Математика и психология (Биркгофф) 1977 год - старые учебники

 8.1. Грамматика 30

8.2. Человеческие языки 31

8.3. Механический перевод 33

8.4. Резюме 34

Б. Континуальная математика и психология 35

9. Введение 35

9.1. Аппроксимация 36

9.2. Оптические иллюзии 37

9.3. Машинная графика 37

9.4. Научно-технические расчеты 38

10. Континуум 38

10.1. Маскирующие точки 39

10.2. Анализ 40

11. Психометрика 42

11.1. Факты о группах 43

11.2. Колориметрия 44

12. Слух 45

12.1. Слуховые ощущения 46

12.2. Моделирование речи 47

13. Зрение 49

13.1. Чувственное квантование 52

14. Мозг как переходная вычислительная машина 54

14.1. Машинное распознавание речи 57

В. Психология математики 59

15. Арифметическое познание 59

16. Алгебра и геометрия 62

16.1. Геометрическое познание 63

16.2. Психологические вопросы 64

17. Обучающие машины? 65

18. Математическое открытие 69

19. Конструирование посредством машины 73

20. Зрительное воображение 77

20.1. Классический анализ 79

21. Логическая строгость в анализе 80

21.1. Канторов рай 82

21.2. Парадокс Ришара 82

21.3. Континуум-гипотеза 84

22. Прикладная математика 86

22.1. Симбиоз человека и машины 89

Список литературы 90

Введение

Математика, как самая умственная отрасль наук, имеет естественное сродство с психологией — наукой об уме. То, что они не соприкасались ближе, обусловлено отчасти нашим незнанием их обеих, но еще больше тем обстоятельством, что психологи и математики мыслят различными понятиями. Сегодня я хочу рассмотреть некоторые связи между этими двумя областями, с особым учетом их значения для математики.

Я отвлекусь от важных приложений статистики к психологии отчасти потому, что недостаточно знаком с ними, а еще больше потому, что статистика не вписывается в схему дедуктивного доказательства теорем, характерную для других отраслей математики, которые я буду обсуждать.

Мой доклад будет разделен на три главные части:

A. Дискретная математика и психология.

Б. Континуальная математика и психология.

B. Психология математиков (и, следовательно, математики).

Различие между дискретной и континуальной математикой восходит к доисторическим временам. Первым методом дискретной математики был счет (например, овец в стаде), континуальная же математика — математика непрерывного — занималась измерением разных величин, как расстояние, площадь, время, вес и объем.

Ныне обе они представляют собой громадные области. Дискретная математика обнимает, в частности, символическую логику, комбинаторный анализ, математическую лингвистику, теорию чисел, так называемую современную алгебру и нечисловые применения вычислительных машин. Континуальная математика включает теорию функций, дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, большую часть математической физики и многие разделы классической алгебры.

После революционного открытия математического анализа главнейшие новые приложения математики в годы 1700 — 1940 состояли в использовании континуального аппарата для решения физических и технических задач. В результате выражение «прикладная математика» означало по традиции прикладную континуальную математику на службе физических наук. Однако, благодаря появлению цифровых вычислительных машин большой мощности и высокого быстродействия, влияние прикладной дискретной математики за последние два десятилетия резко возросло и она обещает вскоре даже превзойти по важности прикладную континуальную.

Вычислительные машины уже выполняют многие математические и информационные операции, требовавшие ранее человеческого мышления. Машинное выполнение таких операций дает бихевиористскую модель хотя бы некоторых функций мозга, что представляет очевидный интерес для психологов. Более того, анализ способа, каким машины производят эти операции, вместе с данными экспериментальной нейрофизиологии подкрепляет старую догадку, что существенные стороны человеческого мышления имеют структуру дискретных математических систем, близких к булевой алгебре и ориентированным графам (сетям).

Представление о таких структурах мысли стало складываться весьма давно. Математики по крайней мере три столетия мечтали о создании «машин», способных выполнять некоторые процессы человеческого мышления. Уже в 1640 г. Декарт показал, что наглядные геометрические рассуждения Эвклида во многих случаях можно заменить относительно механическими алгебраическими манипуляциями. По-видимому под влиянием успеха Декарта, Лейбниц разработал фрагменты логического исчисления, которое должно было облегчить занятия теоретической математикой в той же степени, в какой десятичная нумерация облегчила занятия арифметикой. Он характеризовал это исчисление как «инструмент нового рода, увеличивающий силу разума намного больше, чем какой-либо оптический инструмент когда-либо увеличивал силу зрения». (Было ли простым совпадением, что Лейбниц построил также в 1671 г. первую известную машину умножения?)

Таким образом, замечательные достижения вычислительной техники нашего времени частично осуществили старую мечту. Достижения эти побудили некоторых заключить, что машины завтрашнего дня будут даже «умнее» людей, особенно по способностям к математическому рассуждению.

Ниже я приведу вам доводы, из которых следует, что этого не произойдет, даже в собственной сфере чистой математики. Цифровые вычислительные машины, программируемые весьма специфическим, последовательностным способом, не моделируют человеческого воображения. Я попытаюсь показать, что воображение необходимо для формулировки наиболее глубоких идей даже в чистой математике, особенно в анализе, и для всякой значительной работы в математике прикладной. Человеческое воображение существенно зависит от человеческих ощущений, и прежде всего от наших чувств слуха и зрения, которые помогают нам воспринимать непрерывное. Цифровые машины таких ощущений не имеют.

Хотя можно пытаться создать гибридные устройства для моделирования человеческих континуальных способностей, я не вижу оснований считать, что это самое плодотворное направление развития вычислительной техники.

А. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ПСИХОЛОГИЯ

2. Современная алгебра

Сначала я рассмотрю в § 2 — 6 те разделы математики, которые, по-видимому, имеют наиболее близкое отношение к цифровым вычислительным машинам — и к человеческой логике. Цифровые вычислительные машины, разумеется, теснее связаны с дискретной, чем с континуальной математикой, а их математическая теория представляет много общего с так называемой «современной алгеброй». Выражение «современная алгебра» обычно означает подход к алгебре, который, хотя и был знаком Дедекинду и Уайтхеду* до 1900 г., возбудил общее внимание среди неалгебраистов впервые около 1930 г., после выхода в свет знаменитой одноименной книги ван-дер-Вардена.

Характерной чертой этого подхода является систематическое применение аксиоматического метода. В то время как большинство профессиональных математиков до 1900 г. занималось почти исключительно действительными и комплексными числами и функциями, современная алгебра изучает все системы, удовлетворяющие данному множеству аксиом (или «постулатов»). Например, она стремится выводить теоремы, справедливые во всех группах, всех модулях или всех полях. Вследствие такого упора на семейства систем современная алгебра систематически выносит частные случаи в упражнения, маскируя тем самым путь, каким действительно совершаются математические открытия. Это обусловило падение интереса к действительному полю, как и к вычислительным алгорифмам вообще и числовой математике в частности.

Трудно переоценить то влияние, которое концепция ван-дер-Вардена, популяризированная позднейшими авторами, имела на математику. Большинство американских учебников по современной алгебре все еще следует его подходу в принципах и построении, разве только предваряя схему «группы, кольца, поля» более полным обсуждением «множеств и функций». Более того, многое из нынешней «новой математики» есть не что иное, как попытка познакомить школьников с этим подходом к математике.

Как мы увидим в § 20, тот же «абстрактный» подход проник глубоко и в современную геометрию. Бурбаки распространил его на анализ. Наконец, в последние годы аксиоматический метод был широко использован для построения моделей в математической психологии; см., например, [33] и [34]. Однако я затрону здесь лишь вскользь эту интересную связь между математикой и психологией.

2. 1. Современная прикладная алгебра. Несмотря на свое фундаментальное значение, книга ван-дер-Вардена (как и большинство ее продолженный) пропускает именно те разделы алгебры, которые представляются наиболее важными для психологии. Многие наблюдения заставляют предполагать, что существенные аспекты человеческой психологии и поведения имеют структуру дискретных математических систем, стоящих ближе всего к булевой алгебре, системам отношений и сетям (графам). В частности, экспериментальная нейрофизиология утверждает, что значительная часть человеческого мышления протекает в сложной сети нитеобразных нейронов, многие из которых передают нервные импульсы по двоичному принципу «все или ничего», напоминающему булеву алгебру (см. ниже § 3 — 5). Странно, что ван-дер-Варден и его последователи совершенно игнорировали булеву алгебру, алгебру отношений и теорию графов.

Эти разделы важны и для вычислительной техники. Действительно, интерес к цифровым вычислительным машинам стимулировал развитие быстро растущей новой ветви прикладной математики, включающей не только элементы (чистой) современной алгебры, как та определена выше, но и символическую логику, математическую лингвистику и теорию машин Тьюринга и конечных автоматов (или «конечных машин»). Центральной проблемой здесь является (цифровая) вычислимость. Думаю, что эту ветвь можно было бы назвать «современной прикладной алгеброй».

Подобно всякой истинно прикладной математике, современная прикладная алгебра отбрасывает

модели, не имеющие важных соответствий в реальном мире вокруг нас, и настойчиво заботится о смысле своих слов и символов. Таким образом, она использует обратную связь с внешним миром как критерий правильности и источник новых идей; она не довольствуется одной интроспекцией и внутренней логической непротиворечивостью. Кроме того, если «чистая» математика прежде всего занимается дедукциями, естественно вытекающими из двух основных понятий: множества

и функции, то современная прикладная алгебра опирается на три основных понятия: множества, функции и вычислимости.

Связи современной прикладной алгебры с психологией и будут главным предметом моего обзора в части А.

3. Символическая логика. Современная прикладная алгебра имеет корни в (чистой) современной алгебре и в символической логике. Последняя, в свою очередь, возникла из интроспективной психологии. Например, Буль через 150 лет после Лейбница начал свой классический трактат «Исследование законов мысли» таким объяснением «характера и цели этого сочинения»:

Цель предлагаемого трактата — исследовать важнейшие законы тех действий ума, посредством которых совершается рассуждение; дать им выражение в символическом языке исчисления и на этом основании утвердить науку логики и развить ее метод; сделать затем этот метод основою общего метода для приложения математического учения о вероятностях; и, наконец, собрать из разных элементов истины, обнаруженных в ходе этих изысканий, некоторые вероятные указания относительно природы и устройства человеческого ума.

Эта цитата отчетливо говорит о том, что Буль относил свой труд к прикладной математике и специально к математической психологии.

Действительно, Буль разработал алгебру логики (и вероятности), описывающую эффект комбинирования свойств и высказываний относительно связок «и», «или», «не» и «влечет» (т. е. «если .. .то»). Эта булева алгебра подчиняется точно тем же законам, что и «алгебра множеств» с операциями пересечения, объединения и дополнения.

Например, пусть PAQ обозначает „Р и Q“, a PVQ обозначает „Р или Q“. Буль показал, что операции Д и обладают многими алгебраическими свойствами, подобными свойствам обыкновенного алгебраического умножения и сложения. Сюда входят следующие идемпотентные, коммутативные и ассоциативные законы «алгебры логики»: ...

Применяя методы символической алгебры к дедуктивной логике, Буль получил наглядное свидетельство ее силы. Так, он показал, что из п данных

высказываний повторным употреблением связок «и», «или» и «не» можно построить ровно 22*

логически неэквивалентных высказываний. Представим себе, как трудно было бы доказать это при помощи аристотелевых силлогизмов.

Математики при доказательстве теорем давно оперировали высказываниями по законам булевой алгебры, подобно тому как вавилоняне оперировали словесными описаниями неизвестных величинах задолго до изобретения арабами символической алгебры. Главной заслугой Буля была формализация этих законов. По моему мнению, формализация Булем «законов мысли» составила выдающееся завоевание математической психологии, и я удивлен, что его труды, по-видимому, столь мало изучаются психологами.

Аксиоматические исследования булевой алгебры логики позднейшими математическими логиками оказали сильное влияние на развитие современной алгебры (другое значительное влияние шло из алгебраической теории чисел). Для психолога булева алгебра логики еще важнее как первый крупный шаг в развитии символической логики, т. е. на пути к механизации математического мышления, о которой мечтали Лейбниц и Декарт.

Второй крупный шаг в этом направлении был сделан Джузеппе Пеано около 1889 г. [23, с. 83 — 97]. Заслуга Пеано состояла в открытии того, что «вся теория натуральных чисел выводима из трех первичных понятий и пяти первичных предложений, помимо тех, которые принадлежат чистой логике» [44, с. 5]. Пеано показал, как сделать это при помощи простого символического исчисления, требующего лишь каких-нибудь 15 неопределимых символов и воплощающего принцип математической индукции. В вольной перефразировке можно сказать, что «основной словарь логики и арифметики состоит всего из 15 слов».

Идеи Пеано были быстро популяризированы и заострены Бертрандом Расселом, который в 1903 г. писал с энтузиазмом [44, с. 5]:

Тот факт, что вся математика есть символическая логика, является одним из величайших открытий нашего времени, и коль скоро этот факт установлен, дальнейшее исследование принципов математики состоит в анализе самой символической логики.

(Для установления этого факта надо лишь допустить, что «вся традиционная чистая математика выводима из натуральных чисел» [44, с.4] — широко распространенное допущение, о котором я еще буду говорить в § 21.)

Хотя работы Пеано произвели большое впечатление, ему не удалось формализировать математическое доказательство: он никогда не описал явно, какие именно операции над символическими выражениями могут рассматриваться как законные шаги в математических доказательствах; его правила вывода (законы доказательства) были смутны. Решающий шаг был сделан в десятилетии, предшествующем I мировой войне, Расселом и Уайтхедом. В своем монументальном трактате [55] они дали полное и строгое построение системы действительных чисел, используя только хорошо определенные правила действий над символами. После этого Рассел писал, торжествуя [44, с. 194]:

Если найдутся такие, кто еще не допускает тождества логики и математики, то их можно попросить указать, в каком звене последовательных определений и дедукций из «Principia Mathematica» кончается логика и начинается математика.

Громадное значение этого труда для психологии заключается в его основном тезисе: всякое математическое мышление, в принципе, может быть механически истолковано как манипуляция символами согласно предписанным правилам, некое подобие шахматной игры. Это утверждение я буду называть ниже тезисом Рассела.

Великий математик Гильберт также думал, что (говоря словами фон-Неймана [9, с. 50 — 51]):

... классическая математика предполагает замкнутый в себе, идущий по неизменным, известным всем математикам правилам процесс, который состоит в последовательном построении из основных символов определенных комбинаций, именуемых «правильными» или «доказанными» ... Ее (классическую математику) следует рассматривать как комбинаторную игру с основными символами, и нам надлежит установить комбинаторно-финитным путем, к каким комбинациям основных символов ведут ее методы построения, называемые «доказательствами».

Хотя Гильберт был очень большим математиком, его суждение отнюдь не обладало непогрешимостью. Фундаментальные теоремы Геделя о неполноте (1930 г.) делают ясным, что внутри формальной системы Уайтхеда и Рассела нельзя ни «доказать все предложения, которые мы считаем истинными», ни показать непротиворечивость системы [23, с. 595]*. Коротко, Гедель обнаружил, что основные цели Уайтхеда и Рассела, изложенные ими в [55, т. 1, с. 12 — 13], недостижимы с их же собственных позиций. Тезис Рассела, что символическая логика свела чистую математику к своего рода шахматной игре, был технически неверен.

Конечно, не исключено, что удастся изобрести другую формальную систему, свободную от таких недостатков, и тем самым оправдать это воззрение, но, судя по всему, большинство математических логиков сегодня настроено па этот счет не очень оптимистически.

В § 21 — 22 я буду критиковать с психологической точки зрения идею о том, что можно или должно формализировать всю математику.

4. Машины Тьюринга. Глубокие отрицательные результаты Геделя, какими бы обескураживающими они ни были для математических логиков, отнюдь не убили идеи создания «машин, которые думают». Более того, в 1950 г. идея эта казалась многим математикам более правдоподобной, чем когда-либо, благодаря четырем взаимосвязанным открытиям, сделанным за предыдущие 15 лет и касавшимся логики и булевой алгебры и их физических и биологических реализаций.

Первым из них было описание в 1936 г. Тьюрингом [53] «машины» весьма простого рода, способной напечатать двоичное или десятичное разложение любого «определимого» (или, иначе, «вычислимого», см. § 21) действительного числа, такого, как е, л или k-й нуль jnk бесселевой функции Jn(x) [53, с. 256]. Тьюринг пояснил, каким образом такая машина могла бы вывести и все доказуемые формулы узкого функционального исчисления Гильберта*. Именно, она доказывала бы все истинные теоремы и ни одной ложной.

Машина Тьюринга характеризуется тремя основными чертами: ...

Ее поведение контролируется лентой, состоящей из бесконечного числа клеток и передвигаемой шагами мимо определенного места — считывающей головки.