Математические изюминки (Хонсбергер) - Библиотечка КВАНТ выпуск 83 1992 год - старые учебники

Задача 16. о(п) +ср(п) = п • d(n)

Задача 17. О fc-облаках

Задача 18. Сумма минимумов

Задача 19. Три последние цифры числа 7""

Задача 20. Катящаяся игральная кость

Задача 21. Протыкание куба

Задача 22. Двойная последовательность

Задача 23. Окружности, разбивающие точечные множества

Задача 24. О длинах сторон треугольника

Задача 25. Пожалуйста, не вычисляйте

Задача 26. аь и Ъа

Задача 27. Математическая шутка

Задача 28. Карты на сфере

Задача 29. Выпуклые области на плоскости

Задача 30. Система диофантовых уравнений

Задача 31. Отраженные касательные

Задача 32. Элегантно разрушенная шахматная доска

Задача 33. Снежки

Задача 34. Цифры чисел с единицы по миллиард

Задача 35. Примыкающие непересекающиеся единичные квадраты

Задача 36. Одно диофантово уравнение

Задача 37. Последовательность Фибоначчи

Задача 38. Неравенство Эрдеша

Задача 39. Разделенные целочисленные точки

Задача 40. Совершенные числа

Задача 41. Стороны четырехугольника

Задача 42. Простые числа в арифметической прогрессии

Задача 43 Очевидно76

Задача 44. Коровы и овцы 80

Задача 45. Последовательность квадратов 81

Задача 46. Вписанный десятиугольник 81

Задача 47. Красные и синие точки 84

Задача 48. Метод Шаля 85

Задача 49. О функции л(п) 86

Задача 50. Постоянная хорда 88

Задача 51. Количество внутренних диагоналей 89

Задача 52. Утяжеленные игральные кости 91

Задача 53. Курьезная последовательность 92

Задача 54. Длинные цепочки последовательных натуральных чисел 95

Задача 55. Минимальный вписанный четырехугольник 96

Задача 56. Треугольные числа 99

Задача 57. О правильном и-угольнике 104

Задача 58. Числа Ферма 106

Задача 59. Неравенство обратных величин 108

Задача 60. Четвертая степень 108

Задача 61. Упакованные квадраты 109

Задача 62. Красные и зеленые мячи

Задача 63. Составные члены в арифметической прогрессии 415

Задача 64. Приложенные равносторонние треугольники

Задача 65. Тесты 118

Задача 66. Приложение теоремы Птолемея 119

Задача 67. Еще одно диофантово уравнение 122

Задача 68. Необыкновенное свойство комплексных чисел 123

Задача 69. Цепочка окружностей 123

Задача 70. Повторяющиеся цифры в конце квадрата 126

Задача 71. Биссектриса угла 127

Задача 72. Система неравенств 128

Задача 73. Неожиданное свойство правильного 26-уголь

ника 128

Задача 74. Еще раз о полных квадратах 130

Задача 75. Необыкновенный многочлен 133

Задача 76. Центроиды на окружности 134

Задача 77. Легконаходимый остаток 137

Задача 78. Любопытное свойство числа 3 137

Задача 79. Квадрат внутри квадрата 138

Задача 80. Всегда квадрат 139

Задача 81. Группировка натуральных чисел 139

Задача 82. Треугольники, стороны которых образуют

арифметическую прогрессию 140

Задача 83. Дроби, полученные с помощью перестановки 141

Задача 84. О биномиальных коэффициентах 142

Задача 85. Число Ферма F73 143

Задача 86. Вписанный четырехугольник 146

Задача 87. Специальные тройки натуральных чисел 147

Задача 88. Суммы простых чисел 147

Задача 89. Еще одна курьезная последовательность 149

Задача 90. Эллипс и целочисленная решетка 154

Задача 91. Архимедовы треугольники 159

Упражнения 165

Список задач по темам 171

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика изобилует яркими идеями. Независимо от того, как долго и сколь упорно занимаешься математикой, кажется, что никогда не иссякнут в ней удивительные сюрпризы. И никоим образом нельзя считать, что эти сюрпризы можно встретить лишь в трудных задачах, рассчитанных на подготовленных учащихся. Использование всех видов простых понятий требует выдумки и изобретательности. В этой книге обсуждаются десятки элементарных задач, которые были выбраны из публикаций журнала «American Mathematical Monthly» за период 1894—1975 гг. В них содержится множество изумительных идей, а двадцать из них просто прекрасны. Поль Эрдеш считает, что у Бога есть книга, содержащая все математические теоремы с самыми красивыми доказательствами, и когда он хочет дать особо высокую оценку доказательству, он восклицает: «Это доказательство из Книги!». Возможно, что здесь было бы неуместно заявлять, что эта книга написана с той точки зрения, что все богатства жизни — это Божьи дары и что мы должны принимать их с радостью и благодарностью и делиться ими для Его хвалы и славы.

Для понимания большей части этой книги достаточно знаний в объеме средней школы. Изредка предлагаются и другие объекты обсуждения. Но даже и в этом случае, это почти всегда стандартные элементарные понятия, которые из-за отсутствия места в наших перегруженных учебных планах, изучаются существенно позже. Я имею в виду такие понятия, как теорема Пика и основы инверсии относительно круга. Однако не стоит тревожиться если вы не получили знаний об этих понятиях, так как это при необходимости легко наверстать. В таких случаях в тексте даются ссылки.

Большинство задач, рассматриваемых здесь, появилось в разделах задач хорошо известных математических журналов. Чтобы соблюсти справедливость по отношению ко всем заинтересованным лицам, следует отметить, что я часто брал лишь часть задачи или решения, причем, как правило, переписывал и улучшал изложение существенным образом. Утверждения многих задач были изменены, чтобы придать им более яркую форму. Это не сборник задач, предлагаемых для решения (хотя вы несомненно получите больше удовольствия, если прежде, чем прочесть решение, сами подумаете над задачей), а витрина маленьких математических чудес. Однако пару дюжин задач для упражнений я поместил в конце книги.

Для того чтобы помочь читателю определить местонахождение задачи в книге или найти интересующую его тему, в конце книги дается список задач, разбитый на три части:

1) алгебра, арифметика, теория чисел, последовательности, вероятность;

2) комбинаторика, комбинаторная геометрия (максимум и минимум);

3) геометрия (максимум и минимум).

Я очень благодарен профессору Ивану Нивену за то, что он тщательно просмотрел рукопись и внес много поправок и других улучшений в конечную редакцию. Я также хотел бы поблагодарить моего коллегу Лероя Дискей и профессора Е. Ф. Беккенбаха. Генри Адлера, Ральфа Боасе, Дональда Альбера и Г. Л. Александерсо- на за их конструктивную критику.

Росс Хонсбергер

ЗАДАЧА 1. ШАХМАТНЫЙ ТУРНИР

В Нью-Йорке шахматных мастеров больше, чем на всей остальной территории США. Планируется шахматный турнир с участием всех мастеров. Решено, что турнир будет проведен в месте, для которого общее расстояние переездов между городами участников турнира было бы минимальным. Нью-йоркские мастера утверждают, что этому критерию удовлетворяет их город, а мастера с Западного побережья настаивают на том, что место соревнований в городе, находящемся в центре тяжести совокупности игроков, было бы лучше.

Где должен проводиться турнир?

Решение. Нью йоркцы правы! Обозначим нью-йоркских мастеров буквами Ai, Аг, , Aft, а остальных игроков буквами 01, Ог, , Ot. Так как в Нью-Йорке находится больше половины игроков, то к > t. Если рассмотреть пары игроков (Ab 0\), (N2, 02), , (Nt, Ot), то нью-йоркские мастера Nt+i, Nt+2, Afc не попадут ни в одну из пар.

Рассмотрим теперь пару (Аь 0\). При любом выборе города проведения турнира мастера Ai и 0\ должны проехать в совокупности не меньше, чем расстояние AiO] по прямой, соединяющей эти города. Вместе же они проедут не меньше, чем

S = AiOj + N2O2 + + NtOt.

Если местом соревнований выбран Нью-Йорк, то S и будет суммой расстояний. Если же соревнования будут проводиться в другом месте, то t пар игроков проедут расстояние не меньше S, а ненулевая сумма расстояний для игроков А1+1, At+2, , А* увеличит общую сумму. Следовательно, Нью-Йорк — наилучшее место для проведения соревнования.

7

Аналогичная задача была рассмотрена Дж. Г. Бат- чертом и Лео Мозером в прекрасной статье «Пожалуйста, не вычисляйте», опубликованной в 1952 г. в журнале «Scripta Mathematical), с. 221—236.

■ । ■ 1 1 1

X. Х„ Х„ ••• X • • • х_ , х„

1 2 3 П-1 п

Рис. 1

Пусть п точек Х\, д?2, хп лежат в указанном порядке на прямой. Где находится точка х, сумма расстояний которой до этих точек минимальна (рис. 1)?

Ясно, что расстояния xix и хпх должны в сумме дать расстояние Я1ЯП. Теперь разобьем на пары (х\, хп), (х2, #п-1) и т. д., чтобы полученные интервалы были последовательно вложены друг в друга. Если п нечетно, то точка я(п+1)/2 остается без пары. Так как сумма расстояний до пары точек минимизируется любой точкой, находящейся между ними, то любая точка х, расположенная внутри всех этих интервалов, минимизирует все пары расстояний. Таким образом, для четного п мы имеем

S > xixn + ^n-i + , причем равенство выполняется для любой точки х, лежащей на самом внутреннем интервале. Если п нечетно, то минимум достигается в точке x(n+i)Z2 (которая лежит в самом меньшем из интервалов), дополнительное рас-стояние в этом случае, а именно z#(n+i)/2, равно нулю.

ЗАДАЧА 2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ РАЗБИЕНИЯ ЧИСЛА п

Число 3 может быть выражено в виде суммы одного или более натуральных чисел четырьмя способами, если при этом учитывать порядок членов:

3, 1 + 2, 2+1, 1 + 1 + 1.

Сколькими способами может быть выражено в виде суммы число п?

Решение. Рассмотрим строчку из п единиц, расположенных в ряд. Любое расположение п — 1 или меньшего количества разделительных черточек в промежутках 8

между единицами соответствует разбиению числа на слагаемые и наоборот:

1 1 I 1 1 1 I 1 I 1 1.1 1 1,

71 = 2 + 3+1 + 72-— 6.

Так как мы можем в каждый из п — 1 промежутков либо вставить делительную черточку, либо не вставлять, то существует ровно 2”-1 способов расставить делительные черточки и такое же количество выражений для числа п.

ЗАДАЧА 3. ОБЛАСТИ В КРУГЕ

Расположим п точек на окружности и соединим их попарно хордами. Предположим, что никакие три хорды не имеют общей точки внутри круга. На сколько областей разобьется

круг этими хордами?

Решение. Предположим, S

что хорды мы будем Прово- / \ XX \

дить по одной последователь- / \ / \. \

но. Новая хорда рассекает / \ >Х

различные области, увеличи- \ /

вая число частей (рис. 2). I

Дополнительное число обла- \ / \ у

стей равно количеству отрез- \ /

ков, на которые делится по- \* ' ~7

вая хорда теми хордами, ко- \ У

торые она пересекает. Поэтому это число на единицу больше числа точек таких Рис-2

пересечений. Из этого наблюдения легко доказать замечательную формулу, выражающую количество областей в круге, получающихся при проведении L хорд, никакие три из которых не пересекаются во внутренних точках круга и имеют Р точек пересечения в этом круге. Количество областей равно

P + L + 1.

Для L = 1 мы имеем P + L + l='0+1 + 1 = 2 (рис. 3). Новая линия, пересекающая первую, дает

P + L + 1=1 + 2+ 1 = 4,

а линия, не пересекающая первую, дает Р + £+1 = 0 + 2+1=3.

Предположим, что значение Р + L + 1 справедливо для некоторого L > 2. Пусть дополнительная линия дает к

новых точек пересечения. При пересечении к других линий она проходит через к +1 область, увеличивая их число на к + 1. Таким образом, для L + 1 линий и Р + к точек общее число областей равно

(P + L+ 1) + (Л + 1)=(Р+ £)•+(£ + 1)+ 1.

Это доказательство формулы по индукции.

Ясно, что существует взаимнооднозначное соответствие между точками пересечения X и четверками (А, В, С, D) из п точек, взятых на окружности (рис. 4). Таким образом, количество точек пересечения равно Сп — количеству четверок. Так как количество хорд равно Сп, то число областей, полученных «всевозможными попарными соеди-нениями п точек, равно

Р + Ы-1=С*+CJ + 1.

(Мы наблюдаем, что этот результат применим для любой выпуклой области на плоскости и этот подход обобщается на более высокие размерности. Множество v S точек называется выпуклым, рис 4 если для каждой пары точек А

и В в S отрезок АВ целиком принадлежит <S.)

Число, выражающее количество областей, может быть очень красиво выведено путем прослеживания количества областей, на которое уменьшается наше разбиение, если стирать линии одну за другой. Каждый отрезок ли- 10

нии разделяет две области, которые объединяются в одну при стирании этой линии. Тогда число исчезнувших областей будет на одну больше количества точек пересечения на этой линии. Так как каждая точка пересечения лежит на двух линиях, то при стирании одной из них она исчезает также с другой. Поэтому каждая точка пересечения фигурирует ровно один раз при процедуре стирания отрезков и для каждой линии число исчезнувших областей равно

(число исчезнувших точек пересечения на линии)+ 1. После стирания всех L линий мы видим, что общее количество областей составляет Р плюс еще по одной для каждой из L линий. Следовательно, исчезнет P + L областей. Так как в результате остается лишь внутренность круга, то вначале было Р 4- L + 1 областей.

ЗАДАЧА 4. ПАРОМЫ

Два парома снуют через реку с постоянными скоростями, поворачивая у берегов без потери времени. Они одновременно отправляются от противоположных берегов и в первый раз встречаются в 700 футах от

400'

700Л

Рис. 5

одного из берегов, продолжают движение к берегам, воз-вращаются и встречаются во второй раз в 400 футах от противоположного берега. В качестве устного упражнения определите ширину реки. (В Великобритании и США фут обозначается штрихом: 700 футов — 700'.)

Решение. Общее расстояние, пройденное паромами к моменту первой встречи, как раз равняется ширине реки (рис. 5). Однако может несколько удивить тот факт, что к моменту их новой встречи общее пройденное ими расстояние равняется утроенной ширине реки. Так как скорости постоянны, то вторая встреча произойдет через

11

время, втрое большее, чем первая. До первой встречи паром А, скажем, прошел 700 футов. За время в три раза большее он прошел бы 2100 футов. Но ко второй встрече он доходит до берега реки и, повернув обратно, проходит еще 400 футов. Таким образом, ширина реки равна 2100 — 400 = 1700 футов.

ЗАДАЧА 5. ВЫПЯЧИВАЮЩАЯСЯ ПОЛУОКРУЖНОСТЬ

Хорда АВ окружности радиусом 1 с центром в О является диаметром полуокружности АСВ, расположенной вне первой окружности (рис. 6). Ясно, что

точка С этой полуокружности, которая выпячивается дальше всего, лежит на радиусе ODC, перпендикулярном АВ. (Для любой другой точки С' этой полуокружности мы имеем ОС <OD + DC' = OD 4- DC — ОС.) Конечно же, длина отрезка ОС зависит от выбора хорды АВ. Определите АВ так, чтобы отрезок ОС имел максимальную длину.

Решение. Пусть OD «= Уа; тогда радиус нашей полу-окружности равен

AD^Il^a^DC.

Таким образом, ОС2 =(OD + DC)2 + fl — »

= а + 2Уа(1— a)+l — а. Получаем ОС2 = 1 +2]/а(1 — Л). 12

Это выражение максимально при максимальном значении величины а(1 — а). Но так как

1 / 1 \2

а (1 — а) = а — а2 = — а — у I ,

то это имеет место для а = 1/2, при этом OD => У а = У2/2. Для максимального отрезка ОС

AD = = 1/1 - 4 = Й

при этом АВ = 2AD ==У2. Таким образом, &АОВ имеет стороны 1, 1 и У2. Это означает, что на хорду АВ опирается прямой угол с вершиной в точке О.

Следующий красивый подход дает альтернативное решение. Треугольник A DC — прямоугольный и равнобедренный, т. е. ^-DCA = 45° (рис. 7). Теперь если С А

не является касательной к данной окружности, то найдется хорда, для которой точка С будет лежать дальше вдоль прямой OD. Таким образом, для хорды, максимизирующей отрезок ОС, прямая СА должна быть касательной к окружности, и в этом случае СА есть катет равнобедренного прямоугольного треугольника ОАС. Отсюда СА — ОА = 1 и из равнобедренного прямоугольного треугольника DAC мы получаем, что

AD = и АВ = /2.

ЗАДАЧА 6. ШОФЕРСКАЯ ЗАДАЧА

Мистер Смит ежедневно приезжает на станцию поездом в 5 часов и тут же садится в подъезжающий автомобиль, который везет его домой.

13

Однажды он приехал поездом в 4 часа и пошел пешком домой. По дороге он встретил свой автомобиль, едущий к станции. Шофер развернул автомобиль и отвез Смита домой, при этом он оказался дома на 20 минут раньше, чем обычно.

На другой день Мистер Смит приехал неожиданно поездом в 4 ч 30 мин и также пошел пешком. Он вновь встретил автомобиль и снова оставшуюся часть пути проехал. На сколько раньше обычного приехал Смит домой в этот раз? (Предположим, что скорость ходьбы и езды постоянны и не было потери времени на посадку мистера Смита и на поворот автомобиля.)

Решение 1. Обычный метод решения этой задачи таков: в первый день шофер сэкономил 20 минут езды. Таким образом, мистер Смит сел в автомобиль в точке, находящейся в 10 минутах езды от станции (в одну сторону). Если бы шофер ехал как обычно, то он приехал бы на станцию в 5 ч. Десятиминутная экономия времени означает, что он подбирает Смита в 4 ч 50 мин. Следовательно, Смиту понадобилось 50 мин на то, чтобы пройти то расстояние, которое шофер проезжает за 10 мин. Отсюда мы видим, что автомобиль едет в 5 раз быстрее, чем идет Смит.

Теперь предположим, что во второй день Смит шел 5t мин. Расстояние, пройденное им, автомобиль проезжает за t мин. Следовательно, Смит сел в автомобиль за t мин до 5 ч, т. е. через 60 — t мин после 4 ч. Так как он начал идти в 4 ч 30 мин и шел 5i мин, то он сел в автомобиль через 30 + 5t мин после 4 ч. Следовательно, 30+5i = 60 — t и t = 5. Таким образом, шофер сэкономил по 5 мин движения (в каждую сторону) и приехал к дому Смита на 10 мин раньше обычного.

Это — очень интересное решение задачи. Однако пер-вокурсник одного из американских университетов Ричард Камерон во время соревнований предложил следующее решение.

Решение 2. Рассмотрим график зависимости «расстояния от станции» от «времени». На нем легко проследить движения Смита и шофера. Например, в обычный день мы имеем следующую ситуацию, начинающуюся, скажем, с 4 ч (рис. 8). Это так называемые «мировые линии».

Те же три путешествия, включая обычный день, построены вместе на следующем графике (рис. 9). Из постоянства скоростей ходьбы и езды на автомобиле следует, что соответствующие отрезки графика должны быть 14

СПИСОК ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ

I. Алгебра, арифметика, теория чисел, последовательности, вероятность

Номер Название Страница

задачи

4. Паромы Н

6. Шоферская задача 13

10. cos 17х = / (cos х) 18

15. Цифры числа 44444444 25

16. о(п) + <р(п) = п • d(n) 26

18. Сумма минимумов 29

19. Три последние цифры числа 7"" 30

20. Катящаяся игральная кость 31

22. Двойная последовательность 33

26. аь и Ьа 44

27. Математическая шутка 45

30. Система диофантовых уравнений 52

33. Снежки 58

34. Цифры чисел с единицы по миллиард 59

36. Одно диофантово уравнение 65

37. Последовательность Фибоначчи 67

40. Совершенные числа 74

41. Стороны четырехугольника 76

42. Простые числа в арифметической прогрессии 76

44. Коровы и овцы 80

45. Последовательность квадратов 81

49. О функции л (п) 86

52. Утяжеленные игральные кости 91

53. Курьезная последовательность 92

54. Длинные цепочки последовательных натуральных

чисел 95

56. Треугольные числа 99

58. Числа Ферма 106

59. Неравенство обратных величин 108

60. Четвертая степень 108

62. Красные и зеленые мячи 114

63. Составные члены в арифметической прогрессии 115

65. Тесты 118

67. Еще одно диофантово уравнение 122

68. Необыкновенное свойство комплексных чисел 123

70. Повторяющиеся цифры в конце квадрата 126

72. Система неравенств 128

74. Еще раз о полных квадратах 130

171

75. Необыкновенный многочлен 133

77. Легконаходимый остаток 137

78. Любопытное свойство числа 3. 137

80. Всегда квадрат 139

81. Группировка натуральных чисел 139

83. Дроби, полученные с помощью перестановки 141

84. О биномиальных коэффициентах 142

85. Число Ферма F73 143

87. Специальные тройки натуральных чисел 147

88. Суммы простых чисел 147

89. Еще одна курьезная последовательность 149

II. Комбинаторика, комбинаторная геометрия (максимумы и нимумы) ми

1. Шахматный турнир 7

2. Упорядоченные разбиения числа п 8

3. Области в круге 9

8. Раскрашивание плоскости 17

11. Квадрат на решетке 19

13. Крестики-нолики 23

21. Протыкание куба 32

23. Окружности, разбивающие точечные множества 35

28. Карты на сфере 46

29. Выпуклые области на плоскости 49

32.

35. Элегантно разрушенная шахматная доска Примыкающие непересекающиеся единичные квадраты 53

60

39. Разделенные целочисленные точки 72

47. Красные и синие точки 84

51. Количество внутренних диагоналей 89

61. Упакованные квадраты 109

69. Цепочка окружностей 123

90. Эллипс и целочисленная решетка

III. Геометрия (максимумы и минимумы) 154

5. Выпячивающаяся полуокружность 12

7. Ширмы в углу 15

9. Очевидный максимум 18

12.

14. Непрозрачный квадрат

Удивительное свойство прямоугольных треугольников 21

24

17. О А-облаках 28

24. О длинах сторон треугольника 38

25. Пожалуйста, не вычисляйте 39

31. Отраженные касательные 53

38. Неравенство Эрдеша 70

43. О чевианах 78

46. Вписанный десятиугольник 81

48. Метод Шаля 85

50. Постоянная хорда 88

55. Минимальный вписанный четырехугольник 96

57.

172 О правильном п-треугольнике 104

64. Приложенные равносторонние треугольники 116

66. Приложение теоремы Птолемея 119

71. Биссектриса угла 127

73. Неожиданное свойство правильного 26-угольника 128

76. Центроиды на окружности 134

79. Квадрат внутри квадрата 138

82. Треугольники, стороны которых образуют арифметическую прогрессию 140

86. Вписанный четырехугольник 146

91. Архимедовы треугольники 159

Научно-популярное издание

ХОНСБЕРГЕР Росс (США)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗЮМИНКИ

Библиотечка «Квант», выпуск 83

Заведующий редакцией Н. А. Носова Редактор Г. С. Куликов

Художник Б. М. Рябышев

Художественный редактор Г. М. Коровина

Технический редактор Е. В. Морозова Корректоры Т. С. Вайсберг, В. П. Сорокина

ИВ № 41073

Сдано в набор 08.06.92. Подписано к печати 23.11.92. Формат 84 X 1087зъ Бумага типографская N 2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 7,59. Усл. кр.-отт. 7,94, Уч.-изд. л. 8,38. Тираж 55 450 экз. Заказ N 261. С—091.

Издательско-производственное объединение «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 117071, Москва, Ленинский проспект, 15.

Новосибирская типография Ne 4 ВО «Наука».

630077, г. Новосибирск, 77, Станиславского, 25.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ В СЕРИИ «БИБЛИОТЕЧКА «КВАНТ»

Вып. 1. М. П. Бронштейн. Атомы и электроны.

Вып. 2. М. Фарадей. История свечи.

Вып. 3. О. Оре. Приглашение в теорию чисел.

Вып. 4. Опыты в домашней лаборатории.

Вып. 5. И. Ш. Слободецкий, Л. Г. Асламазов. Задачи по физике.

Вып. 6. Л. П. Мочалов. Головоломки.

Вып. 7. П. С. Александров. Введение в теорию групп.

Вып. 8. В. Г. Штейнгауз. Математический калейдоскоп.

Вып. 9. Замечательные ученые.

Вып. 10. В. М. Глушков, В. Я. Валах. Что такое ОГАС?

Вып. 11. Г. И. Копылов. Всего лишь кинематика.

Вып. 12. Я. А. Смородинский. Температура.

Вып. 13. А. Е. Карпов, Е. Я. Гик. Шахматный калейдоскоп.

Вып. 14. С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках.

Вып. 15. А. А. Боровой. Как регистрируют частицы.

Вып. 16. М. И. Каганов, В. М. Цукерник. Природа магнетизма.

Вып. 17. И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии: Планиметрия.

Вып. 18. Л. В. Тарасов, А. Н. Тарасова. Беседы о преломлении света.

Вып. 19. А. Л. Эфрос. Физика и геометрия беспорядка.

Вып. 20. С. А. Пикин, Л. М. Блинов. Жидкие кристаллы

Вып. 21. В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович. Наглядная топология.

Вып. 22. М. И. Башмаков, Б. М. Беккер, В. М. Гольховой. Задачи по математике: Алгебра и анализ.

Вып. 23. А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров. Введение в теорию вероятностей.

Вып. 24. Е. Я. Гик. Шахматы и математика.

Вып. 25. М. Д. Франк-Каменецкий. Самая главная молекула.

Вып. 26. В. С. Эдельман. Вблизи абсолютного нуля.

Вып. 27. С. Р. Филонович. Самая большая скорость.

Вып. 28. Б. С. Бокштейн. Атомы блуждают по кристаллу.

Вып. 29. А. В. Бялко. Наша планета — Земля.

Вып. 30. М. Н. Аршинов, Л. Е. Садовский. Коды и математика.

Вып. 31. И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии: Стереометрия.

Вып. 32. В. А. Займовский, Т. Л. Колупаева. Необычайные свойства обычных металлов.

Вып. 33. М. Е. Левинштейн, Г. С. Симин. Знакомство с полупроводниками.

Вып. 34. В. Н. Дубровский, Я. А. Смородинский, Е. Л. Сурков. Релятивистский мир.

Вып. 35. А. А. Михайлов. Земля и ее вращение.

Вып. 36. А. П. Пурмаль, Е. М. Слободецкая, С. О. Травин. Как превращаются вещества.

Вып. 37. Г. С. Воронов. Штурм термоядерной крепости.

Вып. 38. А. Д. Чернин. Звезды и физика.

Вып. 39. В. Б. Брагинский, А. Г. Полнарев. Удивительная гравитация.

Вып. 40. С. С. Хилькевич. Физика вокруг нас.

Вып. 41. Г. А. Звенигородский. Первые уроки программирования.

Вып. 42. Л. В. Тарасов. Лазеры: Действительность и надежды.

Вып. 43. О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов. Международные физические олимпиады школьников.

Вып. 44. Л. Е. Садовский, А. Л. Садовский. Математика и спорт.

Вып. 45. Л. Б. Окунь а, 0, у, Z (Элементарное введение в физику элементарных частиц).

Вып. 46. Я. Е. Гегузин. Пузыри.

Вып. 47. Л. С. Марочник. Свидание с кометой.

Вып. 48. А. Т. Филиппов. Многоликий солитоп.

Вып. 49. К. Ю. Богданов. Физик в гостях у биолога.

Вып. 50. Занимательно о физике и математике.

Вып. 51. X. Рачлис. Физика в ванне.

Вып. 52. В. М. Липунов. В мире двойных звезд.

Вып. 53. И. К. Кикоин. Рассказы о физике и физиках.

Вып. 54. Л. С. Понтрягин. Обобщения чисел.

Вып. 55. И. Д. Данилов. Секреты программируемого микрокалькулятора.

Вып, 56. В. М. Тихомиров. Рассказы о максимумах и минимумах.

Вып. 57. А. А. Силин. Трение и мы.

Вып. 58. Л. А. Ашкинази. Вакуум для науки и техники.

Вып. 59. А. Д. Чернин. Физика времени.

Вып. 60. Задачи московских физических олимпиад.

Вып. 61. М. Б. Балк, В. Г. Болтянский. Геометрия масс.

Вып. 62. Р. Фейнман. Характер физических законов.

Вып. 63. Л. Г. Асламазов, А. А. Варламов. Удивительная физика.

Вып. 64. А. Н. Колмогоров. Математика — наука и профессия.

Вып. 65. М. Е. Левинштейн, Г. С. Симин. Барьеры (от кристалла до интегральной схемы).

Вып. 66. Р. Фейнман. КЭД — странная теория света и вещества.

Вып. 67. Я. Б. Зельдович, М. 10. Хлопов. Драма идей в познании природы (частицы, поля, заряды).

Вып. 68. И. Д. Новиков. Как взорвалась Вселенная.

Вып. 69. М. Б. Беркинблит, Е. Г. Глаголева. Электричество в живых организмах.

Вып. 70. А. Л. Стасенко. Физика полета.

Вып. 71. А. С. Штейнберг. Репортаж из мира сплавов.

Вып. 72. В. Р. Полищук. Как исследуют вещества.

Вып. 73. Л. Кэрролл. Логическая игра.

Вып. 74. А. Ю. Гросберг, А. Р. Хохлов. Физика в мире полимеров.

Вып. 75. А. Б. Мигдал. Квантовая физика для больших и маленьких.

Вып. 76. В. С. Гетман. Внуки Солнца: Астероиды, кометы, метеорные тела.

Вып. 77. Г. А. Гальперин, А. Н. Земляков. Математические бильярды: Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики.

Вып. 78. В. Ё. Белонучкин. Кеплер, Ньютон и все, все, все.

Вып. 79. С. Р. Филонович. Судьба классического закона.

Вып. 80. М. П. Бронштейн. Солнечное вещество; Лучи икс; Изобретатели радиотелеграфа.

Вып. 81. А. И. Буздин, А. Р. Зильберман, С. С. Кротов. Раз задача, два задача.

Вып. 82. Я. И. Перельман. Знаете ли вы физику?

Вып. 83. Р. Хонсбергер. Математические изюминки.

Вып. 84. Ю. Р. Носов. Дебют оптоэлектроники.