ВВЕДЕНИЕ

Первая глава настоящей работы преследует цель дать материал для подготовительной работы к теме „Метод математической индукции*. Такая беседа может быть проведена учителем в классе или, быть может, только частично в классе и продолжена в кружке. Можно надеяться, что краткое сообщение учителем интересных фактических данных в классе привлечет учащихся на занятие кружка, на котором будут доложены учениками или учителем дальнейшие подробности по вопросу. Такое сообщение вызовет интерес к теме на дальнейших уроках и будет содействовать оживлению кружковой работы. Сообщение материала для подобной вводной беседы к теме „Метод математической индукции" является основной особенностью изложения данного нами вопроса в настоящей брошюре.

Исторические и иные сведения, сообщаемые нами в первой главе брошюры, имеют непосредственное отношение к теме „Метод математической индукции", однако могут быть использованы в кружковой работе и вне связи с этой темой и притом до IX класса, в котором, в лучшем случае, учитель знакомит учеников с методом математической индукции. Полагая, что поднятие у учащихся интереса к предмету является одним из самых действенных средств повысить уровень преподавания математики в школе, и считая, что интересная тематика внеклассных занятий по математике является хорошим рычагом для повышения указанного интереса, мы в I главе книги даем довольно большое число фактов, которые могут быть использованы учениками для сообщений в кружке. Материал этот состоит из мелких вопросов, в большинстве своем чисто арифметических, сообщение о которых в кружке посильно ученикам VI—VIII классов. Привлечение учеников этих классов к самостоятельной работе по математике является особенно желательным. Развертыванию кружковой работы по математике в школе препятствует главным образом недостаточность подходящего материала. Помочь учителю в этом отношении является целью нашей брошюры в той же мере, как принести ему посильную пользу при изложении темы о методе математической индукции.

Автор решается дать совет учителю, как использовать первую главу его книги. Нелегко запомнить большое число фактов и еще труднее вспомнить их в нужный момент, на соответственном уроке. Помочь своей памяти можно следующим образом.

Выпишите отдельные факты на нарезанные для этой цели листки. Такие листки должны лежать у каждого учителя на письменном столе, и они должны заполняться повседневно при чтении, при слушании докладов, при беседах. Заведите конверты-кармашки для каждой темы программы и вкладывайте туда заполненные листки. Вечером, накануне того дня, когда нужно дать урок, просмотрите конверт и освежите в памяти забытые факты и мысли. Поступайте по примеру знаменитого Куммера, утверждавшего, что он при преподавании „упорно шел на 12 часов впереди своего класса".

Данный в брошюре материал может быть проработан в школе при наличии математического кружка и при повышенном интересе класса к математике. В противном случае можно ограничиться минимумом материала, в который надо включить:

1) из I главы разбор нескольких более легких примеров ошибочных выводов при применении неполной индукции;

2) главу II и из главы III несколько примеров;

3) из V главы — десяток примеров по выбору учителя.

Кроме того, было бы желательно из главы IV проработать 1, 2, 3-й вопросы пункта а) и 1 и 2-й примеры пункта г). Ученикам, проявляющим интерес к математике, можно после этого предложить самостоятельно проработать остальные страницы книги.

ГЛАВА VI

НЕКОТОРЫЕ ОТРЫВКИ ИЗ СОЧИНЕНИЙ ЭЙЛЕРА

1) Замечания об одной теореме Ферма и о других теоремах, относящихся к простым числам (Comment. Petropolit., VI, 1732, стр. 103—107).

Известно, что величина а^п -J-1 всегда имеет делители, если п число нечетное или делящееся на нечетное число, кроме единицы. Действительно, a^4m+1 -f-1 делится на а+Ь ^а 4- 1 делится на а^р4~1» какое бы число мы ни подставили вместо а. И наоборот, если п такое число, которое не делится ни на какое нечетное число, кроме единицы, как это бывает, когда п есть степень двойки, нельзя указать ни одного делителя числа а^п -|- 1 • Поэтому, каковы бы ни были простые числа вида а^л-|-1, все они заключены в форме а⁴”* 4~ 1 • Всё же отсюда нельзя заключить, что a -f-1 всегда представляет простое число, каково бы ни было а. Во-первых, очевидно, что если а число нечетное, то указанное выражение будет иметь делитель 2. Во-вторых, если даже а число четное, существует бесчисленное множество случаев, в которых получается составное число. Так, во всяком случае, а⁴ -1-1 делится на 5, если a = 5£dz3 и 30²4~1 делится на 17, а 50*1 делится на 41. Равным образом 10⁴-]-1 имеет делитель 73; 6⁸4-1 имеет делитель 17, а 6¹⁴⁸ 4" 1 делится на 257. Однако для чисел вида 2^4/” -f-1, как показывают таблицы простых чисел, не простирающиеся, впрочем, далее 100000, нельзя обнаружить ни одного случая, в котором имелся бы какой-либо делитель. На основании этого соображения и других Ферма не поколебался утверждать, что 2^4/” 4~ 1 всегда есть простое число, и предложил это для доказательства как выдающуюся теорему Валлису и другим английским математикам. Он признается, что сам не имеет доказательства этой теоремы, но тем не менее утверждает, что она истинна. Пользу же ее он усматривает главным образом в том, что с ее помощью легко указать простое число, большее любого заданного числа, что без такого рода общей теоремы было бы чрезвычайно трудно. Об этом можно прочитать в „Переписке* Валлиса, содержащейся во втором томе его трудов, в предпоследнем письме. Также и в сочинениях самого Ферма, на стр. 115 говорится следующее: „А так как для меня очевидно, что числа, образованные от двойки последовательными возвышениями в квадрат и увеличенные на единицу, всегда будут простыми и уже давно была указана исследователями истинность этой теоремы, а именно, что простыми являются 3, 5, 17, 257, 65537 и т. д. до бесконечности.

Истинность этой теоремы очевидна, как я уже сказал, если положить вместо т 1, 2, 3 и 4; действительно, получаются числа 5, 17, 257 и 65537, которые все находятся в таблице простых чисел. Но какими-то судьбами оказывается, что ближайшее же следующее число 2*⁸ 4* 1 уже не будет простым, ибо на днях, занимаясь совсем другим, я заметил, что это число делится на 641, как это станет ясно каждому, кто попытается проверить. В самом деле, 2®’ -J^- 1 = 4 294 967 297. Отсюда ясно, что теорема может быть неверна и в других случаях, и таким образом задача о нахождении простого числа, большего, чем любое заданное число, остается до сих пор не решенной.

2) Доказательство некоторых теорем, относящихся к простым числам (Comment. Petropolit., VIII, 1736, стр. 141—146).

• 1. Ферма опубликовал в свое время без доказательства множество арифметических теорем, которые, если бы оказались истинными, не только обнаружили бы замечательные свойства чисел, но и весьма содействовали бы развитию самой теории чисел, которая часто представляется выходящей за пределы анализа. И хотя этот выдающийся геометр утверждал относительно большинства предложенных им теорем, что может их доказать, или по крайней мере убежден в их истинности, однако, насколько мне известно, нигде не изложил этих доказательств.

Невидимому, Ферма к большей части своих теорем пришел посредством индукции, которая представляет собой едва ли не единственный путь нахождения этих свойств. Однако я мог бы на многих примерах показать, как мало значения приходится придавать индукции в этих вопросах; достаточно будет привести один из этих примеров, взятый от самого Ферма. Я говорю о теореме, ложность которой я показал уже несколько лет назад, а именно о той, где Ферма утверждает, что все числа, охватываемые формулой 2^2/в 1, суть числа простые. Могло бы показаться, что истинность этого предложения вполне подтверждается индукцией. Ибо, помимо того, что все эти числа, меньшие чем 100000, действительно оказываются простыми, можно легко доказать, что ни одно простое число, не превышающее 600, не будет мерой (делителем) этой формулы 2’^т -р 1 > сколь бы велико ни было число, подставляемое вместо т. Но так как установлено, что это предложение не согласуется с истиной, легко понять, как мало силы имеет индукция в рассуждениях этого рода.

• 2. По указанной причине все такие свойства чисел, которые опираются на одну только индукцию, я считаю недостоверными до тех пор, пока они не будут либо подкреплены аподиктическими доказательствами, либо вовсе опровергнуты . (Перевод с латинского.)

3) У потребление наблюдений в чистой математике (Собр. соч., серия 1, т. 2, стр. 459).

. Может показаться довольно парадоксальным приписывать большое значение наблюдениям в этой части математических наук, которая обычно называется чистой математикой, поскольку распространенное мнение состоит в том, что наблюдения ограничиваются физическими объектами, оказывающими воздействие на чувства.

. Нам трудно понять, как наблюдения и квазиэксперименты могут быть использованы при изучении природы чисел. Однако на самом деле, как я покажу здесь на достаточно веских основаниях, свойства чисел, известные сегодня, были в большинстве случаев открыты задолго до того, как их истина была подтверждена строгими доказательствами. Существуют даже многие такие свойства чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые не умеем еще доказать; только наблюдения привели нас к их познанию. Итак, мы видим, что в теории чисел, которая до сих пор очень несовершенна, мы можем возлагать наши лучшие надежды на наблюдения; они будут непрестанно вести нас к новым свойствам, доказательства которых нам придется искать затем. Род познания, подтвержденного только наблюдениями и еще не доказанного, нужно тщательно отличать от истины; оно получено по индукции, как принято говорить. Но мы видим случаи, где простая индукция ведет к ошибкам. Поэтому нам нужно с большим вниманием следить за тем, чтобы не принимать за истинные такие свойства чисел, которые мы открыли наблюдением и которые опираются на одну только индукцию. По существу, мы должны использовать такое открытие как благоприятную возможность более точно исследовать открытые свойства и доказать или опровергнуть их: в обоих случаях мы научимся чему-нибудь полезному.