Эту книгу автору не суждено увидеть — 20 октября 1987 года закончился жизненный путь великого ученого, одного из крупнейших математиков XX века академика Андрея Николаевича Колмогорова.

А. Н. Колмогорову принадлежат фундаментальные открытия во многих областях математики и естествознания_м роль его в развитии математики уникальна. Но помимо собственно математического творчества, потребовавшего от него колоссального духовного напряжения, в жизни Андрея Николаевича огромное место заняло служение Просвещению, воспитанию подрастающих поколений.

В возрасте 19 лет он становится учителем математики и несколько лет работает в школе. Начиная с 30-х годов — читает многочисленные лекции школьникам и студентам, активно участвует в становлении, а затем — проведении школьных математических олимпиад, сначала Московских,; а затем Всероссийских и Всесоюзных. В 60-е годы он создает физико-математическую школу-интернат при МГУ_Л которую сразу стали называть «колмогоровской». С именем А. Н. Колмогорова связана глубокая реформа содержания школьной математики; он — автор многочисленных статей для учеников и учителей, автор и редактор школьных учебников. С 1970 года и до последних дней жизни А. Н. Колмогоров пестует организованный по его и академика И. К. Кикоина инициативе физико-математический журнал «Квант», а затем — серию «Библиотечка «Квант». А наряду с этим — почти шестидесяти летний труд профессора, заведующего кафедрами и лабораториями Московского университета, лекции, семинары, научные доклады, создание многих научных школ; около семидесяти аспирантов, ставших впоследствии кандидатами и докторами наук, членами Академии Наук СССР, академий наук союзных республик.

Вся жизнь Андрея Николаевича Колмогорова — беспримерный подвиг во имя Науки. Светлая память о великом Ученом, Учителе, Человеке навсегда останется в сердцах тех, кому выпало счастье соприкоснуться с этой необыкновенной Личностью.

A. H. Колмогоров в физико-математической школе-интернате №18 при МГУ

ПРЕДИСЛОВИЕ СОСТАВИТЕЛЯ

Предлагаемая широкому кругу читателей книга представляет собой сборник избранных опубликованных статей выдающегося математика современности академика Андрея Николаевича Колмогорова, обращенных прежде всего к школьникам и учителям математики. Эти статьи, написанные в доступной форме, посвящены вопросам школьной математики и ее приложений.

В данном сборнике они сгруппированы в следующие четыре раздела: I. Размышления математика. II. Фундаментальные понятия школьной математики. III. Популярные лекции для школьников. IV. Лекции для учителей.

В разделе I приводятся воспоминания А. Н. Колмогорова о себе и о выдающихся математиках, с которыми он был долгое время тесно связан; его размышления о математике и профессии математика, о связи математики с практикой; приведено несколько предисловий к книгам для школьников. Раздел рассчитан «на всех» — школьников, студентов, преподавателей, любителей математики в широком смысле слова.

В раздел II вошли статьи, посвященные основным понятиям и методам школьной математики — функциям, графикам, преобразованиям, приближенным вычислениям, измерениям углов, векторам, логике построения формул и т. д. Этот раздел книги обращен в основном к школьникам старших классов.

Раздел III рассчитан на школьников, любящих и увлекающихся математикой, для которых математика может в дальнейшем стать их основной профессией. Сюда вошли широко известные статьи А. Н. Колмогорова о теории вероятностей, логарифмических сетках, алгоритме Евклида, решении 10-й проблемы Гильберта и другие. В этом же разделе приведено несколько интересных задач, предложенных Андреем Николаевичем в разное время школьникам (одна из задач до сих пор не решена!).

Раздел IV обращен к учителям математики. В него включены лекции А. Н. Колмогорова для учителей по научным основам школьного курса математики; статьи о журнале «Квант», о диалектико-материалистическом мировоззрении в школьном курсе математики и физики, о связи математики с другими науками и техникой и другие.

Из многочисленных статей А. Н. Колмогорова, посвященных школьной математике, в настоящую книгу попала лишь небольшая их часть. Сюда вошли наиболее интересные статьи, рассчитанные прежде всего на школьников и опубликованные в журналах «Квант», «Математика в школе», «Техника молодежи», в центральных газетах, в Большой Советской Энциклопедии (БСЭ) и других изданиях. Читателю, прочитавшему всю книгу, будут видны взаимные переплетения различных тем, столь характерные для всего творчества А. Н. Колмогорова. Однако многочисленные методические статьи А. Н. Колмогорова, опубликованные им в «Математике в школе» и представляющие специфический интерес только для учителей, в книгу не вошли.

Каждый из четырех разделов сборника делится на пункты. В большинстве случаев пункт состоит из отдельной опубликованной статьи А. Н. Колмогорова, иногда (пп. 3 и 7 раздела I и пп. Зи 7 раздела III) в один пункт объединены несколько небольших однородных публикаций. За исключением специально оговоренных случаев, название каждого пункта сборника совпадает с названием соответствующей статьи А. Н. Колмогорова.

В конце книги приводится библиографический комментарий и список трудов А. Н. Колмогорова, посвященных школьной математике и ее приложениям (в список литературы включены все опубликованные научно-популярные работы Андрея Николаевича, в том числе работы по школьной тематике).

Г. А. Гальперин

РАЗДЕЛ I

РАЗМЫШЛЕНИЯ МАТЕМАТИКА

1. КАК Я СТАЛ МАТЕМАТИКОМ

Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность

1 = I²

1 + 3 = 2²

1 + 3 + 5 = З² l-|-3-|-5-f-7 = 4² и так далее.

В нашем доме под Ярославлем мои тетушки устроили маленькую школу, в которой занимались с десятком детей разного возраста по новейшим рецептам педагогики того времени. В школе издавался журнал «Весенние ласточки». В нем мое открытие было опубликовано. Там же я публиковал придуманные мною арифметические задачи.

Семи лет меня определили в частную гимназию Е. А. Репман в Москве. Учиться в этой гимназии, организованной кружком радикально настроенной интеллигенции, было интересно. Гимназия с совместным обучением мальчиков и девочек (по программе мужских гимназий) все время находилась под угрозой закрытия. Отличные успехи на экзаменах «с представителем от округа» воспринимались всеми нами как дело долга и чести. Организация занятий была своеобразна. Одно время я мог заниматься математикой на класс старше, чем другими предметами.

Впрочем, на время интерес к другим наукам взял верх. Первое большое впечатление силы и значительности научного исследования на меня произвела книга К. А. Тимирязева «Жизнь растений». Потом вместе с одним из своих друзей (Н. А. Селиверстовым) я увлекся историей и социологией. Увлечение это было настолько серьезно, что первым научным докладом, который я сделал в семнадцатилетнем возрасте в Московском университете, был доклад в семинаре профессора С. В. Бахрушина о новгородском землевладении. В докладе этом,

впрочем, использовались (при анализе писцовых книг XV — XVI веков) некоторые приемы математической теории.

В 1918—1920 годах жизнь в Москве была нелегкой. В школах серьезно занимались только самые настойчивые. В это время мне вместе со старшими пришлось уехать на постройку железной дороги Казань — Екатеринбург

Андрей Николаевич Колмогоров

(теперь Свердловск). Одновременно с работой я продолжал заниматься самостоятельно, готовясь сдать экстерном за среднюю школу. По возвращении в Москву я испытал некоторое разочарование: удостоверение об окончании школы мне выдали, даже не потрудившись проэкзаменовать.

Техника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необходимое, чем чистая наука. Одновременно с математическим отделением университета (куда принимали всех желающих без экзамена) я поступил на метал

лургический факультет Менделеевского института (где требовался вступительный экзамен по математике). Но скоро интерес к математике перевесил сомнения в актуальности профессии математика. К тому же, сдав в первые же месяцы экзамены за первый курс, я, как студент второго курса, получил право на 16 килограммов хлеба и 1 килограмм масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие. Одежда у меня была, а туфли на деревянной подошве я изготовил себе сам.

Впрочем, в 1922 — 1925 годах потребность в дополнительном к весьма маловесомой в то время стипендии заработке привела меня в среднюю школу. Работу в По- тылихинской опытно-показательной школе Наркомпроса РСФСР я вспоминаю теперь с большим удовольствием. Я преподавал математику и физику (тогда не боялись поручать преподавание двух предметов сразу девятнадцатилетним учителям) и принимал самое активное участие в жизни школы (был секретарем школьного совета и воспитателем в интернате).

В университет я приходил только на специальные курсы и семинары. На втором курсе выполнил первые самостоятельные научные работы. Теорией тригонометрических рядов у профессора В. В. Степанова я начал заниматься вместе со своим близким другом — необычайно ярким и талантливым математиком Г. А. Селиверстовым (оба брата Селиверстовы погибли во время Великой Отечественной войны). Моими первыми руководителями в университете были, кроме В. В. Степанова, В. К. Власов, П. С. Александров, П. С. Урысон. Несколько позднее я стал учеником Н. Н. Лузина.

Как это бывает обычно, мои первые работы были посвящены решению отдельных уже поставленных трудных задач. Более широкую деятельность по созданию нового направления исследования я начал с А. Я. Хиичиным в моей основной математической специальности — теории вероятностей.

В более поздние годы большое значение во всей моей дальнейшей работе имело сотрудничество со способными учениками, перенимавшими потом руководящую роль в том или ином направлении исследований. Это И. М. Гельфанд — в функциональном анализе, С. М. Никольский — в теории приближений функций многочленами, А. М. Обухов — в исследовании турбулентного движения и в последние годы В. И. Арнольд — в разработке методов теории

дифференциальных уравнений, связанных с «малыми знаменателями».

Вся моя деятельность с 1920 года неразрывно связана с Московским университетом.

Занимг язь с некоторым успехом, а иногда и с пользой, довольно широким кругом практических приложений математики, я остаюсь в основном чистым математиком. Восхищаясь математиками, которые превратились в крупных представителей нашей техники, вполне оценивая значение для будущего человечества вычислительных машин и кибернетики, я все же думаю, что чистая математика в ее традиционном аспекте еще не потеряла своего почетного места среди других наук. Гибельным для нее могло оказаться только чрезмерно резкое расслоение математиков на два течения: одни культивируют абстрактные новейшие разделы математики, не ориентируясь отчетливо в их связях с породившим их реальным миром, другие заняты «приложениями», не восходя до исчерпывающего анализа их теоретических основ. Поэтому мне хочется подчеркнуть законность и достоинство позиции математика, понимающего место и роль своей науки в развитии естественных наук, техники да и всей человеческой культуры, но спокойно продолжающего развивать «чистую математику» в соответствии с внутренней логикой ее развития.

Молодой человек, чувствующий себя предназначенным идти по этому пути, может не бояться оказаться в нашей стране менее нужным, делающим какую-то излишнюю, менее актуальную работу, чем агроном, инженер, физик или кибернетик.

2. НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

Первые мои воспоминания о Павле Самуиловиче Урысоне относятся к зиме 1920-21 года, когда я только начинал свои занятия в университете. Болеслав Корнелиевич Млодзеевский и Николай Николаевич Лузин объявили параллельные курсы «Теории аналитических функций». Хотя курсы были элементарные, предназначенные для студентов второго или третьего года обучения, на лекциях Лузина собиралась почти вся «Лузитания» — группа учеников Николая Николаевича, в основном, говоря современным языком, аспирантского возраста. Некоторые из лузитанцев в качестве своего рода соглядатаев появлялись и на лекциях Болеслава Корнелие

вича. Ученики Николая Николаевича были ревнители логической строгости и отмечали каждую оплошность Болеслава Корнелиевича в этом отношении. Впрочем, Болеслав Корнелиевич вполне сознательно давал их критике богатую пищу. Как-то на своих лекциях по дифференциальной геометрии он высказывал нам такое нравоучение: «Некоторые вам говорят, что не существует бесконечно малых, а вот смотрите — я рисую на доске бесконечно малый треугольник!». В теории аналитических функций Болеслав Корнелиевич без лишней, по его мнению, в элементарном курсе логической скрупулезности быстро двигался от элементарных определений и теорем к более глубоким конкретным аналитическим фактам.

Курс же Николая Николаевича надолго задержался на доказательстве при самых общих предположениях (что тогда еще было необычным в элементарных курсах) так называемой «теоремы Коши», лежащей в основе всей теории аналитических функций. По своему обычаю Николай Николаевич создавал доказательство на лекциях, обращаясь к помощи слушателей. Ему пришло в голову построить доказательство теоремы Коши на некотором вспомогательном чисто геометрическом утверждении, которое и было предложено нам доказать. Мне удалось показать, что в действительности это утверждение ошибочно. Николай Николаевич сразу понял идею примера, опровергающего это предположение. Было решено, что я доложу опровергающий пример на студенческом математическом кружке.

Павел Самуилович взялся предварительно проверить мои построения и доказательства, которые сначала были изложены не вполне строго. Говорилось просто, что некую кривую, «очевидно», можно слегка сдвинуть так, что без большого увеличения длины она обойдет такие-то точки, и т. п. Павел Самуилович очень деликатно, но настойчиво достиг того, что я сам подсчитал все относящиеся сюда «эпсилон и дельта».

Хотя мое достижение было довольно детским, оно сделало меня известным кругу лузитанцев, от которого я стоял, впрочем, несколько в стороне, колеблясь между культивировавшимися в их среде интересами, возникшим ранее увлечением проективной геометрией (которую старомодно, но подлинно талантливо читал Алексей Константинович Власов) и смутным желанием заниматься математикой, имеющей широкие выходы в физику и естествознание. В следующем, 1921-22 учебном году я

посещал лекции Н. Н. Лузина и П. С. Александрова уже в качестве «своего», получив, кажется, даже № 16 в нумерации лузитанцев. Мои попытки заниматься по следам лекций П. С. Александрова «дескриптивной теорией множеств» первое время приводили лишь к скромным результатам. Не помню даже, рассказывал ли я их кому-либо подробно. Тем не менее что-то заставило Павла Самуиловича обратить на меня свое внимание. Однажды после одной из лекций Лузина Павел Самуилович подошел ко мне на университетской лестнице и стал объяснять, что «в ближайшее время Николай Николаевич не собирается брать себе новых учеников», и поэтому не захочу ли я приходить к нему (Павлу Самуиловичу) и заниматься у него. Я охотно согласился.

Много раз приходил я к Павлу Самуиловичу в его комнату в Старопименовском переулке, где, кроме кровати и маленького рабочего столика, помещались лишь кресло и один стул.

Беседы касались самых разных областей математики: интересы и знания Павла Самуиловича были широки. В наибольшей мере Павел Самуилович пытался меня вовлечь в свои занятия проблемой Пуанкаре о замкнутых геодезических линиях на поверхности. Проблема привлекательна тем, что формулировка вполне элементарна. Если не придираться к формальной отточенности определений, ее можно объяснить «человеку с улицы», взяв скользкий, окатанный морскими волнами камень и резиновое колечко. Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что по крайней мере тремя различными способами растянутое резиновое колечко можно надеть на наш камень так, что оно, стремясь сократить свою длину, не будет соскальзывать (т. е. так, что его длину нельзя уменьшить при маленьком сдвиге в стороны на небольшом участке). При этом рассматриваются только расположения резинового колечка без самопересечений (т. е., например, не имеющие вида восьмерки). На поверхности шара таких расположений колечка бесконечно много (по любому «большому кругу»), па трехосном эллипсоиде — ровно три (по трем главным сечениям). Гипотеза заключается в том, что случай эллипсоида минимальный, что три замкнутых геодезических без самопересечений найдутся на любой замкнутой выпуклой поверхности (или, еще более общим образом, на любой поверхности, «гомеоморфной» поверхности сферы). Самому Пуанкаре удалось доказать существование одной замкнутой геодезической. Павел

Самуилович доказал существование второй и упорно искал доказательство существования третьей.

Весь примыкающий сюда круг вопросов мне очень нравился, он соответствовал моим представлениям о той математике, которой наиболее следует заниматься. Но доказать существование третьей замкнутой геодезической прямыми наивными рассмотрениями без привлечения новых методов, видимо, было не так легко. (В 1923 году Павел Самуилович получил книгу Блашке, где сообщалось, что задача решена Герглоцем, и излагалась вкратце идея построения Герглоца. Потому ли, что он считал задачу решенной или ввиду занятости теорией размерности и общей теории топологических пространств, сам Павел Самуилович более этой задачей не занимался и ничего на эту тему не опубликовал. В 1927 году решение задачи, применимое и для невыпуклых поверхностей, было дано Биркгофом. Немного позднее в работах Л. А. Люс- терника и Л. Г. Шнирельмана было показано, что решение задачи о трех геодезических может быть получено в качестве частного следствия построенной ими общей глубокой теории, имеющей много других применений.)

Зато мои занятия более абстрактной теорией множеств, возбужденные слушанием лекций П. С. Александрова, привели меня к замыслу весьма общей «теории операций над множествами». Свои соображения по этому поводу, а затем и результаты я рассказывал Павлу Самуиловичу. Убедившись, что это направление исследований занимает меня более всего, Павел Самуилович отправил меня к П. С. Александрову, считая, что тот может с большим успехом руководить моей работой по дескриптивной теории множеств.

В этом же году я начал заниматься в семинаре по тригонометрическим рядам, где верховным руководителем был Н. Н. Лузин, а я занимался в группе, руководимой Вячеславом Васильевичем Степановым. Результаты, полученные мною в теории тригонометрических рядов, обратили на себя внимание Николая Николаевича, и с некоторой торжественностью Николай Николаевич предложил мне приходить в определенный день и час недели, предназначенный для группы учеников моего поколения, к нему. По представлениям, господствовавшим в «Лузитании», моим званием делалось теперь звание ученика Николая Николаевича, что не мешало, конечно, научному контакту со старшими товарищами по «Лузитании».

Внутренняя логика моих собственных занятий привела меня к топологии лишь много позднее, после увлечений математической логикой и теорией вероятностей. Сейчас мне несколько грустно думать, что в столь короткий период концентрированной научной активности Павла Самуиловича я соприкоснулся с его неповторимой творческой индивидуальностью лишь по периферии его интересов.

Московская математика того времени была богата яркими и талантливыми индивидуальностями. Но Павел Самуилович и на этом фоне выделялся универсальностью интересов в соединении с целеустремленностью в выборе предмета собственных занятий, отчетливостью постановки задач (в частности, передо мной, когда он считал себя ответственным за направление моей работы), ясной оценкой своих и чужих достижений в соединении с доброжелательством в применении к достижениям самым маленьким.

3. ДВА ИНТЕРВЬЮ

Беседа

с Андреем Николаевичем Колмогоровым

Мы находимся в старом деревянном доме в деревне Комаровка под Москвой, где Андрей Николаевич обычно проводит' конец недели. Светлая, скромно обставленная комната. В одном из углов старый, но качественный проигрыватель и специальные полки для пластинок. Стены заставлены стеллажами с книгами. В середине комнаты большой стол с множеством книг, оттисков статей, рукописей, художественных альбомов. Андрей Николаевич сидит у окна за небольшим письменным столом. Рядом с пишущей машинкой и аккуратно сложенными исписанными листами бумаги стоит магнитофон, на который записывается наша беседа. Стенограмму этой беседы мы и предлагаем вашему вниманию.

— Андрей Николаевич, часто приходится слышать о возрастающей специализации науки. В то же время известно, что Вы занимались такими далекими друг от друга областями математики, как теория вероятностей и алгебраическая топология, математическая логика и теория динамических систем. В чем, по-Вашему, будущее науки — в универсальности или специализации?

— Математика велика. Один человек не в состоянии изучить все ее разветвления. В этом смысле специализация неизбежна. Но в то же время математика — единая наука. Все новые и новые связи возникают между ее разделами, иногда самым непредвиденным образом. Одни

разделы служат инструментами для других разделов* Поэтому замыкание математиков в слишком узких пре* делах, должно быть, гибельно для нашей науки. Положение облегчается тем, что работа в области математики в принципе коллективна. Должно быть некоторое количество математиков, которые понимают взаимные связи между самыми различными областями математики. С другой стороны, можно работать с большим успехом и в какой- нибудь совсем узкой ветви математики. Но в этом случае надо еще, хотя бы в общих чертах, понимать связи между своей специальной областью исследования с областями смежными, понимать, что по существу научная работа в математике — коллективная работа.

— Что Вы можете сказать о соотношении и связях прикладной и чистой математики?

— Прежде всего, нужно заметить, что само различие между прикладной и чистой математикой чрезвычайно условно. Вопросы, которые, казалось бы, принадлежат к чистой математике и не имеют применений, очень часто совершенно неожиданно оказываются важными для разных приложений. С другой стороны, занимаясь прикладной математикой, ученый почти неизбежно наталкивается на смежные вопросы, решающиеся теми же методами, привлекающие его своей логической красотой, но, собственно говоря, непосредственных приложений уже не получающие. Вероятно, в практической работе математика нужно проявлять должную широту. Несомненно, что математики должны, это их долг, заниматься всеми теми вопросами, которые настоятельно навязываются вопросами практики. Если смежные вопросы, пусть сразу применений не имеющие, являются привлекательными хотя бы в силу красоты и естественности возникающих задач, ими, конечно, тоже нужно заниматься.

— Норберт Винер пишет в своей автобиографической книге, что перестал заниматься функциональным анализом, когда почувствовал, что «Колмогоров наступает мне на пятки». А как Вы относитесь к конкуренции в математике?

— Заявление Винера мне не совсем понятно. В функциональном анализе я сделал немного. Самая интересная моя работа по функциональному анализу называется «Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве».

Что касается конкуренции, то конкурепция может быть дружеской, тогда она мало отличается от сотрудни-

честна. Тесное содружество, когда два математика одновременно и параллельно думают над одной и той же проблемой, порой бывает очень продуктивным. Но при этом иногда бывает и так, что участие одного из сотрудников практически оказывается излишним, и тогда ему разумно без обиды отойти в сторону.

— Всегда ли математика была Вашим основным увлечением? Когда Вы окончательно выбрали математику как профессию?

— Нет, как это часто бывает, пути моего развития были более извилистыми. С раннего детства было известно, что я умею хорошо считать и что меня интересуют математические задачи арифметического характера; сравнительно рано познакомился и с началами алгебры. Но все это относится к очень раннему возрасту. Несколько позднее, в средних классах школы, победили уже совсем другие увлечения — в частности, историей. Возврат к математике произошел в самых последних классах средней школы. Когда я кончил среднюю школу, то долго колебался в выборе дальнейшего пути. В первые студенческие годы, кроме математики, я занимался серьезным образом в семинаре по древнерусской истории профессора С. В. Бахрушина. Не бросал мысль о технической карьере, почему-то меня увлекала металлургия, и, параллельно с университетом, я поступил на металлургическое отделение Химико-технологического института им. Д. И. Менделеева и некоторое время там проучился. Окончательный выбор математики как профессии, собственно говоря, произошел, когда я начал получать первые самостоятельные научные результаты, то есть лет с восемнадцати — девятнадцати.

— Когда обычно проявляются способности к математике? Всегда ли, как у Вас, в раннем возрасте?

— Я довольно много преподавал в средней школе. У меня сложилось такое впечатление, что интерес к математике в средних классах, в возрасте двенадцати — тринадцати лет, часто оказывается временным и совсем проходит к старшим классам. Особенно часто это бывает у девочек. С теми школьниками, которые увлечены математикой в возрасте 13 — 14 — 15 лет, по-моему, стоит работать. При умелом культивировании их способности постепенно развиваются и, как правило, уже не теряются. Бывает, конечно, и очень много исключений. Разумеется, серьезный интерес к математике может проявиться и позже.

— Какие математики старшего поколения оказали на Вас наибольшее влияние!

— В студенческие годы я был учеником Николая Николаевича Лузина. Кроме него, большое влияние оказали на меня Вячеслав Васильевич Степанов, Александр

Андрей Николаевич Колмогоров и Павел Сергеевич Александров в Комаровке

Яковлевич Хинчин, Павел Сергеевич Александров и другие математики их поколения.

— Что Вам хотелось бы сказать о своих учениках и кого из них Вы хотели бы упомянуть!

— Мне повезло на талантливых учеников. Многие из них, начав работу вместе со мной в какой-нибудь области, потом переходили на новую тематику и уже совершенно независимо от меня получали замечательные результаты. Выделить из них наиболее заслуживающих упоминания было бы трудно.

Скажу только в виде шутки, что в настоящее время один из моих учеников управляет земной атмосферой, а другой — океанами*).

— Андрей Николаевич, каков Ваш режим дня!

— Естественно, в течение моей достаточно длинной жизни режим дня в разные ее периоды был различным.

♦) Речь идет об академике А. М. Обухове, директоре Института физики атмосферы АН СССР, и о члене-корресиовденте АН СССР А. С. Монине, специалисте в области океанологии,— Пр имея. ред.

Опишу, пожалуй, только тот режим дня, который мы с Павлом Сергеевичем Александровым установили для себя на те 3 — 4 дня в неделю, которые мы проводили за городом, под Москвой, в деревне Комаре вка.

День начинался в 7 часов утра. Первый час был посвящен гимнастике, пробежке. В 8 часов мы завтракали и принимались за работу за столом — с пишущей машинкой или без нее. В час или два часа дня был полдник, состоящий из молока или кефира с хлебом. После полдника мы еще немного работали, но обычно отправлялись на большую прогулку пешком или — зимой — на лыжах, до 4 часов дня. Потом на полчаса мы укладывались спать. В 5 часов был обед. После обеда мы иногда еще занимались работой, обычно — второстепенной: переписывание или тому подобное. Вечер посвящался чтению, музыке, приему гостей. Перед сном мы любили еще сделать небольшую прогулку. Укладывались спать около 10 часов.

Но, конечно, когда работаешь и начинает получаться решение какой-либо важной проблемы, все отступает на задний план, никакого распорядка дпя уже не бывает.

— Вы, как и многие математики, любите серьезную музыку. Расскажите, почему.

— Ваше замечание о многих математиках, увлекающихся серьезной музыкой, мне кажется правильным. Если прийти в концертный зал, особенно в Малый зал Московской консерватории, то вы там увидите непропорционально много математиков. По-видимому, между математическим творчеством и настоящим интересом к музыке имеются какие-то глубокие связи. Но выяснить и объяснить эти связи мне представляется довольно трудным. Замечу, впрочем, что мой друг Павел Сергеевич Александров рассказывал, что у него каждое направление математической мысли, тема для творческих размышлений, связывались с тем или иным конкретным музыкальным произведением.

Среди любимых композиторов назову в первую очередь Моцарта, Шумана, ну и, конечно, величайших музыкантов — Баха, Бетховена.

— Лингвисты и литературоведы обратили внимание на Ваши публикации по стиховедению. Что Вы можете сказать об этом — менее обычном — сочетании', математика и поэзия?

— Мне хотелось бы разделить этот вопрос на два, так как мое увлечение поэзией имеет такой же непроизвольный, стихийный характер, как и у людей, не занимаю- 18

щихся теоретическим исследованием стиха. Любимые кфи поэты — это Тютчев, Пушкин, Блок. Что же касается моих научных работ по метрике и ритмике русского стиха, то они действительно обратили на себя внимание специалистов-литературоведов, но все-таки это довольно специальная область исследования, интересоваться которой совершенно не обязательно всякому.

— Занимаетесь ли Вы спортом? Каким?

— Состязательным спортом я никогда не занимался. Если не ошибаюсь, я только три раза в жизни участвовал в гонке на 10 км на лыжах.

Но я всегда очень любил большие прогулки пешком и на лыжах, совершал длинные путешествия на байдарке или на лодке. Очень люблю плавание, походы в горах. Во всех этих занятиях я ценю не только их пользу для здоровья, но ту радость общения с природой, которую они приносят.

Всегда любил купание в морском прибое. В солнечные мартовские дни люблю делать большие лыжные пробеги в одних шортах. Во время таких мартовских лыжных пробегов люблю выкупаться посреди сияющих на солнце сугробов в только что вскрывшейся ото льда речке. Впрочем, я не советую обязательно подражать мне во всем этом — можно просто записаться в какую-нибудь привлекающую Вас спортивную секцию.

— Андрей Николаевич, что бы Вы хотели пожелать нашим читателям?

— Я сам являюсь ученым, и, конечно, в первую очередь я желаю нашим читателям внести тот или иной вклад в науку, большой или хотя бы маленький. Замечу, впрочем, что в случае, если все наши читатели принялись бы писать самостоятельные научные работы, то научные журналы не выдержали бы такого натиска. Поэтому я выскажу и более скромное пожелание — чтобы школьное увлечение математикой пригодилось вам и в дальнейшей жизни. В «Кванте» мы как раз стараемся вам показать_я как разнообразны приложения математической науки.

Ученик об учителе

Интервью с академиком А. Н. Колмогоровым 8 июня 1983 г. в связи со столетием со дня рождения академика Н. Н. Лузина.

— Что Вы знали о Н. И. Лузине до того, как впервые увидели его?

— Когда осенью 1920 г. я поступил на первый курс математического отделения физико-математического факультета Московского университета, имя Н. Н. Лузина и как ученого, и как лектора было очень популярно среди студентов. Я сразу же стал слушать его лекции по теории функций комплексного переменного; параллельно Б. К. Млодзеевский читал курс ТФКП в более традиционном жанре. Мы, студенты, живо обсуждали различия в стиле изложения этих двух курсов. Помню, что одновременно Н. Н. Лузин читал курс линейной алгебры, но я его не слушал.

— Был ли курс ТФКП обязательным? Должны ли Вы были его слушать?

— Студенты тогда почти ничего не были должны в современном понимании слова «должны». Посещение было вольное. Нужно было лишь сдавать экзамены. Список экзаменов, которые требовалось сдать, чтобы перейти на второй курс, был очень небольшим. Я сдал все эти экзамены в начале первого курса, чтобы получить студенческий паек (пуд печеного хлеба и килограмм масла в месяц; этот паек прибавлялся к обычной карточке) и потом уже до начала пятого курса почти ничего не сдавал (но за студенческое время написал пятнадцать научных работ и с чрезвычайным увлечением преподавал в школе, так что на экзамены оставалось мало времени). Вообще, с современной точки зрения был довольно большой хаос. Что же касается лекций по ТФКП, то они предназначались для второго курса.

— Когда и каким образом состоялось Ваше личное знакомство с Н. Н. Лузиным?

— Знакомство состоялось, когда я был студентом второго курса. На этом курсе я начал заниматься в семинаре В. В. Степанова. Работая в этом семинаре,; я решил задачу, которой интересовался Н. Н. Лузин. Возможно, что и сама эта задача была им поставлена. Во всяком случае, именно со ссылкой на Н. Н. Лузина формулировка задачи обсуждалась на семинаре В. В. Степанова. Речь шла о построении ряда Фурье со сколь угодно медленно стремящимися к нулю коэффициентами. Мне удалось решить эту задачу (это была моя первая самостоятельная работа). Когда об этом рассказали Н. Н. Лузину, он обратился ко мне (помню, это было на университетской лестнице) и предложил регулярно приходить к нему па занятия.

— В чем состояли эти занятия с И. II. Лузиным"?

— Каждый ученик приходил к Николаю Николаевичу Лузину в его арбатскую квартиру раз в ределю вечером — в постоянно выделенный для него день недели. Мой день был общий с Петром Сергеевичем Новиковым, Людмилой Всеволодовной Келдыш, Игорем Николаевичем Хлодов- ским. Занятие состояло в беседе Н. Н. Лузина с нами четырьмя на научные темы. Интенсивная работа с учениками была одним из тех новшеств, которые культивировал Николай Николаевич.

— Какое влияние оказали на Вас эти занятия?

— Все мои первые работы были посвящены темам, развивавшимся Николаем Николаевичем: тригонометрическим рядам, теории интегрирования, дескриптивной теории множеств и функций. Возможность общаться с Н. Н. Лузиным, рассказывать ему еще не полностью завершенные результаты была очень важна. Надо, правда, признаться, что дескриптивной теорией множеств и функций я занимался вопреки желанию Николая Николаевича. Николай Николаевич всех своих учеников делил на тех, кто должен заниматься метрикой (т. е. тригонометрическими рядами, теорией интегрирования) и дескрипцией. Мне назначена была метрика.

— Каково было влияние Н. Н. Лузина на Ваши последующие работы?

— В 1925 г. я окончил Московский университет как студент и поступил в университетскую аспирантуру. Моим руководителем в аспирантуре был по-прежнему Н. Н. Лузин. (Напомню, что пребывание в аспирантуре не завершалось тогда диссертацией, как сейчас: ведь ученые степени были введены лишь в 1934 г.) Еще в 1924 г. я начал интересоваться теорией вероятностей. Моя первая работа в этой области относится к тому же 1924 г. Она была выполнена совместно с А. Я. Хинчиным (также учеником Н. Н. Лузина). Все мои занятия по теории вероятностей совместно с А. Я. Хинчиным, весь вообще первый период занятий этой теорией отмечен тем, что мы применяли методы, разработанные в метрической теории функций. Такие темы, как условия для применимости закона больших чисел, условие сходимости ряда независимых случайных величин, велись, по существу, методами, выкованными в общей теории тригонометрических рядов, т. е. методами, разрабатывающимися Н. Н. Лузиным и его учениками.

— Как Вы оцениваете роль Н, Н, Лузина в развитии математических знаний?

ТЕКСТ-ТЕКСТ