Математика 1, Блок-схемы, перфокарты, вероятности (Варга) 1978 год - старые учебники

Глава 2. Перфокарты

Волшебные слова деда Дубеда

Познакомься с перфокартами

Множества

Двоичная система

Решения задач главы 2 "Перфокарты"

Глава 3. Вероятности

Числовой волчок

Опыты с десятью монетами

Опыты с десятью кнопками

Сколько останется на своем месте?

Игра с тремя кружками

Решения задач главы 3 "Вероятности"

Машина Поста

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА И ПЕРЕВОДЧИКА

Предлагаемая вниманию учителей математике, методистов, а также родителей школьников, интересующихся математикой, настоящая книга Т. Варга написана в лучших традициях франко-бельгийско-швейцарской психолого-педагогической школы (Жане, Пваже, Папи и др.). Кроме того, автор исходят также из методических идей в области обучения математике известного педагога н ученого Д. Нова.

Рекомендуя учителям я родителям настоящую книгу, мы хотим отметить ее необычность. Она не учебник, хотя с ее помощью можно многому научать детей десяти -четырнадцати лет. Она не является и задачником в обычном понимании этого слова, хотя и содержит большое число задач. Ее нельзя отнести к книгам научно-популярных, хотя, обращаясь в ней непосредственно к весьма юному читателю, автор пользуется многими приемами, присущими этому жанру. Скорее, ее можно считать пособием для внеклассных занятий по математике с детьми среднего школьного возраста.

Основная методическая идея автора, как нам ха- жегся, такова: нужно не просто сообщать детям математическую информацию (систему понятий, аксиомы, теоремы), не только учить логическому выводу (доказательству утверждений), но к обучать практическому освоению приемов и методов современной математики, умению выдвигать гипотезы, проверять ах на фактическом материале (объекте математического исследования), уточнять н лишь в заключение доказывать. Эта идея реализуется в настоящей книжке путем привлечения юного любителя математики к увлекательным математическим играм, освоение которых происходит шаг за шагом, в результате выполнения многочисленных постепенно усложняющихся заданий (задач).

Сами задания бывают трех видов: I) формулировка или уточнение гипотезы. 2) ее проверка на практике, 3) доказательство уточненной гипотезы. Причем если в  первых двух главах книги эта схема не всегда полностью реализуется, то на благодатном с точки эре* нив данной методики материале главы 3 она прослеживается весьма четко.

Привлекая юного читателя х активной работе, автор использует счёс и следующий прием: для выполнения многих заданий и записи их результатов, для таблиц и рисунков, работа над которыми поручена детям, свободное место оставлено прямо в тексте книги. В этом смысле книга по форме напоминает довольно распространенные в некоторых странах математические тетради с печатной основой. В какой-то мере представление об этом виде учебных пособий я о помощи, оказываемой ими педагогам, можно составить по статье Ю. Л. Глазкова "Тетрадь с печатной основой в зарубежной шкале" ("Математика в школе", 1977, М 4). В последние годы такие учебные материалы получили распространение н в советской школе.

Мы полностью согласны с Т. Варгой, что настоящую книгу можно применять уже в работе с учениками III-IV классов. В тексте книги автор непосредственно обращается к юному читателю. Однако именно самых юных читателей мы настоятельно рекомендуем знакомить с ней под руководством педагогов или родителей. На наш взгляд, в книге есть места разной степени трудности (а связи с этим нам показались необходимыми некоторые дополнительные разъяснения; эти разъяснения, дополнения н примечания были в основном написаны переводчиком н везде в книге даны курсивом). Кроме того, у юного читателя могут возникнуть вопросы, которые крайне желательно не оставлять без ответа: ведь именно пробуждение вкуса и интереса' к математике - одна из целей книг*,

В связи с этим хочется дать педагогам ряд советов по отбору тем для дальнейшей работы с учащимися по тематике настоящей книги. К тому же и у самого педагога, если он запланирует изучение книги Т. Варги с детьми в течение приблизительно одного года, появится потребность в дополнительном материале, посвященном современной математике, но доступном для понимания уже в IV классе. После привлечения дополнительного материала книга может составить основу для двух полугодовых курсов "Введение в алгоритмы н программирование" (главы I и 2) и "Введение в

теорию вероятностей" (главе 3), в разных своих вариантах пригодных для кружковой работы с учащимися IV-X классов. Педагог легко совпадения и различия в структуре предлагаемых двух курсов с темами "Системы счисления и арифметические устройства ЭВМ" (VII класс, 12 ч) и "Элементы теории вероятностей (IX класс, 17 ч), -входящими в утвержденную Главным управлением школ Министерства просвещения СССР программу факультативного курса "Избранные вопросы математики" (см. объяснительную записку в "Математике в школе". 1977, № 6).

Дополнительный материал будет особенно необходим при работе со старшеклассниками. Однако мы глубоко убеждены, что н с нами изучение любых разделов современной математики следует начинать в предлагаемом Т. Варгой методическом ключе, в игровой манере. Не исключено, что игры в этом случае потребуют усложнения, приближения к жизни. Не исключено также, что данную книгу именно старшеклассники прочтут самостоятельно, а в работе с ними дополнительный материал окажется основным.

В главе 1 автор на простых примерах знакомит читателя с понятием блок-схемы алгоритма. Учащиеся обычно с большим удовольствием превращаю? традиционно описанные в словесной форме алгоритмы в эту более наглядную и более точную их форму. Поэтому педагогу следует иметь наготове большое число разных по трудности алгоритмов, для которых он будет предлагать построить их блок-схему. Это могут быть н. так сказать, бытовые алгоритмы, подобные описанным Т. Варгой алгоритмам приготовления пищи, поиска нужной страницы в книге и совершения покупок, и алгоритмы решения математических или логических задач.

Кроме рассмотренного автором алгоритма нахождения всех простых чисел некоторого числового промежутка можно рекомендовать школьникам IV-VII классов для составления блок-схем такие математические алгоритмы, как алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления с остатком н нахождения наибольшего общего делителя, а старшеклассникам - алгоритмы решения квадратного уравнения или системы линейных уравнений, дифференцированно функций и решения уравнения методом подбора

корней. С ними же можно проработать алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (см., например, статью В. Н. Вагутена "Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики" в "Кванте", 1972, № 6). Впрочем. в факультативном курсе "Избранные вопросы математики" тот алгоритм изучается уже s VII классе. Удачный пример нетривиального алгоритма, возникающего при решении логической задачи и имеющего простую по структуре блок-схему, приведен в небольшой книге В. Н. Касаткина "Семь задач по кибернетике" (Киев, 1975).

Наиболее естественным дополнением к теме, затронутой в главе 1, является ознакомление с понятием алгоритма и с его машинной реализацией (на примере машины Поста). Последний вопрос еще не нашел достаточно широкого отражения в популярных книгах по теории алгоритмов. Мы можем лишь рекомендовать названную книгу В. Н. Касаткина. Основная же литература по машине Поста - это цикл статей В. Л. Успенского "Как работает машина Поста" ("Математике в школе". 1967, № 1-4) н статья "Машина Поста" Н. Кудрявсхой и др. ("Квант", 1972, N" 5). Изложенный в них материал вполне доступен ученикам четвертых классов. Ь названной книге В. 11. Касаткина сообщается об успешном опыте по ознакомлению учащихся VI- IX классов с программированием через изучение машины Поста. В приложении к книге приведено описание действующей модели машины Поста, разработанной в Симферопольском государственном университете в 1970 г. и эксплуатируемой школьниками из малой академии наук "Искатель".

Несколько лучше обстоит дело с литературой по общему понятию алгоритма и по таким его разновидностям. как машина Тьюринга и нормальные алгоритмы Маркова. Здесь нужно в первую очередь отметить замечательную брошюру Б. А. Трахтенброта "Алгоритмы и машинное решение задач" (1973), а также книги ,М. Л. Айзермана и др. "Логика, автоматы, алгоритмы" (1963), Г. Д. Эббннхауэа н др. "Машины юнга и рекурсивные функции" (1972), Б. А. Трахтенброта "Алгоритмы н вычислительные автоматы" (1974). В учебнике "Теория алгоритмов" 3. В. Алферовой (1973) собрана библиография, а также интересный материал о различных определениях алгоритма и в абстрактного автомата, о связи последних с формальными грамматикам*.

К сожалению, названные книга слишком трудны, чтобы мы могли рекомендовать их старшеклассникам для самостоятельной проработки. Поэтому одним из нас специально для данной книги было написано приложенное, посвященное машине Поста н сравнению этого понятия с понятием машины Тио ринга. В приложении проанализировано соотношение между понятиями алгоритма н машины, кратко описано строение двух названных типов абстрактных машин и приведены простые примеры, показывающие, как работают эти машины. В заключение дано несколько упражнений, а также ответы к решения к ним.

Приложение рассчитано в основном на педагога, который, ознакомившись с кии. сможет продолжить свою подготовку к занятиям с детьми среднего школьного возраста (по машине Поста) или со старшеклассниками (по машине Тьюринга) по названным выше источникам. При изучении машины Тьюринга мы рекомендуем решить сначала еще несколько задач (например, составить программу умножения чисел на фиксированное число или нахождения произведения двух чисел), а затем познакомить старшеклассников с понятиями композиции и итерации машин Тьюринга, разобрав при этом ряд примеров. В этих примерах можно использовать ранее построенные машины Тьюринга. В заключение можно рассказать школьникам об универсальной машине Тьюринга, о результатах Шеннона относительно существования таков машины Тьюринга: с двумя состояниями внутренней памяти (но с большим внешним алфавитом) н другой -с двухэлементным внешним алфавитом (но с большим числом 'внутренних состояний).

При работе со старшеклассниками могут быть' также использованы статьи из "Кванта" Ю. Макаренкова "Алгоритмы на словах" (1977. М 2) и Ф. Л. Варваковского к Л. Н. Колмогорова "О решении десятой проблемы Гильберта" (1970, № 7), в которых рассматриваются алгоритмически неразрешимые проблемы; Р. С Гутера "Что умеют машины" (1970. № б) н "Язык человека и язык машины" (19/1, .N) 10)-о способностях ЭВМ реализовывать алгоритмы. В связи с понятием решета Эратосфена, затронутым в глазе 1,

рекомендуем ознакомить младших школьников с его красивой формой, приведенной в заметке А. Н. Колмогорова "Решето Эратосфена" (1974, Mr 1), а также со статьей А. Д. Бендукидзе "О простых числах" (1973, № 4).

Глава 2 состоит из четырех разделов, между которыми авторами прослеживаются интересные и далеко не избитые внутренние связи. Два из этих разделов, посвященные перфокартам и двоичной системе счисления, могут быть использованы в названном выше курсе "Введение 8 алгоритмы н программирование". При этом рассказ о перфокартах, используемых для быстрого ручного поиска информации, следует дополнить ознакомлением с перфокартами, используемыми для ввода информации в ЭВМ. А изучение двоичной системы следует завершить построением блок-схем перехода от этой системы к десятичной и блок-схемы перевода десятичных чисел в их двоичную запись. Интересно также построить блок-схемы для арифметических операций над двоичными числами и сравнить их с аналогичными блок-схемами для чисел в десятичной записи. В теме "Системы счисления и арифметические устройства ЭВМ" предусмотрено знакомство с восьмеричной системой счисления. Это дает возможность разработать ещё несколько несложных блок-схем.

"Системы счисления" - тема традиционная, прорабатываемая со школьниками IV-VI! классов. Так. им адресованы статьи в "Кванте" А. Д. Бендукидзе "О системах счисления" <1975, № S) н "О двоичной системе счислении" (1976,6), статья Р. С. Гунтера

"Системы счисления н арифметические основы работы электронных вычислительных машин" в книге "Дополнительные главы по курсу математики" (М,. 1974) и брошюра С. В. Фомина "Системы счисления" (М., 1975). Отметим также раздел "Как люди считали в старину и как писали числа" из второго тома третьего "здании "Детской энциклопедии".

Вся глава 2 может быть использована не только во внеклассной работе, но я при прохождении в школе основных понятий теории множеств. При этом первый ее раздел может интерпретироваться как весьма оригинальный способ введения понятия декартова произведения множеств. Так. заклинание, приведенное в самом начале раздела "Волшебные слова деда Дубеда",

есть не что иное, как упорядоченный список всех элементов декартова произведения {щ, ц, ч}Х{о. ь>, е}Х Х(ф, х}Х{а, и). Раздел "Перфокарты" лает возможность весьма необычно иллюстрировать примерами теоретико-множественные операции.

Мы не приводим здесь отдельного списка литературы по началам теории множеств, изучаемым  основном курсе школьной математики. Для тех же педагогов, которые захотят продолжить изучение со школьниками теории множеств и рассказать им о бесконечных множествах, мы порекомендуем книгу Н. Я. Виленкина "Рассказы о множествах" (М.. 1972), второй том ^Детской энциклопедии" (3-е над.), седьмой параграф книги Г. Радемахера и О. Теплица "Числа и фигуры" (М., 1962). Отметим, что в число тем факультативного курса "Избранные вопросы математики", излагаемых по выбору учителя, входит тема "Бесконечные множества" (VIII класс, 12 ч). Эта тема раскрыта в учебном пособии по факультативному курсу для учащихся VII VIII классов "Дополнительные главы по курсу математики" . (М., 1974) н в пособии "Дополнительные главы по курсу математики 9 классов для факультативных занятий" (М" 1970). Наконец, назовем предназначенную для детей среднего школьного возраста статью А. Бендукидзе "Может ли часть равняться целому?" ("Квант", 1976, N" 9).

В главе 3 своей книги Т. Варга, не стремясь к математически строгим определениям, дает своим юным читателям возможность почувствовать, что такое вероятность. Здесь в еще большей мере, чем в двух первых главах, школьник побуждается к активному, экспериментальному овладению сутью новых для него понятий. И хотя материал этой главы охватывает только две части упомянутой выше темы "Элементы теории вероятностей" факультативного курса "Избранные вопросы математики", именно таи называемую "схему урн" или "схему случаев", т. е. непосредственное вычисление вероятностей, и классическую схему Бернулли о последовательностях независимых испытаний, зато дети могут освоить эти две схемы, так сказать, своими руками.

Отметим, что фактически в таком же ключе написана в статья Е. Турецкой и Н. Цейтлина "Семиклассникам о вероятности" ("Квант", 1977, X" 5), которую

мы рекомендуем педагогам использовать в их работе с детьми среднего школьного возраста. Однако основным дополнительным пособием в такой работе может служить написанная группой известных американских математиков н методистов (Ф. Мостеллер, Р. Фурке и Дж. Томас) книга "Вероятность" (М., 1569), представляющая собой элементарное введение в теорию вероятностей н статистику. Для чтения книги достаточно владеть математикой в объеме восьмилетней школы, в то время как отдельные ее части, при наличии помощи преподавателя, доступны уже шестиклассникам.

Книга написана живым и ярким языком и содержит большое число увлекательных примеров, взятых из повседневной жизни. Через соответствующие примеры вводится каждое новое понятие, иллюстрируются все существенные определения и теоремы. Книга содержит очень богатый материал не только по самой теории вероятностей, но и по ее приложениям н может служить основой для различных курсов теории вероятностей, отличающихся как своим уровнем трудности, так н долей своей направленности в прикладную сторону. Кстати, отсутствие в главе 3 книги Т. Варга рассказа о практических приложениях теории вероятностей - один из ее изъянов.

Старшеклассникам, заинтересовавшимся приложениями теории вероятностей, можно рекомендовать брошюру А. М. Чубарева и В. С. Холодного "Невероятная вероятность" (М., 1976), имеющую подзаголовок "О прикладном значении теории вероятностей", я также брошюру В. Н. Тутубалина "Границы применимости" (М., 1977), посвященную популярному изложению вероятностно-статистических методов, возможности их применения в различных возникающих перед задачах, а также границам их применимости при которых степень достоверности получаемых результатов продолжает оставаться достаточно высокой.

Из других частей названной выше темы "Элементы теории вероятностей" при работе с учащимися IV- VII классов можно, пожалуй, рекомендовать лишь рассказ об отдельных этапах истории теории вероятностей. К сожалению, большинство авторов, пишущих об истории этой области математики, адресуют свои книги или старшеклассникам, как. например, учебное пособие В. С. Лютикаса "Школьнику о теории вероятностей" (М., 1976), содержащее описание ряда знаменитых задач теории вероятностей и краткий очерк историк теории вероятностей, нля еще более математически подготовленным читателям, как, например, монография "Теория вероятностей. Исторический очерк" Л. ь. Майстроза (М" 1967). Но нет сомнения, что любой педагог найдет в этих работах материал, доступный н более юным, чем читатели названных книг, ученикам. Наконец, отметим, что хороший сборник Ф. Мостеллсра "Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями" (М" 1971) может быть с успехом применен при работе со старшеклассниками, всерьез заинтересовавшимися теорией вероятностей.

В заключение хочется привести некоторые рекомендации из статьи И. Я. Вилентина н А. Я. Блоха "Изучение дискретной математики" ("Математика в школе". 1977, № 6). касающиеся рассмотренных выше и связанных с книгой Т. Варги тем. В IV классе рекомендуется изучать двоичную арифметику и экспериментальную комбинаторику, в V - примеры алгоритмов, в VI - программирование, блок-схемы к алгоритмы алгебр многочленов, в VII - комбинаторику и кодирование. в IX - алгоритмы вычислительных процессов, конечные автоматы и машины Тьюринга, в X - теорию вероятностей. Авторы этой статьи отмечают, что изучение дискретной математики может и должно быть начато с первых же уроков математики о школе. Именно в начальной школе, по-видимому, можно начинать пропедевтику таких понятий, как "классификация", "алгоритм", "бинарная арифметика" и г. д.

М. И. Грабарь, Е. Я. Габович

Книге эта предназначена в первую очередь для работы со школьниками в возрасте от десяти до четырнадцати лет. На них ориентированы и язык книги, и уровень требований к предварительным знаниям читателей-к тому, что нужно знать, чтобы понимать ее. Тем не менее она может представлять интерес н для школьников старших классов н паже для взрослых, которые в свои школьные годы не познакомились (а в случае старшеклассников - еще не познакомились) с разделами математики, о которых идёт речь в книге.

Кроме того, хотелось бы надеяться, что сред" читателей будут и те, кто, не имея сейчас никаких точек соприкосновения с математикой, именно прочитав данную книжку, почувствуют вкус этой науки. Наконец, не исключено, что от чтения книги получат удовольствие я любители математики, а также те, для кого она связана с их профессиональной деятельностью.

Где бы ни использовалась книга -в школе в народном университете, в кружке или в холе самостоятельных занятий, не следует смотреть на нее как на учебник или книгу для чтения. Она, скорее, приглашение к конкретным действиям, руководство по проведению игр и опытов.

Этой цели служит содержащийся в приложениях- вкладках игровой материал, и широко предоставляемая читателю возможность заносить получаемые результаты - пожалуй, это лучше делать мягким карандашом - в специально оставленные для этого пустые строки. Некоторые проблемы скрывают свою прелесть от того, кто нашел для них только одно решение. Ее можно постичь, лишь познакомившись с разным" их решениями, сыграв в игры, раскрывающие разные стороны проблемы.

Только пользуясь таким способом, можно в полном объеме достичь цели, преследуемой этой книгой: в игровой форме познакомиться с положением дел в современной математике и научиться применять ее.

Желаю успехов к хорошего настроения всем читателям, ставшим их этот путь.

< Т. Варга