Skip to main content

Курс математического анализа - Том 2 (Бохан, Егорова, Лащенов) 1972 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

{spoiler=ОТКРЫТЬ: оглавление полностью...}

Назначение: Учебное пособие для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов

Предлагаемый курс математического анализа рассчитан на студентов-заочников. Хотя существует большое количество учебников по математическому анализу, которыми пользуются студенты стационарных вузов, однако эти учебники рассчитаны, как правило, на то, что студент изучает их параллельно со слушанием лекций и имеет постоянный личный контакт с преподавателем. Заочник работает в других, более трудных условиях, и поэтому он нуждается в таких дополнительных пособиях, которые могли бы хоть частично облегчить его работу. К такому типу пособий относится и этот курс, составленный сотрудниками кафедры математического анализа Ленинградского педагогического института имени А. И. Герцена

© "Просвещение" Москва 1972

Авторство: Константин Алексеевич Бохан, Ирина Александровна Егорова, Константин Васильевич Лащенов

Формат: PDF Размер файла: 16.9 MB

 

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

РАЗДЕЛ V

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Глава XIV, Предел и непрерывность функции нескольких переменных

§ 1 Основные понятия 4

§ 2 Предел функции двух переменных 11

§ 3 Непрерывность функции двух переменных 16

Глава XV. Дифференцирование функций нескольких переменных

§ 1 Частные производные функции нескольких переменных 21

§ 2 Полное приращение функции нескольких переменных 28

§ 3 Производные сложных функций нескольких переменных 31

§ 4 Полный дифференциал функции нескольких переменных 35

§ 5 Дифференциалы высших порядков 41

§ 6 Неявные функции и их дифференцирование 45

§ 7 Производная по направлению. Градиент 53

Глава XVI. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных

§ 1 Формула Тейлора для функции двух переменных 57

§ 2 Касательная к плоской кривой 60

§ 3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности 61

📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ....

§ 4 Семейство кривых на плоскости. Огибающая и дискриминантная кривые 65

§ 5 Экстремумы функций нескольких переменных 68

§ 6 Наибольшие и наименьшие значения функции двух переменных в области 71

§ 7 Относительные экстремумы 74

§ 8 Дифференцирование под знаком интеграла 79

РАЗДЕЛ VI

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Глава XVII. Двойные интегралы

§ 1 Вводные замечания 81

§ 2 Определение двойного интеграла 82

§ 3 Условия существования двойного интеграла 84

§ 4 Задача об объеме цилиндрического бруса 86

§ 5 Основные свойства двойных интегралов 88

§ 6 Вычисление двойного интеграла 91

§ 7 Двойной интеграл в полярных координатах 103

§ 8 Отображение плоских областей . 112

§ 9 Площадь в криволинейных координатах 117

§ 10 Замена переменных в двойном интеграле 121

§ 11 Площадь поверхности 124

§ 12 Механические и физические приложения двойного интеграла 128

Глава XVII/? Тройные интегралы

§ 1 Определение 134

§ 2 О вычислении тройного интеграла 135

§ 3 О преобразовании тройного интеграла к цилиндрическим и сферическим координатам 136

§ 4 О вычислении массы и центра тяжести тел 139

Глава XIX. Криволинейные интегралы

§ 5 Криволинейные интегралы первого типа 142

§ 6 Вычисление криволинейных интегралов первого типа 147

§ 7 Криволинейные интегралы второго типа 152

§ 8 Вычисление криволинейных интегралов второго типа 156

§ 9 Формула Грина -Остроградского 162

§ 10 Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования . . 167

§ 11 Приложения криволинейных интегралов 177

§ 12 Скалярное и векторное поле. Понятие потенциального поля ...... 182

РАЗДЕЛ VI1 РЯДЫ Глава XX. Числовые ряды

§ 1 Основные понятия 185

§ 2 Основные свойства сходящихся рядов '. . . 189

§ 3 Положительные ряды 193

§ 4 Знакочередующиеся ряды 209

§ 5 Абсолютно сходящиеся ряды 212

§ 6 Необходимый и достаточный признак сходимости ряда 220

Глава XXI. Функциональные ряды

§ 7 Равномерная сходимость 224

§ 8 Некоторые свойства равномерно сходящихся рядов 231

§ 9 Степенные ряды 235

Глава XXII. Разложение функций в степенной ряд

§ 10 Ряд Тейлора 247

§ 11 Разложение дробно-рациональных функций в ряд Тейлора 250

§ 12 Разложение показательной и тригонометрических функций в ряд Тейлора 252

§ 13 Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора 255

§ 14 Разложение степенной функции в ряд Тейлора 258

§ 15 Применение рядов к приближенным вычислениям 263

§ 16 Применение рядов к раскрытию неопределенностей 274

РАЗДЕЛ VIII

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Глава XXIII. Основные сведения о функциях комплексной переменной § 1. Предел последовательности комплексных чисел 276

§ 17 Числовые ряды в комплексной области 277

§ 18 Степенные ряды в комплексной области . . k . 279

§ 19 Функции комплексной переменной 282

§ 20 Производная функции комплексной переменной 284

§ 21 Условна существования производной 285

Глава XXIV. Элементарные функции комплексной переменной

§ 1 Целые рациональные и дробно-рациональные функции 289

§ 2 Определение показательной функции и тригонометрических функций.

Формулы Эйлера " " . " *-

§ 3 Свойства показательной функции # " я 292

§ 4 Свойства тригонометрических функций o , . 293

§ 5 Гиперболические функции . . . . 297

§ 6 Логарифмическая функция 299

§ 7 Степенная функция ... * * " 302

§ 8 Общая показательная функция и общая логарифмическая функция . 305

§ 9 Обратные тригонометрические функции 307

РАЗДЕЛ IX ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава XXV. Дифференциальные уравнения первого порядка

§ 10 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 309

§ 11 Основные понятия * 317

§ 12 Геометрическое истолкование основных понятий 328

§ 13 Понятие об особых решениях 330

§ 14 Уравнения с разделяющимися переменными . . е * 334

$ 6. Однородные уравнения 339

§ 15 Линейные уравнения 345

§ 16 Уравнения в полных дифференциалах 350

§ 17 Ортогональные траектории 353

Глава XXVI. Дифференциальные уравнения порядка выше первого

§ 18 Основные понятия 356

§ 19 Способы понижения порядка дифференциальных уравнений 359

§ 20 Дифференциальные уравнения порядка выше второго 364

Глава XXVII. Линейные дифференциальные уравнения

§ 1 Основные понятия 366

§ 2 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 367 § 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 374 § 4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами 378

§ 5 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 382

§ 6 Применение линейных дифференциальных уравнений в изучении колебательных явлений 393

§ 7 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков f . . . . . , 400

РАЗДЕЛ X РЯДЫ ФУРЬЕ. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ Глава XXVIII. Ряды Фурье

§ 1 Тригонометрический ряд 407

§ 2 Ряд Фурье 409

§ 3 Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций 412

§ 4 Сходимость ряда Фурье 413

§ 5 Разложение функции, заданной в промежутке [0, л], в тригонометрический ряд 419

§ 6 Разложение в тригонометрический ряд функции, заданной в промежутке [- /, I] 424

Глава XX.IX. Уравнение колебания струны

§ 7 Постановка задачи о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах 427

§ 8 Решение задачи о свободных колебаниях закрепленной на концах струны методом Фурье 430

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник СССР - Курс математического анализа - Том 2 (Бохан, Егорова, Лащенов) 1972 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

Раздел V

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ГЛАВА XIV

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

При изучении различных процессов, протекающих в природе, мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух переменных величин. Например, при изучении процесса распространения тепла в каком-либо неоднородном теле мы должны исследовать величину температуры в разных точках тела в разные моменты времени. Положение точки в трехмерном пространстве в декартовой системе координат определяется тремя числами х, у и г. Поэтому фактически в указанном процессе надо изучать совместное изменение пяти переменных величин: трех координат точки, времени и температуры. Изучая процесс поперечных колебаний упругой пластинки, мы исследуем совместное изменение четырех величин: двух декартовых координат, определяющих положение точки на пластинке, времени и величины смещения в каждой точке пластинки. Изучая смещение точек натянутой струны при ее поперечных колебаниях, мы исследуем совместное изменение трех величин: одной координаты, определяющей положение точки на струне, времени и величины смещения в каждой точке струны.

В первых двух разделах настоящей книги мы намеренно ограничивались изучением совместного изменения только двух переменных величин, так как математическая теория в этом случае была наиболее простой. Теперь надо перенести основные идеи и методы дифференциального исчисления на более общие случаи совместного изменения нескольких переменных.

Читателю настоятельно рекомендуется сравнивать каждое новое вводимое понятие с уже известными аналогичными понятиями для функции одной переменной и уяснять, какие изменения в этих основных понятиях вызываются увеличением числа переменных.

Во всяком конкретном процессе можно всегда выяснить, какие из участвующих в этом процессе величин можно считать независимыми переменными. В приведенных выше примерах видно, что время и координаты точек исследуемого объекта можно считать независимыми переменными, так как мы можем сами указывать, в какой момент и в какой точке мы будем измерять, например, температуру или смещение. Значения же температуры или смещения

ГЛАВА XXIX

УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУНЫ, ЗАКРЕПЛЕННОЙ НА КОНЦАХ

Рассмотрим однородную упругую струну, натянутую вдоль оси ОХ и закрепленную за два конца. Пусть в какой-то момент времени струна выводится из этого состояния покоя (например, щипком или нажимом в какой-либо ее точке) и затем внешнее механическое воздействие на струну прекращается. Струна начинает колебаться, и ее колебания будем называть свободными колебаниями. Предположим, что колебания происходят так, что каждая точка струны отклоняется по перпендикуляру к оси ОХ, и все эти перпендикуляры лежат в одной и той же плоскости. Будем, кроме того, изучать «малые» колебания струны, то есть такие колебания, при которых наклон струны к оси ОХ (то есть угол между касательной к струне и осью ОХ) остается все время очень малым.

В учебниках по математической физике выводится уравнение движения точек струны при сделанных выше предположениях.

Если обозначить через и (х, t) смещение (по перпендикуляру к оси ОХ) точки струны с абсциссой х в любой момент времени (см. рис. 119), то уравнение свободных малых колебаний струны имеет вид:

д2и о д2и — — ст — dt* а дх*

(1)

где а2 есть положительная постоянная, величина которой определяется материалом струны и ее натяжением. Уравнение (1) представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.

Для того чтобы изучить эти колебания струны, надо найти выражение через х и t для смещения и(х, t), то есть надо найти решения дифференциального уравнения (1). Функция и (х, t) не только должна быть решением уравнения (1), но и должна удовлетворять еще некоторым требованиям, вытекающим из самой постановки задачи. Во-первых, как было указано вначале, струна закреплена за два конца. Пусть длина струны равна I и левый ее конец находится в начале координат. Тогда, так как закрепленные два конца

струны не смещаются при колебаниях струны, то

u(t, 0) = 0, и(1, 0 = 0.

(2)

Условия (2) называются краевыми условиями задачи.

Кроме того, можно считать известными начальные условия задачи, то есть можно считать, что в начальный момент времени (при 0), то есть в начале движения, были известны начальные смещения любой точки струны и начальная скорость любой точки струны. Так как скорость движения любой точки струны равна то начальные условия задачи можно записать в виде

и(х, 0) = /(х)

(3)

(4)

где f(x) и F (х) — известные функции.

Итак, решение задачи сводится к нахождению функции двух переменных и(х, t), удовлетворяющей уравнению (1), краевым условиям (2) и начальным условиям (3) и (4).

Опираясь на некоторые сведения из механики, можно указать путь получения уравнения (1). Рассмотрим какой-нибудь участок струны от точки М' с абсциссой х' до точки с абсциссой х". Натяжение струны постоянно во всех ее точках (колебания струны малые, и поэтому можно пренебречь увеличением длины струны в процессе колебаний); обозначим это натяжение через Г. Если рассматриваемый участок струны выделить из струны в момент времени t, то удаленные части струны налево от Mf и направо от М" можно заменить силами натяжения. Они обе, как было указано, равны Т и направлены в противоположные стороны по касательным к струне в М' и М" (см. рис. 120). Найдем проекции на ось OU сил, действующих на участок струны то есть сил натяжения. Из рисунка 120 видно, что

алгебраическая сумма проекций сил натяжения равна Т sin а/7 — Т sin а'. Из механики известно, что равнодействующая сил инерции на участке М'М.” равна х”

С д2и

Р \ dpdx* где р —постоянная линейная плотность струны (струна однородная), х'

д*и

а ^2* есть ускорение точки струны. Следовательно, в силу третьего закона

Способ построения этого решения называется «наложением стоячих волн», так как решение (22) получается сложением отдельных стоячих волн (17).

Каждая стоячая волна представляет колебание, вызывающее определенное звучание струны. Можно доказать, что Дл-0 и Вл-0 при /г - со. Следовательно, максимальный размах стоячих волн с увеличением и, вообще говоря, уменьшается. Поэтому наибольшую силу имеет звук, доставляемый первой волной (20), так называемый основной тон струны. Эта же волна имеет наименьшую из частот (18): со1 = ^Е. Частоты <о2, се3, ... называются частотами обертонов струны. Чем больше частота колебания, тем выше звук. Поэтому основной тон — наиболее низкий звук, а обертоны дают все более и более высокие звуки. Смещение каждой точки струны с абсциссой х в данный момент времени получается наложением смещений (17). Следовательно, и звук, издаваемый струной, складывается из основного тона (иг(х, /)) и бесконечного количества обертонов (urt(x, /) при п^2).

Метод разделения переменных и наложения стоячих волн был введен Фурье до создания теории рядов Фурье, а само решение задачи о колебании струны послужило стимулом для введения понятия ряда Фурье.

 

МОЖНО НАЙТИ ПОХОЖИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МЕТКАМ

👇

Автор-учебника - Бохан К.А., Автор-учебника - Егорова И.А., Автор-учебника - Лащенов К.В., Математика - Анализ-Начала анализа, ☆ДОШКОЛЬНОЕ➙ДЛЯ_ВУЗОВ-ТЕХНИКУМОВ, Для педагогических учебных заведений

Яндекс.Метрика