Курс математики для физико-математических школ - Выпуск 1 (Колмогоров, Гусев, Сосинский, Шершевский) 1971 год - старые учебники

Предисловие для преподавателей

Первый выпуск "Курса математики для физико-математических школ" охватывает основной теоретический материал, проходимый в школе-интернате № 18 при МТУ в первом полугодии девятого класса. Мы думаем, что ухе в своем настоящем виде этот выпуск может быть полезен в других школах аналогичного профиля при условии надлежащего руководства работой учащихся. Публикуемый сейчас текст сложился в значительной мере из составляемых преподавателями нашей школы конспектов, которые служат для закрепления и повторения усвоенного на лекциях и при классных занятиях. Создание на их основе книги, пригодной для более широкого распро-странения, остается еще делом будущего.

Мы отводим на математику в первом полугодии II часов школьных занятий в неделю: две одночасовых лекции, два часа "математического практикума" и семь часов занятий в классах, частично разделяемых на две группы по 15 человек. Предполагается, что учащиеся в среднем тратят 5-6 часов в неделю на выполнение "домашних заданий" по математике. Для помощи в этих занятиях организуются консультации.

Лекционный курс начинается с общего понятия отображения (функции) и развивается с одной стороны в направлении изучения геометрических преобразований и кинематики, а с другой - в виде наглядного введения в анализ (начала дифференциального и интегрального исчисления с не вошедшими в текст издаваемого пособия первыми примерами дифференциальных уравнений). Другие темы выносятся на лекции (читаемые вместе 150 учащимся пяти классов) лишь спорадически.

Часы математического практикума, проводящегося в идеале одновременно для всего потока, используются частично для унифицирующих требований к различным классам письменных контрольных работ, состоящих из серии задач обычного школьного типа. Но в основном эти часы отводятся для выполнения работ большего объема, требующих больших вычислении и чертежного оформления. Например, фактически осуществляется изложенная в п. 8 введения программа оценки числа ТГ , после изучения в классе движения по циклоиде fin. 12 $ I геометрии) исследуются графически более сложные случаи сложения движений, находятся и изображаются графически решения системы дифференциальных уравнений последовательного радиоактивного распада

х =-ах, Я = ах-^, z =

и т.п. В проведении практикума участвуют преподаватели работающие в классах, но отдельная небольшая группа преподавателей его организует и готовит для него материал.

При современном состоянии нашей общеобразовательной школы занятия в первом семестре специализированной математической школы неизбежно в значительной мере состоят в переучивании учащихся,которые должны понять логический стиль современной математики и разобраться в том,что из сложившихся обычаев удовлетворяться более расплывчатыми знаниями должно быть отброшено. Вместе с тем, этот переход на более современный логический уровень мышления не должен быть слишком резким и не должен привести к отрыву постепенно накапливающихся более отчетливых и формально строго изложенных знаний от уже имеющегося запаса на-

глядных представлений и навыков решения задач с реальный содержанием.

Другим обстоятельством, которое определяет несколько своеобразный характер курса первого полугодия, является требования, предъявляемые курсом физики. Наша школа является подчеркнуто физико-математической. Несколько больше половины ее выпускников выбирает свой специальность физику, для будущих же "чистых" математиков возможно более раннее введение в "физический стиль мышления" мы считаем крайне желательным.

Систематический курс геометрии на векторной основе изучается концентрировано во втором полугодии. В конце первого полугодия (за пределами публикуемого сейчас выпуска) начинается систематическое знакомство со строгой теорией натуральных, рациональных, действительных и комплексных чисел (заканчивается в первый месяц второго полугодия). Затем начинается строгий курс анализа, обязательная часть которого заканчивается в третьем семестре. К третьему семестру относится и завершающий обязательный курс алгебры. В конце третьего семестра сдаются выпускные экзамены по алгебре и началам анализа (два экзамена). Курс геометрии второго семестра не охватывает всего материала обычной школьной программы. Необходимые основания для изучения площадей плоских фигур и поверхностей и объемов даются в курсе анализа третьего семестра и используются в заключительном курсе геометрии четвертого семестра, который содержит и некоторые начала геометрии на сфере (что дает более красивые подступы к свойствам трехгранных и многогранных углов и многогранников). Выпускной экзамен по геометрии сдается в конце четвертого семестра.

В тексте публикуемого выпуска рассеяны элементы теории множеств и математической логики.

В течение первого полугодия лишь иногда и в некоторых классах эта тематика получает большее развитие. Помещенное в конце этого выпуска приложение "О языке математических знаков" не обязательно для изучения в первом семестре. Он имеет своей целью направить в надлежащее русло интересующие некоторых уча-щихся попытки раннего перехода на путь большей формализации записей.

А. Колмогоров.

Предисловие для учащихся.

В первом полугодии мы будем заниматься : I) алгеброй;

2) началами математического анализа (дифференциального и даже интегрального исчисления) и 3) геометрией. Попутно небольшие сведения вы получите по абстрактной* но очень важной части математики - 4) теории множеств. Впрочем, очень скоро вы поймете по-новому задачи и взаимную связь этих различных частей математики и воспримете их как части единой математической науки, разделение которой на части в значительной мере условно.

В АЛГЕБРЕ мы будем стремиться к повышению логического уровня изложения: к большей отчетливости определений и строгости доказательств, чем те, к которым пока вы привыкли в восьмилетней школе. В рамках курса алгебры поместятся и упомянутые начала теории множеств.

НАЧАЛА АНАЛИЗА, наоборот, на первых порах мы будем изучать в наглядной, но не строгой форме. Такой подход позволит вам быстро освоиться с простейшими представлениями из этой новой для вас части математики и получить аппарат, необходимый для изучения механики, составляющей первый отдел нашего курса физики. Задачи из первого раздела механики - кинематики, а в некоторой мере и дальнейших разделов механики, займут заметной место и в вашем курсе математики.

При изучении ГЕОиЕМи в первом полугодии мы тоже будем больше интересоваться овладением новыми понятиями и фактами, сохраняя логический уровень изложения в отношении строгости доказательств примерно тем, к которому вы привыкли в восьмилетней школе, т.е., собственно говоря, не удо

влетворительным. Однако, обратите внимание на более высокий уровень требовании к отчетливости определений.

ВО ВВЕДЕНИИ к курсу первого полугодия собраны начальные сведения, которые трудно отнести специально к курсу алгебры, Иль анализа, н.п. 4-7 этого введения посвящены приближенным вычислениям и изложены очень кратко, и. II введения помещен лишь для полноты обзора нужных в дальнейшем основных понятий. С его проработкой можно и подождать.