Максимум и минимум (Абельсон) 1935 год - старые учебники

ГЛАВА I

ПРИМЕРЫ МАКСИМУМА И МИНИМУМА

Введение

Максимум и минимум - слова латинские и в переводе означают: наибольшее и наименьшее (maximum и minimum).

В математике эти слова весьма употребительны, но смысл, который им придается, несколько отличается от обычного. Легче всего уяснить этот смысл на примерах.

Пример. Представим себе, что путешественник, переходя через гору, прошел путь, который мы условно изобразим на чертеже линией АВ (черт. 1). Будем измерять высоту подъема так, как ее обычно измеряют - от уровня моря. На чертеже уровень моря изображен прямой

PQ, и если путешественник находится в точке М, то высота подъема будет представлена отрезком МИ.

По мере продвижения путешественника его высота над уровнем моря изменяется (т. е. является переменной величиной); пока он поднимается, эта высота увеличивается; когда он достигнет вершины - точки Е-высота сделается наибольшей, а затем, при дальнейшем продвижении путешественника вниз по склону горы, высота путешественника над уровнем моря будет уменьшаться. Из чертежа видно, что вертикальный отрезок КЕ, измеряющий

эту высоту в точке ??, будет больше, чем любой вертикальный отрезок i4, лежащий левее КЕ. Когда же путешественник перейдет вершину и будет находиться правее точки Е, то соответствующие вертикальные отрезки (например RS) также будут меньше, чем КЕ. Отсюда видно, что из всех вертикальных отрезков, измеряющих высоту путешественника в различные моменты его пути, отрезок КЕ является наибольшим. Такое наибольшее значение переменной величины (в данном случае высоты над уровнем моря)называется максимальным.

Дадим теперь пример, в котором переменная величина принимает наименьшее или, как говорят, минимальное

значение.

Пример. В течение летней ночи каждые 10 мин. измеряют температуру воздуха и результаты отмечают на графике. Если по горизонтальной оси (черт. 2) откладывать время, а по вертикальной- температуру, то получим ряд вертикальных отрезков (их называют орди

натами). Отыскав на графике наименьшую из ординат и соответствующую ей точку tQ на горизонтальной оси Ot, тем самым опре

деляем момент наиболее низкой температуры. Такое значение величины (температуры) называют минимальным;

слева и справа от точки /0 ординаты больше, чем ордината для этой точки.

Общее для обоих примеров заключается в том, что переменная величина (высота, температура) в своем изменении доходит до крайнего значения - в сторону возрастания или убывания, - чтобы затем начать изменение в обратном направлении. Поэтому вопросы максимума и минимума изучают параллельно. Оба эти понятия объединяют в одно понятие - Крайнего или экстремального значения (от латинского слова extremum - крайнее). Мы увидим, что задачи на максимум и задачи на минимум решаются совершенно одинаковым обра*

зом.

Иногда переменная величина может поочередно возрастать и убывать, принимая при этом ряд наибольших и наименьших значений. Так, например, рассматривая изменение синуса, мы видим, что при возрастании угла х sinx растет от 0 до 1 (своего максимума), затем начинает убывать и для х= 3/2 гс (270°) достигает наименьшего из возможных значений (- 1); при дальнейшем увеличении х синус х опять возрастает и т. д.

Вообще при попеременном возрастании и убывании может оказаться даже, что какой-нибудь из минимумов больше какого-нибудь максимума. Это можно видеть из прилагаемого чертежа (черт. 3), где изображен

путь ABCDEF через несколько горных перевалов. Высота путешественника над уровнем моря будет иметь максимум в точках Л, С, Е и минимум в точках 5, Z), F. В точке С имеем максимум, так как ордината этой точки больше соседних слева и справа; в точке F имеем минимум, так как ординаты слева и справа больше ординаты точки F. Вместе с тем "минимальная" ордината в точке F оказалась больше "максимальной" в точке С.

Пример: в январский день максимальная температура (в течение дня) меньше, чем минимальная температура в июльский день.

Таким образом, с понятием максимума (или минимума) мы будем связывать не наибольшее (или наименьшее) из всех вообще значений, принимаемых изменяю-щейся величиной, а такие значения, которые больше

(или меньше) соседних близлежащих как слева, так и справа1.

Настоящая книга имеет целью показать читателю, как решаются задачи, связанные с нахождением максимума или минимума какой-нибудь переменной величины. Однако прежде всего надо показать, как ставятся подобные задачи; для этого мы приведем здесь два образца (решение этих задач будет дано позднее).

Задача. Площадка (черт. 4) освещена двумя сильными источниками света (в точке А источник силой в 8 000 свечей, в точке В-1000 свечей.) Расстояние между точ-ками А и В равно I. Найти место, где сила освещения от обоих источников вместе была бы наименьшей.

Надо принять во внимание, что интенсивность осве.

-.Л _

АЕ 1 LВ

Черт. 4.

щения обратно пропорциональна квадрату расстояния, и прямо пропорциональна силе источника.

Очевидно, искомое место не лежит точно посредине между А и В, так как слева освещение будет гораздо больше, чем справа (в 8 раз), поэтому естественно пере-двинуться от середины Е вправо. Такое перемещение от точки Е вправо сначала, безусловно, имеет смысл, так как ослабление освещения от левого источника будет больше, чем усиление от правого. Но постепенно, по мере перемещения вправо, воздействие левого источника ослабевает, а правого возрастает. Поэтому перемещение целесообразно только до определенной точки. Найти эту точку, это и значит решить задачу.

Решение этой задачи читатель найдет в последней главе (глава IV, задача 1). Оказывается, что искомая точка L должна быть выбрана так, чтобы ЛЛ:5? = 2:1.

1 В настоящей книге будут рассматриваться задачи, в которых встречается или только один максимум или только один минимум.

[дифференциал постоянного d (ab) равен нулю]. Условие для максимума: dF = 0; откуда получим:

ab- х2 = О;х = хо = y~ab.

Хотя решение задач теперь механизировано, однако, надеюсь, читатель не будет в претензии за то, что его заставили в главе II поработать над приращениями. Эта проработка дала ему возможность понять, что скрывается за этим совершенным аппаратом диференциалов, какой материал он перерабатывает, и поможет лучше ознакомиться с ценнейшим инструментом высшей математики - диференциальным исчислением.

В заключение приведем отрывок из сочинения Ферма, гениального французского математика XVII в., который еще до открытия диференциального исчисления дал спо-соб решения задач на максимум-минимум, весьма близкий к методу диференциалов1. Заметим кстати, что Лейбниц открыл метод диференциалов и интегралов в 1675 г. (опубликован в 1684 г.). Ньютон дал свой метод флюксий (весьма близкий к диференциальному исчислению) в 1671 г. Нижеприводимый "метод исследования наибольших и наименьших значений" открыт Ферма в 1629 г. и впервые был изложен в письме к Робервалю и Декарту от 1638 г. (Сочинения Ферма изданы в Париже в подлиннике на латинском и в переводе на французском языках). Мы приведем этот отрывок почти дословно (с некоторыми изменениями в обозначениях для того, чтобы облегчить понимание читателю) и покажем, как связать его с изложением этой книжки.

ОТРЫВОК ИЗ СОЧИНЕНИЙ ФЕРМА

"Все учение о нахождении наибольших и наименьших значений основывается на том, что принимают дна неизвестных F и х и применяют следующее единственное правило.

Допустим, что F представляет собой какую-либо исследуемую величину (либо поверхность, либо тело,

1 Цитируем по книжке Вилейтнер, Хрестоматия по истории

математики, IV вып., ГТТ14.

либо длину), которая должна принять наибольшее или наименьшее значение, и выразим ее через члены, содержащие х в тех или иных степенях. Затем возьмем для аргумента значение х-|-А, и снова выразим F через члены, содержащие х и h в тех или иных степенях. Затем обе совокупности, полученные для F, положим по примеру Диофанта приближенно равными друг другу. Отбросим на обеих сторонах оди-наковые члены; тогда в каждом члене справа и слева будет стоять либо А, либо какая-нибудь его

степень. Затем разделим все члены на h (или на степень А) так, чтобы (по крайней мере) один из членов на какой-либо

стороне был совершенно свободен от множителя А. Затем на обеих сторонах зачеркнем члены,

Черт. 63.

содержащие А или его степени, а то, что останется, положим равными друг другу, или же, если на одной из сторон ничего не останется, приравняем отрицательные члены положительным. Решение последнего уравнения даст искомое значение х\ а тогда максимум или минимум получится согласно выражению F. Приведем следующий пример,

Задача. Отрезок МВ требуется разделить так в точке А, чтобы прямоугольник МАВ был наибольшим (черт. 63).

Решение. Обозначим весь отрезок МВ через А; часть его МА через х, тогда остаток будет равен b-х. Прямоугольник на этих отрезках будет равен:

х(А- х) = Ьх - х2,

и это выражение должно получить наибольшее значение. Положим теперь, с другой стороны, первую часть отрезка равной x-\-h, так что другая будет равна А-х - h, и прямоугольник на отрезках будет равен:

(х-ф- А) (А - х-h) = bx - х2АЛ - 2хА - А2,

и это должно быть приближенно равным прямоугольнику Ьх- х2, т. е.

Ьх - x2-\-b h - 2xh - h2 ^bx - x2.

Отбросив одинаковые члены, получим:

bh - 2xh - h2^0; bh^2xh + h\

Если все это поделить на й, то получим:

Ь2х + Л.

Отбрасывая й, получим:

Ь = 2х.

Таким образом решением задачи является деление отрезка Ь пополам. И не может существовать более общего метода... Этот метод никогда не изменяет. Напротив того, он может быть распространен на многочисленные прекрасные проблемы".

Читатель, внимательно прочитавший книжку, сумеет оценить исключительную ценность этого отрывка. В нем Ферма уловил центральный, узловой момент всей про-блемы нахождения максимума-минимума. Когда он предлагает значения F(x) и F(x-|-A) принять "приближенно равными между собой", то это означает, что изменение функции как бы приостанавливается для значений аргумента, близких к xQ (дающему максимум-минимум). Далее, когда Ферма отбрасывает члены, содержащие й2, Л3 и т. д. и оставляет члены, содержащие й только в первой степени, он фактически оставляет именно диференциал функции F. Отметим еще, что он предлагает или "положительные члены приравнять отрицательным", т. е. приравнять "положительные приращения отрицательным", как мы это делали в главе II, или же перенести все члены уравнения в одну часть и приравнять нулю, т. е. приравнять нулю суммарные приращения - диференциалы, как мы поступали в настоящей главе. В отрывке Ферма дается алгебраическая часть метода, он мало говорит о функциональной зависимости, вовсе не говорит о том, что приращение й весьма мало. В ту эпоху основные понятия высшей математики только зарождались. Но потребности того времени, - а именно ряд конкретных задач из механики, гидростатики, физики - толкали ученых к разработке новых методов, помимо оставленных в наследство греческой наукой, и в лице гениального Ферма мы видим одного из прямых предвозвестников математики новости времени - анализа бесконечно малых.