Введение

Преподавание арифметики в начальной школе должно дать учащимся определенную (в соответствии с программой) сумму систематических знаний и соответствующие навыки в применении этих знаний к решению практических вопросов. Преподавание должно быть поставлено так, чтобы у детей в процессе усвоения ими знаний и навыков развивалось логическое мышление, ясность и точность речи как средства выражения мысли, аккуратность и точность в выполнении работ и целый ряд других качеств, которые являются необходимыми элементами коммунистического воспитания.

Наиболее сильным средством для достижения этих целей в арифметике является работа над задачами, ибо задачи служат, с одной стороны, конкретной формой связи с практикой и, с другой стороны, дают материал для тренировки мышления, речи и т. д. Поэтому решение задач—это главное в работе по арифметике, и уменье учащихся решать задачи является лучшим, наиболее верным показателем того, в какой мере достигаются указанные цели.

Успех в работе над задачами зависит от многих условий. Наиболее важными из этих условий являются следующие: 1) целесообразный подбор задач; 2) умелое применение учителем аналитического и синтетического методов разбора сложных задач с учащимися; 3) применение наглядности при разборе и решении задач; 4) составление задач самими учащимися как необходимое звено в работе над задачами и 5) правильное построение уроков и организация самостоятельного решения задач учащимися в классе и дома.

Чтобы все дальнейшее изложение было вполне понятным, остановимся здесь на разъяснении некоторых терминов, применяемых к задачам.

„Африфметической задачей называется вопрос, в котором требуется определить численное значение какой-либо величины, зная численные значения величин, находящихся в определенной зависимости как между собою, так и с искомой' (из „Методики 1* 3

арифметики" Снигирева). Обычные, так называемые текстовые задачи, которые мы имеем в специальных сборниках задач, состоят из следующих элементов: а) числового материала, б) словесного изложения (условия), дающего возможность определить характер связей между данными и искомым, и в) вопроса задачи, указывающего, что требуется найти в ней.

Самая существенная часть задачи—вопрос. Числа, необходимые для решения вопроса, могут быть и не указаны при вопросе (в условии), вопрос от этого не перестает быть задачей. Понятно, что задача, выраженная одним только вопросом, не может быть решена до тех пор, пока не будут даны необходимые числа. Такие задачи-вопросы, в которых нет налицо (не дано) всех нужных для решения числовых данных, можно назвать неполными задачами. Точно так же неполными будем называть и такие „задачи-, в которых имеются все числовые данные, но не поставлен вопрос, на который нужно найти ответ, исходя из этих данных.

По степени сложности задачи бывают простые и слож- н ы е. Простой называется такая задача, для решения которой нужно выполнить только одно арифметическое действие. Задача же, требующая для своего решения двух и более действий, называется сложной. Всякая сложная задача состоит из нескольких простых (потому-то она и называется сложной). Сколько простых задач входят в состав сложной, столько действий нужно выполнить, чтобы ее решить.

Решая сложную задачу и ставя вопросы к каждому действию, мы по существу решаем одну за другою, в определенной последовательности, те простые задачи, из которых состоит данная сложная, причем вопросы, на которые мы находим ответы, являются вопросами этих простых задач. Поэтому, чтобы сознательно решить сложную задачу, необходимо прежде всего уметь решать те простые задачи, из которых она состоит. Но одного этого умения еще недостаточно: нужно уметь расчленить (разложить) данную сложную задачу на составляющие ее простые. Провести такое расчленение можно двумя методами: аналитическим и синтетическим.

В работе учителя с детьми в школе должны занимать определенное место как тот, так и другой метод. Поэтому ниже мы и остановимся на этих методах, причем больше внимания уделим аналитическому методу, так как он очень слабо разработан в методической литературе, мало знаком большинству учителей и потому недооценивается ими и слишком мало применяется на практике. Синтетический же метод достаточно знаком и привычен для всех учителей, так как на практике он является не только преобладающим, но у большинства учителей и единственным.

О подборе задач в начальной школе

Чтобы научить детей хорошо разбираться в задачах, самостоятельно и уверенно их решать, необходимо прежде всего правильно подбирать задачи, располагать их в такой системе, которая обеспечивала бы максимум самостоятельного мышления детей в их работе над задачами. В основу подбора задач должны быть положены следующие два важнейших принципа: 1) строгая последовательность в усложнении задач, в постепенном и незаметном переходе от задач простых к сложным, от легких к трудным, и 2) генетическая преемственность между группами (типами) задач, следующих одна за другой в процессе работы над ними. Генетическая преемственность должна заключаться в том, что каждая новая типичная группа задач в процессе их изучения должна следовать после той группы, которая наиболее сходна с ней по своей математической структуре и, следовательно, по способу решения сгруппированных в ней задач.

Только при условии такого подбора задач возможна максимальная активность детей в отношении самостоятельной и притом правильной работы их мышления. Система задач, не удовлетворяющая указанным требованиям, неизбежно приводит к тому, что учителю самому приходится слишком много объяснять, указывать, подсказывать и т. д., а детям—итти только по готовым, проторенным учителем следам и, следовательно, действовать больше по данным им шаблонам, а не мыслить самостоятельно.

Все арифметические задачи можно разбить на две категории. К одной категории относятся те задачи, в которых, благодаря простоте их конструкции и отсутствию каких-либо условных выражений и терминов, зависимость между данными и искомыми числовыми значениями величин вполне ясна и для решения которых учащимся достаточно только знать, в каких случаях какое арифметическое действие применяется. К другой категории относятся задачи, в которых зависимость между данными и искомыми значениями величин не вполне ясна, и для раскрытия этой зависимости требуется некоторая сообразительность. Такие

задачи обычно называют типовыми. Как те, так и другие можно разбить на целый ряд определенных групп, каждая из которых будет включать только сходные между собой задачи. Каждая такая группа представляет определенный тип.

Чтобы учащиеся скорее и сознательнее усвоили способы решения задач каждого типа, необходимо задачи одного и того же типа не расбрасывать между задачами других типов, а собрать их вместе в таком количестве, которое было бы достаточно для того, чтобы учащиеся могли не только понять структуру этого типа и способы решения, но и надежно закрепить это в своих навыках.

На основе указанных требований можно наметить следующую последовательность в подборе видов и типов задач по каждому классу.

I КЛАСС

1. Простые задачи (в одно действие) на сложение и вычитание, выраженные в прямой форме, т. е. когда даны слагаемые, а нужно найти сумму, или когда даны уменьшаемое и вычитаемое, а нужно найти остаток. Например: а) „В семье 5 мужчин и 3 женщины. Сколько всего человек в этой семье?" б) „Хозяйка принесла к обеду 6 огурцов. За обедом съели 4 огурца. Сколько огурцов осталось?"

2. Увеличение и уменьшение данного числа на несколько единиц (на столько-то больше, на столько-то меньше). Например: а) „В классе два ряда парт; в одном ряду 8 парт, а в другом на 2 парты больше. Сколько парт во втором ряду?" б) „Девочка купила вставочку (ручку) и карандаш; за вставочку заплатила 10 коп., а за карандаш на 3 коп. меньше. Сколько она заплатила за карандаш?"

3. Простые задачи на умножение и деление, выраженные в прямой форме (даны множимое и множитель, надо найти произведение; даны делимое и делитель, надо найти частное). Например: а) .Один мальчик решает дома каждый день по 3 задачи. Сколько задач он решит за 5 дней?" б) „Колхозница продала 2 десятка яиц поровну четырем покупателям. Сколько яиц взял каждый покупатель?"

4. Нахождение половины числа.

5. Сложные задачи в два действия, примерно, в такой последовательности:

а) Из суммы двух чисел вычесть третье число. Например: „У мальчика было в одном кармане 7 яблок, а в другом 5 яблок. 8 яблок он отдал матери. Сколько яблок у него осталось?"

б) От данного числа отнять сумму других двух чисел. Например: „У девочки было 20 коп. Она купила карандаш за 8 коп. и резинку за 5 коп. Сколько денег у нее осталось?*

в) К произведению двух данных чисел прибавить третье данное число. Например: „Женщина купила два отреза ситца по 4 метра в каждом и один отрез в 7 метров. Сколько всего метров ситца купила женщина?"

г) Сумму двух данных чисел умножить на третье данное число. Например: „На мельницу привезли 3 воза зерна. На каждом возу было 4 мешка ржи и 2 мешка ячменя. Сколько всего мешков зерна привезли на мельницу?"

д) Данное число умножить на сумму двух других данных чисел. Например: „В семье 3 девочки и 2 мальчика. Каждому из них дали по 3 конфекты. Сколько конфект роздали?"

е)К частному от деления двух данных чисел прибавить третье данное число. Например: „В шкафу на трех полках было 18 книг, на каждой полке поровну. Потом на верхнюю полку положили еще 7 книг. Сколько книг стало на верхней полке?"

ж) Данное число разделить на сумму двух других данных чисел. Например: „15 тетрадей продали поровну 3 мальчикам и 2 девочкам. Сколько тетрадей купил каждый мальчик (или девочка)?"

з) Сумму двух данных чисел разделить на третье данное число. Например: „Хозяйка принесла к обеду 4 соленых огурца и 8 свежих. Обедали 6 человек. Сколько огурцов досталось каждому, если все съели поровну?"

и) От произведения двух данных чисел отнять третье данное число. Например: „У мальчика было 3 пятачка. Он купил себе карандаши за 8 коп. Сколько денег осталось у мальчика?"

к) От данного числа отнять произведение двух других данных чисел. Например: „На трех клумбах посадили 20 цветов: на двух клумбах по 6 цветов на каждой, а на третьей—остальные. Сколько цветов посадили на третьей клумбе?"

л) Из частного от деления двух данных чисел вычесть третье данное число. Например: „На лугу было 18 возов сена в двух одинаковых стогах. Из одного стога 7 возов колхозники перевезли в сарай. Сколько возов осталось в этом стоге?"

м) От данного числа отнять частное от деления двух данных чисел. Например: „На 5 одинаковых рубашек купили 15 метров материи. Одну рубашку уже сшили. Сколько метров материи осталось?"

н) Разность двух данных чисел разделить на третье данное число. Например: „Из 16 метров полотна сшили 1 простыню и 4 одинаковых рубашки. На простыню пошло 4 метра полотна. Сколько пошло на каждую рубашку?"

о) Данное число разделить на разность двух других данных чисел. Например: '„В семье всего 7 человек; из них 4 человека взрослых, а остальные дети. Мать дала детям 15 слив. Сколько слив досталось каждому?"

п) Произведение двух данных чисел разделить на третье данное число. Например: „У девочки было 6 монет по 3 коп. На все эти деньги она купила 2 одинаковых карандаша. Сколько стоил каждый карандаш?"

р) Данное число умножить на частное отделения двух других данных чисел. Например: „Хозяйка за 4 раза принесла с огорода 20 кочней капусты. Сколько килограммов хозяйка приносила за один раз, если каждый кочан в среднем весил 3 килограмма?"

с) Частное от деления двух данных чисел умножить на третье данное число. Например: „Веревку длиною в 20 метров разрезали на 4 равных куска; из них 3 куска истратили на упаковку багажа. Сколько метров веревки пошло на упаковку багажа?" Или: „4 овцам в сутки нужно 12 килограммов сена. Сколько килограммов сена нужно в сутки 6 овцам?"

т) Данное число разделить на произведение двух других данных чисел. Например: „4 ученика купили каждый по 2 пера и заплатили 16 коп. Сколько копеек стоило каждое перо?"

у) Найти произведение трех данных чисел. Например: „3 ученика купили каждый по 2 листа бумаги и заплатили по 3 коп. за лист. Сколько денег они заплатили за всю бумагу?"

ф) Частное от деления двух данных чисел разделить на третье данное число (ср. с типом т). Например: „2 кузнеца за 3 часа подковали 12 лошадей. Сколько лошадей подкует один кузнец за один час?" Или: „Хозяйка разложила 18 яблок на 3 тарелки. Яблоки с одной тарелки она отдала поровну двум своим мальчикам. Сколько яблок получил каждый мальчик?"

6. Простые задачи на сложение и вычитание, выраженные в косвенной форме, примерно в такой последовательности:

а) Даны сумма и одно из слагаемых, найти другое слагаемое. Например: „Мальчик нашел под одной яблоней 8 яблок да под другой несколько яблок; всего же под двумя яблонями он нашел 14 яблок. Сколько яблок он нашел под второй яблоней?"

б) Даны вычитаемое и остаток, найти уменьшаемое. Например: ,В графине было несколько стаканов воды. Когда из него выпили 5 стаканов воды, тогда в нем осталось 7 стаканов. Сколько стаканов воды было в графине сначала?"

в) Даны уменьшаемое и остаток, нужно найти вычитаемое. Например: „В корзинке было 15 яиц. Из них несколько штук хозяйка сварила к обеду. После этого в корзинке осталось 9 яиц. Сколько яиц хозяйка сварила к обеду?"

7. Сложные задачи едва действия, из которых одно представляет собою косвенную форму сложения или вычитания. Например: .В корзине было 20 яблок. Из них несколько яблок хозяйка употребила на пирог, а все остальные отдала двум девочкам, каждой по 3 яблока. Сколько яблок пошло на пирог?" Или: „В бидон налили молока, а затем из него продали 6 покупателям по 2 литра каждому. После этого в бидоне осталось 8 литров. Сколько литров молока было налито в бидон?"

8. Простые задачи на умножение и деление, выраженные в косвенной форме, в такой примерно последовательности:

а) Даны множитель и произведение, надо найти множимое. Например: „Мальчик удил рыбу 3 часа и в каждый час ему попадало одинаковое число рыб; всего же он поймал 18 рыб. Сколько рыб ему попадало в один час?"

б) Даны множимое и произведение, надо найти множитель. Например: „Девочка купила несколько перьев по 3 коп. каждое и заплатила 15 коп. Сколько перьев она купила?"

в) Даны делитель и частное, надо найти делимое. Например: „Веревку разрезали на 4 равные части и каждая часть получилась длиной 5 метров. Какой длины была вся веревка?"

г) Даны делимое и частное, надо найти делитель. Например: „12 пряников разделили поровну нескольким детям и каждому досталось по 4 пряника. Сколько детей получили пряники?"

9. Сложные задачи в два действия, из которых одно умножение или деление, выраженные в косвенной форме. Например: „Нескольким покупателям продали 20 килограммов соли. Первый покупатель взял 8 килограммов, а все остальные по 3 килограмма. Сколько покупателей купили по 3 килограмма?" 2) „У мальчика был пятачок и еще 4 одинаковых монеты, а всего 17 коп. Какие монеты у него были кроме пятачка?" 3) „Женщина купила несколько яблок. Из них 10 штук она положила в корзину, а остальные разделила трем

своим детям по 2 яблока каждому. Сколько яблок женщина купила?" и т. п.

10. Повторительные задачи всех пройденных видов в 2—3 действия.

Примечание. При прохождении каждого нового вида задач необходимо все время решать задачи и пройденных видов. Начав работу над задачами нового вида, нужно сначала решить подряд столько задач этого вида, сколько потребуется для того, чтобы дети как следует научились их решать, а потом решать задачи на все пройденные виды.

II КЛАСС

1. Повторительные задачи всех видов, пройденных в I классе.

2. Разностное сравнение чисел. Например: 1) „Отцу 40 лет, а его сыну 16 лет. На сколько лет отец старше сына?" 2) „Ученик купил книгу за 65 коп. и 6 тетрадей по 15 коп. На сколько меньше заплатил он за книгу, чем за все тетради?" и т. п.

3. Увеличение и уменьшение числа в несколько раз (понятия: .во столько-то раз больше", „во столько-то раз меньше"). Например: 1) „В одном колхозе 45 лошадей, а в другом в два раза больше. Сколько лошадей во втором колхозе?" 2) „На одном колхозном участке посажены брюква и капуста:, брюквой занято 24 гряды, а капустой в три раза больше. Сколько всего гряд на этом участке?" 3) „Школьники посадили возле школы березки и клены: березок посадили 36, а кленов в четыре раза меньше. Сколько посадили кленов? (сколько всего деревьев посадили?)"

4. Кратное сравнение чисел. Например: 1) „Купили ботинки за 48 руб. и галоши за 16 руб. Во сколько раз ботинки дороже галош?" 2) „В торговом ларьке было 3 ящика конфект по 32 килограмма в каждом и ящик печенья в 24 килограмма. Во сколько раз печенья в ларьке было меньше, чем конфект?"

5. Система задач в три действия. Последовательность этих задач можно установить на основе комбинирования двух и трех различных арифметических действий, выполнение которых необходимо при их решении. Вот перечень этих комбинаций и соответствующих примерных задач (по одной задаче каждого вида).

а) Два сложения и одно вычитание. „Колхозник, отправляясь в город, взял с собою 50-рублевый и 30-рублевый

билеты. В городе он купил себе валенки за 55 руб. и галоши за 22 руб. Сколько денег у него осталось?"

б)Одно сложение и два вычитания. „Колхоз посеял рожь на трех участках: на первом 32 центнера, на втором на 6 центнеров меньше, чем на первом, а на третьем на 8 центнеров меньше, чем на втором, сколько всего ржи посеял колхоз?*

в)Одно сложение и два умножения. „Купили 3 карандаша по 8 коп. и 4 тетради по 15 коп. Сколько денег заплатили?"

г)Два сложения и одно умножение. „Девочка посадила цветы: на одной грядке 16 цветов, на другой на 8 цветов, больше, а на остальных трех грядках по 15 цветов на каждой. Сколько всего цветов посадила девочка?"

д)Одно сложение и два деления. „Для выполнения весенних работ в школьном саду учащиеся разделились на бригады: 40 учащихся I класса — на 5 бригад, а 36 учащихся II класса — на 4 бригады. По одной бригаде того и другого класса было поставлено на уборку прошлогодних листьев. Сколько человек убирали листья?"

е)Два сложения и одно деление. „В первый день сенокоса на колхозном лугу работали 16 мужчин и 8 женщин, а во второй день —23 мужчины и 25 женщин. Во сколько раз во второй день работало больше людей, чем в первый?"

ж) Одно сложение, одно вычитание и одно умножение. „На покупку учебника мальчик получил от отца 5 монет по 15 коп. и одну монету в 20 коп. Учебник стоил 85 коп. Сколько денег осталось у мальчика?"

з)Одно сложение, одно вычитание и одно деление. „Осенью в школу приняли девочек 42, а мальчиков — на 6 меньше. Всех принятых детей разместили поровну в двух классах. Сколько детей поместили в каждый класс?"

и)Одно сложение, одно умножение и одно деление. „Девочка купила 6 тетрадей и в уплату за них отдала 4 монеты по 20 коп. и одну монету в 10 коп. Сколько стоит каждая тетрадь?"

к)Одно вычитание, одно умножение и одно деление. „Колхозники привезли из питомника 2 воза молодых яблонь по 45 штук на каждом возу. 18 яблонь они посадили в старом саду, а остальные — на новом участке, по 12 яблонь в каждом ряду. Сколько рядов яблонь посадили на новом участке?"

л)Одно вычитание и два умножения. „В ларьке было 3 ящика сахару по 32 килограмма в каждом. В течение дня продали 28 покупателям, каждому в среднем по 2 килограмма. Сколько сахару осталось в ларьке?"