Как научиться решать задачи (Фридман, Турецкий) 1989 год - старые учебники

Глава II. Сущность и структура решения математических задач

II. I, Что значит решить математическую задачу?

II. 2. Структура процесса решения задач

II. 3. Стандартные задачи и их решение

II. 4. Нестандартные задачи и их решение

Глава III. Поиск плана решения математических задач

III. 1. Распознавание вида задачи

III. 2. Поиск плана решения задачи путем сведения

к ранее решенным задачам

III. 3. Как поймать мышь в куче камней?

III. 4. Моделирование в процессах решения задач

Часть II. Методы решения задач

Глава IV. Задачи на преобразование и построение

IV. 1. Виды выражений и сущность их преобразований

IV. 2. Задачи на приведение выражений к стандартному виду

IV. 3. Задачи на упрощение выражений

IV. 4. Разложение на множители

IV. 5. Дифференцирование выражений

IV. 6. Задачи на построение

Глава V. Задачи нахождения искомого уравнений и неравенств

V. 1. Сущность решения уравнений и неравенств

V. 2. Рациональные уравнения

V. 3. Рациональные неравенства

V. 4. Иррациональные уравнения и неравенства

V. 5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

V. 6. Тригонометрические уравнения и неравенства

V. 7. Системы уравнений

V. 8. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

V. 9. Задачи на максимум и минимум

V. 10. Геометрические задачи на вычисление

Глава VI. Задачи на доказательство

VI. 1. Сущность и методы доказательства

VI. 2. Доказательство тождеств

VI. 3. Доказательство неравенств

VI. 4. Метод полной математической индукции

Ответы и указания

Предисловие

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания, но до сих пор, пожалуй, единственным методом такого обучения были показ способов решения определенных видов задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими. Поэтому все пособия для учащихся по решению задач были построены в форме сборника задач (с ответами и с некоторыми указаниями к ним).

В последние годы появился ряд пособий, в которых излагаются некоторые общие указания и рекомендации (эвристики) по решению задач, по поиску этих решений. В первую очередь это книги Д. Пойя, некоторые удачные пособия для поступающих в вузы. Однако эти пособия излагают вопросы, связанные с решением математических задач, недостаточно полно, без необходимой системы, без учета тех реальных трудностей, с которыми сталкиваются учащиеся.

Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.

Возникла необходимость разработки таких пособий, которые помогли бы преодолеть указанные причины и дали возможность учащимся планомерно сформировать у себя нужные умения и навыки в решении математических задач. Эта книга — первая попытка создать такое пособие.

Первые издания данного пособия вызвали благожелательные отклики читателей. Особую благодарность выражаем К. К. Михайловой, А. И. Фейгиной, Е. М. Больсену, которые дали ряд ценных советов по совершенствованию книги. В третье издание пособия внесены необходимые исправления и уточнения. Будем весьма благодарны всем, кто пришлет свой отзыв в адрес издательства: 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, редакция математики.

К читателям

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня вашего математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач.

И вот тут обнаруживается, что многие из вас не могут показать достаточные умения в решении задач. На всех экзаменах, как в школе, так и на приемных в вузы и техникумы, довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает, казалось бы, хорошие знания в области теории, знает все требуемые определения и теоремы, но запутывается при решении весьма несложной задачи.

За время обучения в школе каждый из вас решает огромное число задач, порядка нескольких десятков тысяч. При этом все вы решаете одни и те же задачи. А в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.

В чем причина такого положения?

Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа.

У большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут они решить задачу на доказательство, если они не знают, в чем смысл доказательства? Многие учащиеся не знают, в чем смысл решения задач на построение, зачем и когда нужно производить проверку решения и т. д.

Очевидно, что на таких представлениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения в решении задач. Наблюдения показывают, что многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. А поэтому, встретившись с задачей незнакомого типа, заявляют: «А мы такие задачи не решали». Как будто можно все виды задач заранее перерешать!

А можно ли научиться решать любые задачи?

Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ибо как бы вы хорошо ни научились их решать, всегда встретится такая задача, которую вы не сможете решить. Ведь ученые-математики тратят всю свою жизнь на то, чтобы найти решение некоторых задач. В математике известны задачи, которые ученые уже много лет решают и не могут решить.

Но если говорить о школьных задачах или о задачах, которые предлагаются на разного рода экзаменах, то каждый (!) ученик в принципе может научиться их решать. Конечно, и здесь может встретиться такая задача, которую вы с ходу не сумеете решить. Понадобится посидеть над ней, изрядно поработать для того, чтобы ее решить, но в принципе любая из таких задач вам доступна, вы можете ее решить.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо много поработать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач. Если кратко обозначить то, что нужно сделать для этого, то можно так сказать: надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение — как объект конструирования и изобретения.

Эта книга предназначена для того, чтобы помочь вам научиться решать школьные и предлагающиеся на приемных экзаменах в вузы и техникумы математические задачи. Если вы твердо захотели научиться решать задачи, то запаситесь терпением и упорством. Эту книгу нужно не просто читать, а прорабатывать. Это значит, что ее нужно читать, как говорят, с карандашом и бумагой. Надо тщательно обдумывать все, что в ней написано, додумываться до сути прочитанного. Надо терпеливо и не спеша проделать все задания, которые в ней указаны. Главное, не спешите, читайте книгу медленно, вдумчиво, возвращаясь по мере надобности к прочитанному.

Вы должны понять, что только в результате самостоятельной и упорной работы можно действительно чему-то научиться, а тем более такому сложному умению, как умение решать математические задачи.

Данная книга состоит из двух взаимосвязанных частей. В первой части даются общие сведения о задачах и их решении, рассматриваются общие методы анализа задачи и поиска ее решения. Во второй части рассматриваются методы решения некоторых наиболее часто встречающихся видов задач. Приведенные в книге задачи взяты, как правило, из школьных учебников и некоторых экзаменационных работ.

Задания для самостоятельной работы снабжены указаниями и ответами, которые помещены в конце книги. Однако не спешите заглядывать в ответы. Сначала попытайтесь самостоятельно проверить свое решение, обдумать его и лишь затем сверить с приведенным ответом.

В случае расхождения с приведенным ответом выявите причину расхождения, затем найдите свои ошибки и исправьте их.

Если у вас хватит терпения и упорства проработать эту книгу до конца, то надеемся, что вы сами почувствуете, что приобрели достаточную уверенность, чтобы не теряться при встрече с незнакомой задачей. Думаем, что теперь вы будете с желанием и интересом решать встречающиеся вам задачи.

Желаем успеха!

Часть I

ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ

Глава I

СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ЗАДАЧИ

1.1. Что такое задача?

Решение задач — это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Начнем все это изучать.

Итак, что же такое задача?

Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Все это называется анализом задачи. Вот и начнем учиться производить анализ задачи.

1.2. Условия и требования задачи

Получив задачу, мы, естественно, ее внимательно читаем.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.

Первое, что мы можем заметить при чтении этой задачи, состоит в следующем: в ней имеются определенные утверждения и требования. В ней утверждается, что «в прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см». Требование задачи состоит в том, что нужно «найти катеты треугольника».

Часто требование задачи формулируется в виде вопроса. Но всякий вопрос предполагает требование найти ответ на этот вопрос, а поэтому всякий вопрос можно заменить требованием.

Как видим, формулировка любой задачи состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи1.

1 Заметим, что иногда условием задачи называют всю формулировку задачи, т. е. все условия и требования вместе.

Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи,— это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Заметим, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных (т. е. нерасчленимых дальше) условий; требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования.

В задаче 1 можно вычленить такие элементарные условия:

1) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный;

2) в этот треугольник вписана окружность;

3) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка;

4) длина одного из этих отрезков равна 5 см;

5) длина другого отрезка равна 12 см.

Требование этой задачи можно расчленить на два элементарных:

1) найти длину одного катета треугольника;

2) найти длину другого катета треугольника.

Расчленение формулировки задачи на условия и требования не

всегда легко произвести. В ряде случаев для этого нужно переосмыслить задачу, переформулировать ее. Например.

Задача 2. Сколько цифр содержит число 2100 (в десятичной системе счисления)?

Формулировка этой задачи состоит из одного вопроса. Но, вдумавшись в этот вопрос, мы можем из него вычленить такие условия:

1) 2100 есть натуральное число;

2) его можно записать обычным образом в виде многозначного числа в десятичной системе счисления.

Тогда требование этой задачи состоит в следующем: найти, сколько цифр содержит запись этого многозначного числа.

1.3. Направление анализа задач

Вернемся к задаче 2. Анализируя эту задачу, мы вычленили такие условия: 1) 2100 есть натуральное число; 2) его можно записать обычным образом в виде многозначного числа.

Почему именно эти условия вычленены из формулировки задачи? Ведь можно было вычленить и другие условия, например: 2100 есть произведение числа 2 само на себя сто раз или 2100 есть действительное число и т. д. Но почему-то мы выделили не эти условия, а указанные выше.

Все дело в том, что, производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи.

Действительно, в задаче 2 нам нужно узнать, сколько цифр содержит число 2100. Естественно, это предполагает, что, во-первых, это число рассматривается как натуральное (ибо обычно в записи чисел другого вида число цифр не подсчитывается, а то, что оно натуральное, следует из определения степени), а во-вторых, это натуральное число записано в обычном виде в форме многозначного числа. Эти два условия мы и выделили при анализе задачи. Рассмотрим еще примеры.

Задача 4. Катер прошел 20 км по течению реки и 20 км против течения реки. Затратит ли он на весь путь больше времени, чем ему требуется на прохождение 40 км в стоячей воде, меньше или столько же?

Первичный анализ этой задачи позволяет вычленить такие условия:

1) катер прошел 20 км по течению реки; 2) он прошел 20 км против течения реки; 3) он же прошел 40 км в стоячей воде.

Но, сопоставив эти условия с требованием задачи: узнать больше, меньше или столько же времени затратил катер на первый и второй пути вместе по сравнению с третьим, мы обнаруживаем недостаточность произведенного анализа. Эта недостаточность проявляется хотя бы в том, что в условиях ничего не говорится о времени, а требование задачи сводится к сравнению промежутков времени. Поэтому нужно продолжить анализ. Для этого вдумаемся в требование задачи. Надо сравнить время движения катера по реке с временем движения этого катера в стоячей воде. От чего зависит это время? Очевидно, от собственной скорости катера, от скорости течения реки и, конечно, пройденных расстояний. Но если пройденные расстояния в формулировке задачи даны, то скорости катера и реки даже не упоминаются. Как же быть? В таких случаях эти величины, без которых решение задачи невозможно, принимаются за неопределенные параметры. Положим, например, что собственная скорость катера равна v км/ч, а скорость течения реки а км/ч. Теперь мы можем вычленить такие условия:

1) собственная скорость катера v км/ч;

2) скорость течения реки а км/ч;

3) катер проплыл 20 км по течению реки;

4) он же проплыл 20 км против течения реки;

5) на весь путь туда и обратно по реке катер затратил U ч;

6) в стоячей воде катер проплыл 40 км;

7) на этот путь он затратил h ч.

Требование задачи: сравнить U и h и установить, равны ли они или нет, а если нет, то что больше.