Skip to main content

Концепции современной математики (Стюарт) 1980 год - старые книги

Советская нехудожественная литература

 Концепции современной математики (Стюарт) 1980

Описание: Предназначена для широкого круга читателей. Перевод с английского

В увлекательной форме с помощью множества примеров рассматриваются цели» методы, проблемы и области применения многих важнейших отраслей современной математики. Для понимания основных идей достаточно знания школьного курса математики.

© "Вышэйшая школа" Минск 1980

Авторство: Ян Стюарт

Формат: PDF Размер файла: 17.3 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Оглавление

Предисловие к русскому изданию

Предисловие

Благодарности

Глава 1. Математика в целом

Глава 2. Движение без перемещения

Глава 3. Кратчайшие пути в высшей арифметике

Глава 4. Язык множеств

Глава 5. Что такое функция?

Глава 6. Основы абстрактной алгебры

Глава 7. Симметрия: понятие группы

Глава 8. Аксиоматика

Глава 9. Счет. Понятие о бесконечном

Глава 10. Топология

Глава 11. Умный в гору не пойдет

Глава 12. Топологические инварианты

Глава 13. Алгебраическая топология

Глава 14. В гиперпространство

Глава 15. Линейная алгебра

Глава 16. Вещественный анализ

Глава 17. Теория вероятностей

Глава 18. Компьютеры и их применение

Глава 19. Применения современной математики

Глава 20. Основания математики

Примечания

Обозначения

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Концепции современной математики (Стюарт) 1980 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

Предисловие к русскому изданию

Предлагаемая вниманию советских читателей книга Яна Стюарта при сравнительно небольшом объеме отличается очень широким охватом материала. В ней автор на конкретных математических объектах и в популярной форме излагает основные понятия, а также некоторые идеи и методы современной математики. Книга состоит из 20 небольших глав, первая из которых имеет характер введения и посвящена общим вопросам методологии математики (абстрактность и общность, интуиция и формализм, цели математики, ее полезность и другие). В остальных 19 главах книги рассматриваются более конкретные вопросы. Во второй главе автор обсуждает геометрические преобразования (в основном, движения) и показывает их роль при доказательстве геометрических теорем. В следующей главе рассматривается арифметика вычетов и некоторые ее теоретико-числовые приложения. Глава 4 посвящена изложению теоретико-множественного языка и элементов алгебры множеств. В главе 5 обсуждается общее понятие отображения (функции) и связанная с ним терминология. Две следующие главы посвящены элементам общей алгебры. Здесь вводятся понятия кольца и поля, приводятся примеры и даются интересные приложения. Понятие группы и элементы теории групп обсуждаются на примере групп симметрий, демонстрируются методы теории групп, позволяющие классифицировать группы с точки зрения изоморфизма. В главе 8 на геометрическом маргинале обсуждается аксиоматический метод в математике, рассматриваются понятия непротиворечивости, независимости и полноты систем аксиом. В следующей главе рассматривается понятие мощности конечных и бесконечных множеств, устанавливается существование трансцендентных чисел. Главы 10— 14 посвящены популярному изложению топологии. Обсуждается топологическая эквивалентность, топологические теоремы существования, теорема Эйлера о многогранниках и ее приложения к теории графов и к проблеме четырех красок. Далее рассматриваются топологические инварианты поверхностей — эйлерова характеристика и свойство ориентируемости, на этой основе дается топологическая классификация конечных поверхностей. Затем автор переходит к элементам алгебраической топологии. Вводится понятие гомотопных путей, гомотопических классов, фундаментальной группы топологического пространства, показывается ее топологическая инвариантность, рассматриваются примеры на вычисление фундаментальных групп. Рассмотрены также формула Эйлера для пространств высших размерностей, гомотопические группы высших размерностей. Эта часть книги окажется наиболее интересной для советского читателя, так как наша научно-популярная литература по топологии крайне бедна, особенно в той части, которая касается алгебраической топологии. Остальные главы книги посвящены соответственно элементам линейной алгебры, вещественного анализа, теории вероятностей, вычислительным машинам и программированию, некоторым приложениям современной математики (линейное программирование, катастрофы) и основаниям математики. Каждая из перечисленных дисциплин сама по себе достаточно обширна, однако автор касается не столько наиболее ярких, сколько некоторых популярных вопросов этих наук. Очевидно, по своим научным интересам автор стоит ближе к алгебре и топологии, поэтому последние пять глав книги читаются с меньшим интересом, чем предыдущие.

Не все в книге представляется бесспорным. Например, в первой главе автор утверждает, что математическая теория проходит путь, начиная от задачи, которую «математик решает ради удовольствия», и до приложений ее в практике, в производстве. Здесь автор склонен идеализировать ситуацию, пренебрегая тем фактом, что задача, которую «математик решает ради удовольствия», сама в конечном счете появилась из практики (возможно, в результате относительно самостоятельного развития математики).

Книга написана простым, ясным языком, хорошо иллюстрирована и не лишена юмора. Удачен подбор примеров, на которых демонстрируются математические понятия и идеи. Все это делает чтение книги не только полезным, но и увлекательным.

Ввиду разнообразия материала и доступности изложения книга, несомненно, будет с интересом встречена читателями. Это учащиеся и преподаватели средних учебных заведений, студенты и преподаватели вузов и вообще все, кто интересуется современными концепциями математики и вопросами се преподавания.

Доктор физико-математических наук, профессор

Э. И. Зверович

Предисловие

Когда-то давным-давно родители могли помогать своим детям делать уроки. «Модернизация» школьного курса математики сильно уменьшила эту возможность: родителям, которые все же не захотят отказаться от таких намерений, придется самим осваивать массу нового материала, который будет казаться им, как правило, странным и ненужным. Один мой друг — учитель— рассказывал, что его ученики шумно требовали, чтобы их учили «настоящей математике,— той, которой учили их мам и пап». Этот интересный факт, кстати, проливает дополнительный свет на то, как у детей формируются мнения. Многие учителя тоже считают, что научиться математике нового стиля очень трудно.

И это весьма печально. Новые программы по математике вводились с целью содействовать лучшему пониманию этого предмета взамен бездумного манипулирования символами. Ведь настоящий математик работает не с числами, а с понятиями.

Данная книга — попытка рассеять предубеждение. При встрече с неизведанным всегда возникают опасения, и лучший способ их побороть состоит в том, чтобы посмотреть, как это новое работает, что оно умеет делать и почему ему это удается. Когда новое становится привычным, страхи рассеиваются сами собой. Разумеется, эта книга не есть «справочник по современной математике». Автор попытался описать цели, методы, проблемы и применения современной математики, раскрыть повседневную деятельность работающего математика.

Я предпочел бы не требовать от читателя никаких предварительных знаний из области математики, но здесь мне пришлось пойти на компромисс. Читателю понадобится кое-какое знакомство с алгеброй, геометрией и тригонометрией, а также некоторое представление о графиках. Я старался избегать дифференциального и интегрального исчисления; хотя оно кое-где и упоминается, это несущественно для изложения,

Важнее любых предварительных знаний я считаю готовность воспринимать новые идеи и искреннее желание понять. Математика не относится к числу легких предметов — стоящие предметы не бывают легкими, зато как щедро вознаграждает она усвоившего! Математика стала частью нашей культуры, и никто не вправе считать себя истинно образованным человеком, не имея представления, что такое математика и чем она занимается. Более того, математика — наука глубоко человеческая, в ней есть свои триумфы и падения, крушения и озарения.

Итак, приступим!

Автор

Благодарности

Цитата в гл. 2 из книги А. Милна «Винни-Пух» и эпиграф к гл. 9 из книги того же автора «Дом на Пуховой опушке» (A. A. Milne, Winnie-the-Pooh; The House at Pooh Corner) приведены с разрешения издательства Methuen and Co. Ltd и г-на К. P. Милна, которому принадлежит авторское право на эти произведения. Эпиграф к гл. 8 из книги Ст. Темерсона «Фактор Т» (Stefan Themerson, Factor Т) печатается с разрешения издательства Gaberbocchus Press Ltd. Классификация поверхностей в гл. 12 приводится в сокращенном виде по книге Э. К. Зимана «Введение в топологию» (Е. С. Zeeman, Introduction to Topology), которая готовится к изданию, и включена с разрешения проф. Зимана, однако любые неточности, которые могли возникнуть в результате сокращения, лежат на совести автора. Всем упомянутым лицам и издательствам автор выражает свою искреннюю благодарность.

Глава 1

МАТЕМАТИКА В ЦЕЛОМ

Трудно дать представление о том, сколь обширна современная математика.

А. Кэли, из речи 1883 г.

Внезапный переход в наших школах к «современной математике» мог создать впечатление, что математика утратила контроль над собой, отбросила все свои традиционные идеи и понятия и вместо них вывела на сцену странные и нелепые создания, которые вряд ли кому-нибудь и когда-нибудь понадобятся.

Это не совсем точная картина. Большая часть «современной математики», которой сейчас учат в школах, существует, по самым скромным оценкам, уже более века. Дело в том, что в математике как науке новые идеи естественным путем развивались из старых и впитывались постепенно с течением времени. В школьные же курсы целый ряд новых понятий был введен сразу и, как правило, без всякого обсуждения их связи с традиционными понятиями.

Абстрактность и общность

Одна из наиболее заметных особенностей современной математики — это тенденция ко все более высокой степени абстракции. Каждое сколько-нибудь важное понятие охватывает не один, а много различных объектов, которые, однако, имеют какое-то общее свойство. Абстрактная теория выводит следствия из этого свойства, которые затем можно применить к любому из рассматриваемых объектов.

Так, например, понятие «группы» относится и к жестким движениям в пространстве, и к симметриям геометрических фигур, и к аддитивной структуре на множестве целых чисел, и к деформациям кривых в топологическом пространстве. Общим свойством во всех перечисленных случаях является возможность составить такую комбинацию двух данных объектов, которая дает в результате объект той же природы. Два жестких движения, выполненные последовательно одно за другим, снова дают жесткое движение; сумма двух целых чисел — целое число; две кривые, смыкающиеся концами, образуют новую кривую.

Абстракция и обобщение идут рука об руку. Главным достоинством обобщения является экономия работы. Нелепо доказывать одну и ту же теорему четыре раза в четырех разных ситуациях, когда ее можно доказать один раз в общей постановке, не зависящей от конкретного типа объектов.

Вторая характерная черта современной математики — широкое использование в ней языка теории множеств. В сущности это всего лишь здравый смысл, облеченный в математические символы. Математику, в особенности когда она становится более общей, интересуют уже не столько конкретные объекты, сколько их совокупности. То, что 5 = 4+1, не так уж важно. А вот то, что всякое простое число вида 4п+1 является суммой двух квадратов, — гораздо более содержательно. Это последнее утверждение касается всей совокупности простых чисел, а не какого-то отдельного простого числа.

Множество — это и есть совокупность. Другое слово используется скорее из психологических соображений, чтобы избежать ненужных ассоциаций *. Множества можно различными способами комбинировать и получать другие множества, подобно тому как разные операции над числами (сложение, вычитание, умножение...) приводят к другим числам. Общую теорию арифметических операций называют алгеброй; по аналогии можно разработать алгебру множеств.

Множества имеют перед числами определенные преимущества, особенно с точки зрения обучения. Они могут оказаться более конкретными. Скажем, нельзя показать ребенку какое-то число («Я держу в руках число 3»), зато можно показать ему какое-то число определенных предметов: три конфетки, три шарика, т. е. по существу множество конфет, множество шариков. И хотя, как правило, рассматриваемые в математике множества не конкретны — обычно это множества чисел или функций, — основные операции теории множеств можно продемонстрировать на конкретном материале.

Теория множеств играет в математике более существенную роль, чем арифметика, и хотя основные принципы — не всегда лучшая отправная точка, для понимания современной математики без теории множеств не обойтись. По этой причине в гл. 4 и 5 обсуждаются основные понятия теории множеств, а в последующих главах свободно используется язык теории множеств, хотя я старался держаться на самом элементарном уровне. Но было бы неправильно переоценивать теорию множеств саму по себе: это всего-навсего удобный язык, и если вы в совершенстве владеете им и больше ничего из математики не знаете, едва ли от вас будет много проку. Наоборот, если вы знаете «много математики» и совсем незнакомы с теорией множеств, вы, возможно, достигнете крупных успехов. Но если вы знаете что-то и из теории множеств, вы будете значительно лучше понимать язык математики.

Интуиция и формализм

Тенденция ко все большей общности сопровождается ростом требований, предъявляемых к логической строгости. Евклида теперь критикуют за отсутствие в его системе аксиомы о том, что всякая прямая, проходящая через точку внутри треугольника, должна где-то пересечь тре

угольник. Эйлерово определение функции как «кривой, свободно проведенной от руки» портит математикам всю игру и страдает к тому же неопределенностью (что такое «кривая»?). Однако в заботе о логической безупречности легко хватить через край, заменив словесные рассуждения потоком логических символов и слепым применением стандартных приемов. В этом направлении можно далеко зайти (а тут и не слишком далеко — уже весьма далеко) и вместо того, чтобы углубить понимание, начисто его утратить.

В то же время требование большей строгости — не пустая прихоть. Чем сложнее и обширнее становится предмет, тем важнее выработать критический подход к нему. Социолог, пытающийся осмыслить массив статистических данных, вынужден отказаться от тех из них, которые получены в результате недобросовестных экспериментов или сомнительных выводов. То же происходит и в математике. Слишком часто «очевидное» оказывалось неверным. Существуют геометрические фигуры, не имеющие площади. Согласно Банаху и Тарскому2, можно разрезать круг на пять частей и сложить из них два круга того же размера, что исходный. С точки зрения понятия площади это невозможно, но дело в том, что эти части не имеют площади.

Логическая строгость оказывает сдерживающее воздействие, неоценимое в опасных обстоятельствах, а также тогда, когда речь идет о тонкостях. Существуют теоремы, в справедливости которых убеждены большинство математиков, и тем не менее, пока их кто-нибудь не докажет, они останутся необоснованными предположениями и могут применяться только в роли предположений.

Особое внимание к строгости необходимо при доказательстве невозможности чего-либо. То, что невозможно сделать одним способом, иногда легко выполнить другим, поэтому на всех этапах такого рода доказательств требуется большая аккуратность. Существуют доказательства неразрешимости в радикалах уравнений пятой степени и доказательства невозможности трисекции угла при помощи циркуля и линейки. Это важные теоремы, так как они перекрывают пути бесполезных изысканий. Но если нам нужна уверенность в том, что подобные поиски действительно бесплодны, наша логика должна быть безупречной.

Доказательства невозможности весьма характерны для математики. Ведь это, пожалуй, единственный предмет, который полностью отдает себе отчет в своих ограничениях. Временами это становится наваждением, и люди тратят больше сил на то, чтобы доказать невозможность какого-то построения, чем на то, чтобы найти способ его выполнить! Если бы самопознание было добродетелью, математики могли бы образовать племя святых.

Однако логика — это еще не все. Никакая формула сама по себе никогда еще ничего не подсказала. Логика может применяться для решения задач, но она не подскажет нам, какие задачи стоит решать. Никому еще не удалось формализовать значение. Чтобы понять, что имеет значение, а что нет, требуется опыт, а еще то трудно определимое качество интеллекта, которое называют интуицией.

Я не могу объяснить, что я сам понимаю под интуицией. Просто это то, чем живет настоящий математик (или физик, инженер, поэт). Интуиция позволяет ему «ощущать» свой предмет, видеть, что теорема верна, еще не зная ее формального доказательства, а потом придумывать это доказательство.

Практически каждый человек в какой-то мере обладает математической интуицией. Ею наделен ребенок, складывающий картинку из кубиков, ею обладает всякий, кому удалось уложить вещи в багажник автомобиля, перед тем как всей семьей отправиться на нем в отпуск. Главной целью подготовки математиков следовало бы сделать оттачивание их интуиции до такой степени, что

бы она превратилась в управляемое орудие исследования.

Много бумаги истрачено на споры о преимуществе строгости перед интуицией и, наоборот, интуиции перед строгостью. Обе эти крайности бьют мимо цели: вся сила математики — в разумном сочетании интуиции и строгости. Контролируемый дух и вдохновенная логика! Все мы знаем людей блестящих способностей, идеи которых никогда не воплощались в конкретные результаты, и других — организованных и аккуратных, которые так и не создали ничего стоящего, потому что были слишком заняты тем, чтобы все было аккуратно и организованно. Надо избегать обеих крайностей.

О картинках

При изучении математики психологический аспект часто важнее логического. Мне приходилось присутствовать на лекциях, в которых все было потрясающе логично, но слушатели ничего не понимали. Интуитивные соображения должны выступать первыми и лишь потом подкрепляться формальным доказательством. Интуитивные рассуждения позволяют нам понять, почему должна быть верной та или иная теорема, а затем уже при помощи прочных логических обоснований можно убедиться, что она действительно справедлива.

В последующих главах я буду стараться подчеркивать интуитивную сторону математики. Вместо строгих доказательств я попытаюсь дать читателю представление о лежащих в их основе идеях. В хороших учебниках должно было бы быть и то, и другое, но, к сожалению, лишь немногие из них отвечают этому идеалу.

Некоторые математики, может быть 10 из 100, мыслят формулами, Такова их интуиция. Но остальные мыслят образами: их интуиция геометрическая. Картинки несут гораздо больше информации, чем слова, В течение мно

гих лет школьников отучали пользоваться картинками, потому что «они не строгие». Это печальное недоразумение. Да, они не строгие, но они помогают думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать.

Зачем!

Имеется множество причин для занятий математикой, и едва ли кто-нибудь из читателей станет требовать, чтобы ему тут же немедленно доказали правомерность существования математики, а не то он дальше читать не будет. Математика красива, стимулирует интеллектуально и даже полезна.

Большинство вопросов, которые я собираюсь рассмотреть, взяты из чистой математики. Чистая математика ставит перед собой в качестве цели не практические применения, а интеллектуальное удовлетворение. Этим она напоминает изящные искусства: мало найдется людей, которые требовали бы практической пользы, например, от живописи. (Однако в отличие от искусства в математике существуют повсеместно принятые критерии.) Но вот что замечательно: почти вопреки самой себе чистая математика полезна! Позвольте привести пример.

В начале 18 в. математики затратили много усилий на изучение волнового уравнения — уравнения в частных производных, описывающего колебания струны или распространение волн в жидкости. Несмотря на физическое происхождение, это была чисто математическая задача — о практическом применении волн никто не думал. В 1864 г. Максвелл предложил систему уравнений для описания электрических явлений. Из этих уравнений путем несложных преобразований получилось уже известное волновое уравнение. На основе этого факта Максвелл предсказал существование электромагнитных волн. В 1888 г. Герц экспериментально подтвердил предсказание Максвелла, осуществив в своей лаборатории прием

радиоволн. И, наконец, в 1896 г. произошла первая радиопередача.

Ход событий весьма типичен: именно таким путем, как правило, становится полезной чистая математика. Все начинается с задачи, которую математик решает ради удовольствия. Затем приходит теоретик, который применяет математический результат, но не делает никаких попыток проверить свою теорию. Его сменяет ученый-экспериментатор, который подтверждает теорию, но не предлагает ей никакого употребления. И наконец, появляется человек практики, который на этой базе выдает товар жаждущему миру.

Та же последовательность событий наблюдалась при открытии и разработке атомной энергии, теории матриц (которая нашла применение в технике и экономике), теории интегральных уравнений.

Обратите внимание на интервалы времени: от волнового уравнения до радиопередатчика — 150 лет; от дифференциальной геометрии до атомной бомбы— 100 лет; от первого появления матриц (в работах Кэли) до их применения экономистами 100 лет. Интегральным уравнениям понадобилось 30 лет, чтобы пройти путь от момента, когда Курант и Гильберт превратили их в полезный математический инструмент, до момента, когда они пригодились в квантовой теории, а это произошло за много лет до того, как сама квантовая теория нашла практические применения. В те времена никто и подумать не мог, что математика, которой они занимаются, понадобится столетие или более спустя!

Означает ли это, что надо приветствовать занятия любыми математическими задачами, даже теми, которые сейчас кажутся не представляющими ни малейшего интереса, ибо есть небольшой шанс, что именно они понадобятся физикам к 2075 г.?

И волновое уравнение, и дифференциальная геометрия, и матрицы, и интегральные уравнения признавались

важными в математике уже в то время, когда они только появились. Математика устроена так, что ее части тесно связаны между собой, и развитие одной части затрагивает другие. Это позволяет говорить о некоем «теле» математики, имеющем свои главные и второстепенные «органы». Важным признается то, что затрагивает главную часть «организма». Даже совсем новые методы доказывают свою важность на проблемах «главного направления». Почти вся математика, нашедшая практические применения, относится именно к главной части организма.

Получается, что торжествует математическая интуиция? Или просто то, что не признано важным, никогда не развивают до такого уровня, когда бы оно могло стать полезным? Не знаю. Однако бесспорно, что те математические теории, которые по единодушному мнению математиков считаются тривиальными или несущественными, никогда не окажутся полезными. Теория обобщенных левых псевдоскопищ не держит в своих руках ключей от будущего.

И все же некоторые очень изящные и важные математические результаты не находят практического применения просто потому, что реальный мир устроен иначе. Один физик-теоретик заработал себе прочный авторитет тем, что, исходя из весьма общих математических соображений, вывел формулу для радиуса Вселенной. Это была очень впечатляющая формула, щедро начиненная константами е, с, ht несколько раз в ней встречалось число л и много квадратных корней. Поскольку он был убежденным теоретиком, его не беспокоили численные значения. Прошло несколько лет, пока нашелся человек, которому захотелось узнать, чему равен радиус Вселенной.

Оказалось, 10 сантиметрам.

Глава 2

ДВИЖЕНИЕ БЕЗ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Геометр — разновидность гусеницы.

Старый словарь.

Геометрия — одно из самых мощных средств человеческого мышления. Мы воспринимаем окружающий мир в основном при помощи зрения, а геометрическая интуиция тесно связана со зрением. В геометрии часто в буквальном смысле можно увидеть то, что происходит. Например, теорема Пифагора становится почти очевидной, если посмотреть на рис. 1.

Более того, вызываемое этой картинкой интуитивное ощущение справедливости теоремы нетрудно превратить в логически строгое доказательство, и благодаря привлечению на помощь интуиции это доказательство очень убедительно.

Геометрия в стиле Евклида (а до недавнего времени только с ней и сталкивалось большинство людей) не одобряет обращения к картинкам и пользуется вместо этого высокопарными рассуждениями по существу алгебраического характера, основанными на понятии конгруэнтности треугольников. В итоге все геометрические идеи сводятся к свойствам треугольников.

Понятие конгруэнтности достаточно наглядно: два треугольника конгруэнтны, если они одинаковой формы и одного размера. Однако дети часто находят трудными те рассуждения с конгруэнтными треугольниками, которые применяются для доказательства теорем. Первая «трудная» теорема евклидовой геометрии стала камнем преткновения как раз из-за сложных манипуляций конгруэнтными треугольниками в ее доказательстве. (Были и другие проблемы: в 50-е годы 18 в. от школьников требовалось не только воспроизводить доказательства самого

Популярная математика - ДЛЯ ШИРОКОГО КРУГА, ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

★ВСЕ➙ Перевод с иностранного, Популярная математика, Автор - Ян Стюарт, Математика - Перевод с иностранного

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика