Виды чисел 54

Число и порядок действий, знаки и определения 60

Сложение целых отвлеченных чисел 65

Вычитание целых отвлеченных чисел 69

Таблица умножения 75 Развитие нормального приема умножения 78

Деление 98

Австрийский способ деления 104

Испанский способ деления  105

Римский способ деления  113

Поверка действий. 119

Происхождение мер 122

Метрическая система мер. . 125

Русские меры 129

Обыкновенные (простые) дроби 133

Сокращение дробей и приведение к одному знаменателю 141

Действия над простыми дробями 144

Шестидесятиричные дроби  151

Десятичные дроби. 152

Непрерывные дроби 160

Пропорции, прогрессии и из

влечение корней 161

Тройное правило 164

Правило пропорционального деления 171

Правило процентов. 173

Цепное правило 178

Итальянская практика 179

Фальшивое правило 161

Прочие правила: смешения, девичье и другие 186

Добавочные статьи арифметического курса 191

История алгебры 198

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА.

Свое изложение автор сопровождает критическими замечаниями о методах преподавания, нередко удачными, иногда субъективными; при чтении их следует иметь в виду, что В. Бел- люстин пишет всякий раз о современней ему школе начала нынешнего века. Большим достоинством книги является то внимание, которое автор уделяет исто ни арифметики в России, излагая старинные наши счет и меры, приводя многочисленные отрывки из математических рукописей XVII в., из Магницкого, Румовского и других составителей учебников XVIII в.

Книга Беллюстина, думаю, будет с интересом и пользой прочитана советскими школьниками — любителями математики. Она поможет учителю оживить уроки и ознакомит его с рядом педагогических высказываний автора о способах обучения четырем действиям и т. п. Она даст также обильный материал для докладов в школьных математических кружках.

В прежних изданиях имелись довольно многочисленные фактические ошибки исторического порядка; я постарался их исправить. Кроме того, я дополнил кое в чем материал автора на основании новых исследований (например по истории арифметики в Египте и Вавилоне). Поправки, вставки или купюры в тексте этого общедоступного сочинения оговаривать мне представлялось излишним.

5 мая 1939 г.

ОТ АВТОРА.

Всякому, кто любит свой предмет, бывает интересно знать, как он начался, каким путем он развивался и как он принял свой современный вид. В этой книжке изложена история арифметики, и очерки ее назначены для тех, кто чувствует расположение к математике. Юным математикам я прежде всего назначаю свой труд. Но он может пригодиться и для педагога: для учителя крайне важно, чтобы расширился его кругозор, чтобы он мог критически отнестись к настоящему положению преподавания и чтобы исторические данные оживили обучение и осветили его.

НАЧАЛО АРИФМЕТИКИ.

Кто положил начало арифметике и кто первый из людей „изобрел" счет, на это ответить нельзя. Мы можем назвать лицо или же лиц, которые изобрели телескоп, или книгопечатание, или паровую машину; нас может интересовать, какой народ открыл магнит или приготовил писчую бумагу; но никак нельзя решить вопроса, кто положил начало счету. Уменье считать, по крайней мере в небольших пределах, а также и потребность считать присущи всякому мыслящему существу. Подобно тому как живой человек непременно дышит и питается, так точно и человек, живущий сознательной жизнью, мыслит, говорит и, между прочим, считает.

Итак, не может быть и речи о каком-то особом изобретателе счета. Начало арифметики тонет в тех же беспредельных глубинах отдаленных веков, как и начало человечества. Между тем наивные авторы старинных учебников во что бы то ни стало желали указать лицо или народ, которым счет обязан своим началом. Так, например, в славянских рукописях времен царя Алексея Михайловича (т. е. середины XVII в.) эта честь приписывалась „древле эллинскому мудрецу Пифагору, сыну Аггинанорову", или же «Сиру, сыну Асинорову", написавшему „численную сию философию (т. е. арифметику) финическими письменами*. Византийские историки средних веков шли еще дальше и сообщали о прямо чудесном происхождении арифметики: ее-де обнародовал на земле некто Феникс, внук бога Нептуна.

Все это, конечно, фантазия; но на чем-нибудь должна же она быть основана. Такое основание можно видеть в тех важных математических открытиях, которые приписывались издавна греческому философу и математику

Пифагору (VIII в. до н. э.). Греческие авторы, с другой стороны, сообщают, что арифметику изобрели финикийцы, развитые, образованные и промышленные представители древнего мира, отважные мореплаватели, объезжавшие на своих кораблях берега Средиземного моря. Финикийцам приписывается также изобретение букв алфавита.

ПЕРВЫЕ СТУПЕНИ СЧИСЛЕНИЯ.

Как считали наши предки, жившие в отдаленные времена, за многие тысячелетия до н. э. — об этом прямо и достоверно судить нельзя: письменных свидетельств не сохранилось, да их и не могло быть, потому что развитие письменного счета зависит от общего развития образования, а наши древнейшие родичи находились, очевидно, на низших ступенях образованности. Судить о первых шагах арифметики мы можем только по догадкам, сравнительно; средством же для сравнения являются те нецивилизованные народы, затерявшиеся в укромных уголках внутренней Африки, южной Америки и т. д., которые в настоящее время едва выходят из первобытного состояния.

Займемся американскими индейцами и африканскими неграми¹. Индейцы Таманаки пользуются при счете пальцами рук и ног. Вместо „один* они говорят „палец* и при этом обязательно протягивают палец; вместо „два* — „два пальца*, „три* — „три пальца*. Пять у них зовется „рука*, 6—„палец на другой руке*, 7 — „два пальца на другой руке*, 10—„две руки*. Покончивши с руками, они переходят к ногам, и так как обувь не закрывает их ног, то продолжают считать наглядно: 11 — „палец на ноге", 12—„два пальца на ноге*, 15—„нога и две руки*, 16—„палец на другой ноге*. Но вот подходит дело к 20, использованы, следовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь „человек*. 20 называется „человек*, так как у него 20 пальцев; как же выразить, например, 27? Это будет — „2 пальца на другой руке другого человека*. Сотня заменяется у них пятью человеками, а выше сотни индейцам Таманаки едва ли и приходится считать, потому что у них нет ни потребности в том, ни достаточного развития. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодных стран Северной Америки, вместо ,20“ говорят „человек* и вместо „100“ пять человек.

¹ Здесь и ниже речь идет, разумеется, лишь о племенах нецивилизованных. Нижеописанные способы счета — особенность отнюдь не расовая, а особенность всех народов, стоявших нли стоящих на низкой ступени культуры. А. Ю.

Караибы на Антильских островах и по реке Ориноко дают первым четырем числам особые имена, но 5 у них заменяется словами „четыре и один*, 6—„рука и один“, 7 — „рука и два*, 20 — „столько, сколько руки и ноги*, 30—«столько, сколько руки и ноги, и еще 2 руки лишних*.

Удивительна склонность индейцев и негров не довольствоваться одним словесным счетом, а всячески дополнять его выразительными жестами. Говоря „шесть*, они протягивают 6 пальцев. Дойдя до 20, они расставляют ноги, вытягивают руки и растопыривают пальцы.

Зулусы в Южной Африке пользуются очень похожим обычаем. Они обходятся без ног и ведут расчеты на одних руках. Счет они начинают с мизинца левой руки. Когда окончат первый десяток, то второй десяток ведут уже с мизинца правой руки. Если, например, на правой руке протянуты мизинец и безыменный палец, то это означает 12. После каждого десятка они хлопают рукой об руку. Чтобы выразить, например, число 35, им надо трижды хлопнуть рукой об руку и протянуть 5 пальцев правой руки.

Таким образом пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Это мы можем проследить во всех странах земного шара и у всех людей. Для счета на первых порах им нужно нагляднее пособие, а какое же пособие ближе к человеку, как не его собственные пальцы? Особенно их любят дикари и малые дети.

Теперь является вопрос: как быть с числами, которые включают в себе десятки и сотни? Как их выразить при помощи пальцев? Ответить на это могут некоторые племена Южной Африки, которые для единиц берут одного счетчика, для десятков другого, а для сотен третьего. Как только первый счетчик насчитает по пальцам десять, второй сейчас же замечает это у себя на пальцах, т. е. протягивает мизинец. Когда второму придется протянуть все 10 своих пальцев, то третий замечает получившуюся сотню одним пальцем своей руки.

Дикари, подобно малым детям, не нуждаются в больших числах. Толчок к развитию счета дается лишь возникновением торговли и промышленности. Самая нехитрая торговля —меновая, когда покупатель дает один товар, а продавец взамен того—другой. Меновая торговля сама уже приводит к мысли, что счгт можно вести на каких угодно предметах. И каких только предметов при первоначальной меновой торговле не берется простодушными торговцами в пособие для счета! Например, негритянские купцы постоянно носят с собой мешочек с маисовыми зернами, иногда и с камешками. Как только дело подходит к расчету, они сейчас же высыпают зерна и пользуются ими, как очень удобным пособием. И с каким искусством, с какой ловкостью этот неграмотный торговец подводит итоги, высчитывает прибыль и убыток при помощи своих зернышек! Он не станет в тупик даже и при составных именованных числах, так как для каждой меры у него в запасе есть особый сорт зернышек. Конечно все подобные хитросплетения покажутся нам, знающим арифметику, наивными и незамысловатыми. Так, например, сторговавши несколько кусков материи, негры кладут против каждого куска столько камешков, сколько монет надо отдать за кусок, и потом все это сосчитывают.

Трудно даются первые шаги счета мало образованным народам. Также и детям нашим нелегко приходится, когда они начинают счисление. Необходимо нужны наглядные пособия. Всякий человек и все народы прибегали к ним и прибегают, потому что потребность в наглядности лежит в природе человека. Кроме камешков, зернышек и т. д.» можно пользоваться зарубками, чертами, крестиками. Так, индеец делал зарубку на дереве всякий раз, как он добывал скальп. В старой, дореволюционной России, среди неграмотных в массе крестьян, черточки и зарубки были также в большом употреблении: сельский староста отмечал ими поступление податей, плотник порядок бревен, молочница выданное молоко. Ацтеки, старинные обитатели Мексики, предпочитали обозначать числа точками, причем они располагали точки не как придется, а в виде правильных фигур, вроде тех, какие теперь у нас рисуются на игральных картах. Когда у счетчиков накапливалось много камешков, шариков или косточек, то чтобы их не растерять, они нанизывали их на шнурочки или прутья. Этим был дан толчок к изобретению счетных приборов, из которых прежде всего нужно упомянуть русские торговые счеты и китайский инструмент .сван- пан*, очень похожий на наши счеты.

и первым серьезным шагом вперед в сравнении с античной и индусской алгеброй.

Параллельно шло развитие алгебраической символики. Появились знаки операций, ряд авторов различных стран стал вводить символы неизвестной величины и ее степеней. Француз Виета (1540—1603) положил начало общей арифметике тем, что стал обозначать буквами не только искомые количества, но и данные; до него же буквами обозначались только те количества, которые требовалось определить; по способу Виета известные величины в уравнениях обозначались согласными буквами латинского алфавита, а неизвестные — гласными. Благодаря этому открывалась возможность записывать в виде общих формул алгебраические выражения, например корни квадратного уравнения и т. п. Однако, в целом символика Виеты была очень сложна и недостаточна.

После Виеты учение об алгебраических уравнениях пошло вперед быстрыми шагами. Англичанин Гарриот (1560—1621) нашел, что уравнения высших степеней получаются в виде произведений уравнений низших степеней, что между коэфициентами и корнями уравнения есть некоторая зависимость; он ввел знаки неравенства и предложил писать буквенных множителей рядом, без всякого знака; коэффициент он отделял от буквы точкой и степени обозначал повторением количества, т. е. вместо 5а³ писал 5 ааа.

Знаменитый французский философ Р. Декарт (1596— 1650) в своей „Геометрии" (1637 г.) придал алгебраической символике и, в частности, обозначению неизвестных и данных величин и их степеней современную форму. Он первый стал писать все члены уравнения с одной стороны от знака равенства и высказал ряд важных теорем алгебры. В частности, вслед за голландцем А. Жираром (1629 г.) он утверждал, что всякое алгебраическое уравнение имеет столько корней, каковы его степени (это основное предложение алгебры удалось доказать лишь в 1799 г. двадцатидвухлетнему Гауссу (1777—1855).

Декарт же, одновременно с П. Ферма (1601—1665) положил начало аналитической геометрии. Книга Декарта сыграла огромную роль в истории алгебры и получила чрезвычайно широкое распространение. На ее основе, отправляясь от поставленных в ней проблем, последующие ученые развивали алгебру далее. Упомянем еще, что великий творец небесной механики и один из созда

телей высшего математического анализа Исаак Ньютон (1642—1727) ввел дробные степени и обобщил формулу бинома на любые степени, и что шотландец Непер (1550— 1617) изобрел логарифмы, не совсем справедливо называемые натуральными или гиперболическими, ибо основанием последних служит число е = 2,7182818, между тем как у неперовых логарифмов основанием является 1:е.

Вскоре после издания таблиц Непера (1614 г.) английский профессор Бригг (1561—1630) вычислил логарифмы чисел до 1000 при основании 10 (1617 г.).

Однако связь логарифмов, определявшихся в те времена иначе, чем ныне, с алгеброй долгое время оставалась не раскрытой. Эйлер первый отчетливо установил, что логарифмирование есть второго рода обратное действие по отношению к возведению в степень (из уравнения а^х = Ь ищется не а, основание по показателю степени х, но х по а). Таким образом получилось 7 действий общей арифметики: сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение в степень, извлечение корня, логарифмирование, к которым иные присоединяют еще восьмое действие— нахождение числа по логарифму.

Ответ, редактор С. В. Фаличев.