Skip to main content

Математические головоломки и развлечения (Гарднер) 1989 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Математические головоломки и развлечения (Гарднер) 1989

Назначение: Издание рассчитано на самые широкие круги читателей

© "МИР" Москва 1989

Авторство: Мартин Гарднер

Формат: DjVu, Размер файла: 16.4 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Оглавление

От переводчика

Введение

Глава 1. ГЕКСАФЛЕКСАГОНЫ

Глава 2. ФОКУСЫ С МАТРИЦАМИ

Глава 3. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

Глава 4. КРЕСТИКИ И НОЛИКИ, ИЛИ ТИК-ТАК-ТОУ

Глава 5. ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава б. «ИКОСАЭДРИЧЕСКАЯ ИГРА» И «ХАНОЙСКАЯ БАШНЯ»

Глава 7. ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Глава 8. ИГРА В ГЕКС

Глава 9. АМЕРИКАНСКИЙ ИЗОБРЕТАТЕЛЬ ГОЛОВОЛОМОК СЭМ ЛОЙД

📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ....

Глава 10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ С КАРТАМИ

Глава 11. ДЕВЯТЬ НОВЫХ ЗАДАЧ

Глава 12. ПОЛИМИНО

Глава 13. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Глава 14. НИМ И ТАК-ТИКС

Глава 15. ПРАВОЕ ИЛИ ЛЕВОЕ?

Глава 16. ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

Глава 17. ТЕТРАФЛЕКСАГОНЫ

Глава 18. АНГЛИЙСКИЙ ИЗОБРЕТАТЕЛЬ ГОЛОВОЛОМОК ГЕНРИ Э. ДЬЮДЕНИ 152

Глава 19. ЦИФРОВЫЕ КОРНИ

Глава 20. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

Глава 21. КУБИКИ СОМА 176

Глава 22. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ 186

Глава23. ЧИСЛО у - ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ 195

Глава 24. МАРТЫШКА И КОКОСОВЫЕ ОРЕХИ 209

Глава 25. ЛАБИРИНТЫ

Глава 26. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ ЛОГИКА

Глава 27. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Глава 28. ФИРМА «ДЖЕЙМС ХЬЮ РАЙЛИ, АТТРАКЦИОНЫ И ГОЛОВОЛОМКИ»

Глава 29. ЕЩЕ ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

Глава 30. ИНДУКТИВНАЯ ИГРА ЭЛУЗИС

Глава 31. ОРИГАМИ

Глава 32. КВАДРИРОВАНИЕ КВАДРАТА

Глава 33. МЕХАНИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Глава 34. ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ

Глава 35. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА

Глава 36. ТЕОРИЯ ГРУПП И КОСЫ

Глава 37. ВОСЕМЬ ЗАДАЧ

Глава 38. ВЫРЕЗАНИЕ ИЗ БУМАГИ

Глава 39. ИГРЫ НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Глава 40. УПАКОВКА ШАРОВ

Глава 41. ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО «ПИ»

Глава 42. ВИКТОР АЙГЕН, МАТЕМАГ И ВОЛШЕБНИК

Глава 43. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК

Глава 44. МИСТЕР АПОЛЛИНАКС В НЬЮ-ЙОРКЕ

Глава 45. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

Глава 46. ПОЛИМИНО И «ПРОЧНЫЕ» ПРЯМОУГОЛЬНИКИ

Литература по занимательной математике

Рекомендательная литература

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник СССР - Математические головоломки и развлечения (Гарднер) 1989 года

СКАЧАТЬ DjVu

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

От переводчика

Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным.

Паскаль

Занимательная математика принадлежит к числу наиболее любимых читателями жанров популярной литературы. Решая ее нестандартные своеобразные задачи, люди испытывают радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощущают красоту и величие математики, сознают всю нелепость широко распространенного, но тем не менее глубоко ошибочного представления о ней, как о чем-то унылом и застывшем («Разве в математике еще не все открыто?»), начинают понимать, почему математики, говоря о своей науке, нередко прибегают к эстетическим категориям («изящный результат», «красивое доказательство»). Вместе с тем занимательная математика — это не только действенное средство агитации молодого поколения в пользу выбора профессии, так или иначе связанной с точными науками, и не только разумное средство заполнения досуга взрослых людей. Занимательная математика — это прежде всего математика, причем в лучших своих образцах математика прекрасная. Недаром видный английский математик Дж. Литлвуд заметил, что хорошая математическая шутка лучше дюжины посредственных работ. Помогая людям, далеким в своей повседневной жизни от математического мышления, постичь дух истинной математики, занимательная математика пробуждает в них наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную способность к восприятию прекрасного.

Отсюда видно, сколь высоким требованиям должна удовлетворять хорошая книга по занимательной математике: она должна быть не только доступной, но и занимательной, и не просто занимательной, но и полной содержания. Удовлетворить одновременно всем этим требованиям чрезвычайно сложно, но лучшие образцы занимательной литературы — книги С. Лойда, Э. Люка, Г. Дьюдени, Я. И. Перельмана, М. Крайчика, Г. Штейнгауза, Б. А. Кордемского и некоторых других авторов — свидетельствуют о том, что задача все же разрешима.

Предлагаемая вниманию читателя книга Мартина Гарднера, несомненно, принадлежит к числу наиболее удачных произведений занимательной математической литературы. Имя этого выдающегося популяризатора науки хорошо знакомо российскому читателю по переводам доброго десятка его книг, в том числе и этой книги, которая увидела свет в издательстве «Мир» в 1971 году, открыв серию книг по занимательной математике, приобщивших к замечательной науке математике не одно поколение читателей.

Педагогический такт, тонкий вкус, юмор и неисчерпаемая фантазия позволяют Гарднеру обходить болото унылой дидактичности и уверенно лавировать между Сциллой ложной занимательности и Харибдой математической содержательности избираемых им тем. Разнообразие используемых Гарднером форм поистине удивительно: от кратких творческих портретов классиков занимательной математики до фокусов, основанных на использовании того или иного математического принципа, от хитроумных головоломок до игрушек-самоделок, теория которых тесно связана с важными разделами современной математики, от софизмов и задач «на смекалку» до математических игр.

Обладая счастливым даром видеть занимательное в обыденном, привычном и открывать неожиданное там, где все, казалось бы, давно уже известно, Гарднер (и это не менее важно) умеет передать свою увлеченность и энтузиазм читателям, побудить их к самостоятельному активному творчеству.

За годы, прошедшие с первого издания этой книги, не стало ее титульного редактора Я. А. Смородинского, чей вклад в дело издания литературы по занимательной математике нельзя недооценивать. Его комментарии и примечания к настоящей книге сохранили свою значимость и помещены в тексте в квадратных скобках.

В заключение следует сказать несколько слов о библиографии, приводимой в конце книги. Дополнительная литература предназначена для тех, кто захочет расширить свои знания по вопросам, затрагиваемым в книге. В нее же включены и некоторые сборники более трудных («олимпиадных») задач.

Введение

Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с «секретом» — каким-либо неожиданным или забавным поворотом мысли. Относятся ли все эти случаи к чистой или прикладной математике, решить трудно. С одной стороны, занимательную математику, безусловно, следует считать чистой математикой без малейшей примеси утилитарности. С другой — она, несомненно, относится к прикладной математике, ибо отвечает извечной человеческой потребности в игре.

Вероятно, такая потребность лежит в основе даже чистой математики. Не так уж велико различие между восторгом неофита, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истинной красоты — того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Не удивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной. Так, в топологии проблема четырех красок до недавнего времени оставалась нерешенной, хотя ей посвящена не одна страница во многих книгах по занимательной математике.

Никто не станет отрицать, что флексагоны, о которых говорится в первой главе этой книги, — игрушки весьма занимательные, тем не менее анализ их структуры очень скоро упирается и необходимость использования высших разделов теории групп, и статьи о флексатонах можно встретить на страницах многих сугубо специальных математических журналов.

Математики творческого склада обычно не стыдятся своего интереса к занимательным задачам и головоломкам. Топология берет свое начало в работе Эйлера о семи кенигсбергских мостах. Лейбниц потратил немало времени на решение головоломки, которая пережила свое второе рождение под названием «Проверьте уровень своего развития (IQ)». Крупнейший немецкий математик Гильберт доказал одну из основных теорем традиционной области занимательной математики — разрезания фигур. А. Тьюринг, основоположник современной теории вычислительных машин, рассмотрел изобретенную С. Лойдом игру в 15 (в нашей книге ей посвящена глава 9) в своей статье о разрешимых и неразрешимых проблемах.

П. Хейн (чьи игры гекс и тактике описаны в главах 8 и 15) рассказал мне, что, будучи в гостях в Эйнштейна, видел в книжном шкафу хозяина целую полку, забитую математическими забавами и головоломками. Нетрудно понять интерес, который все эти великие умы питали к математической игре, ибо творческое мышление, находящее для себя награду в столь тривиальных задачках, сродни тому типу мышления, который приводит к математическому и вообще научному открытию. В конце концов, что такое математика, как не систематические попытки найти все лучшие и лучшие ответы на те головоломки, которые ставит перед нами природа?

В настоящее время педагогическая ценность занимательной математики общепризнана. Это подчеркивают и журналы, предназначенные для преподавателей математики, и новые учебники, особенно те из них, которые написаны с «современных позиций». Так, даже в столь серьезной книге, как «Введение в конечную математику»,[1] изложение нередко оживляется занимательными задачами.

Вряд ли существует лучший способ пробудить интерес читателя к изучаемому материалу. Преподаватель математики, выговаривающий студентам за игру на лекции в крестики и нолики, должен был бы остановиться, чтобы спросить себя, не представляет ли эта игра большего интереса с точки зрения математики, чем его лекция. И действительно, разбор игры в крестики и нолики на семинарских занятиях может послужить неплохим введением в некоторые разделы современной математики.

Известный английский изобретатель головоломок Генри Дьюдени в своей статье «Психологическая сторона увлечений головоломками», опубликованной в декабрьском номере Nineteenth Century Magazine за 1926 год, писал, что литература по занимательной математике страдает чудовищными повторениями, а отсутствие соответствующей библиографии вынуждает энтузиастов понапрасну тратить время на составление задач, которые были уже придуманы задолго до них. Сегодня я счастлив сообщить, что потребность в подобного рода библиографии удовлетворена. Профессор У. Л. Шааф из Бруклинского колледжа составил превосходную библиографию.[2] Что же касается второго упрека Дьюдени, то боюсь, что он все еще справедлив как по отношению к выходящим в наше время книгам по занимательной математике, так и по отношению к книге, предлагаемой вниманию читателей. Но я хочу надеяться, что в моей книге читатели обнаружат большую, чем обычно, порцию свежего материала, который прежде не находил места на страницах занимательной математической литературы.

Мне хотелось бы поблагодарить Дж. Пила, издателя журнала Scientific American, и редактора Д. Фленегена за оказанную мне честь принадлежать к числу постоянных авторов этого журнала и за разрешение воспроизвести плоды моих трудов в этой книге. Я выражаю свою признательность тысячам читателей со всех концов света, которые взяли на себя труд обратить мое внимание на допущенные в них ошибки (к сожалению, слишком многочисленные) и внесли множество ценных предложений. В некоторых случаях эта приветствуемая мной «обратная связь» нашла отражение непосредственно в тексте, но чаще всего из замечаний читателей составлены дополнения, помещенные в конце глав. Ответы к задачам, где это необходимо, помещены там же.

Не могу не выразить благодарности своей жене не только за то, что она со знанием дела и неизменной бодростью духа принимала участие в чтении корректур, но и за проявленное ею терпение, когда, погруженный в размышления о какой-либо математической головоломке, я не слышал того, что она мне говорила.

Мартин Гарднер

Глава 1. ГЕКСАФЛЕКСАГОНЫ

Флексагоны — это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу. Если бы не одно случайное обстоятельство — различие в формате английских и американских блокнотов, — флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур X. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник (рис. 1).

Рис. 1 Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии db и переворачивают E). Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и приклеить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать трифлексагон, показано на рис. 3. Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3–4 см.

Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету. Вскоре «флексагоны» в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Для проникновения в тайны «флексологии» был организован «Флексагонный комитет». Кроме Стоуна, в него вошли аспирант-математик Бриан Таккермен, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки.

Постоянные модели были названы гексафлексагонами: «гекса» — из-за шестиугольной формы, «флексатонами» — из-за их способности складываться.[3] Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» — шесть — также означает число поверхностей этой модели).

Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента для кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников. В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рис. 2 порядке цифры 1, 2, 3.

Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным.

Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой на рис. 2 пронумеровать цифрами 4, 5, 6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга — 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка сагексафлексагона, показанная на рис. 2, б. Перегнув ее по линиям аЬ и cd (рис. 2, б), получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

Рис. 2 Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1, 2, 3; треугольники на другой стороне — цифрами 4, 5, 6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов.

Если все сделано верно, то во всех треугольниках на видимой стороне шестиугольника должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на обратной стороне — цифра 2. В таком виде сафлексагон готов к перегибаниям. Взявшись за два смежных треугольника (рис. 3), согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона. При этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад, вы без труда обнаружите и остальные поверхности.

Рис. 3 Чтобы «открыть» тригексафлексагон, его нужно одной рукой взять за два соседних треугольника, примыкающих к какой-нибудь вершине шестиугольника (а), а другой рукой потянуть за свободный край двух противоположных треугольников (б). Если флексатон не открывается, нужно попробовать ухватить его за два других треугольника. При открывании шестиугольник выворачивается наизнанку, и наружу выходит поверхность, которая ранее скрывалась внутри.

 Однако поверхности с цифрами 4, 5 и 6 найти несколько труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2 и 3. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу: сколько бы вы ни бились, перед вами будут открываться лишь одни и те же уже успевшие надоесть вам поверхности.

Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл из 12 перегибаний. Поверхности с цифрами 1, 2 и 3 будут появляться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4, 5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы, представленной на рис. 4.

Рис. 4 Схема «пути Таккермана» на гексагексафлексагоне.

Стрелки указывают, в каком порядке становятся видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов. Если модель перевернуть, то путь Таккермана будет изображаться той же схемой, но направление ее обхода будет противоположным.

Комитет обнаружил, что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9,12,15 и даже большим числом поверхностей. Таккерман ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 поверхностями! Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги (то есть из полоски с зубчатым, а не прямым краем) можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя поверхностями) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями).

Существует три различных гексагексафлексагона: первый складывают из прямой полоски бумаги, второй — из полоски, предварительно сложенной в виде шестиугольника, и третий — из полоски, форма которой напоминает лист клевера. Разновидностей декагексафлексагона (с девятью поверхностями) намного больше — их 82.

Заготовки для всех 82 типов декагексафлексагонов имеют вид бумажных полос, сложенных самым причудливым образом. В принципе можно построить флексагон с любым числом поверхностей, но если поверхностей больше 10, то число разновидностей флексагонов катастрофически возрастает. Кстати, все флексагоны с четным числом поверхностей делаются из двусторонних полос, а флексагоны с нечетным числом поверхностей, подобно листу Мёбиуса, имеют лишь одну сторону.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется. В своем полном виде эта теория так никогда и не была опубликована, хотя отдельные ее части впоследствии были открыты заново другими математиками. Среди энтузиастов «флексологии» следует назвать отца Таккермана, известного физика Луи Таккермана.

Таккерман-старший внес существенный вклад в теорию флексагонов, разработав простой, но эффективный способ изображать «путь Таккермана» в виде дерева.

Нападение японцев на Пирл-Харбор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырех его учредителей в разные стороны. Стоун стал читать курс математики в Манчестерском университете, Фейнман, известный физик-теоретик, работал в Калифорнийском технологическом институте, Тьюки занял пост профессора математики в Принстоне, его блестящие работы по топологии и теории вероятностей снискали ему мировую известность. Таккерман — видный математик, он участвовал в разработке проекта быстродействующего компьютера, который был создан в Институте высших исследований.

Комитет все надеялся как-нибудь собраться и написать одну-две статьи с подробным изложением теории флексатонов. Но этого не случилось, а потому ничто не мешает нам, играя с самодельными флексагонами, попытаться вывести собственную теорию.

* * *

Прежде чем приступать к изготовлению флексагона, полезно несколько раз перегнуть в обе стороны его развертку по всем линиям сгиба. Это намного облегчает последующие манипуляции с флексатоном. Иногда читатели делали более долговечные модели, вырезав треугольники из картона или металла и соединив их липкой лентой или же наклеив на длинную полоску ткани. Между треугольниками оставались небольшие зазоры, что позволяло легко сгибать флексагоны. Таккерман-старший обычно пользовался стальной пластинкой таких размеров, что, обернув вокруг нее бумажную ленту, можно быстро получать сложенную особым образом полоску, показанную на рис. 2а. Это давало существенный выигрыш во времени при изготовлении флексагонов из линейной цепочки треугольников.

Из писем читателей я узнал множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам. Так, каждая поверхность гексагексафлексагона может появляться по крайней мере в двух различных видах в зависимости от того, как повернуты относительно друг друга образующие ее треугольники. Например, если каждую поверхность разделить на части так, как показано на рис. 5, и выкрасить области А, В и С в различные цвета, то в центре видимой поверхности могут появиться и области А (именно этот случай и показан на рис. 5), и области В, и области С.

Рис. 5

На рис. 6 изображен геометрический узор, который, будучи нарисован на каждый раз принимая иной вид.

Рис. 6

Вращая треугольники, из которых составлен правильный шестиугольник, мы получаем 18 различных разновидностей шестиугольников. Если гексагексафлексагон сделан из прямой полоски бумаги, то три из этих 18 шестиугольников никогда не встретятся нам, как бы мы ни складывали наш флексагон. Это навело одного из наших читателей на мысль наклеить на каждый разворот гексафлексагона части трех различных картинок. Перегибая определенным образом флексагон, мы будем видеть по очереди в центре открывшейся поверхности одну из картинок, а на периферии — фрагменты двух других изображений. К трем «скрытым» шестиугольникам, которые никогда полностью не появляются на видимой стороне флексагона, он приклеил разрезанные на части портреты трех очаровательных девушек, которых зритель, несмотря на все свои старания, никак не может рассмотреть во всех подробностях.

Свою игрушку читатель назвал гексагексафрастрагоном.[4] Другой читатель добился аналогичных результатов, склеив два смежных треугольника. Из-за этого исчез целый шестиугольник, и жертвы невинного розыгрыша тщетно пытались найти недостающий разворот флексагона. Неудача казалась тем более непонятной, что, заглянув внутрь флексагона, они собственными глазами видели части таинственно исчезнувшей поверхности!

Утверждение о том, что шестиугольники, возникающие при развороте гексагексафлексагонов, могут быть только 15 различных типов, необходимо несколько уточнить. Несимметричная раскраска поверхностей гексагексафлексагонов позволяет обнаружить любопытный факт: три из 15 допустимых шестиугольников имеют свои зеркально-симметричные пары. Перенумеровав внутренние углы каждого из допустимых шестиугольников по часовой стрелке цифрами от 1 до 6, мы обнаружим, что при складывании флексагонов три шестиугольника переходят в зеркально-симметричные шестиугольники, у которых углы перенумерованы теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Если принять во внимание эту асимметрию, то можно сказать, что шесть поверхностей гексафлексагона могут порождать 18 различных шестиугольников.

Для тех, кто захочет сам изготовить флексагоны других типов, отличные от рассмотренных, мы приводим краткий обзор флексагонов низших порядков.

1. Унагексафлексагон. Полоску из трех треугольников разглаживают и концы ее соединяют так, чтобы получился лист Мёбиуса с треугольным краем (более изящная модель листа Мёбиуса с треугольным краем рассматривается в главе 7). Поскольку лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоит из шести треугольников, его можно назвать унагексафлексагоном, хотя, разумеется, у него нет шести сторон и он не складывается.

2. Дуогексафлексагон представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.

3. Тригексафлексагон. Существует только одна разновидность этого флексагона, именно она и была уже описана нами.

4. Тетрагексафлексагон также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски, изображенной на рис. 7а.

5. Пентагексафлексагон. Единственную разновидность этого флексагона складывают из полоски, показанной на рис. 7б.

6. Гексагексафлексагон. Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из них обладает неповторимыми свойствами. Мы дали описание лишь одного типа. Два остальных можно сделать из полосок, форма которых показана на рис. 7 в.

7. Гептагексафлексагон. Его складывают из трех полосок бумаги, изображенных на рис. 7 г.

Первую полоску можно сложить двумя различными способами, поэтому общее число возможных форм гептагексафлексагонов равно 4. Третью форму этих флексатонов конструируют из полоски бумаги, имеющей вид восьмерки с перекрывающимися частями. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами». Поверхности этой фигуры можно перенумеровать так, что на «пути Таккермана» они будут встречаться «по порядку номеров», как дома на улице.

Рис. 7 Зигзагообразные полоски бумаги для складывания гексафлексагонов. Заштрихованные треугольники служат клапанами для склеивания.

Существует 12 различных типов октагексафлексагонов, 27 типов эннагексафлексагонов и 82 типа декагексафлексагонов. Точное число флексагонов каждого порядка определяется неоднозначно и зависит от того, что следует понимать под «различными» флексагонами. Например, все флексагоны имеют асимметричную структуру и делятся на правые и левые, но зеркально-симметричные формы флексагонов вряд ли следует считать самостоятельными. Более подробно о числе неэквивалентных флексагонов каждого порядка можно прочитать в статье Оукли и Визнера.[5]

Порядки гексафлексагонов, которые можно сложить из прямых полосок, поделенных на равносторонние треугольники, всегда кратны трем. Особенно легко построить одну разновидность гексафлексагонов с двенадцатью поверхностями. Для этого берут прямую полоску бумаги вдвое длиннее той, из которой мы складывали гексагексафлексагон, и «скручивают» ее так, как показано на рис. 2б.

При этом длина полоски сократится вдвое и станет равной длине гексагексафлексагонной полоски. Затем скрученную полоску нужно сложить точно таким образом, как если бы вы складывали гексагексафлексагон. В результате получится додекагексафлексагон.

Экспериментируя с флексагонами высоких порядков, полезно иметь в виду удобное правило: число слоев бумаги в двух соседних треугольных секциях всегда равно числу поверхностей данного флексагона. Интересно также отметить, что если каждую поверхность флексагона пометить каким-нибудь числом или символом и этот символ поставить на всех треугольниках, принадлежащих данной поверхности, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать трехкратной периодичностью. Например, на лицевой и обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, изображенного на рис. 2, цифры будут располагаться в такой последовательности:

Аналогичное разделение символов на три группы характерно для всех гексагексафлексагонов, но у флексагонов нечетного порядка символы в одной из трех групп расположены в обратном порядке по сравнению с двумя остальными группами.

Из многих сотен писем, полученных мной в связи со статьей о флексагонах, я считаю наиболее забавными два. В свое время они были опубликованы в Scientific American. Вот они.

Уважаемая редакция!

Меня прямо-таки потрясла статья «Флексагоны», опубликованная в декабрьском номере вашего журнала (за 1956 год).

Провозившись каких-нибудь шесть или семь часов, я с помощью сотрудников нашей лаборатории в конце концов сумел правильно склеить гексагексафлексагон. С тех пор вся наша лаборатория не перестает удивляться.

Сейчас мы встали перед проблемой. Как-то утром один из наших сотрудников, занимаясь от нечего делать складыванием гексагексафлексагона, не заметил, как кончик его галстука попал внутрь этой игрушки. При каждом последующем перегибании галстук несчастного все больше и больше втягивался внутрь флексагона. После шестого перегибания исчез сам сотрудник.

Разумеется, мы тут оке начали лихорадочно перегибать флексагон, но так и не обнаружили никаких следов нашего товарища, зато мы нашли шестнадцатую поверхность гексагексафлексагона.

Возникает вопрос: должна ли вдова исчезнувшего сотрудника получить компенсацию за все время его отсутствия или же мы можем с полным основанием сразу считать его умершим? Ждем вашего совета.

НЕЙЛ АПТЕГРОУВ

Лаборатории Аллена В. Дюмона

Клифтон, штат Нью-Джерси

Сэр!

Письмо об исчезновении внутри гексагексафлексагона сотрудника Лабораторий Аллена В. Дюмона, напечатанное в мартовском выпуске вашего журнала, помогло нам решить одну загадку.

Однажды, занимаясь на досуге складыванием гексагексафлексагона самой последней модели, мы заметили, что из него торчит кусочек какой-то пестрой материи. При последующих перегибаниях флексагона из него показался незнакомец, жующий резинку.

К сожалению, он был очень слаб и из-за частичной потери памяти не мог объяснить нам, каким образом оказался внутри флексагона. Наша национальная диета из овсянки, хэггиса[6] и виски поправила его здоровье. Он стал всеобщим любимцем и откликается на имя Экклз.

Нас интересует, нужно ли нам вернуть его и если да, то каким способом? К сожалению, Экклза бросает в дрожь при одном лишь виде гексагексафлексагона, и он решительно отказывается «складываться».

РОБЕРТ М. ХИЛЛ

Королевский колледж науки и техники

 Глазго, Шотландия

Глава 2. ФОКУСЫ С МАТРИЦАМИ

Магические квадраты занимают воображение математиков уже более двух тысячелетий. В традиционном магическом квадрате суммы чисел в каждом столбце, каждом ряду и по каждой диагонали одинаковы. Совершенно иной тип магического квадрата изображен на рис. 8.

Математика - Задачки и головоломки

БОЛЬШЕ НЕТ

Популярная математика - ДЛЯ ШИРОКОГО КРУГА, ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

★ВСЕ - Задачки на смекалку - Головоломки, ★ВСЕ➙ДЛЯ ШИРОКОГО КРУГА-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ, ★ВСЕ➙ Перевод с иностранного, Популярная математика, Автор - Гарднер М., Математика - ДЛЯ ШИРОКОГО КРУГА, ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ, Математика - Задачки на смекалку - Головоломки, Математика - Перевод с иностранного

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика