Математика как педагогическая задача. Части 1 и 2 (Фройденталь) 1983 год - старые учебники

 11. Понятие числа — объективный подход 100

12. Развитие понятия числа — от наглядных методов к алгоритмизации и рационализации 150

13. Развитие понятия числа — алгебраический метод 170

14. Развитие понятия числа — от алгебраического принципа к упорядочению алгебры в целом 182

15. Множества и функции 187

ЧАСТЬ 2

15. Множества и функции (продолжение) 5

16. Падение геометрии 35

17. Анализ 91

18. Теория вероятностей и статистика 127

19. Логика 158

Послесловие 182

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Предисловия, как и увертюры, пишутся, когда работа уже закончена. То, что их. помещают в начале книг, является слабым отблеском того, что я назвал дидактической инверсией: при написании математических монографий и учебников в публикуемых работах путь к получению результата является обратным тому, который проделал автор в действительности; ключевые определения, формулировки которых являются последним штрихом подготовки публикации, ставятся в начало. Дидактической инверсии я уже много лет противопоставляю мысленный эксперимент.

Во всяком случае следует излагать другому математические результаты не так, как они были придуманы, а так, как их мог бы придумать тот, кто знал бы известное теперь, и как их мог бы придумать школьник под руководством учителя. Это и есть метод, который применил Сократ, обучая раба Менона. В мысленном эксперименте можно попытаться представить себе, как учащийся «пере-откроет» то, что от него потребуют.

Я назвал предисловие слабым отблеском дидактической инверсии. Хотя его можно было и не писать вообще, оно будет полезно прежде всего для рецензентов, которым теперь нет необходимости читать всю работу; полезно и для автора, который, как композитор в увертюре, может торжественно продемонстрировать основной мотив произведения.

Эта книга, как и ее вторая часть (том II), не является дидактикой математики в том смысле, что не содержит систематических сведений об изложении того или иного учебного материала; эти книги не являются и систематическим анализом учебного материала. Я почти нигде не ссылаюсь на тщательно проведенные эксперименты в классах, которые можно оценить статистически. Столь же мало я основываюсь на результатах экспериментов психологов. Вероятно, читатель заметит, что в этой книге почти нет цитат. Все это я хотел бы объяснить.

Вначале о литературе по психологии: я не вижу необходимости цитировать ее как высший дидактический авторитет, особенно ту литературу, которая стоит вне воспитательного контекста. Если некоторые это и делают, то они вынуждены высказать и свою точку зрения. Принятое сейчас в математической дидактике злоупотребление именем Пиаже вынудило меня остановиться в отдельных главах на том, что означают его исследования для математического воспитания.

От педагогической психологии в обучении математике можно ожидать всего, чего угодно: в техническом отношении эти ожидания, пожалуй, что и сбываются. Я узнал от специалистов по педагогической психологии много интересного и остроумного, но очень мало из того, что мне требовалось. Если в прекрасной современной книге 1 я ищу ответ на вопрос о том, что понимается под обучением и как оно подразделяется, то этот ответ весьма далек от того, что я понимаю сам и слышу от коллег об обучении математике; чувство непонимания охватывает меня: неужели математика есть нечто совершенно иное? Хотелось бы, чтобы кто-либо, глубже знающий и математику, и психологию, навел мосты между ними.

Помимо нескольких общих идей, мои рассуждения не связаны с психологией. Непосредственными источниками моей работы являются школьные учебники, дидактические планы, пробные уроки, наблюдения над отдельными детьми и косвенным образом — беседы и дискуссии с учителями. Что касается этих бесед и дискуссий, то в конце настоящего предисловия будет приведен отчет о некоторых влияниях. В то же время у меня были причины избегать, где в этом нет особой необходимости, упоминаний об учебниках, дидактических планах и пробных уроках. Для этого есть веские основания: этот материал подвергался критике, которая в большинстве случаев была негативна. Критические доводы почти однозначно распадаются на немногие серьезные соображения и большое количество придирок. Оба вида критики волей-неволей смешиваются; мне хотелось бы избежать этого. Иначе было бы много чести цитировать наряду с серьезной критикой и множество мелочных придирок. Лишь в немногих специфических случаях я прибегал к цитированию.

То, что я почти не упоминаю математико-дидактических исследований, имеет другую причину, главным образом ту, что, если не считать некоторых банальностей, я не использовал их результаты, так как не смог ими воспользоваться. Это я должен объяснить.

Вначале я думаю об исследованиях, которые должны показать, что некоторый определенный учебный материал может быть предметом преподавания. Материал предлагают кому-то; указывают, где и когда он проверялся; успешность обосновывается даже численной мерой. Однако при этом отсутствует указание метода преподавания, и тем самым весь отчет, как таковой, обесценивается, так как и без того ясно, что детям можно соответствующими методами вдолбить все что угодно. Недавно я видел прекрасный сдм по себе курс для индивидуализированного обучения (по определенной программе каждый школьник работает с доступной ему скоростью), по которому дети, руководимые ложными рецептами, годами послушно доказывают одну и ту же нелепость, и никто их не останавливает — это показывает, что и такой материал может быть предметом преподавания. К подобным исследованиям я питаю более серьезное недоверие. В лучшем случае они показывают возможность изучения материала, но не возможность обучения ему. Неверно, что это одно и то же. Если некоторый материал может быть преподаваем, это еще не значит, что достаточно большое количество учителей могут обучать этому. Если материал математически неверен, ,или дидактически неудачен, или не имеет познавательной ценности, некоторые учителя отказываются обучать такому, а многие хотя и обучают, но делают это с отвращением, так что обучать этому материалу становится уже невозможным. Далее, некоторый материал может оказаться столь своеобразным, что ему можно обучать только, если ясно указано, как следует обучать, но эти сведения тоже большей частью отсутствуют (я имею в виду не дидактические тонкости, а форму обучения, которая подходит к данному предмету). Такими вопросами я пренебрегаю в настоящей книге: при разработке материалов и методов обучения мы должны думать не только о том, что можно изучить и что стоит изучать, но и о том, каким приемам обучения научится на этом материале учитель, или лучше, чему мы сможем научить учителя, при обучении школьников. Когда я рассматриваю мою собственную деятельность, а также настоящую книгу с этой точки зрения, я оцениваю свои собственные способности в этой области не столь уж высоко.

Но продолжим обсуждение видов исследования, которые я не смог использовать. Второй вид — это те исследования, в которых сравниваются два различных метода обучения одному и тому же материалу, или две различные последовательности прохождения отдельных разделов. Затем с надежностью, скажем 98%, делается вывод, что оба варианта не столь уж плохи. Пожалуй, еще лет тридцать назад я наблюдал впервые подобное исследование, но в обучении не математике, а географии. Исследование было проведено безупречно; единственное, удивившее меня, было то, что это оказалась та самая география, которая смертельно надоела нам в школе. С тех пор я видел множество подобных исследований, в которых описывались методы обучения; иногда я едва верю глазам своим, что такое возможно и в наши дни.

Все это, вероятно, исключительные случаи, но и в тех исследованиях, относительно которых эта критика неуместна, остается apriori нерешенной проблема математического воспитания: чему, зачем и как следует обучать. Моя критика направлена против самого духа подобных исследований. Когда окончательные результаты приукрашивают статистикой, можно думать, что математическая строгость перенесена и вг педагогические исследования. Однако единственное, что напоминает — плохое! — естествознание, — это гордость верностью седьмого знака после запятой, тогда как цифры перед запятой совершенно бессмысленны. Куда большему, чем из подобных исследований, я научился из собственного и опубликованного опыта, из учебников и методов, нравятся они мне или не нравятся, и из беспристрастного анализа учебного материала и приемов обучения опытных педагогов.

Педагогическая деятельность — это поиск верного пути воспитания в соответствии с искренними убеждениями. Педагогическая наука должна быть в первую очередь сознанием ответственности этих искренних убеждений. По-моему, это называется философией. Говорят также, что пренебречь этой философией нельзя. Самые детальные исследования не могут заменить философию; напротив, они могут строиться лишь на правильной философской основе.

Несмотря на все частные рассуждения, эта книга от начала до конца является философией математического воспитания. Я не первый, кто пишет такую книгу, и во всяком случае должен был бы научиться у своих предшественников критическому восприятию. Научность такой книги, как эта, определяется не числом ссылок, а основательностью, с которой проводится обсуждение.

Я не раз говорил и писал об обучении математике. Эти два тома не содержат существенно нового по сравнению с моими прежними публикациями; отдельные куски дословно списаны из них. Однако те же мысли расположены теперь по-иному. Мне, как математику, это далось нелегко. Диалектический стиль взамен дедуктивного представил для меня известные трудности; это же относится и к упорядочению мелких вопросов. Однако в целом это больное место. Форма курса или книги по математике, где говорится «вследствие теоремы... (см. с ...)», «мы видим, что определения на с. ... и с. ... эквивалентны» — в книге, подобной настоящей, совершенно неприемлемы, однако ничего другого я придумать не мог. Поэтому настоящие две книги, как сказал бы математик, совершенно неупорядочены. Многочисленные повторения оказались неизбежными.

Если я не мог пользоваться цитатами в деталях, то я преисполнен сознанием идей, которые я воспринял от других авторов. Первый толчок к занятиям теоретическим и математическим воспитанием я получил от моей жены в период совместного изучения проблем воспитания. С педагогико-психологической стороны я главным образом испытывал влияние исследований О. Декроли. Моя педагогическая интерпретация математики ясно указывает на влияние брауэровского восприятия математики (но не воспитания). С 1945 до 1963 года я изучал многие общие и частные вопросы в математическом семинаре (голландского) «Общества по обновлению воспитания и обучения»; из числа его членов, которым я весьма благодарен, назову лишь П. М. ван Хиле и его усопшую супругу Дике Гельдоф. К более позднему времени относятся дружеские встречи, которые пробудили во мне интерес к математическому воспитанию в международном плане; прежде всего я благодарен Эмме Кастельнуово, Зофии Крыговской и В. Сервэ за то, что узнал от них на международных встречах; добавлю еще имя А. Ревю. Всем, кого волнует дело математического образования, посвящается эта книга.

Утрехт, 27 декабря 1970 г.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ

Некто метко и остроумно заметил, что математика вначале подкрадывается постепенно и незаметно, но вскоре голова ее подымается к небу, а сама она идет по земле.

Илья. IV, 442 — 3.

... потому что она начинается с точки и линии, но ее исследования простираются на небо, землю и вселенную.

Герои. «Определения».

Не плачь об этом — посмотри на моих родителей, введенных в заблуждение громкой славой лживых математиков.

Надпись на могильном камне четырехлетнего Телефусау Аппиевой дороги 1.

1 Аппиева дорога построена между Римом и Капуей в конце IV века до н. э. Математиками называли в древности также астрологов (прим, перев.).

Если армия противника выступила б дней назад и проходит ежедневно 3,5 мили, а наша армия выступает сегодня, то сколько миль в день она должна проходить, чтобы догнать противника через 7 дней?

Из учебника арифметики 1799 года

Я не знаю, научились люди вначале писать или считав. Алфавит на 2 тыс. лет старше, чем нынешняя индийско-арабская цифровая система. Однако это ничего не доказывает. Математика куда старше, чем эти цифры. Вместе с первым письмом человечество начало вести и письменные вычисления, а какие и на сколько раньше были вычисления устные или на счетных дощечках, мы попросту не можем установить. Однако знаменательно, что, например, в индоевропейских языках названия числительных для чисел до 10 и для 100 возникли в незапамятные времена и, следовательно, придуманы задолго до письма.

Как известно, в конце третьего тысячелетия до нашей эры в Вавилоне существовали хорошо развитые элементарные арифметика и алгебра, большей частью формулировавшиеся геометрическим языком, т. е. длина и ширина (прямоугольника) представляли то, что мы ныне обозначаем хну. Считают, что этой математикой пользовались жрецы, но это заблуждение: жрецы — это были попросту интеллектуалы того времени: писцы, учителя, библиотекари, звездочеты, астрологи, гадатели по внутренностям животных* мудрецы, строители храмов и дворцов, колдуны. У колыбели вавилонской математики стояли вычислитель и землемер, купец и меняла, банкир и бухгалтер, нотариус и сборщик налогов, строители городов, дорог и мостов. Однако их потребности были быстро удовлетворены. Задачи, предлагавшиеся учащимся школ при храмах в течение двух тысяч лет, были не только практического характера. В них шутливо обсуждалось асфальтирование дороги длиной 100 км и шириной 1 мм и предлагалось вычислить потребное число поденных рабочих; рассматривался раздел наследства, состоявшего из 65 золотых, между пятью братьями так, чтобы каждый следующий по возрасту получил на 3 золотых меньше предыдущего; задавались вопросы, которые в ходу и по сей день: о камне, который весит один фунт плюс половину веса этого камня, или о копье, которое подымается на один локоть выше стены, возле которой оно воткнуто, и основание которого отстоит на три локтя от стены, а если его наклонить, то оно окажется вровень со стеной. Конечно, это приучало к полезным умножениям и делениям с помощью таблиц или счетных дощечек, но для чего? Чтобы школьники могли решить бесполезное линейное или квадратное уравнение? Если кто-то был неудовлетворен этим, то что отвечал на это отец или учитель? Что математику изучают издавна, потому что математика изощряет ум; что* другие предметы еще более бесполезны: шумерский язык, который еще изучают, хотя он уже более двух тысячелетий мертв, аккадский язык и клинопись, хотя на вавилонских улицах давно уже говорят по-арамейски, а алфавит изобретен тысячу лет назад. Или учитель отвечал: подожди немного, в будущем году с помощью этой математики ты сможешь изучать календарь, вычислять праздники, движение Солнца, Луны и звезд? Астрономия — вторая наука человечества; вычислительная астрономия на 2 тыс. лет моложе математики, однако это действительно практическая наука, ибо нельзя сотворить из воздуха звезды и планеты, как выдумывают математические задачи. Зачем нужна астрономия: календарь, праздники, предсказание затмений, войн, эпидемий, ураганов, ливней, наводнений, судеб народов и отдельных личностей? Это, конечно, полезная наука, полезное приложение математики, которую оно использовало в течение двух с половиной тысяч лет. Правда, для этих приложений едва ли требуются даже квадратные уравнения. Если хотели применить их, всегда ставили такие задачи, как: «Я перемножил длину и ширину, получил площадь; излишек длины над шириной, сложенный с площадью, равен 183; сумма длины и ширины равна 27; найти длину, ширину и площадь». Тысячи подобных задач обнаружены на глиняных табличках, но, к сожалению, почти нет теоретической литературы, «учебных текстов», правил, по которым следует решать эти задачи.