Теоретической основой для включенных в сборник упражнений служат элементы алгебры высказываний и частично логики предикатов. То, что рассматриваемые в этих теориях понятия (высказывания, предикаты, операции над ними) трактуются в обычном, принятом в традиционной логике смысле, согласуется с вышеназванной основной целью упражнений. Вопросы, связанные с аксиоматическими логическими исчислениями, в сборнике не затрагиваются.

В гл. I и II особенно важны упражнения, связанные с понятием логического следствия, правильным построением отрицаний, теоретико-множественным представлением предикатов. Материал первых глав применяется в гл. III для более полного рассмотрения некоторых вопросов, отчетливое понимание которых имеет существенное значение при изучении математики (необходимость и достаточность, обратные предложения, прямое и косвенное доказательство, отношения основных числовых множеств и др.).

Так как теоретические положения, знание которых требуется для выполнения упражнений, можно найти только

в различных книгах, в начале каждого параграфа сборника помещены краткие теоретические сведения (без доказательств), разъясняется смысл терминов, символов, приводятся примеры выполнения упражнений. Для изучения рассматриваемых вопросов в полном объеме необходимо обратиться к соответствующей литературе.

Ввиду того что все упражнения сборника построены на материале элементарной математики (кроме нескольких упражнений нематематического содержания), работа над ними не требует специальной подготовки. Большая часть упражнений снабжена ответами и указаниями.

Сборник построен на основе материалов спецсеминара и спецкурса по изучению элементов математической логики (Витебский педагогический институт).

Автор выражает глубокую признательность Б. Ю. Пильчак, А. А. Столяру и А. И. Фетисову за ценные советы и замечания при просмотре рукописи, существенно способствовавшие ее улучшению.

Глава I

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

• 1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Основными объектами алгебры высказываний служат высказывания. Любое высказывание обязательно должно быть либо истинным, либо ложный, но не тем и другим одновременно. Например, «Сумма углов всякого треугольника равна 2d» ;«2 > 5»—высказывания, притом первое из них, как известно из элементарной математики, истинно, а второе ложно. С первым из них можно сопоставить символ И («истина»), а со вторым — Л («ложь»). Но в предложениях:

3 4

1) «Разделите число а на число Ь»; 2) «у кратно у»; 3) «х-|-2>5»— предъявленное выше требование не удовлетворено. В первом не имеет смысла говорить об истинности или ложности. Во втором невозможно ответить на вопрос об истинности или ложности, так как понятие «число а кратно числу Ь» определено в арифметике только для целых чисел. Предложение третье не является определенным высказыванием, оно ни истинно,, ни ложно до тех пор, пока переменное х не будет заменено определенным числом или пока не будет указано, считаем ли мы неравенство х-р 2>5 справедливым для всех чисел х из данной числовой области или только для некоторых.

Алгебра высказываний оперирует с высказываниями, для которых истинность или ложность тем или иным способом может быть установлена.