раме стёкол, затем должны узнать длину и ширину каждого стекла, а также длину и ширину продажного листа. Как видим, некоторые данные получаются путём счёта, некоторые — путём измерения. Считая предметы, мы иногда узнаём число их вполне точно. Так, мы точно узнаём число стёкол в одной раме (положим, 6) и число рам во всём доме (положим, 12). Но так бывает лишь тогда, когда числа сравнительно невелики. Пересчитывая же какое-нибудь более значительное собрание предметов, мы большей частью узнаём число их только приближённо. Один кружок юных натуралистов захотел выяснить, сколько деревьев растёт на бульварах и в садах их города. Сосчитали, оказалось 2183 дерева. Другой кружок (в том же городе) выполнил эту же работу и получил число 2217. Тогда первый кружок, чтобы узнать, кто же сосчитал верно, ещё раз пересчитал деревья и получил уже число 2168. В заключение решили, что в городе растет приближённо 2200 деревьев, и новых подсчётов больше не производили. Легко понять, что установить точное число всех деревьев, растущих в городе, очень трудно, даже, быть может, не-возможно. Как тщательно ни организуй работу, всегда остаётся опасность, что некоторые деревья при счёте будут пропущены, а некоторые сосчитаны дважды. Засохшие или полу засохшие деревья один счётчик будет считать, другой нет. В отношении деревьев, расположенных на окраине города, трудно будет решить, считать ли их в черте города или нет. Различая деревья и кусты, мы часто будем затрудняться при решении вопроса о том, считать ли данное растение деревом или кустом. Подобные затруднения, а также многие другие встречаются при счёте всякого большого собрания предметов. Поэтому при счёте большого числа предметов получаются обыкновенно только приближённые значения этого числа, или, как говорят короче, приближённые числа. Сосчитать, сколько на руке пальцев или сколько человек находится сейчас в той комнате, где мы занимаемся, можно совершенно точно. Но сосчитать, сколько человек живёт в городе или сколько зёрен ржи идёт на 1 кг, можно только приближённо.

Кроме счёта, данные для вычисления доставляет нам, как мы видели, также измерение: измерение длины, веса, времени и т. д. Измерение никогда не даёт точных чисел, а всегда только приближённые. Положим, нужно узнать, сколько весит железный гвоздь. Поместив его на одну чашку весов, постепенно загружаем другую чашку гирьками. Оказалось, что 18 Г мало (перетягивает гвоздь), а 19 Г много (перетягивает чашка с гирьками), причём при 18 Г стрелка коромысла отклонена от положения равновесия меньше, чем при 19 Г. Если у нас нет гирек меньше 1 Г, то на этом и придётся закончить взвешивание; мы установили, что вес гвоздя приближённо равен 18 Г. Имея гирьки для долей грамма, мы можем взвесить гвоздь точнее, если только наши весы эти доли грамма чувствуют. Имея гирьки весом в дециграммы (сотни миллиграммов), мы могли бы установить, что гвоздь весит, положим, больше 18,2Г и меньше 18,ЗГ. Если во втором случае стрелка отклонена меньше, чем в первом, то мы скажем, что вес гвоздя приближённо равен 18.3Л. Теперь мы знаем вес гвоздя с большей точностью, чем раньше: тогда мы имели вес с точностью до граммов, теперь — до десятых долей грамма. Взяв гирьки ещё мельче и весы более чувствительные, мы могли бы узнать вес гвоздя ещё точнее: до сотых и даже до тысячных долей грамма. Но мы никогда не получим совершенно точного веса уже по той простой причине, что сами гирьки не вполне точны. Так, продаж-ная гирька в 1 Г считается верной, если она имеет вес, отличающийся от 1 Г не более как на З мГ (на 3 миллиграмма, или 0,003Г). Гирька же в 10 мГ (самая мелкая из тех, какие приходится применять в школе) допускается к употреблению, если имеет вес больше 9мГ и меньше 11 мГ. Заметим ещё, что при самых точных взвешиваниях, производимых в специальных лабораториях со всеми мерами предосторожности, вес предмета несколько изменяется при каждом его перекладывании: вещество предмета стирается, к предмету пристают пылинки и т. д. Это обстоятельство ясно показывает, что узнать вес предмета можно было бы лишь приближённо даже в том случае, если бы гирьки были совершенно точны.

Так же обстоит дело и с измерением других величин: длины, ёмкости, времени, силы тока и т. д. Например, измерив длину и ширину прямоугольника посредством линейки с делениями на сантиметры и миллиметры, мы устанавливаем, что эта длина приближённо равна, положим, 57,Зои, а ширина приближённо равна 35,8 см. Здесь мы узнали длину и ширину прямоугольника до десятых долей сантиметра, или до миллиметров. Другими словами: мы узнали целые сантиметры и десятые доли сантиметра, т. е. миллиметры, сотые же доли сантиметра, равно как и тысячные, десятитысячные и т. д., остались неизвестными.

Производя вычисления с приближёнными данными, мы получаем, конечно, только приближённые значения искомых величин. Эти найденные вычислением приближённые значения в свою очередь могут служить данными в других задачах. Легко поэтому понять, что громадное большинство данных в разного рода задачах — числа приближённые. Точные данные встречаются гораздо реже. Иногда во избежание недоразумений их отмечают даже особым знаком.

Конечно, нет надобности каждый раз указывать, что данное число — точное, так как часто это бывает ясно и без особого указания. Так, в задаче: сколько весят 5 кирпичей, если вес одного кирпича 4,1 кГ— мы имеем два данных числа, из которых первое (5) точное, второе (4,1) приближённое.

Итак, получая для вычисления какие-либо данные, мы прежде всего должны подумать о том, точные они или приближённые.

Упражнения.

Укажите, какие из приведённых ниже данных являются числами точными, какие — приближёнными.

1. Площадь пола классной комнаты 45 кв. м. В ней 4 окна площадью 3,6 кв. м каждое.

2. Школьник приобрёл 12 учебников. В школьной биб-лиотеке 32 тысячи книг.

3. Билет для проезда в автобусе на расстояние в 164 км стоит 27 руб. 50 коп.

§ 2. ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ.

Имея многозначные числа, точные и приближённые, мы часто должны бываем округлять их, т. е. отбрасывать одну или несколько последних их цифр. Напомним правило округления.

Если первая из отбрасываемых цифр есть 5 или более 5, то последнюю из оставляемых цифр надо усилить, т. е. увеличить на одну единицу. Усиления не делают, если первая из отбрасываемых цифр меньше 5. Так, округляя до целых числа 82,37 и 75,62, мы получаем числа 82 и 76. Усиление делают для того, чтобы уменьшить так называемую погрешность округления, т. е. разницу между первоначальным и округлённым числами. Действительно, заменив число 75,62 числом 75, мы имеем погрешность округления, равную 75,62 — 75 = 0,62, заменив же его числом 76, мы имеем погрешность округления, равную только 76 — 75,62 = 0,38. Следовательно, здесь усиление полезно. Но, заменяя число 82,37 числом 82 или 83, мы получаем погрешность округления, равную 82,37 — 82 = 0,37 (в первом случае) или 83 — 82,37 = 0,63 (во втором). Здесь усиление не нужно. Говорят, что округление сделано по недостатку или по избытку, смотря по тому, оставлена последняя цифра без изменения или усилена.

Бывают случаи, когда округлять число можно только по недостатку, и случаи, когда годится округление лишь по избытку. Например, если класс, в котором 43 ученика, взялся собрать один центнер (100 кГ) желудей, то на долю каждого приходится 100 : 43 =2,325...кГ. Округляя это частное до десятых долей, мы получаем 2,3 по недостатку и 2,4 по избытку. Значение 2,3 ближе к точному, но если каждый соберёт по 2,3кГ, то всего получится 2,3-43 = 98,9 кГ, т. е. меньше, чем надо. Поэтому здесь частное 2,325... округляем по избытку и получаем задание для каждого ученика 2,4 кГ.