Математические олимпиады младших школьников (Русанов) 1990 год - старые учебники

Глава 3. Материалы для олимпиады и подготовки к ней . 30

Резервные задачи —

Геометрические задачи 38

Задачи на планирование действий 41

Занимательные задачи со сказочным сюжетом .... 45

Ответы, указания, решения к задачам, предлагавшимся на олимпиадах . 56

1984—1985 учебный год —

1985—1986 учебный год 57

1986—1987 учебный год .... 59

1987—1988 учебный год 60

1988—1989 учебный год 62

1989—1990 учебный год 63

Резервный комплект задач на 1990—1991 учебный год .... 65

Методические замечания, указания к задачам, предлагавшимся на олимпиадах. (Решения для учителя) 66

Грамоты победителям (ответы) 70

Глава 1

ОРГАНИЗАЦИЯ ОЛИМПИАД В СЕЛЬСКОЙ МЕСТНОСТИ

ОЛИМПИАДЫ В НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД ОБУЧЕНИЯ

Одной из важнейших задач начальной школы является воспитание добросовестного отношения детей к учебе. Оно формируется как через совершенствование учебного процесса, так и через организацию работы вне урока.

Эффективной формой внеклассной работы по математике является олимпиада. В нашем представлении это не единовременное мероприятие в отдельно взятой школе, а целая система соревнований. Укажем ее важнейшие особенности.

1. Олимпиада должна занимать значительный промежуток времени, по возможности — целый учебный год.

2. Олимпиада должна быть массовой, с тем чтобы каждый школьник мог принять в ней участие. Причем надо стремиться к обеспечению равных возможностей для всех детей, независимо от того, где они учатся: в городе, районном центре или в малой деревне.

3. Олимпиада должна носить многоступенчатый характер — от масштаба отдельного класса до объединения нескольких территорий (в начальных классах таким объединением может быть несколько районов).

Такое построение олимпиады позволяет участвовать в ней всем школьникам. При этом выигрывают не только победители, но и участники.

Необходимо провести подготовительные мероприятия и всей олимпиады в целом, и отдельных ее этапов.

Важно условие эффективности подготовки — это желание учителей работать совместно с организаторами олимпиады. Нужно разумное сочетание соревнования и мер поощрения как детей, так и учителей. Организационные мероприятия олимпиады должны дополняться инициативой учителя. Наш опыт показывает: творчески работающие учителя стремятся к такому сотрудничеству.

Олимпиада в начальный период обучения занимает важное место в развитии детей. Именно в это время происходят первые самостоятельные открытия ребенка. Пусть они даже небольшие и как будто незначительные, но в них — ростки будущего интереса к науке. Реа-лизованные возможности действуют на ребенка развивающе, стимулируют интерес не только к математике, но и к другим наукам.

Олимпиады позволяют ученику познать себя, дают возможность в большей степени утвердиться в собственных глазах и среди окружающих. В целом они служат развитию творческой инициативы ребенка.

Учителю уместно показать детям, что он верит в их силы, вместе с ними радуется успеху каждого. Даже-самые незначительные достижения порождают в ученике веру в свои возможности. Желательно поддерживать любознательность ребят, разумно дозируя подобранные задачи как в качественном так и в количественном отношениях в соответствии с уровнем развития. Иногда в необходимых случаях полезно помогать ребятам, направлять их работу, но в меру. Такой подход позволяет прививать вкус к самостоятельному рассуждению, способствует дальнейшему развитию математического мышления.

Опыт показывает, что олимпиаду лучше проводить в заключительный год начального обучения. Первые же годы можно рассматривать как подготовку к ней. Здесь важна постепенность. Начать следует с эпизодических вопросов, задач на первом году обучения. Далее перейти к упражнениям, выполняемым в течение 10—15 мин, затем увеличить их продолжительность до 30 мин. Такие занятия должны быть не чаще одного раза в неделю. Завершить эту работу нужно деятельностью математического кружка, в рамках которого можно успешно подготовить детей к олимпиаде, являющейся заключительным этапом внеклассной работы в начальных классах.

Олимпиады чаще всего проводят в больших городах, областных центрах — там, где есть педагогические институты. Студентам при этом открывается достаточно широкое поле деятельности. Но как же быть с сельскими местностями, в которых есть лишь небольшие районные центры, поселки, села, деревни?! Не секрет, что именно такие местности нуждаются в подъеме внеклассной работы.

Между тем возможности проведения олимпиады в сельской местности имеются. Такой опыт есть в нескольких районах юга Пермской области. Центром организационной деятельности является Осинское педагогическое училище, которое в течение ряда лет проводит математические олимпиады в семи районах: в Бардымском, Еловском, Осинском, Оханском, Частинском, Чайковском и Чернушинском.

Аналогичную работу при желании можно организовать в любом районе и даже области, подключив областной институт усовершенствования учителей.

Фактически мы проводим олимпиаду в течение всего учебного года. Она проходит в несколько этапов:

1) заочный (подготовительный) тур;

2) школьный тур;

3) районный тур;

4) межрайонный (заключительный) тур.

Проведение отдельных туров, например заочного тура, предполагает обязательное использование районных газет.

Основным материалом для олимпиад являются задачи. Очень важно тщательно подобрать их для конкретного тура. Ведь успех зависит и от этого. Разумеется, задачи не должны дублировать материал учебника, а во многих случаях они носят нестандартный характер и иногда могут соответствовать принципу опережающего обучения. Главное, чтобы ребенок смог проявить смекалку. Эффектны простые задачи, требующие неожиданного поворота мысли.

Обычно на каждом этапе мы предлагаем комплект из 4 заданий. Он должен быть посильным для детей. Обязательна среди них пара задач, нетрудных для большинства учеников, и одна — потруднее, с «изюминкой». Расчет такой: чтобы каждый участник этапа выступил успешно (т. е. решил хотя бы одну задачу), а большинство участников справились бы с двумя. Вместе с тем, должно быть лишь несколько абсолютных победителей, т. е. детей, решивших все задачи.

Очень трудно подобрать комплект разнообразных заданий, соответствующий такому «щадящему» режиму, и в то же время попасть в «золотую» середину. Вместе с тем, нужны достаточно интересные задачи. Иногда можно предложить практические задания или задачи отвлеченного характера, но очень важно, чтобы они увлекли детей, поставили перед ними вопросы, полезные для дальнейшего умственного развития. Целесообразно в задачах прибегать к образам из окружающего мира, а иногда к сказочным сюжетам. Не надо пре-небрегать и игровыми ситуациями.

При подборе задач к олимпиаде мы использовали книги по внеклассной работе и журнал «Квант». Большинство задач было составлено автором этой книги.

Для проведения многоступенчатой олимпиады формируется организационный комитет, в который входят представители отделов народного образования всех районов и председатель оргкомитета. В нашем объединении районов юга Пермской области организационным началом является приказ директора Осинского педагогического училища о формировании комитета по проведению олимпиады. Во главе оргкомитета ставится представитель этого же учебного заведения — человек, который постоянно занимается вопросами олимпиад. Наше училище готовит учителей начальных классов, осуществляет практическую помощь своим выпускникам, ведет определенную методическую работу в районах.

Там же, где училища нет, вопросы организации тоже вполне решаемы — было бы желание. Многое зависит от учителей — энтузиастов, инициативы отделов народного образования, от того, кто эту организационную работу возглавит.

Председатель оргкомитета подбирает комплекты задач для различных этапов, предварительно знакомит с ними (кроме заключительного тура) членов оргкомитета. При этом обсуждаются тексты задач, выносятся предложения по совершенствованию организации и проведению многоступенчатой олимпиады.

Окончательное решение об изменениях принимается в результате обмена мнениями на заседании секции преподавателей математических дисциплин педагогического училища. В спорных случаях председатель оргкомитета обращается за консультацией в Пермский педа-гогический институт. Члены организационного комитета проводят в своих районах школьный и районный туры, участвуют в проведении межрайонного тура, а также содействуют успешному ходу и заочного (подготовительного) этапа.

Рассмотрим более подробно проведение различных туров олимпиады.

ЗАОЧНЫЙ (ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ) ТУР

Цель данного этапа — психологически подготовить детей к последующим турам олимпиады, т. е. это — своего рода разминка. Отсюда следует, что подготовительный тур имеет свои особенности. Перечислим и охарактеризуем их.

1. Этап заочный. Он проводится при косвенном контакте с учениками. Дети знакомятся с задачами через районную газету. Решения они присылают организаторам олимпиады по почте. Об итогах (и решении задач) ребята узнают тоже из газеты. В необходимых случаях ведется переписка.

2. Этап сравнительно длительный. Если каждый из последующих туров занимает непосредственно не более полутора-двух часов, то подготовительный тур проходит в течение полутора-двух месяцев. Это очень хорошо, т. е. при желании ребенок может многое узнать за это время. Опыт показывает, что большинство детей, принявших участие в туре, использует значительную часть этого срока. Конечно, бывают и более нетерпеливые участники — они высылают решения через несколько дней после публикации условий задач.

3. Этап не исключает возможность консультации со стороны окружающих (родителей, товарищей), и в этом нет ничего плохого. Заочное соревнование построено на интересе. Некоторые результаты ребенок получает сам. Он стремится к самостоятельности, это его возвышает в собственных глазах. В других случаях идею решения задачи ученик может найти при общении с друзьями. Информацию ребенок воспринимает критически, а затем творчески перерабатывает в своем сознании, но это тоже обучение и накопление опыта. Здесь важно поддержать интерес. Со стороны старших необходим педагогический такт, надо чтобы ребенок воспринял идею решения как собственную находку.

Не следует добиваться безусловного решения всех задач. Участники заочного тура могут быть отмечены за решение некоторых из них. Проведение заочного тура мы организовываем так: после окончания I четверти, обычно в дни осенних каникул, в районных газетах поме-щаем заметки о заочном туре математической олимпиады. Здесь необходимо постоянное сотрудничество с прессой.

Районную газету выписывают в большинстве семей. Так, в Елов- ском районе, где 17 тыс. населения, районная газета «Искра Прикамья» выходит тиражом 3,5 тыс. экземпляров. К тому же учителя начальных классов стремятся довести до детей материал, адресованный им. Так что дети имеют возможность познакомиться с условиями заочного тура.

Вот содержание заметки, опубликованной в газете «Рассвет» Бардымского района (на татарском и русском языках) 5 ноября 1985 года.

«Снова олимпиада

Осинское педагогическое училище в прошлом учебном году провело для учащихся третьих классов ряда районов многоступенчатую математическую олимпиаду, начало которой положил заочный тур. В этой олимпиаде активно участвовали также ребята из Бардымского района, а некоторые завоевали призовые места.

В этом учебном году училище снова приглашает уже нынешних третьеклассников принять участие в заочной олимпиаде. Такое соревнование должно помочь им подготовиться к следующим турам.

Не следует огорчаться, если кто-то решит не все задачи. Будут отмечены также интересные решения отдельных задач. Допускаются совместные решения членами математического кружка.

Письма с ответами надо присылать до 15 декабря по адресу: (далее указан адрес училища), с пометкой «Заочный тур».

Просьба учителям: помочь учащимся в оформлении решений и отправке писем. Итоги и решения будут опубликованы в январе 1986 года. . .»

Далее — условия задач заочного тура. Обычно дети с удовольствием участвуют в таком соревновании. Так, например, в 1988/89 учебном году получены письма от 137 ребят. А сколько детей решали задачи, не послав письма! В период зимних каникул в газетах публикуются ответы, указания и решения задач, подводятся итоги и публикуются фамилии победителей и участников, которые прислали оригинальные решения отдельных задач.

Учитель может организовать участие своих учеников в заочном туре следующим образом: ознакомить детей с материалами газеты и предложить желающим решить хотя бы одну задачу; надо уточнить, что результат каждого ученика будет фиксироваться независимо от количества решенных задач. Учитель заносит результат в специальную таблицу, вывешенную на видном месте в классе. Со временем отдельные пустые клетки таблицы заполняются. Окончательно таблица может выглядеть так:

12 3 4

Алексеев Коля + — + +

Борисова Таня — + — +

Васин Леня + + + +

Одновременно на отдельном листке оформляются решения задач: № 1,2, 3, 4. Это делают сами учащиеся — по очереди, под руководством учителя. Оригинальные решения можно оформить отдельно с указанием фамилии автора. Таблица и решения задач высылаются по почте по указанному адресу.

Одно из внеклассных занятий можно посвятить разбору задач.

Дети с удовольствием сами предложат свои решения, возможно даже и несколькими способами.

Обсудить результаты работы класса можно позже, когда в газете будут опубликованы итоги тура.

И еще одно замечание, касающееся характера задач заочного тура. Иногда в него можно включить задания, связанные с понятиями, которые выходят за рамки учебной программы начального курса математики. В таких случаях следует стремиться к тому, чтобы задача носила практический характер и дети могли бы поработать с реальными объектами. Время и обстановка заочного тура позволяют сделать это. Такой подход соответствует принципу опережающего обучения.

Например, в начальных классах не знакомят на уроке с кубом, ребром и т. д. Однако в играх и в повседневном быту дети сталкиваются с их моделями, к тому же многое могут уточнить, обратившись к учителю, родителям. Школьник может поэкспериментировать с деревянным кубом или кубиком Рубика, с палочками, пластилином и т. д. Любопытно отметить, что такие задачи были в нашей практике одними из наиболее популярных. Например, задачу о раскрашенном деревянном кубе решили правильно большинство детей, приславших письма.

Вместе с тем, задачи такого рода менее желательны в последующих турах.

школьный ТУР

Текст задач школьного тура составляется заранее, печатается на машинке или размножается через местную типографию в виде отдельных карточек (что мы и делаем). К началу III четверти в январе председатель оргкомитета рассылает их в методические каби-неты при районных отделах народного образования в необходимом количестве. В разъяснительном письме указывается, что тур надо провести в течение III четверти, но не позднее 10 дней до ее конца. Из победителей школьного тура предлагается сформировать команду из расчета 1 член команды от 10 учащихся класса. В школе данный тур проводится в один день. Как правило, он является составной частью математической недели. На соревнование приглашаются все желающие дети из третьих классов. В большой школе руководство этим этапом может осуществлять комиссия, утвержденная директором. Эта комиссия (или ответственный) обеспечивает полную самостоятельность решения задач, что является важным условием выявления истинных победителей. В то же время необходимо всех участников соревнования поставить в одинаковые условия.

Затем следует подвести итоги школьного тура. Это нужно сделать на специальном внеклассном занятии. Если классов несколько, то учеников можно собрать вместе, а проверку решения задач доверить детям. Конечно, здесь нужна направляющая роль учителя, его обобщающие суждения.

Далее следует огласить итоги школьного тура и список детей, которые завоевали право защищать честь школы на районном туре. Необходимо поощрить наиболее активных ребят. Например, зачитать приказ директора школы о вынесении благодарности наиболее отли-чившимся учащимся.

Серьезный подход руководства школы, и разумеется, учителей — важное условие подготовки к районному туру.

К школьной олимпиаде можно успешно подготовить детей как во время уроков математики, так и на внеклассных занятиях. Здесь нужна целенаправленная, систематическая работа.

Разумеется, на многих уроках найдется несколько минут на решение нестандартных задач и на смекалку. Если задача нетрудная, то ее можно включить в устные упражнения в начале урока. Если задание посложнее или нет уверенности, что его выполнят сразу многие дети, то задание следует предложить в конце урока, после записи домашнего задания. В таком случае не надо добиваться решения задач на уроке во что бы то ни стало, предложив детям поразмыслить над условием во внеурочное время, дома. Не следует предвосхищать событий — пусть ребята подумают, а на одном из следующих уроков надо вернуться к предложенной задаче. Тогда дальнейший разбор решения пройдет интереснее.

На самостоятельной или контрольной работе тоже полезно предлагать нестандартные задачи в качестве дополнительного (необязательного) задания. Пусть встреча с ними станет традицией. Дополнительное задание можно написать на доске или на отдельной карточке.

Предлагаем вашему вниманию набор из 30 задач на III четверть для 3 класса. Количество задач каждый учитель может расширить, чтобы предлагать их в I полугодии и в IV четверти. Задачи целесообразно чередовать как по характеру их решений, так и по степени трудности, а также по их видам (арифметические, геометрические, логические и т. д.). Причем если встречаются две или три однотипные задачи разной степени сложности, то решать следует сначала наиболее простые. Таковы, например, № 1,2, 3.

Подготовительные задачи

1. Замени звездочки цифрами:

¦ ? ***

Ответ. 1 000 — 1 = 999.

2. Расшифруй пример на сложение:

, АБ + А

БВВ

Ответ. А = 9, Б= 1, В = 0.

3. Найди А и Б, если: А-Б = А и А-}-Б=10. А и Б — цифры. Ответ. А = 9, Б = 1.

4. Найди произведение: 1-2-3-4-5-6.

Ответ. 720.

5. К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число? Ответ. В 11 раз.

Один из учеников убеждается в справедливости ответа для одного из чисел, другой — для другого числа и т. д. Дети догадываются, что для любого числа верен данный ответ.

Приведем решение для учителя.

Пусть а однозначное число. Если приписать такую же цифру, то получится двузначное число: 10а4-о=11а. Число увеличилось в И раз.

Отдельные ученики способны понять такое решение.

6. Из цифр 2 и 3 составь два двузначных числа с разными цифрами. Найди их сумму. Если брать другие пары разных цифр, меньших 6, всегда ли получится число, которое делится на 11?

Ответ. Всегда получится двузначное число, которое делится на 11, так как оно записывается одной и той же цифрой (см. № 5).

Приведем доказательство для учителя.

Пусть а, b — цифры, где a, b С {1; 2; 3; 4; 5) a=?b. Двузначные числа таковы: 10а-\-Ь, 1064-Д- Их сумма:

(10а + 6) + (Ю6 + а) = 11(а + 6), где 3<а4-6^9.

Следовательно, результат всегда записывается одинаковыми цифр- рами.

Практически учитель может предложить детям взять различные пары цифр. Таких пар 10: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 1 и 5, 2 и 3, 2 и 4, 2 и 5, 3 и 4, 3 и 5, 4 и 5. В каждом случае получается сумма, которая делится на 11. Учителю остается лишь обобщить.

7. Имеется набор гирек: 1 г, 2 г, 4 г, 8 г, 16 г. Можно ли с их помощью уравновесить на чашечных весах деталь массой 23 г? На чашку с деталью гирьки класть не разрешается. Масса детали — целое число граммов. Подумайте, любую ли деталь до 31 г можно уравнове-сить с помощью этого набора гирь.

Ответ. 164-44-24-1 =23. Да, любую деталь массой в целое число граммов, меньше 31, можно уравновесить этими гирьками.

Эту задачу можно рассмотреть на 2—3 уроках, поэтапно. Или же второй вопрос можно дать детям для обдумывания во внеурочное время.

Приведем рассуждение для учителя.

Любое натуральное число можно записать в двоичной системе счисления. Это означает, что вполне достаточно набора гирь: 1 г, 2 г, 4 г, 8 г, 16 г, чтобы уравновесить деталь массой в целое число граммов, не более 14-24-44-84-16 = 31 (г).

8. У Тани и Алеши денег поровну. У Тани 20-копеечные монеты, а у Алеши 15-копеечные монеты. Сколько монет у Тани, если у Алеши 4 монеты? Ответ. У Тани 3 монеты.

9. 60 листов книги имеют толщину 1 см.

Какова толщина всех листов книги, если в ней 240 страниц? Ответ. Толщина всех листов книги 2 см.

10. Из Чайковского в Пермь самолет летит 1 ч 20 мин, а обратно 80 мин. Чем объяснить такую разницу?

Ответ. 1 ч 20 мин = 80 мин.

11. Колесо имеет 10 спиц. Сколько промежутков между спицами?

Ответ. 10 промежутков.

12. Таня живет на 2 этаже. Ваня в том же подъезде, но ему приходится подниматься по лестнице, в которой в 2 раза больше ступенек. Ступенек до подъезда и до 1 этажа нет.

На каком этаже живет Ваня?

Ответ. Ваня живет на 3 этаже.

13. Имеются песочные часы на 3 мин и 7 мин. Надо опустить яйцо в кипящую воду ровно на 4 мин. Как это сделать с помощью данных песочных часов?

Ответ. Следует поставить работать часы одновременно. Когда песок в 3-минутных часах истечет, положить яйцо в кипящую воду.

Оставшееся время работы 7-минутных часов и будет равняться 4 мин.

14. Крышка стола имеет четыре угла. Один из них отпилили. Сколько углов стало у крышки?

Ответ. 5 углов.

15. Группа туристов состоит из 6 иностранцев. Они говорят только по-французски или по-английски. 3 человека говорят только по-английски, 2 человека только по-французски. Сколько человек говорят на двух языках: и по-французски и по-английски?

Ответ. 1 человек говорит по-французски и по-английски.

16. У Сережи в кармане 2 монеты на сумму 7 коп. Одна из монет не пятикопеечная. Какие это монеты?

Ответ. Двухкопеечная монета и пятикопеечная монета, так как одна из монет не пятикопеечная, т. е. двухкопеечная, зато другая — пятикопеечная.

17. Лена, Оля и Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала к финишу на 2 с раньше Оли, а Оля — на 1 с позже Тани. Кто прибежал раньше — Таня или Лена — и на сколько секунд?

Ответ. Лена прибежала на 1 с раньше Тани.

18. Запишите все трехзначные числа, используя только цифры 0, 1 и 5. При этом цифры в каждом числе должны быть разные.

Ответ. 105, 150, 501, 510.

19. Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл всего 2 партии. Сколько всего партий было сыграно?

Ответ. 3 партии.

20. На весах, которые находятся в равновесии, на одной чашке лежит 1 морковка и 2 одинаковые редиски. На другой чашке — 2 таких же морковки и 1 такая же редиска. Что легче, морковка или редиска?

Ответ. Массы морковки и редиски одинаковые.