Часть II. Задания для самостоятельной работы…58

Введение. Почему эти темы?…58

Раздел I. Целые числа…60

§ 1. Делимость…60

§ 2. Диофантовы уравнения…60

§ 3. Разное :…62

Раздел II. Математическая индукция…65

§ 1. Суммы и произведения…66

§ 2. Неравенства…66

§ 3. Делимость…67

Раздел III. Треугольник…67

§ 1. Зависимость между углами и сторонами…67

§ 2. Разное :…68

Раздел IV. Многомерная геометрия…69

§ 1. Вводные задания…69

§ 2. Симплекс…69

Раздел V. Так ли это?…71

Раздел VI. Краткие указания…73

Раздел VII. Примерные ответы…75

Приложение 1. Разъяснения к некоторым заданиям…85

Приложение 2. Некоторые математические символы…87

Приложение 3. Рекомендуемая литература…88

ПРЕДИСЛОВИЕ

В современной общественной, производственной и научной жизни все большее значение приобретает человеческий фактор. Развитие машиностроения, робототехника постепенно освобождают человека от тяжелого, шаблонного физического труда, а развитие компьютеров позволяет надеяться, что и рутинные формы умственного труда будут переданы «умным» машинам (иногда говорят, что машины «заменяют» человека. Это, конечно, не так: машины, в том числе и компьютеры, освобождают человека от нетворческих форм труда).

Но освобождается человек не для пустого безделья, не для бездумного времяпрепровождения, а для того, чтобы иметь возможность творчески участвовать в различных сферах деятельности человеческого общества.

Способность человека быть творцом (в том числе и в области математики) воспитывается прежде всего в школе. Уже простое самостоятельное решение задач по математике — работа творческая, но это — лишь начальная ступень развития творческих сил и способностей человека. Дальнейшие шаги по этому пути — умение самому поставить вопрос, самому сконструировать задачу, пусть вначале и не очень трудную. В предлагаемой книге делается попытка систематизировать этот вид творческой работы школьника по математике.

При этом автор стремился использовать опыт творческой работы в других видах человеческой деятельности, например, изобретательском деле. Подавляющее число изобретений делается так: в известном техническом устройстве, которое называется «прототипом», изобретатель замечает возможность его усовершенствования в каком-либо отношении: ввести новые детали, изменить схему взаимодействия имеющихся деталей, заменить материал, из которого изготовлены некоторые узлы механизма и т. п. В результате изобретается новое техническое устройство («изобретение»), в чем-то отличающееся от прототипа и обладающее новыми полезными свойствами. Только незначительная часть изобретений настолько оригинальна, что не имеет прототипа. Такие изобретения называются «пионерскими». Например, пионерским было, изобретение фонографа Эдисоном. Нечто подобное мы наблюдаем и в математическом творчестве. Поэтому в этой книге читателю, как правило, предлагается тоже «прототип» — задача для решения, а потом дается задание этот прототип как-то изменить. Конечно, невозможно подсказать подлинно новаторское творчество — это высшая ступень творческой деятельности человека. В математике, например, высшими творческими способностями был наделен Архимед, впервые ставший изучать такие математические объекты, которые мы сейчас называем бесконечно малыми, изучать их отношения (дифференциальные методы) и их суммы (интегральные методы). Прошло около двух тысяч лет, прежде чем эти идеи Архимеда были достаточно глубоко поняты математиками и получили дальнейшее развитие.

Но самые высшие формы творчества не появляются на пустом месте. Самый гениальный композитор до того, как написать свои выдающиеся произведения, учил нотную грамоту и разыгрывал «гаммы» — музыкальные упражнения.

Большинство заданий, приведенных в книге, и принадлежит к «математическим гаммам», т. е. к упражнениям, способствующим развитию математического мышления, математических сил и способностей.

Для читателей, которые желали бы, чтобы их фамилии были опубликованы в печати (весьма похвальное желание!), можно рекомендовать хорошо изучить примеры задач, составленных школьниками и опубликованных в журнале «Квант». Ознакомившись с ними, читатели наглядно увидят, какие требования предъявляет редакция журнала «Квант» к задачам, достойным быть опубликованными в журнале.

Небольшое число рассматриваемых вопросов показывает более высокий уровень математического творчества. Это, например, делается в § 7 «Пример более широкого обобщения» из первой части книги, где обобщается формула суммы внутренних углов выпуклого многоугольника, и в § 1. «Зависимость между углами и сторонами» в третьем разделе второй части книги, где обобщается теорема о зависимости между углами и сторонами равнобедренного треугольника. Подобного рода обобщения уже достойны того, чтобы быть опубликованными в каком-либо популярном журнале, например, «Математика в школе», «Квант» или в сборниках типа «Математическое просвещение». Если читателю в своей творческой лаборатории удастся сконструировать нечто подобное, он может рассчитывать на появление в печати небольшой статьи за своей подписью.

И наконец, в § 2 раздела IV второй части книги даны задания по выяснению свойств симплекса, при выполнении которых получается то, что математики называют «результатом». Конечно, эти результаты можно получить, лишь внимательно прочитав популярную книгу [VIII, 3], указанную в списке рекомендуемой литературы.

Последнее утверждение о «результатах» нуждается в пояснениях, иначе читатель, ознакомившись с § 1 первой части книги, может упрекнуть автора в противоречии. В указанном параграфе говорится о том, что принимать активное участие в разработке актуальных проблем математики можно, как правило, после изучения систематического курса современной математики в университете и аспирантуре. А выше говорилось, что можно прочитать популярную книгу [VIII, 3], — и, пожалуйста, выдавай «результаты»! Это противоречие следует разъяснить так. Для того чтобы принимать участие в решении проблем, действительно актуальных, бурно развивающихся направлений современной математики, совершенно необходимо серьезное изучение этих разделов математической науки в университете и аспирантуре (часто параллельно участвуя в научной работе кафедры). Но в громадном здании математики существуют и симпатичные закоулки и тупички, мимо которых проходят те, кто желает работать, «на переднем крае», в гуще событий, посвящать свои .силы животрепещущим проблемам современной науки. Те же результаты, которые даны в IV разделе второй части книги, не являются ни актуальными, ни животрепещущими. Они принадлежат одному из тупичков в грандиозном здании математики. Поэтому, чтобы их получить, нужно лишь сравнительно недалеко выйти за рамки школьного курса математики, но нужно все-таки обладать хорошо развитым логическим мышлением. Серьезные математические журналы подобные результаты не публикуют. Но их можно опубликовать в научных изданиях меньшего ранга, например, в «Ученых записках», издаваемых институтами, в «Трудах» конференций, в сборниках статей и т. п.

Следовательно, в предлагаемой читателям книге дается вся градация творческих упражнений по математике от довольно простых до сравнительно сложных (до «результатов»), С какой целью это сделано? Ответим на этот вопрос подробно.

Ученик 9 — 10-х классов средней школы — предполагаемый читатель этой книги — должен уже серьезно задумываться над своим^ будущим, над выбором профессии. Среди множества профессий, для овладения которыми необходимо обучение в высшем учебном заведении, целый ряд профессий (число их все увеличивается) требуют основательного знания математики. Это — различные инженерные профессии, профессии экономиста, физика, преподавателя математики средней школы и др. И, наконец, профессия математика, основное занятие которого — развивать математику дальше, открывать новые математические соотношения, создавать новые математические теории или (что бывает-значительно чаще) преподавать математику в ВУЗах и университетах, параллельно занимаясь и математической наукой.

Для овладения этими профессиями необходимы, прежде всего, основательные знания школьного курса математики. Но для овладения профессией математика этого недостаточно. Требуется еще наличие творческих способностей в области математики. А что такое творческие способности? Четкого ответа на этот вопрос психология не дает. Но практика показывает: если школьник проявляет большой интерес к математике, если он с успехом, а часто и с удовольствием решает трудные математические задачи (или хотя бы разбирает их решения), помещенные в сборниках олимпиадных задач, в журнале «Квант», в книгах библиотеки математического кружка, то с большой уверенностью можно предположить, что у этого школьника имеются определенные математические способности.

Эту же цель — дать возможность школьнику проверить себя в области творческой работы по математике — преследует и данная книга.

Самостоятельное выполнение школьником даже более простых заданий, приведенных во второй части этой книги, — это творческая работа, показывающая наличие у школьника определенных математических способностей. Тем более наличие таких способностей выявится, если читатель сможет самостоятельно сконструировать задачу или сумеет обобщить какую-либо теорему из школьного курса математики. Более сложные и абстрактные задания, предложенные в разделе IV, покажут читателю, что математическое творчество — дело все-таки трудное, это не игра. Автор надеется также, что самостоятельное выполнение заданий, приведенных в книге, поможет школьнику развить имеющиеся у него математические способности, будет содействовать вдумчивому решению математических задач (нельзя ли эту задачу как-то усовершенствовать, изменить или обобщить?), критическому отношению к предложенному решению.

Способности и таланты человека часто многогранны, молодой человек внутренне ощущает интерес и стремление к различным родам деятельности, колеблется. Великий математик Карл Фридрих Гаусс (1777 — 1855) в молодости колебался: посвятить ли свои силы развитию филологии или математики? К счастью для математики, Гаусс избрал математику и еще при жизни был удостоен почетного неофициального титула: «Король математиков».

В пользу выбора математики в качестве профессии можно привести много доводов. Например, каждая истина, открытая в математике, — это вечная истина; человек, работающий творчески в области математики, ощущает всю красоту строгих логических построений математики, у него богатые эмоциональные и эстетические переживания. Математика все более проникает в другие науки. Математик, в случае возникновения у него интереса к другим областям знаний, может, как показывает практика, творчески работать и в новой для него области знаний.

— А где же польза для общества? — спросит читатель. Наибольшей пользой для общества является полное развитие у каждого человека его творческих сил и способностей.

Июль, 1985.