Математика для 5—6 классов - Учебник-собеседник (Шеврин, Гейн, Коряков, Волков) 1989 год - старые учебники

10. Цепочки равенств и цепочки неравенств 34

11. Задания на повторение к § I 37

$ 2. Действие над натуральными числами .... 40

Уроки

12. Сложение 40

13. Какие задачи решают сложением 43

14. Вычитание 47

15. Какие задачи решают вычитанием 51

16. Особенное число 0 54

17. Умножение 57

18. Какие задачи решают умножением 61

19. Возведение в степень. Квадрат и куб числа 65

20. Почему действие, обратное умножению, называют делением ... 68

21. Как одно число разделить на другое 71

22. Какие задачи решают делением 73

23. Свойства числа 1 75

24. Учимся рассуждать при решении задач. Когда скорости складываются, а когда вычитаются 78

25. Задания на повторение к § 2 81

§ 3. Числовые и буквенные выражения 84

Уроки

26. Как возникают буквенные выражения при решении задач ... 85

27. Когда без обозначения чисел буквами не обойтись 88

28. В каком порядке выполняют действия 90

29. Что такое формула 92

30. Что такое уравнение 94

31. Учимся рассуждать при решении задач. Что значит рассуждать ... 97

32. Задания на повторение к § 3 99

§ 4. Свойства действий над натуральными числами . . 101

Уроки

33. Переместительное и сочетательное свойства сложения 101

34. Совместные свойства сложения и вычитания 106

35. Переместительное и сочетательное свойства умножения 109

36. Совместные свойства умножения и деления 113

37. Распределительные свойства умножения 114

38. Как свойства действий помогают вычислять 117

39. Как с помощью уравнений отгадывать математические загадки и

показывать математические фокусы 120

40. Учимся рассуждать при решении задач. Как уравнение помогает решить задачу 122

41. Задания на повторение к§ 4 124

§ 5. Делимость натуральных чисел . 127

Уроки

42. На что похож натуральный ряд 127

43. Знакомимся с четными и нечетными числами 130

44. Что такое кратное натурального числа 134

45. Признаки делимости иа 2, на 5 и на 10 136

46. Признаки делимости на 9 и на 3 139

47. Играем в математические игры 142

48. Что значит разделить с остатком |44

49. Учимся рассуждать при решении задач. Когда может пригодиться деление с остатком 146

50. Задания на повторение к $ 5 . 149

Большая перемена I. Римские цифры 151

Глава II. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА

§ 6. Дроби и действия над ними 154

Уроки

51. Как единица на доли делится 154

52. Как из долей получаются дроби 157

53. Дроби и деление натуральных чисел 160

54. Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби .... 163

55. Как из дроби выделить целую часть 166

56. Почему важно знать целую часть дроби 169

57. Среднее арифметическое натуральных чисел ...... 172

58. Сложение и вычитание дробей 176

59. Как найти неправильную дробь, зная ее целую и дробную части . . 179

60. Умножение и деление дроби на натуральное число ... 181

61. Основное свойство дроби 184

62. Задания на повторение к § 6 187

§ 7. Десятичные дроби и действия над ними ... 189

Уроки

63. Что такое десятичная дробь 189

64. Когда десятичные дроби равны 193

65. Сравнение десятичных дробей 195

66. Сложение и вычитание 198

67. Умножение и деление на степень числа 10 202

68. Умножение на десятичную дробь 205

69. Деление на натуральное число 208

70. Деление на десятичную дробь 211

71. Тренируемся в действиях над десятичными дробями 213

72. Учимся рассуждать при решении задач. Как находить ответ, когда спрашивается "хватит ли?" 216

73. Задания на повторение к § 7 219

§ 8. Десятичные дроби в практических вычислениях . . 220

Уроки

74. Приближенное значение числа 220

75. Округлять приходится и натуральные числа 223

76. Учимся округлять числа быстро 225

77. Как возникают десятичные дроби в практических вычислениях . . . 227

78. Что такое 1% 230

79. Решаем задачи на проценты 232

80. Учимся рассуждать при решении задач. Иногда бывает нужно запастись терпением 234

81. Задания на повторение к § 8 235

Большая перемена II. Беседа о математических словах 237

Глава III. ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

§ 9. Геометрические фигуры 240

Уроки

82. Чем интересуются, когда изучают многоугольники 240

83. Поговорим о сторонах прямоугольника. Формула для периметра . 243

84. Что значит измерить. Сравнение отрезков 245

85. Прямая линия и луч 249

86. Окружность. Формула для длины окружности 251

87. Четыре вида углов 254

88. Какие бывают треугольники 257

89. Измерение углов 261

90. Как градусы помогают сравнивать углы 264

91. Окружность тоже делится на градусы 266

92. Задания на повторение к § 9 270

§ 10. Измерение площадей и объемов 271

Уроки

93. Какими единицами измеряют площадь. Формула для площади прямоугольника 272

94. Поговорим о вычислении площадей фигур 275

95. Круг. Формула для площади круга 279

96. Круговые диаграммы 282

97. Знакомимся с прямоугольным параллелепипедом 284

98. Какими единицами измеряют объем 287

99. Формула для объема прямоугольного параллелепипеда .... 289

100. Задания на повторение к § 10 293

Большая перемена III. Как измеряли в старину 293

6 класс

Глава IV. ДЕЙСТВИЯ НАД ДРОБНЫМИ ЧИСЛАМИ

§ 11. Разложение натуральных чисел на множители " 296

Уроки

101. Делители натурального числа 296

102. Простые и составные натуральные числа 297

103. Ряд простых чисел 299

104. Разлагаем натуральные числа на простые множители 300

105. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел 303

106. Наименьшее общее кратное натуральных чисел 305

107. Задания на повторение к § 11 307

§ 12. Основное свойство дроби 309

Уроки

108. Что значит сократить дробь 309

109. Приводим дроби к общему знаменателю. Теперь можно сравнивать

любые дроби 312

110. Как найти сумму и разность любых дробей 314

111. Умножение и деление дробей 318

112. Взаимно обратные числа 322

113. Решаем задачи на дроби 325

114- Учимся рассуждать при решении задач. Важно хорошо продумывать

условие задачи 327

115. Задания на повторение к § 12 329

§ 13. Пропорции . 332

Уроки

116. Что такое отношение 332

117. Знакомимся с пропорцией. Основное свойство пропорции . . . 334

118. Продолжаем изучать свойства пропорций 337

119. Решаем задачи на пропорции 339

120. Строим диаграммы 341

121. Как целое делить на пропорциональные части 343

122. Прямо пропорциональная зависимость 345

123. Обратно пропорциональная зависимость 348

124. Когда бывает нужен масштаб 349

125. Учимся рассуждать при решении задач. Могут быть разные способы решения 351

126. Задания на повторение к § 13 355

Большая перемена IV. Как возникли числа 356

Глава V. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

$ 14. Положительные и отрицательные числа * 359

Уроки

127. Как возникают числа вместе с противоположными направлениями ? 359

128. Знакомимся с координатной прямой 362

129. Числа, противоположные друг другу 366

130. Что такое рациональные числа 369

131. Модуль числа 370

132. Сравнение чисел 372

133. Как разные задачи превращаются в одну задачу про числа . . . 376

134. Учимся рассуждать при решении задач. Какие практические задачи

могут скрываться за задачами про числа 378

135. Задания на повторение к § 14 380

§ 15. Действия над рациональными числами . . . 383

Уроки

136. Сложение 383

137. Вычитание 388

138. Формула для расстояния между двумя точками с заданными координатами 391

139. Умножение и деление 393

140. "Сложенческо-умноженческий" словарь 401

141. Учимся рассуждать при решении задач. Как планировать свои действия 403

142. Задания на повторение к § 15 406

§ 16. Конечные и бесконечные десятичные дроби . 409

Уроки

143. Что такое бесконечная десятичная дробь 409

144. Как узнать, какой десятичной дробью может быть выражено рациональное число 412

145. Зачем нужны бесконечные десятичные дроби 414

146. Учимся рассуждать при решении задач. Когда в условии задачи

данных недостаточно 417

147. Задания на повторение к § 16 419

Большая перемена V. Великие математики древности и средневековья " 420

Глава VI. ПОДГОТОВКА К ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ И

АЛГЕБРЫ В 7-М КЛАССЕ

§ 17. Координатная плоскость . ... 424

Уроки

148. Перпендикуляр - важная вещь в геометрии. Строим перпендикуляр

к прямой 424

149. Какие прямые называют параллельными 427

150. Прямоугольная система координат па плоскости 430

151. Как зависимости между величинами изображают графически . . 434

152. Задания на повторение к § 17 439

§ 18. Преобразование алгебраических выражений . 440

Уроки

153. Раскрываем скобки в алгебраической сумме 440

154. Что такое коэффициент 444

155. Приводим подобные слагаемые 446

156. Как раскрывать скобки в алгебраическом выражении .... 448

157. Повторяем, что такое уравнение. Корень уравнения 449

158. Как преобразования алгебраических выражений помогают решать

уравнения 451

159. Как в уравнении переносить слагаемые из одной части в другую 453

160. Задания на повторение к § 18 456

Большая перемена VI. Великие математики нашей страны 458

Работа с учебником закончена, но вы не прощаетесь с математикой . . . 463

Ответы " 464

Предметный указатель 471

Приложение. Пояснительная записка 474

1. Некоторые соображения о том, каким хотелось бы видеть учебник

математики для детей 474

2. О некоторых основных особенностях нашего учебника .... 478

3. О тематическом планировании

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Учитывая нетрадиционный характер настоящего учебника, мы считаем целесообразным коснуться в данной пояснительной записке ряда основных принципов, которыми руководствовались авторы, и указать на вытекающие из них способы решения в учебнике соответствующих психолого-дидактических задач. Рамки записки не позволяют, конечно, сделать это с достаточной полнотой. Мы фокусируем внимание лишь на тех установках, учет которых считаем особенно актуальным, и на тех дидактических приемах, которые, быть может, в большей степени несут в себе черты непривычности.

1. Некоторые соображения о том, каким хотелось бы видеть учебник математики для детей

Хотя многие из высказываемых ниже тезисов можно, по-видимому, отнести к учебникам математики для любого класса средней школы, мы преимущественно будем иметь в виду ту возрастную категорию, которой адресован наш учебник, т. е. детей 10 — 12 лет. В этом возрасте начинается изучение систематического курса школьной математики, поэтому особенно важно, чтобы учебник помогал воспитанию необходимых навыков математического мышления и заинтересованного отношения к математике вообще. Мы убеждены в том, что для прогресса в этом деле более чем желательна реализация тех установок, о которых ниже пойдет речь. Что касается способов такой реализации, то, конечно, они могут оказаться разными. Веря в эффективность предлагаемых нами подходов, мы вместе с тем являемся сторонниками идеи многовариантности. Эта идея предусматривает право учителя на выбор методик и учебников, равно как и обеспечение реальной возможности такого выбора.

Об объяснительных текстах в учебнике

Основу учебника составляют его объяснительные тексты. От них в определяющей степени зависит то, в какой мере учебник сможет обеспечить выполнение принципиального требования — учить мыслить. На практике же сложился стереотип, согласно которому объяснительные тексты носят характер скучноватого конспекта, излагающего преимущественно формулировки определений и правил, а также отдельные примеры и образцы алгоритмов для выполнения заданий. Такой стереотип наделял учебник математики, скорее, чертами аннотированного (в большей или меньшей степени) задачника. Он настраивал учащегося в основном на запоминание, но не на творческую мыслительную работу с учебником.

Нам кажется, что без отказа от упомянутого стереотипа не удастся добиться существенного повышения уровня преподавания математики в школе. Учебник должен по-настоящему объяснять материал, а не бегло и схематично сообщать его.

Выполнение данного условия потребует, конечно, большей развернутости текстов. Может возникнуть вопрос: не будет ли это противоречить известному принципу краткости? Наша точка зрения состоит в том, что требование краткости ни в коем случае нельзя абсолютизировать. Догматическое следование ему и превращение краткости в самоцель несут в себе опасность появления куцых текстов, вряд ли способных эффективно выполнять обучающую функцию. Отметим, что

суждение о дидактической неполноценности слишком кратких текстов давно известно и многократно в той или иной форме высказывалось в научно-методической и публицистической литературе. В числе распространенных недостатков современных учебников (и не только по математике) нередко называют именно чрезмерную краткость, наличие недостаточно полных и расчлененных объяснений. При этом подчеркивается, что подобные объяснения, содержащие пропуски элементов, нужных для понимания, отнюдь не снижают нагрузку учащегося, но ведут к снижению эффективности усвоения. С другой стороны, известны и суждения, выражающие сомнения в том, что дети будут читать развернутые тексты. По этому поводу хотелось бы заметить, что все зависит от того, каков характер текста: наукообразный текст с длиннотами будет, конечно, скучен, малопонятен и утомителен, но динамичный текст может быть интересен и увлекателен.

С характером текста тесно связан объем учебника. Он должен предусматривать возможность и хороших объяснительных текстов, и достаточного набора задач и упражнений. Ясно, что если при этом объединить под одной обложкой материал 5-го и 6-го классов (как это было предписано условиями конкурса), то получится тяжелая — в буквальном смысле — книга, пользоваться которой и носить которую в школу ученику было бы неудобно. Представляется целесообразным иметь для каждого из этих двух классов отдельный учебник.

Можно было бы сохранить один учебник «Математика, 5 — 6», но разделить тогда функции учебника и задачника. В этом случае учебник, кроме объяснительных текстов, будет содержать лишь столько задач и упражнений, сколько требуется, чтобы представить все основные типы таковых. Серии же разнообразных «дублирующих» задач, а также многочисленные упражнения тренировочного характера будут помещены в задачник. Последний при этом мог бы в отличие от учебника быть более «мобильным», чаще обновляться. Заметим, что разделение учебника и задачника было бы, вероятно, полезным и при наличии отдельных учебников «Математика, 5» и «Математика, 6».

Еще один вопрос, который необходимо затронуть в контексте обсуждений данного пункта, — соотношение объяснений учителя и объяснительного текста учебника. Существует точка зрения, что основной груз объяснений ложится на плечи учителя, а учебник должен лишь напомнить ученику сведения, с которыми тот познакомился на уроке, а поэтому и нет нужды в подробных объяснениях в учебнике. Что этой точке зрения можно противопоставить?

Во-первых, даже при самом ярком и талантливом объяснении учителя на уроке восприятие материала каждым отдельным учеником не может быть вполне адекватным но очевидным причинам (рассеянное внимание, недостаточный уровень предшествующего развития, замедленная скорость восприятия и понимания и т. п.).

Во-вторых, к моменту домашнего чтения ученик забывает многое из рассказанного на уроке, и отсутствие эффективной поддержки в тексте учебника не позволит ему понять и усвоить материал должным образом.

В-третьих, не секрет, что, нередки еще, к сожалению, серые и безликие уроки математики. Если в таких случаях не компенсировать их привлекательными и добротными объяснительными текстами учебника, то ученик начисто лишается возможности получить хорошее объяснение материала.

В-четвертых, довольно велик и устойчив процент (как известно, порядка 10%) пропусков учениками занятий по болезни и другим причинам. В таких случаях ученик вообще не получает по пропущенным темам обучающего источника, кроме учебника.

Вывод из всего сказанного очевиден: учебник математики должен иметь достаточно автономный и хорошо организованный объяснительный текст. В идеале такой учебник должен быть пригоден для самообразования. И уж конечно, только учебник с полноценным объяснительным текстом создаст реальную возможность для организации учителем самостоятельной работы учащихся, что, как известно, является задачей принципиальной важности. Талантливому учителю такой учебник никоим образом не помешает выстраивать при желании свою собственную линию объяснения. Но многим учителям он поможет находить лучшую методическую обработку излагаемого материала. Наконец, что тоже немаловажно, такой учебник создаст хорошие предпосылки для участия родителей в процессе обучения. Известно, что многие родители, желающие помочь своим детям в учебе, испытывают подчас трудности, не находя в учебниках должной методической поддержки. Наличие в учебнике более комфортного текста предоставит родителям в этом отношении лучшие возможности.

1.2. О задачах, включаемых в учебник

Научить решению задач — одна из важнейших целей обучения математике. До сих пор стремление к достижению этой цели в учебниках осуществлялось преимущественно экстенсивными методами: комплекты включаемых в учебник задач в основном расширялись. Нам кажется, что здесь имеется разумная аналогия с другими сферами деятельности, где осознано, что экстенсивный путь развития себя исчерпал. Мы далеки от того, чтобы недооценивать важность достаточно большого набора решаемых учебных задач. Но сейчас, пожалуй, особенно актуальной ощущается проблема совершенствования в учебнике системы специальных приемов развивающего обучения, в том числе и применительно к решению задач.

Другой существенный аспект — это характер задач. Здесь обращает на себя внимание то, что ученикам предлагается еще немало задач, условия которых можно назвать «надуманными». Они, как правило, имеют краткие формулировки, но не способны возбудить интерес учащихся. При решении таких задач у учащихся довольно быстро создается (и впоследствии нередко так и не исчезает) впечатление, что математика занимается вещами, для реальной жизни ненужными.

Представляется очевидным, что в тематике задач, включаемых в учебник, должно происходить заметное увеличение доли таких тем, которые относятся к реальным жизненным ситуациям, причем охватывают ситуации из детской жизни и из жизни семьи, содержат важную в воспитательном отношении информацию о жизни страны и вообще развивают у учащихся умение «видеть математику» в окружающей действительности.

1.3. О характере изложения

Тезис о том, что изложение в школьном учебнике должно быть живым и занимательным, стал за последнее время уже общим местом в научно-методической и публицистической литературе, посвященной проблемам школьного образования. Однако на деле положение менялось мало: учебникам математики оставалась свойственна довольно сухая манера изложения. Подобная манера, на наш взгляд, особенно нежелательна в учебных книгах для детей младшего и среднего возраста. Неинтересное изложение в учебнике вкупе с унылым преподаванием математики на школьных уроках (а первое нередко провоцирует второе!) не может не способствовать созданию у детей представления о математике как о сухом и скучном предмете. Такое представление, увы, весьма распространено.

Вывод также очевиден: и в этом важном аспекте надо переходить от слов к делу. Мы считаем, что хороший учебник должен быть УЧЕБНИКОМ-СОБЕСЕДНИКОМ. Лишь учебник такого типа может реально способствовать воспитанию устойчивого интереса к предмету. Такой учебник детям будет интересно читать, с таким учебником они смогут эффективнее работать. Занимательность учебника может быть повышена многими средствами. Среди них, конечно, и живой характер изложения, и увеличение доли задач, моделирующих распространенные житейские ситуации (о чем уже говорилось). Но, имея в виду возраст читателей учебника «Математика, 5 — б», особенно следует подчеркнуть желательность и арсенала различных специальных приемов — игровых элементов, задач с занимательным сюжетом, загадок и т. п.

В заключение хочется повторить известную мысль о том, что учение — труд, который нужно сделать радостным трудом. В том, чтобы учение стало таковым, главное, конечно, зависит от учителя. Но достижение этой цели вряд ли возможно без учебника, работа с которым вызывала бы у ученика удовольствие. Мы стремились написать учебник именно такого типа.

2. О некоторых основных особенностях нашего учебника

Прежде всего, нужно сказать, что мы постарались реализовать те установки, речь о которых шла в предыдущем разделе пояснительной записки Конечно, имеются и авторам видны резервы дальнейшего улучшения учебника, и, как уже было сказано в предисловии, мы были бы признательны читателям за предложения, направленные на это.

Принципиальная задача, поставленная авторами перед собой, построить учебник таким образом, чтобы, работая с ним, учащиеся не только приобретали знания и навыки, но и учились мыслить Перечислять и сколь-нибудь подробно характеризовать многочисленные дидактические и методические приемы, использованные при этом нами, в рамках пояснительной записки невозможно (да и вряд ли нужно) Некоторые из них будут указаны в п 2.2 — 2.4 ниже, но мы надеемся, что внимательный и заинтересованный читатель учебника обнаружит в нем реализацию целого ряда приемов и помимо тех, о которых пойдет речь в упомянутых пунктах. В п 2.1 кратко охарактеризованы не которые композиционные особенности учебника

2.1. Материал учебника, тематическое планирование и последовательность изложения

Содержащийся в учебнике материал определен программой Сделанные нами небольшие модификации по части содержания сводятся, по существу, к двум моментам. Первый — введение в явном виде цепочек равенств и родственного понятия цепочек неравенств. Фактически цепочки равенств давно используются в школьной практике, начиная с 4-го класса это важное и удобное понятие, весьма органичное во многих темах, легко понимаемое и применяемое детьми То же самое можно сказать и о цепочках неравенств Отсутствие до сих пор явного рассказа о них в учебниках мы воспринимаем как очевидный пробел, в нашем учебнике он ликвидирован Второй момент относится к еще более стандартному понятию: в теме «Квадрат и куб числа» мы считаем целесообразным (как это уже практиковалось и ранее) ввести общее понятие степени с натуральным показателем. Оно ничуть не сложнее понятий второй и третьей степени, зато позволяет во всей полноте продемонстрировать параллель с заменой суммы одинаковых слагаемых произведением.

Что касается «Тематического планирования», то мы могли бы высказать определенные замечания по опубликованному его варианту на наш взгляд, в нем избран не самый удачный вариант структурного деления и распределения времени. Осуществленные корректировки отражены в предложенном нами структурном делении учебника.